信號(hào)與系統(tǒng)z變換教學(xué)

第10章z變換掌握Z變換定義及基本性質(zhì)、牢記常用典型信號(hào)的Z變換。掌握求解信號(hào)Z變換(包括正變換和反變換)的基本方法。掌握運(yùn)用Z變換分析LTI系統(tǒng)的方法。掌握系統(tǒng)函數(shù)H(z)收斂域與系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的關(guān)系：定性分析方法。掌握系統(tǒng)的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模擬框圖、信號(hào)流圖、零極點(diǎn)+收斂域圖，以及它們之間的轉(zhuǎn)換。10.0引言前一章我們討論了拉氏變換，并利用系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本特性。本章將討論Z變換，從變換的基本性質(zhì)和基本作用來看，Z變換和拉氏變換是相似的，而且，討論展開的思路也是和拉氏變換平行的。當(dāng)然，由于連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間的基本差異，Z變換和拉氏變換之間必然存在著某些不同。在本章的學(xué)習(xí)中，讀者可以借助拉氏變換的知識(shí)來理解Z變換的基本概念，同時(shí)也應(yīng)通過兩者之間的不同來領(lǐng)會(huì)Z變換的主要特點(diǎn)。一、離散時(shí)間特征函數(shù)設(shè)一個(gè)離散系統(tǒng)的輸入為x[n]=zn就是h[n]的z變換。10.1z變換定義二、離散時(shí)間信號(hào)的z變換離散時(shí)間信號(hào)的z變換定義為：記作：為了理解z變換和離散傅立葉變換之間的關(guān)系z(mì)=rejw則：因此，Re(z)Im(z)1wz-planer三、z變換的幾何解釋和收斂域Z變換和DT信號(hào)傅立葉變換之間關(guān)系的討論和對(duì)CT信號(hào)的討論幾乎并行進(jìn)行的，但是一些重要的不同。在z變換中當(dāng)變量z的模為1，即z=ejω時(shí)，z變換退化成DTFT。傅立葉變換就是在復(fù)數(shù)z平面中，半徑為1的圓上的z變換。如果ROC內(nèi)包括單位圓，則傅立葉變換收斂！收斂問題為了使z變換收斂，等同于要求x[n]r-n的傅立葉變換收斂?？偟膩碚f，對(duì)某一序列x[n]的z變換，存在著某一個(gè)z值的范圍，在該范圍內(nèi)的z，X(z)收斂。由這些使X(z)收斂的z值所組成的范圍，就是收斂域(ROC)。例指數(shù)函數(shù)的z變換考慮信號(hào)x[n]=anu[n]其z變換為：X(z)要收斂，要求：收斂域?yàn)椋寒?dāng)

a=1Z變換的結(jié)果X(z)=z/(z-a)是一有理函數(shù)，因此，可用它的零點(diǎn)和極點(diǎn)來表示。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例考慮閘信號(hào)x[n]材=拐-anu[-n-1飲]什么血情況侍下，靜上式壟收斂妥呢？當(dāng)|a-1z|<凝1，即|z|<禾|a|時(shí)，鄙收斂攝。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例兩個(gè)提實(shí)指蕩數(shù)信趙號(hào)之替和收斂縱域?yàn)閨z|>叼1/張2。10卡.2棋z變換孤的收宣斂域性質(zhì)1：X(場(chǎng)z)的RO寫C是在z平面遣內(nèi)以餡圓點(diǎn)既為中振心的娛圓環(huán)片。Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)性質(zhì)2：RO丘C內(nèi)不包括塘任何驅(qū)極點(diǎn)麥。在極點(diǎn)品處，X(韻z)為無窮疼大。Re(z)Im(z)×性質(zhì)3：如險(xiǎn)果x[夫n]是有限兄長(zhǎng)序溝列，暖那么RO嘗C就是訂整個(gè)z平面纏，可緊能去違除z=努0和/或z=政∞。例：吩分別湯求以叉下信劉號(hào)的z變換解：整個(gè)z平面性質(zhì)4：如廈果x[牧n]是一個(gè)合右邊早序列查，并級(jí)且|z基|=員r0的圓位于RO房誠C內(nèi)，福那么|z屬|(zhì)>r0的全葬部有累限z值都一定次在這胖個(gè)RO慣C內(nèi)。nRe(z)Im(z)N1………性質(zhì)5：如宋果x[川n]是一個(gè)馳左邊瀉序列小，并托且|z部|=禿r0的圓位于RO勝C內(nèi)，錯(cuò)那么0<黑|z窩|<r0的全綿部有飯限z值都一定通在這撐個(gè)RO兇C內(nèi)。N1n……石…Re(z)Im(z)性質(zhì)6：如踩果x[膽n]是雙邊溝序列芽，并興且|z肝|=乘r0的圓位于RO羞C內(nèi)，將那么碗該RO雪C一定監(jiān)是由翻包括|z震|=r0的圓環(huán)最所組刮成。n………………Re(z)Im(z)性質(zhì)7：如匠果x[泳n]的z變換X(疤z)是有位理的胖，那愿么它貓的RO克C就被極點(diǎn)辟所界瀉定，類或者尤延伸桃至無撫限遠(yuǎn)勿。性質(zhì)8：如喘果x[著n]的z變換X(題z)是有疾理的譽(yù)，而諸且若丙是右諒邊序秤列，康那么師，RO廊C就位于z平面獄內(nèi)最濟(jì)外層攏極點(diǎn)械的外靈邊。性質(zhì)9：如裂果x[養(yǎng)n]的z變換X(袖z)是有些理的豪，而談且若x[勸n]是左邊肚序列扯，那靠么，RO避C就位于z平面凍內(nèi)最券里層持的非劉零極綠點(diǎn)的籠里邊拾。例有一z變換X(漸z)為Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓例：且a>得0，求高出Z變換液，畫耽出零郊極點(diǎn)闊圖，煌同時(shí)甘指出旁其收挺斂域嚷。解：例：求其z變換解：而：當(dāng)b<紅1時(shí)，喉其收揀斂域化為：b>但1時(shí)其嚇收斂鑄域由以補(bǔ)上收千斂域鉤，可望知只母有當(dāng)b>自1時(shí)雙唯邊指煌數(shù)序投列的宴收斂著域才杏有公塞共的代收斂稼域，蹈而當(dāng)b<住1時(shí)其麻收斂嶺域沒診有重栗疊部親分，柄因此揀不存田在z變換勢(shì)。10校.3架z反變朗換由已商知z變換框求得醒一個(gè)炎序列明的幾乘種方籮法。z反變忌換公北式長(zhǎng)除庫法部分延分式帽展開趣法一、z反變勞換公湖式所以而z=rejwRe(z)Im(z)1Unitcircleax積分路徑二、聽部分唱分式羨展開慮法設(shè)X(臭z)的部分濤分式點(diǎn)展開悄式具努有如政下形禽式：1.對(duì)于任一階冒極點(diǎn)奔，健可以鉗展開饞為：其中腰：對(duì)于備含有茶二階諸或二鴉階以常上極致點(diǎn)的z變換綿，其鄰逆變勝換的玩求法多如下為：推廣早到一赤般情慘況：復(fù)若含廢有r重根型，則例有一z變換X(猶z)為解：捆對(duì)X(喇z)進(jìn)行井部分吩分式沉分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓因此,x態(tài)[n獸]為：例有一z變換X(受z)為解：順對(duì)X(這z)進(jìn)行徒部分陸分式雪分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位現(xiàn)圓因此,x獻(xiàn)[n喘]為：例有一z變換X(川z)為解：洞對(duì)X(波z)進(jìn)行若部分舉分式新分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓因此,x兵[n懇]為：三、螺長(zhǎng)除拿法思想腰：如果z變換賠像函閣數(shù)是坑有理恨函數(shù)汽，即拖其分份子分昌母皆凍為z-1或z的多項(xiàng)滴式，券則可未先根境據(jù)其嫩收斂竊域判售斷出襲是右草邊序賊列還悶是左展邊序恒列，哀然后牽采用扎長(zhǎng)除鞭法，顆分別腐展開繞成z的負(fù)掙冪無限狂或正硬冪無班限的鋸冪級(jí)踢數(shù)，級(jí)再按z變換孟的定壩義確蘿定各厚個(gè)序摧列值諷。在一循般情膝況下伍，X(時(shí)z)為有賺理函謊數(shù)，若X(禍z)的收餃斂域錫為|z熊|>訪R1，則x[載n]必然耀為一菌右邊蘿序列群，此診時(shí)N(晴z)和D(昂z)按z的降洞冪次川序進(jìn)緩行排糞列。著若X(讀z)的收天斂域川為|z朝|<捐R2，則x[予n]必然稱為一反左邊亭序列鵲，此旺時(shí)N(寨z)和D(稠z)按z的升桑冪次爛序進(jìn)向行排叛列。彎然后討利用捷長(zhǎng)除豈法，放將X(撇z)展開熄為冪叮級(jí)數(shù)猾，得侍到x[兔n]。例考慮傷一個(gè)z變換X(就z)為利用蓬長(zhǎng)除賭法展?jié)抽_長(zhǎng)除充法的離局限然性：長(zhǎng)除叮法只碰適用炊于有趣理形頃式的z變換交，且永收斂串域限以于某新個(gè)圓鏡周的冬內(nèi)部劇或外護(hù)部，念對(duì)于太收斂得域?yàn)檠接邢拮o(hù)圓環(huán)充的有名理像弦函數(shù)山，其z反變指換為定兩邊羨序列您，就徐無法徹用長(zhǎng)刃處法抗。利用著長(zhǎng)除郵法要汽歸納肆出序回列表蒸達(dá)式信，也焦不是念那么垂容易曉的！10肺.5獨(dú)z變換另性質(zhì)一、肌線性則若但有份時(shí)候替會(huì)擴(kuò)忌大二、周時(shí)移宰性質(zhì)若則重要縫應(yīng)用泉：差悟分方推程的z變換鐵！例由于所以三、z域尺度父變換若則四、杠時(shí)間凍反轉(zhuǎn)若則五、浴時(shí)間漆擴(kuò)展若則六、削共軛若則注：若x[n]為實(shí)函數(shù)，如果X(z)有一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)為復(fù)數(shù)在z=z0處，那么X(z)也一定有一個(gè)復(fù)數(shù)共軛的極點(diǎn)或零點(diǎn)，且對(duì)于X(z)的部分分式展開式中的系數(shù)也互為共軛。七、游卷積伐性質(zhì)若則ROC=R1ROC=R2ROCR1R2八.習(xí)Z域微工分IfRO盒C=榆RRO高C國=RTh辜enx[腦n]散=0問n<期0(格x[拉n]為因掠果序剛列）九.初值談、終趙值定衡理終值復(fù)定理療：初值零定理永：收斂日域包穿括單疏位圓10亮.6常用尖變換饑對(duì)表10溝.210棗.7利用Z變換穴分析丘和表迅征LT餃I系統(tǒng)一、糕因果閱性一個(gè)智具有平有理浪系統(tǒng)冬函數(shù)H(維z)的LT歌I系統(tǒng)鋪要是搏因果泥的,當(dāng)且送僅當(dāng):(a)鍋RO齒C位于壟最外邪層極劇點(diǎn)外文邊某拴一個(gè)灘圓的矮外邊(b爭(zhēng))若H(左z)表示趁成z的多悉項(xiàng)式代之比,其分啄子的俘階次將不能卡大于螞分母粒的階臺(tái)次。二、崗穩(wěn)定搶性一個(gè)LT挖I系統(tǒng)盒當(dāng)且胡僅當(dāng)涼它的汁系統(tǒng)鄉(xiāng)豐函數(shù)H(蛛z)的RO伐C包括喝單位批圓（|z訪|=笨1）時(shí),該系攤統(tǒng)就必是穩(wěn)擺定的祝。一個(gè)李具有畢有理匹系統(tǒng)挪函數(shù)確的因畝果LT應(yīng)I系統(tǒng),當(dāng)且好僅當(dāng)H(女z)的全呈部極海點(diǎn)都乓位于被單位恒圓內(nèi)才時(shí),也即先全部交極點(diǎn)攤其模陡值都莖小于1時(shí),系統(tǒng)迫就是晉穩(wěn)定越的。三.頻率帖響應(yīng)電的幾嫌何確桌定法若系兆統(tǒng)函靈數(shù)的餡收斂文域包景括單跪位圓殲，則住其存億在傅鐘立葉之變換漆，而劉且可葵以直隨接根靠據(jù)系騙統(tǒng)函畢數(shù)：這里鹽設(shè)N=爺M，則可椒以直搶接得鴉出其奶頻率昌響應(yīng)求：其幅鴉頻特頌性：相頻逮特性養(yǎng)為：四、犁由狡線性周常系善數(shù)差谷分方名程表侮征的LT答I系統(tǒng)例：武考慮糖一因剃果的LT梁I系統(tǒng)英，其路輸入x[鍋n]和輸北出y[辟n]滿足松如下趨線性優(yōu)常系占數(shù)差管分方保程：(1靠)求系塵統(tǒng)函母數(shù)H(害z)，畫有零極姿點(diǎn)圖虧、收乞斂域斃，并喝判斷依系統(tǒng)屬的穩(wěn)霧定性廟；(2碑)求系混統(tǒng)的偷單位栽沖激酸響應(yīng)h[疤n](3呈)若有迷一輸孕入信奮號(hào)為間：求響赤應(yīng)y[罰n]解：（1）方圍程兩恒邊同極時(shí)進(jìn)副行z變換豬，則驅(qū)：（2）（3）五、查系統(tǒng)輸特性塵與系咬統(tǒng)函敬數(shù)的超關(guān)系堂舉例例：葵假設(shè)多對(duì)于成一個(gè)LT盾I系統(tǒng)疾給出日下列輩信息移：（1）若宣系統(tǒng)鉛的輸撇入是則其砍輸出軌為：（2）則求出混系統(tǒng)借函數(shù)H(槳z)，并銳說明土系統(tǒng)應(yīng)是否傻是穩(wěn)丘定的素、因假果的謙；10校.8系統(tǒng)鎮(zhèn)函數(shù)巖的代霸數(shù)屬蘋性與賣方框頌圖表液示10悅.8剛.1為L(zhǎng)翅TI系統(tǒng)儉互聯(lián)納的系貧統(tǒng)函槳數(shù)(1封)級(jí)聯(lián)(串聯(lián))(2封)并聯(lián)(3硬)反饋找聯(lián)10強(qiáng).8裂.2由差勺分方梅程和啦有理碑系統(tǒng)汁函數(shù)樸描述因的戴因果LT咸I系統(tǒng)壩的方透框圖扶、信犯流圖道表示對(duì)于磨連續(xù)見系統(tǒng)未，一棒般通銜過加裝法器梳、乘梨法器屋和積后分器笑對(duì)其趙進(jìn)行猛模擬旁。而遍對(duì)于揭離散杜系統(tǒng)刑，一忌般則緩?fù)ㄟ^測(cè)加法籃器、膠乘法移器以沙及單蠢位延偽遲器愈對(duì)其靈進(jìn)行冤模擬紫。例：放已知狼一因少果系犁統(tǒng)的亡一階菜差分冷方程濟(jì)為：求：（1）系鹽統(tǒng)函戀數(shù)H(圈z)，畫向零極巨點(diǎn)圖秤，判趟斷系汗統(tǒng)穩(wěn)膽定性（3）求迅系統(tǒng)涌信流盯圖、油方框唉圖（4）若潔系統(tǒng)鹽的輸校入信眾號(hào)為（2）求過系統(tǒng)健的單恒位沖萬激響綠應(yīng)求響宿應(yīng)y[側(cè)n]解：（1）（2）收斂東域包儲(chǔ)括單鹽位圓花，穩(wěn)酒定(3值)方框蒸圖信號(hào)汽流程態(tài)圖（4）10庸.9單邊Z變換定義:單邊z變換垮與雙笨邊z變換異的差私別在共于，沉求和姐僅在n的非前負(fù)值跑上進(jìn)統(tǒng)行，障而不練管n<擔(dān)0時(shí)，x[賠n]是否猛為0。因鬼此x[同n]的單艦邊