平面點集與多元函數(shù)

關(guān)于平面點集與多元函數(shù)第1頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點集與多元函數(shù)第2頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三一、平面點集坐標(biāo)平面上滿足某種條件

的點的集合，稱為平面點集，并記作

常見平面點集全平面和半平面第3頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三1.鄰域:

以點X0=(x0,y0)為中心,以為半徑的圓內(nèi)部點的全體稱為X0的鄰域.即記?(X0,)=U(X0,){X0

},稱為

X0的去心鄰域.如圖特殊的平面點集第4頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三X0X0U(X0,)?(X0,)當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時,簡記為U(X0

)和?(X0).第5頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三空心方鄰域與集方鄰域圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域的區(qū)別第6頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三2.

內(nèi)點:設(shè)E是一平面點集,X0=(x0,y0)E,若存在鄰域U(X0,)E,則稱X0為E

的內(nèi)點.E的全體內(nèi)點所成集合稱為E的內(nèi)部,記為D={(x,y)|x2+y2

1}如圖第7頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三xyox2+y2=111D易知,圓內(nèi)部的每一點都是D的內(nèi)點.但圓周上的點不是D的內(nèi)點.第8頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三x+y=0xy0如圖D又如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見,直線上方每一點都是D的內(nèi)點.但直線上的點不是D的內(nèi)點.第9頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三若存在點的某鄰域使得則稱是集合的外點第10頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三3.邊界點:設(shè)E是一平面點集,X0=(x0,y0)是平面上一個點.若X0的任何鄰域U(X0,)內(nèi)既有屬于E的點,又有不屬于E的點,則稱X0為E

的邊界點.E

的全體邊界點所成集合稱為E

的邊界.記作E.如,例1中定義域D

的邊界是直線x+y=0上點的全體.例2中定義域D

的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖第11頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的邊界點可以是E中的點,也可以不是E中的點.第12頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三4.開集

設(shè)E是一平面點集,若E

中每一點都是E的內(nèi)點.即E

intE,則稱E

是一個開集.由于總有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可說,比如,例1中D是開集,(D

=intD

),而例2中D不是開集.規(guī)定,,R2為開集.若E=intE,則稱E是一個開集.第13頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三xyoE又比如,E如圖若E不包含邊界,則E為開集.若E包含邊界,則E不是開集.第14頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論:

非空平面點集E為開集的充要條件是E中每一點都不是E的邊界點.即E不含有E的邊界點.證:必要性.

設(shè)E

為開集,XE,由開集定義知X為E的內(nèi)點.故X不是E

的邊界點.第15頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三充分性.

若E中每一點都不是E的邊界點.要證E為開集.XE,由于X不是E的邊界點.故必存在X的一個鄰域U(X,),在這個鄰域U(X,)內(nèi)或者全是E中的點.或者全都不是E中的點,兩者必居其一.由于XE,故后一情形不會發(fā)生.因此,U(X,)內(nèi)必全是E中的點.故XintE,即,E

intE

,所以E是開集.第16頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三5.連通集

設(shè)E是一非空平面點集,若X,YE.都可用完全含于E的折線將它們連接起來,則稱E為連通集.如圖XYE連通YXE不連通第17頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三從幾何上看,所謂E是連通集,是指E是連成一片的.E中的點都可用折線連接.例1,2中的D都是連通集.如圖x+y=0xyoxyo11x2+y2=1第18頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三6.開區(qū)域(開域)設(shè)E是一平面點集.比如,例1中D是開區(qū)域.如圖.

E從幾何上看,開區(qū)域是連成一片的,不包括邊界的平面點集.若E是連通的非空開集,則稱E是開區(qū)域.第19頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三7.閉區(qū)域(閉域)若E是開域,記稱為閉區(qū)域.如圖.

E易見,例2中的D是閉區(qū)域.從幾何上看,閉區(qū)域是連成一片的.包括邊界的平面點集.(本書把)開區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.第20頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三易見,例1中D是無界集,它是無界開區(qū)域,而例2中D是有界集,它是有界閉區(qū)域.若存在r>0,使EU(O,r),則稱E為有界集.否則稱E為無界集.8.設(shè)第21頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三9.聚點.設(shè)E是平面點集,X0是平面上一個點.若X0的任一鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于E.則稱X0是E

的一個聚點.從幾何上看,所謂X0是E的聚點是指在X0的附近聚集了無限多個E中的點.即,在X0的任意近傍都有無限多個E中的點.第22頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三X0如圖第23頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三1.聚點定義也可敘述為:若X0的任一鄰域內(nèi)至少含有E中一個異于

X0的點.則稱X0為E的一個聚點.(自證).2.E的聚點X0可能屬于E,也可能不屬于E.3.E的內(nèi)點一定是E的聚點.第24頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三4.若E是開區(qū)域.則E中每一點都是E的聚點.即,區(qū)域中的任一點都是該區(qū)域的聚點.一般,集合E的邊界點不一定是E的聚點.但若E是開集,則E的邊界點一定是E的聚點,自證.第25頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三定義若存在使得則稱點是的孤立點.

孤立點必為界點.第26頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三鄰域,內(nèi)點,邊界點,開集,連通,有界,開區(qū)域,閉區(qū)域,聚點這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間R3中去,且有類似的幾何意義.它們還可推廣到4維以上的空間中去,但不再有幾何意義.第27頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三（3）點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．（1）內(nèi)點一定是聚點；說明：（2）邊界點可能是聚點；例如，(0,0)既是邊界點也是聚點．第28頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三點集的直徑兩點的距離（或）

并有三角不等式第29頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三同時也有如下三角形不等式，即對上任何三點和都有例2證明：對任何恒為閉集證明設(shè)為的任一聚點，要證.由聚點的定義，對任給，存在

第30頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三.又是的界點，所以對任意，由于上既有的點，又有非的點，于是上既有的點，又有非的點，由的任意性，推知是的界點，即，這就證明了為閉集.

第31頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三二

中的完備性定理

1點列的極限

設(shè)為平面點列，為一固定，存在正整數(shù)，使時，有,則稱點列收斂于點,記作或

點.若對任給的正數(shù)得當(dāng)?shù)?2頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三設(shè)則同樣的，當(dāng)以表示點與的距離時，也就等價于

第33頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三2柯西收斂準(zhǔn)則

定理16.1

（柯西準(zhǔn)則）平面點列收斂的充要條件是：對任意，存在,當(dāng)時，對一切正整數(shù),都有

第34頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三定理16.2(閉域套定理)設(shè)是1)

2)

則存在唯一點

3閉域套定理中的閉域列，滿足：第35頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三4聚點原理

定理16.3（聚點原理）設(shè)為有界在中至少有一個聚點.

無限點集，則推論：有界無限點列必存在收斂子列

第36頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三5有限覆蓋定理

定理16.4（有限覆蓋定理）設(shè)為有界閉域，為一開域族，它們覆蓋（即），則在中必存在有限個開域，它們同樣覆蓋（即）

三二元函數(shù)的定義第37頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．點集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數(shù)的兩個要素:定義域、對應(yīng)法則.第39頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.例1求的定義域．解所求定義域為第40頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三

二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第41頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第42頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第43頁，講稿共47頁，2023年5月2日，星期三例6

是定義在上的函數(shù)，值域是全體非負整數(shù)

若二元函數(shù)的值域是有界集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)；若值域是無界集，則稱該函數(shù)為無界函數(shù)