信號與系統(tǒng)z變換教學

第10章z變換掌握Z變換定義及基本性質(zhì)、牢記常用典型信號的Z變換。掌握求解信號Z變換(包括正變換和反變換)的基本方法。掌握運用Z變換分析LTI系統(tǒng)的方法。掌握系統(tǒng)函數(shù)H(z)收斂域與系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的關系：定性分析方法。掌握系統(tǒng)的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模擬框圖、信號流圖、零極點+收斂域圖，以及它們之間的轉(zhuǎn)換。10.0引言前一章我們討論了拉氏變換，并利用系統(tǒng)函數(shù)的零極點分析了連續(xù)時間系統(tǒng)的基本特性。本章將討論Z變換，從變換的基本性質(zhì)和基本作用來看，Z變換和拉氏變換是相似的，而且，討論展開的思路也是和拉氏變換平行的。當然，由于連續(xù)時間信號和離散時間信號之間的基本差異，Z變換和拉氏變換之間必然存在著某些不同。在本章的學習中，讀者可以借助拉氏變換的知識來理解Z變換的基本概念，同時也應通過兩者之間的不同來領會Z變換的主要特點。一、離散時間特征函數(shù)設一個離散系統(tǒng)的輸入為x[n]=zn就是h[n]的z變換。10.1z變換定義二、離散時間信號的z變換離散時間信號的z變換定義為：記作：為了理解z變換和離散傅立葉變換之間的關系z=rejw則：因此，Re(z)Im(z)1wz-planer三、z變換的幾何解釋和收斂域Z變換和DT信號傅立葉變換之間關系的討論和對CT信號的討論幾乎并行進行的，但是一些重要的不同。在z變換中當變量z的模為1，即z=ejω時，z變換退化成DTFT。傅立葉變換就是在復數(shù)z平面中，半徑為1的圓上的z變換。如果ROC內(nèi)包括單位圓，則傅立葉變換收斂！收斂問題為了使z變換收斂，等同于要求x[n]r-n的傅立葉變換收斂。總的來說，對某一序列x[n]的z變換，存在著某一個z值的范圍，在該范圍內(nèi)的z，X(z)收斂。由這些使X(z)收斂的z值所組成的范圍，就是收斂域(ROC)。例指數(shù)函數(shù)的z變換考慮信號x[n]=anu[n]其z變換為：X(z)要收斂，要求：收斂域為：當

a=1Z變換的結(jié)果X(z)=z/(z-a)是一有理函數(shù)，因此，可用它的零點和極點來表示。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例考慮閘信號x[n]材=拐-anu[-n-1飲]什么血情況侍下，靜上式壟收斂妥呢？當|a-1z|<凝1，即|z|<禾|a|時，鄙收斂攝。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例兩個提實指蕩數(shù)信趙號之替和收斂縱域為|z|>叼1/張2。10卡.2棋z變換孤的收宣斂域性質(zhì)1：X(場z)的RO寫C是在z平面遣內(nèi)以餡圓點既為中振心的娛圓環(huán)片。Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)性質(zhì)2：RO丘C內(nèi)不包括塘任何驅(qū)極點麥。在極點品處，X(韻z)為無窮疼大。Re(z)Im(z)×性質(zhì)3：如險果x[夫n]是有限兄長序溝列，暖那么RO嘗C就是訂整個z平面纏，可緊能去違除z=努0和/或z=政∞。例：吩分別湯求以叉下信劉號的z變換解：整個z平面性質(zhì)4：如廈果x[牧n]是一個合右邊早序列查，并級且|z基|=員r0的圓位于RO房誠C內(nèi)，福那么|z屬|(zhì)>r0的全葬部有累限z值都一定次在這胖個RO慣C內(nèi)。nRe(z)Im(z)N1………性質(zhì)5：如宋果x[川n]是一個馳左邊瀉序列小，并托且|z部|=禿r0的圓位于RO勝C內(nèi)，錯那么0<黑|z窩|<r0的全綿部有飯限z值都一定通在這撐個RO兇C內(nèi)。N1n……石…Re(z)Im(z)性質(zhì)6：如踩果x[膽n]是雙邊溝序列芽，并興且|z肝|=乘r0的圓位于RO羞C內(nèi)，將那么碗該RO雪C一定監(jiān)是由翻包括|z震|=r0的圓環(huán)最所組刮成。n………………Re(z)Im(z)性質(zhì)7：如匠果x[泳n]的z變換X(疤z)是有位理的胖，那愿么它貓的RO克C就被極點辟所界瀉定，類或者尤延伸桃至無撫限遠勿。性質(zhì)8：如喘果x[著n]的z變換X(題z)是有疾理的譽，而諸且若丙是右諒邊序秤列，康那么師，RO廊C就位于z平面獄內(nèi)最濟外層攏極點械的外靈邊。性質(zhì)9：如裂果x[養(yǎng)n]的z變換X(袖z)是有些理的豪，而談且若x[勸n]是左邊肚序列扯，那靠么，RO避C就位于z平面凍內(nèi)最券里層持的非劉零極綠點的籠里邊拾。例有一z變換X(漸z)為Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓例：且a>得0，求高出Z變換液，畫耽出零郊極點闊圖，煌同時甘指出旁其收挺斂域嚷。解：例：求其z變換解：而：當b<紅1時，喉其收揀斂域化為：b>但1時其嚇收斂鑄域由以補上收千斂域鉤，可望知只母有當b>自1時雙唯邊指煌數(shù)序投列的宴收斂著域才杏有公塞共的代收斂稼域，蹈而當b<住1時其麻收斂嶺域沒診有重栗疊部親分，柄因此揀不存田在z變換勢。10校.3架z反變朗換由已商知z變換框求得醒一個炎序列明的幾乘種方籮法。z反變忌換公北式長除庫法部分延分式帽展開趣法一、z反變勞換公湖式所以而z=rejwRe(z)Im(z)1Unitcircleax積分路徑二、聽部分唱分式羨展開慮法設X(臭z)的部分濤分式點展開悄式具努有如政下形禽式：1.對于任一階冒極點奔，健可以鉗展開饞為：其中腰：對于備含有茶二階諸或二鴉階以常上極致點的z變換綿，其鄰逆變勝換的玩求法多如下為：推廣早到一赤般情慘況：復若含廢有r重根型，則例有一z變換X(猶z)為解：捆對X(喇z)進行井部分吩分式沉分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓因此,x態(tài)[n獸]為：例有一z變換X(受z)為解：順對X(這z)進行徒部分陸分式雪分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位現(xiàn)圓因此,x獻[n喘]為：例有一z變換X(川z)為解：洞對X(波z)進行若部分舉分式新分解Re(z)Im(z)××單位圓Re(z)Im(z)××單位圓因此,x兵[n懇]為：三、螺長除拿法思想腰：如果z變換賠像函閣數(shù)是坑有理恨函數(shù)汽，即拖其分份子分昌母皆凍為z-1或z的多項滴式，券則可未先根境據(jù)其嫩收斂竊域判售斷出襲是右草邊序賊列還悶是左展邊序恒列，哀然后牽采用扎長除鞭法，顆分別腐展開繞成z的負掙冪無限狂或正硬冪無班限的鋸冪級踢數(shù)，級再按z變換孟的定壩義確蘿定各厚個序摧列值諷。在一循般情膝況下伍，X(時z)為有賺理函謊數(shù)，若X(禍z)的收餃斂域錫為|z熊|>訪R1，則x[載n]必然耀為一菌右邊蘿序列群，此診時N(晴z)和D(昂z)按z的降洞冪次川序進緩行排糞列。著若X(讀z)的收天斂域川為|z朝|<捐R2，則x[予n]必然稱為一反左邊亭序列鵲，此旺時N(寨z)和D(稠z)按z的升桑冪次爛序進向行排叛列。彎然后討利用捷長除豈法，放將X(撇z)展開熄為冪叮級數(shù)猾，得侍到x[兔n]。例考慮傷一個z變換X(就z)為利用蓬長除賭法展?jié)抽_長除充法的離局限然性：長除叮法只碰適用炊于有趣理形頃式的z變換交，且永收斂串域限以于某新個圓鏡周的冬內(nèi)部劇或外護部，念對于太收斂得域為呀有限護圓環(huán)充的有名理像弦函數(shù)山，其z反變指換為定兩邊羨序列您，就徐無法徹用長刃處法抗。利用著長除郵法要汽歸納肆出序回列表蒸達式信，也焦不是念那么垂容易曉的！10肺.5獨z變換另性質(zhì)一、肌線性則若但有份時候替會擴忌大二、周時移宰性質(zhì)若則重要縫應用泉：差悟分方推程的z變換鐵！例由于所以三、z域尺度父變換若則四、杠時間凍反轉(zhuǎn)若則五、浴時間漆擴展若則六、削共軛若則注：若x[n]為實函數(shù)，如果X(z)有一個極點或零點為復數(shù)在z=z0處，那么X(z)也一定有一個復數(shù)共軛的極點或零點，且對于X(z)的部分分式展開式中的系數(shù)也互為共軛。七、游卷積伐性質(zhì)若則ROC=R1ROC=R2ROCR1R2八.習Z域微工分IfRO盒C=榆RRO高C國=RTh辜enx[腦n]散=0問n<期0(格x[拉n]為因掠果序剛列）九.初值談、終趙值定衡理終值復定理療：初值零定理永：收斂日域包穿括單疏位圓10亮.6常用尖變換饑對表10溝.210棗.7利用Z變換穴分析丘和表迅征LT餃I系統(tǒng)一、糕因果閱性一個智具有平有理浪系統(tǒng)冬函數(shù)H(維z)的LT歌I系統(tǒng)鋪要是搏因果泥的,當且送僅當:(a)鍋RO齒C位于壟最外邪層極劇點外文邊某拴一個灘圓的矮外邊(b爭)若H(左z)表示趁成z的多悉項式代之比,其分啄子的俘階次將不能卡大于螞分母粒的階臺次。二、崗穩(wěn)定搶性一個LT挖I系統(tǒng)盒當且胡僅當涼它的汁系統(tǒng)鄉(xiāng)豐函數(shù)H(蛛z)的RO伐C包括喝單位批圓（|z訪|=笨1）時,該系攤統(tǒng)就必是穩(wěn)擺定的祝。一個李具有畢有理匹系統(tǒng)挪函數(shù)確的因畝果LT應I系統(tǒng),當且好僅當H(女z)的全呈部極海點都乓位于被單位恒圓內(nèi)才時,也即先全部交極點攤其模陡值都莖小于1時,系統(tǒng)迫就是晉穩(wěn)定越的。三.頻率帖響應電的幾嫌何確桌定法若系兆統(tǒng)函靈數(shù)的餡收斂文域包景括單跪位圓殲，則住其存億在傅鐘立葉之變換漆，而劉且可葵以直隨接根靠據(jù)系騙統(tǒng)函畢數(shù)：這里鹽設N=爺M，則可椒以直搶接得鴉出其奶頻率昌響應求：其幅鴉頻特頌性：相頻逮特性養(yǎng)為：四、犁由狡線性周常系善數(shù)差谷分方名程表侮征的LT答I系統(tǒng)例：武考慮糖一因剃果的LT梁I系統(tǒng)英，其路輸入x[鍋n]和輸北出y[辟n]滿足松如下趨線性優(yōu)常系占數(shù)差管分方保程：(1靠)求系塵統(tǒng)函母數(shù)H(害z)，畫有零極姿點圖虧、收乞斂域斃，并喝判斷依系統(tǒng)屬的穩(wěn)霧定性廟；(2碑)求系混統(tǒng)的偷單位栽沖激酸響應h[疤n](3呈)若有迷一輸孕入信奮號為間：求響赤應y[罰n]解：（1）方圍程兩恒邊同極時進副行z變換豬，則驅(qū)：（2）（3）五、查系統(tǒng)輸特性塵與系咬統(tǒng)函敬數(shù)的超關系堂舉例例：葵假設多對于成一個LT盾I系統(tǒng)疾給出日下列輩信息移：（1）若宣系統(tǒng)鉛的輸撇入是則其砍輸出軌為：（2）則求出混系統(tǒng)借函數(shù)H(槳z)，并銳說明土系統(tǒng)應是否傻是穩(wěn)丘定的素、因假果的謙；10校.8系統(tǒng)鎮(zhèn)函數(shù)巖的代霸數(shù)屬蘋性與賣方框頌圖表液示10悅.8剛.1為L翅TI系統(tǒng)儉互聯(lián)納的系貧統(tǒng)函槳數(shù)(1封)級聯(lián)(串聯(lián))(2封)并聯(lián)(3硬)反饋找聯(lián)10強.8裂.2由差勺分方梅程和啦有理碑系統(tǒng)汁函數(shù)樸描述因的戴因果LT咸I系統(tǒng)壩的方透框圖扶、信犯流圖道表示對于磨連續(xù)見系統(tǒng)未，一棒般通銜過加裝法器梳、乘梨法器屋和積后分器笑對其趙進行猛模擬旁。而遍對于揭離散杜系統(tǒng)刑，一忌般則緩通過測加法籃器、膠乘法移器以沙及單蠢位延偽遲器愈對其靈進行冤模擬紫。例：放已知狼一因少果系犁統(tǒng)的亡一階菜差分冷方程濟為：求：（1）系鹽統(tǒng)函戀數(shù)H(圈z)，畫向零極巨點圖秤，判趟斷系汗統(tǒng)穩(wěn)膽定性（3）求迅系統(tǒng)涌信流盯圖、油方框唉圖（4）若潔系統(tǒng)鹽的輸校入信眾號為（2）求過系統(tǒng)健的單恒位沖萬激響綠應求響宿應y[側(cè)n]解：（1）（2）收斂東域包儲括單鹽位圓花，穩(wěn)酒定(3值)方框蒸圖信號汽流程態(tài)圖（4）10庸.9單邊Z變換定義:單邊z變換垮與雙笨邊z變換異的差私別在共于，沉求和姐僅在n的非前負值跑上進統(tǒng)行，障而不練管n<擔0時，x[賠n]是否猛為0。因鬼此x[同n]的單艦邊