孫炳達(dá) 《自動(dòng)控制原理》第章 線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

自動(dòng)控制原理第二章線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)微分方程式r(t)c(t)時(shí)域解c(t)求解微分方程式一、傳遞函數(shù)的概念及定義

優(yōu)點(diǎn)：用微分方程描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，直觀(guān)，借助計(jì)算機(jī)可以快速準(zhǔn)確的求出方程的解，即系統(tǒng)輸出量隨時(shí)間的變化規(guī)律。

缺點(diǎn)：如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，就要重新編寫(xiě)并求解微分方程，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)性能的影響。2.3傳遞函數(shù)微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時(shí)域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：

1)對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。

2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏逆變換，即得微分方程的解。2.3傳遞函數(shù)例圖中的RC電路，當(dāng)開(kāi)關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。RC

uruc解：設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。由基爾霍夫電壓定律寫(xiě)出電路微分方程：2.3傳遞函數(shù)電容初始電壓為uc(0)，對(duì)方程兩端取拉氏變換當(dāng)輸入為單位階躍電壓時(shí)，ur(t)=1，Ur(s)=1/s，

得2.3傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行拉氏逆變換，得uc(t)的解為：式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱(chēng)零狀態(tài)響應(yīng)。第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur(t)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱(chēng)零輸入響應(yīng)。2.3傳遞函數(shù)

用拉氏變換求解微分方程的優(yōu)點(diǎn)：1）復(fù)雜的微分方程變換成簡(jiǎn)單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù)3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s代替d/dt,

s2代替d2/dt2得到。2.3傳遞函數(shù)在上例中，若令uc(0)=0，則有于是輸出量與輸入量的拉氏變換式之比為：可見(jiàn)，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無(wú)關(guān)，無(wú)論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱(chēng)之為傳遞函數(shù)，記為G(s)。2.3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀(guān)的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)傳遞函數(shù)的定義：

在零初始條件下，系統(tǒng)（環(huán)節(jié)/元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（環(huán)節(jié)/元件）的傳遞函數(shù)。通常用G(s)或Φ(s)表示。2.診3傳遞暖函數(shù)一般度的，旺設(shè)線(xiàn)他性定沃常系農(nóng)統(tǒng)的信微分奧方程臟式為式中側(cè)，r(t)是輸陜?nèi)肓科琧(t)是輸慨出量達(dá)。在零左初始痰條件宵下，燃對(duì)上慚式兩祝端進(jìn)郊行拉象氏變匹換得(a0sn+a1sn1++an1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm1++am1s+am)R(s)按定油義，矮其傳原遞函品數(shù)為些：2.爐3傳遞悄函數(shù)傳遞類(lèi)函數(shù)執(zhí)的分儲(chǔ)母多綁項(xiàng)式獸即為卻微分送方程謠的特絮征多然項(xiàng)式崇，決定幟系統(tǒng)接的動(dòng)化態(tài)性礙能。從描海述系派統(tǒng)的誦完整刪性來(lái)猾說(shuō)，警它只咱能反褲應(yīng)零葉狀態(tài)歇響應(yīng)年部分麻。在工達(dá)程實(shí)侮際當(dāng)新中，蘋(píng)系統(tǒng)儀在輸蓄入作倉(cāng)用前腫是相伸對(duì)靜奔止的仇，即雅輸出井量及閃其各垮階導(dǎo)幕數(shù)在t衛(wèi)=0的值奧為零陪，滿(mǎn)堤足零握初始蘆條件跨。2.膝3傳遞統(tǒng)函數(shù)傳遞碰函數(shù)蔥的性講質(zhì)傳遞澡函數(shù)鼓是一榴種數(shù)杏學(xué)模畝型，救與系奏統(tǒng)的捆微分艷方程相對(duì)忽應(yīng)。傳遞單函數(shù)經(jīng)是系遠(yuǎn)統(tǒng)本航身的徐一種腫屬性膏，與覆輸入鵝量的猾大小和性槍質(zhì)無(wú)關(guān)。傳遞咽函數(shù)只適金用于規(guī)線(xiàn)性施定常郵系統(tǒng)，因傳為拉稅氏變戲換是奧一種妙線(xiàn)性膏變換猛。傳遞救函數(shù)用描述矛的是一對(duì)確定更的變泛量之括間的傳焰遞關(guān)道系，踐對(duì)中市間變諷量不執(zhí)反應(yīng)宏，即待不能領(lǐng)反應(yīng)字系統(tǒng)錫內(nèi)部提特征撈。2.幼3傳遞稼函數(shù)傳遞助函數(shù)獻(xiàn)是在零初標(biāo)始條召件下定豪義的譽(yù)，因環(huán)而它稅不能結(jié)反映料在非央零初灣始條費(fèi)件下古系統(tǒng)慕的運(yùn)校動(dòng)情鐘況。傳遞刷函數(shù)奮一般線(xiàn)為復(fù)陳變量s的有理疼分式，它盟的分煤母多扎項(xiàng)式宇是系餓統(tǒng)的童特征鵲多項(xiàng)裙式，紹且階虜次總哭是大虎于或滅等于長(zhǎng)分子勇多項(xiàng)主式的展階次含，即nm。并渣且所判有的室系數(shù)蒸均為奶實(shí)數(shù)古。傳遞敞函數(shù)俯與脈沖共響應(yīng)坐一一惡對(duì)應(yīng)，是須拉氏檢變換逮與反缺變換鮮的關(guān)勢(shì)系。2.耀3傳遞秋函數(shù)例求比貧例積綁分控布制器卻的傳褲遞函霸數(shù)。2.雞3傳遞沫函數(shù)二、重傳遞降函數(shù)雞的表虹示形既式1、（森真）有理歇分式形式（nm）2.情3傳遞件函數(shù)2、零極客點(diǎn)形式Kg=bm/an——零極泰點(diǎn)形碼式下體傳遞聯(lián)函數(shù)孤的傳冰遞系刪數(shù)，采又稱(chēng)挎根軌辣跡傳蘭遞系喘數(shù)或遲根軌艇跡增殿益。2.徑3傳遞學(xué)函數(shù)3、時(shí)間陶常數(shù)形式K=b0/a0——時(shí)間推常數(shù)娘形式糟下傳差遞函事數(shù)的脾傳遞劑系數(shù)分，又城稱(chēng)放憤大系朱數(shù)。2.打3傳遞鋤函數(shù)三、作典型廉環(huán)節(jié)遣及其胳傳遞拔函數(shù)一個(gè)花物理史系統(tǒng)犯是由貫許多班元件腔組合皺而成北的，析雖然償元件威的結(jié)騎構(gòu)和猾作用籌原理春多種缸多樣賢，但鉆若考虛察其騰數(shù)學(xué)及模型才，卻拆可以淹劃分職成為蠟數(shù)不座多的湯幾種基本按類(lèi)型，稱(chēng)李之為毀典型鄰環(huán)節(jié)行。這救些環(huán)服節(jié)是拾：比例碎環(huán)節(jié)挺；慣性放環(huán)節(jié)飄；積分倦環(huán)節(jié)攀；振蕩唯環(huán)節(jié)誰(shuí)；微分吳環(huán)節(jié)著；滯后求環(huán)節(jié)先。2.牧3傳遞猴函數(shù)任一貴復(fù)雜鼓的傳驕遞函夕數(shù)G(蜜s)，都洽可表牌示為戶(hù)：比例棉環(huán)節(jié)一階妻微分歡環(huán)節(jié)二階崗微分桂環(huán)節(jié)積分李環(huán)節(jié)慣性件環(huán)節(jié)振蕩要環(huán)節(jié)2.墾3傳遞錘函數(shù)1、比拾例環(huán)細(xì)節(jié)（放懼大環(huán)脹節(jié)/無(wú)慣臨性環(huán)齡節(jié)）特點(diǎn)絲式：輸韻入量羨與輸近出量中的關(guān)債系為獸一種浴固定我的比鵝例關(guān)睡系。運(yùn)動(dòng)師方程振式c(t)扔=Kr(t)傳遞丙函數(shù)G(s)逢=K單位趙階躍嫌響應(yīng)C(s)忙=G(s)R(s)聾=K/幣sc(t)諷=K1(t)可見(jiàn)書(shū)，當(dāng)證輸入校量r(t)=桃1(t)時(shí)，析輸出漏量c(t)成比苦例變盯化。常見(jiàn)痛的比沒(méi)例環(huán)妖節(jié)：恐杠桿刃，齒莊輪系漫，電腥位器艦，變戀壓器積等。c(t)r(t)c(t)/r(t)2.膨3傳遞炎函數(shù)2、慣宇性環(huán)隔節(jié)特點(diǎn)坦：只販包含百一個(gè)忙儲(chǔ)能透元件清，使怪其輸匹出量父不能畝立即殲跟隨羞輸入暑量的湖變化前，存翻在時(shí)孔間上促的延慰遲。微分賴(lài)方程端式：傳遞仁函數(shù):式中資，T是慣豈性環(huán)戀節(jié)時(shí)羊間常川數(shù)。單位剃階躍亭響應(yīng):2.瓦3傳遞璃函數(shù)0tc(t)0.950.9821.0T2T3T4T階躍弓響應(yīng)給曲線(xiàn)直是按粗指數(shù)上升旺的曲書(shū)線(xiàn)。常見(jiàn)側(cè)的慣熟性環(huán)治節(jié)：RC濾波楚電路總、直界流電輸機(jī)的兵勵(lì)磁贊回路舉等。2.構(gòu)3傳遞錘函數(shù)例運(yùn)算浸放大爹器構(gòu)針成的脹慣性丟環(huán)節(jié)共。2.噸3傳遞板函數(shù)3、積班分環(huán)宋節(jié)特點(diǎn)班：輸備出量漁隨時(shí)偉間成魚(yú)正比庸地?zé)o色限增訴加。微分慶方程俘式：傳遞竿函數(shù):單位鈴階躍挑響應(yīng):2.旱3傳遞途函數(shù)r(t)t01c(t)t01T當(dāng)輸灑入階徑躍函淹數(shù)時(shí)凈，該豪環(huán)節(jié)塊的輸趨出隨牙時(shí)間醉直線(xiàn)摩增長(zhǎng)虎。當(dāng)輸齡入突肺然除裁去，夾積分遲停止扔，輸車(chē)出維娛持不柜變，刺故有溫記憶向功能司。常見(jiàn)公的積咱分環(huán)蝦節(jié)：電容警、積基分運(yùn)冷算放戰(zhàn)大器斯等。2.傳3傳遞芬函數(shù)4、振澇蕩環(huán)而節(jié)特點(diǎn)碧：振娛蕩的鳥(niǎo)程度趣與阻車(chē)尼系躲數(shù)有跡關(guān)。微分恢方程躲式：傳遞兇函數(shù):或式中癥，T>鉛0，0六<ξ<1，n=懇1/T，T稱(chēng)為跡振蕩眉環(huán)節(jié)室的時(shí)半間常損數(shù)，ξ為阻鈴尼系晝數(shù)，n為自濤然振暢蕩頻男率。2.科3傳遞拔函數(shù)單位蛾階躍彩響應(yīng):c(t)t01振蕩曠環(huán)節(jié)貌的單列位響沉應(yīng)是巧有阻仁尼的違正弦詳曲線(xiàn)裹。振蕩廁程度招與阻趁尼比執(zhí)有關(guān)，阻真尼比夏越小宴，則侄振蕩遷越強(qiáng)偵；阻某尼比臂為零脫時(shí)，嶺出現(xiàn)醉等幅棉振蕩提；阻佛尼比赴越大兼，則磁震蕩努衰減師越快辭。2.悲3傳遞翁函數(shù)常見(jiàn)社的振光蕩環(huán)筍節(jié)：彈簧脾阻尼現(xiàn)系統(tǒng)茅：機(jī)械示旋轉(zhuǎn)肅系統(tǒng)也：RL鑼C電路箱：2.暈3傳遞議函數(shù)5、微柿分環(huán)鏈節(jié)特點(diǎn)憐：是典積分池環(huán)節(jié)喊的逆識(shí)運(yùn)算纏，其作輸出嚷量反付映了緩輸入煌信號(hào)竟的變升化趁蚊勢(shì)。微分分方程偽式：傳遞志函數(shù):單位永階躍狡響應(yīng):G(s)=Tsc(t)之=T(t)2.漂3傳遞新函數(shù)r(t)t0c(t)t0T由于承階躍醉信號(hào)償在時(shí)付刻t=0有一登躍變碗，其死他時(shí)寨刻均澤不變密化，蹄所以準(zhǔn)微分賭環(huán)節(jié)統(tǒng)對(duì)階樹(shù)躍輸震入的現(xiàn)響應(yīng)只在t=0時(shí)刻扛產(chǎn)生監(jiān)一個(gè)錢(qián)響應(yīng)安脈沖貞。理想層的微凳分環(huán)稅節(jié)在額物理樂(lè)系統(tǒng)敘中很邪少獨(dú)羽立存丹在，拐常見(jiàn)輝的為酸帶有襯慣性駱環(huán)節(jié)勸的微寺分特酸性，機(jī)傳遞掌函數(shù)撐為：常見(jiàn)來(lái)物理鄰系統(tǒng)魂：RC電路微分凳環(huán)節(jié)蟲(chóng)和慣照性環(huán)暫節(jié)的醋串聯(lián)糾組合悔。2.癥3傳遞降函數(shù)實(shí)際各上是坐一個(gè)蒙比例環(huán)環(huán)節(jié)搭和微勿分環(huán)喂節(jié)的承并聯(lián)姓組合吼。2.索3傳遞裹函數(shù)2.賽3傳遞村函數(shù)6