高考數(shù)學(xué)指、對(duì)、冪形數(shù)的大小比較問(wèn)題（精講精練）（解析版）

專題14指、對(duì)、幕形數(shù)的大小比較問(wèn)題

【命題規(guī)律】

指、對(duì)、幕形數(shù)的大小比較問(wèn)題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，命題形式主要以

選擇題為主.每年高考題都會(huì)出現(xiàn)，難度逐年上升.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：直接利用單調(diào)性

核心考點(diǎn)二：引入媒介值

核心考點(diǎn)三：含變量問(wèn)題

核心考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù)

核心考點(diǎn)五：數(shù)形結(jié)合

核心考點(diǎn)六：特殊值法、估算法

核心考點(diǎn)七：放縮法

核心考點(diǎn)八：不定方程

【真題回歸】

1.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知“=20',匕=,c=log21,貝!!（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【解析】因?yàn)?1VH>0=log,1>log,，故a>b>c.

故答案為：C.

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知9"'=10,。=104—111=8"-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.h>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9”=10可得加=1%10=^>1，而Ig91gll<，g9；gll）=（等）<i=（］gio）2,所以器,

即加所以0±10"'-11>10電=

又愴8愴10<（愴8；愴10）=（等）<a9）2,所以皆>翳，即

所以方=&"-9<8嗨9一9=0.綜上,a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

由9=10,可得加=log910e(l,1.5).

根據(jù)a力的形式構(gòu)造函數(shù)/(幻=/7-?>1),則小)=廿=1,

令廣(x)=0,解得％=機(jī)乙，由機(jī)=log910e(l,1.5)知x(>e(0,l).

/(x)在(1,物)上單調(diào)遞增，所以/。0)>〃8),即a>h,

又因?yàn)椤?)=9蚓°-10=0,所以a〉0〉人.

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通

法；

法二：利用“力的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該

題的最優(yōu)解.

3.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。=0.心"/=，c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】方法一：構(gòu)造法

設(shè)f(x)=ln(l+x)-x(x>T),因?yàn)閒(x)="--1=--^,

當(dāng)xe(T,O)時(shí),f\x)>0,當(dāng)*e(0,田)時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,E)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(1)<〃°)=0,所以故<>lnt=-ln0.9,即)〉c,

99999

1Q1Q--1-L1

所以/(一77)</(0)=0,所以始3+谷<0,故2<葭。，所以，加<上，

10101010109

故a<b,

設(shè)8。)=*6、+111(1-》)(0<*<1),則gf(x)=(x+l)er+^-j-=—~I)：+1,

令〃(x)=e*，-1)+1,h\x)=e'(x2+2%-1),

當(dāng)0<x(忘一1時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)九(x)=e*(1-l)+l單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí)，/Ax)>0,函數(shù)人(x)=e*，_l)+l單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0cx<血-1時(shí)，人3<0,

所以當(dāng)O<x<&-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe'+ln(lr)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°,>—In0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

a=O.le01,)=7^7，c=-In(l-0.1),

1—0.1

①In￡7—InZ?=0.1+ln(l—0.1),

令/(x)=x4-ln(l-x),xe(0,0.H,

1—V

則r(x)=i---=-—<o,

i-x1-x

故fM在(0,0.1］上單調(diào)遞減，

可得f(01)vf(0)=09即Ina—lnfe<0,所以a<h；

②=+ln(l-0.1),

令gM=xex+ln(l-X),XG(0,0.1］,

貝IJg\x)=xex+ex--!_=(l+x)(l_x)e'T,

v71-x1-x

令A(yù)(x)=(l+x)(l-x)e、-l,所以A：Xx)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得依》>左(0)>0,即g<X)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以QC

故c<a<b.

4.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)“=噫036=%0.440.4。3,則。，江。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】log,0.3<log,1=0,.-1a<0,

log10.4=-log,0.4=log,|>log22=1,：.b>\,

22

0<0.403<0.4°=l,.-.0<C<1,

:.a<c<b.

故選：D.

3111

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知a=—,b=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

故f=4tan，>l,故：>1,所以c>6；

b4b

設(shè)/(x)=COSX+—X2-1,XG(0,+oo),

y/(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

故加］>，(0)=0,所以cos］W>0,

432

所以〃>“，所以故選4

［方法二］：不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)xw(0,］>sinx<x,

取x得：cos—=1-2sin2->1-2f-^=衛(wèi)，故%>以

848⑻32

4sin；+cos；=VT7sin［；+°］,其中,且sine=cos夕

、”，?11Ei171,,711

］4sin-+cos-=，17時(shí),—+=—>及0=萬(wàn)—~

…?1411

此時(shí)sin—=cos(p=—j=,cos—=sin夕=—j=

4V174VI7

山114?1(?1山

故cosNn癰vgnsmiV4smz，故人

所以所以故選A

［方法三］：泰勒展開(kāi)

Uexi31I0.252,1I0.2520.254

設(shè)x=0.25,則mi。=一=1---------,/7=cos-?l----------+--------,

322424!

.］_

1Sin八r>c2八

c=4sin：=-y^*l—箸+等，計(jì)算得c>8>a,故選A.

4

［方法四卜構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)椤?4tanL因?yàn)楫?dāng)孚,sinxcxctanx,所以tan，>L即：>1,所以c>〃；設(shè)

b4k2J448

/(X)=COSX+^-X2-1,XG(0,+OO),/'(x)=-sinx+x>0,所以在(0,+8)單調(diào)遞增，則>，(0)=0,

131

所以COS-------->0,所以人所以

432

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椤?4tan」，因?yàn)楫?dāng)x/o《］,sinx<x<tanx,所以tan，>L即￡>1,所以c>6：因?yàn)楫?dāng)

b4V2J44b

xe|0,^|,sinx<x,取x得cos2=l-2sin2，>l-2(，］=—.故〃>“，所以c>b>a.

I848⑻32

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見(jiàn)思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0^),sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定mb,c的大小.

(2)指、對(duì)、基大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如〃和利用指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如普和只利用基函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log“X1和log“、2利用指數(shù)函數(shù)log“x單調(diào)性比較大??；

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行

大小關(guān)系的判定.

(3)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：直接利用單調(diào)性

【典型例題】

例1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知三個(gè)函數(shù)，(x)=2*T+x-l,g(x)=ei-l,〃(x)=log2(x-l)+x-l的零點(diǎn)

依次為。也c,則瓦c的大小關(guān)系()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】???函數(shù)f(x)=2i+%_i為增函數(shù)，又/(0)=2T-l=-g<0J(l)=l>0,

6Z€(0,1),

由g(x)=e'T=0,得％=1,即人=1,

?.,/?(元)=1。82(%-1)+工一1在(1,+8)單調(diào)遞增，

3331

又以5）=log2（5-1）+5-1=-5<0,〃（2）=1082（2-1）+2-1=1>0,

*.c>b>a.

故選：D.

例2.（2022春?遼寧大連?高三校聯(lián)考期中）已知2>4>1,a=nn,b=nm,c=m",則”，b,c的大小關(guān)

mn

系正確的為（）

A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

【答案】B

【解析】由題意故0<帆<〃<1,

mn

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=1單調(diào)遞減，故匕>〃，

由幕函數(shù)的單調(diào)性，^=￡在（0,+<?）單調(diào)遞增，故

綜匕b>a>c.

故選：B

例3.（2022春?貴州黔東南?高二凱里一中階段練習(xí)）設(shè)[J=log?a,2，=log/,（；）=5,則〃、b、c

的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.h<c<a

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=log2X-\J,因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)1唯x、y=-（￡],在（o,+8）匕均為增函數(shù)，

1Q

所以，函數(shù)“X）為（0,y）上的增函數(shù)，且/⑴=-；<0,/（2）=^>0,

因?yàn)?（a）=0,由零點(diǎn)存在定理可知1<。<2；

構(gòu)造函數(shù)g（x）=21og；x,因?yàn)楹瘮?shù)y=2*、y=T°g：在（0,+8）上均為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g（x）為（0,+向上的增函數(shù)，且=2<0,且冉=2、1>0,

因?yàn)間（b）=0,由零點(diǎn)存在定理可知[<h<；.

因?yàn)樘?=5,則c=log[5<k）g/=0,因此，cvbva.

⑷44

故選：B.

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知加=4,/=9，（）.9。=0.8,則正數(shù)用，”，。的大小關(guān)系為（）

A.p>m>nBem>n>pC.m>p>nf）,p>n>tn

【答案】A

I2|1

【解析】由加’=4,得加=4*=2^<,由〃*=9,得〃=9,=3;，

I（觸°）癡z8x-/、_1

因此，入您JJ21>=25620>1）即&>〃>“，

?3；匕列⑺1243；

由0.9。=0.8,f#P=log090.8>log（）90.81=2,于是得P>〃?>〃，

所以正數(shù)機(jī)，”，。的大小關(guān)系為。>加>”.

故選：A

核心考點(diǎn)二：引入媒介值

【典型例題】

例5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知10"=兀,5"=3,1%c=-g,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<h<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】由10"=",5"=3,唾3。=-；可得，a=lgTT,b=log,3,c=34,

由于a=lgJt<lgVi0=l/>=log53>logsV5=1,而

A/3\2J22

13~33~

。=耳<1,53<35,所以〃=k)g53>k)g555=g,所以avcvZ?.

故選：D.

例6.(2023?全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)"log??力=log45,c=2°,則a,。，c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

In3

a_log3_ii^2_In321n221n3In9?,

【解析】依題意,2------=——>],:.a>b

blog45In5In2In5In5In5

In4

4,J

/?=log45>log44=l,c=2<2°=l,

所以a>/?>1>c

故選：A

例7.（2023?全國(guó),高三專題練習(xí)）已知67=sin4,/?=In4,c=4.4,則〃，b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】a=sin4=-sin（4-^）<0,

Z?=ln4>lne=l?

--二1

0<c=44=22=-^<1,

V2

所以avcvZ?.

故選：C.

例8.(2022?云南昆明?昆明一中模擬預(yù)測(cè))已知力=皿2,c=\Qg32f則a,力,C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【答案】B

【解析】a=e3>e°=pfe=ln2<lne=l,c=log32<log33=1

a最大,

fe-c=ln2-log2=^-^--^-^=Ig2-11

3>0,..b>c,

Igelg3Igelg3j

a>b>c,

故選：B

例9.（2023?廣西南寧?南寧二中?？家荒＃┮阎?隔投5，。=05°2,。=嚏10.4,則。，兒。的大小關(guān)系為

2

（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】因?yàn)閍=log020.5=log02J0.25<log02V02=g,

而b=O.50-3=j>g,且0-5°2<1-

所以a<6.

又c=log,0.4=log2->log22>1,

22

所以vc,

故選：A.

例10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）三個(gè)數(shù)Q=0.42,Z?=log20.3,c=206之間的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】：0<0.42<0.4°=l,...OCaCl,

Vlog20.3<log21=0,：.b<0,

V2°-6>2°=1,：.C>\,

:.b<a〈c,

故選：C.

核心考點(diǎn)三：含變量問(wèn)題

【典型例題】

例11.(2022?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)x，%z滿足y=e\JiW成等比數(shù)列，則蒼丫/的大小關(guān)系為()

A.x>y>zB.y>x>z

C.x>z>yD.z>y>x

【答案】D

【解析】令/(x)=y-x=e*-x,x>0,則/'(x)=e*—l,

當(dāng)x>0時(shí)，_f(x)=e*—1>0,/(x)單調(diào)遞增，所以〃x)=e'-x>e°=l,所以e*>x，故V”,

因?yàn)檎龜?shù)x，》z成等比數(shù)列，所以丁=苫2即62，=應(yīng)，故2=已，

X

2xer

所以一z=工e=—>1,故z>y,

yxex

綜上所述，z>y>x,

故選：D

例12.(2022春?湖南岳陽(yáng)?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知正數(shù)〃力,c,滿足alM=b-eC=c-a,則氏瓦c的大小關(guān)系

為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析】4力,C均為正數(shù)，

因?yàn)閍ln/j=c-a,所以c=lnb,T§：ainb=b-e'-c-a-t(t>0),

貝iJa=T=,b=4=；,c=lnZ>,

In/?eb

令〃x)=Inx-x(x>0),則r(x)=;-l=±W,當(dāng)0<x<l時(shí)用x)>。，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>l時(shí)r(x)<0,

f(x)單調(diào)遞減，所以⑴=一1<0,

B|Jlnx<x,所以可得a>力，

又c=lnb得cvb,綜上，c<b<a.

故選：D.

例13.（2022春.湖北.高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知。，4c均為不等于|的正實(shí)數(shù)，且lnc=al也lna=blnc,則

a，b，c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】\nc=a\nb,\na=b\nc,b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，

則Inc與In力同號(hào)，Inc與Ina同號(hào)，從而Ina、Inb、Inc同號(hào).

①若。、b、c40,l）,則Ina、Inb、Inc均為負(fù)數(shù),

\na=b\nc>\nc,可得〃>c,\nc=a\nb>\nb,可得c>b,ittH'J-a>c>b；

②若a、b>ce（l,-l-oo）,則In。、Inb、Inc均為正數(shù)，

\na=h\nc>\ncf可得。>c,\nc=a\nh>\nh,可得此時(shí)。>c>Z?.

綜上所述，a>c>b.

故選：D.

例14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足當(dāng)=半=-見(jiàn)￡<0,則“，b,c的大小關(guān)系為

ebc

（）

A.b<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】由題意知a>（）,〃>（），c>0，由絲=華=—?jiǎng)t<0,得0<a<l,0<》<l,c>l,

ebc

設(shè)f（x）=皿（X>0）,則尸（X）=上墳,

XX

當(dāng)Ovxvl時(shí)，f（x）>0J（x）單調(diào)遞增，因e'Nx+l,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，故/

In。Ina..\nbIntz

又Ina<0,所以>---故丁〉——

aba

*?*f(b)>f(d),則b>a,即有Ovavbvlvc,故acbvc.

故選:C.

例15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知彳€住,小且”竺衛(wèi)1,〃=能善，。=嗎），則a，b,c

（42）g2smx0tosrgsl,1A

的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】c

【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=±?(x>0),則a==/(2sin%),b==f(cosx),

ee~e

sinx+1

=’(sinx).

esinx

，/、e*-（x+l）e*x

因?yàn)閒（x）=—七六=-#<。在（O,+e）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0,+s）上單調(diào)遞減.

（e）e

又因?yàn)闊o(wú)€（彳,^）,所以2sin2x-sinx=sinx（2sinx-l）>0,且sinx>cosx,故a<c<b.

故選：C.

例16.（2023?四川綿陽(yáng)?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？家荒＃┮阎獂e（e」,l）,記4=山為=（3）,c=e%則。也c

的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因?yàn)閤?eT,l),

所以a=lore(-l,()),/?=(；)e(l,2),c=ellwe^-,1j1

所以avcv〃，

故選：A

核心考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù)

【典型例題】

3

例17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知"e003-l,&=—,c=lnl.03,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】記〃x)=e'_I,(x").

因?yàn)?所以當(dāng)x>0時(shí)，，所以在（0,上單調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí)，〃力>/（0）=0,即d-l>x,

所以e003—i>0.03.

記g(x)=ln(l+x)-x,(x20).

因?yàn)?，所以g（x）在（。,物）上單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，g（x）<g（O）=O,即ln（l+x）<x,所以

In1.03<0.03.

所以”>c.

Y-

記=ln（l+x）-^---,（x>0）.

因?yàn)?，所以?dāng)x>0時(shí)，，所以〃（x）在（0,內(nèi)）上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，秋力〉〃（0）=0,即

0.033

ln(l+x)>—,所以lnl.03>

1+x1+0.03103

所以c>。.

綜上所述：a>c>b.

故選：B

例18.（四川省眉山市2023屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)a=1.02"=e0025,c,=0.9+2sin0.06

則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】令/(x)=e-x,貝i」r(x)=e，—l,

當(dāng)x>0,r(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xvo,r(x)<0,此時(shí)“X)單調(diào)遞減，

所以/(x)>/(o)=e°-o=l,

2

所以/(0.02)=e°m-0.02>1,即e°?>1.02,

所以〃=e°g>e°m>1.02=〃；

又設(shè)g(x)=sinx-x,g，(x)=cosx-1V0恒成立，

,當(dāng)x>0,g(x)單調(diào)遞減，g(x)=sinx-x<g(0)=0

當(dāng)x>0時(shí)，有sinx<x,則sin0.06<0.06,

所以c=O.9+2sinO.O6<O.9+2xO.O6=LO2=a,

綜上可得c<a<b,

故選：D.

例19.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)。=0.1,b=sinO.1,c=l.llnl.l,則a,缶c的大小關(guān)系正

確的是()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【答案】B

【解析】令函數(shù)/(x)=sinx-x,xe[0,1),當(dāng)0<x<g時(shí)，J"(x)=cosx-1<0,即/(x)在(0,J)上遞減

則當(dāng)0<%<5時(shí)，/(x)</(0),即sinxvx,因此sin0.1v0.1,即Z?va；

令函數(shù)g(x)=(l+x)ln(l+x)-x,0<x<l,當(dāng)Ovxvl時(shí)，^(x)=ln(l+x)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)Ovxvl時(shí)，g(x)>g(O)=O,HP(l+x)ln(l+x)>x,因此0.1vl.llnl.l,即。<c,

所以a,Ec的大小關(guān)系正確的是沙<q<c.

故選：B

例20.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)"，b=ln(l+sin0.02),c=21n|^,則a,b,c的大小關(guān)系正確

的是()

A.a<h<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】設(shè)/3=$1門7心(05，pllj.r(x)=cosx-l<0,

所以/(x)在xe(0,?卜一遞減，所以〃力</(0)=0,即sinxvx,

設(shè)g(x)=lnx-x+l,xe(0,l),則g，(x)=』-l>0,g(x)遞增，

則g(x)<g(l)=0,即lnx<x-l,

所以6=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a,

令/z(x)=e*-(1+xJ,則/(x)=e'-2(l+x),/?"(*)=e*-2,

當(dāng)x<ln2時(shí),/f(x)<0,則/(x)遞減，又〃(ln2)=-21n2<0,1(0)=-l<0,

所以當(dāng)x?0,ln2)時(shí)，g)<0,%(x)遞減,

則〃(x)</?(0)=0,即e*<(l+x)2,

因?yàn)?.02e(0,ln2),則Z((0.02)<0,

所以呼<]022-e"碟，即。=!〈C=21nf^，

e<1U2-e5050

故b<a<c,

故選：D

例21.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)a=1,6=21n1in￡+cosW}c=gln：,則。力,c的大小關(guān)系是

【答案】b<a<c

【解析】由已知可得/>=21n/sin-!-+cos-!-]=ln/sin-5-+cos-5-1=ln(l+sin—).

(10I0JI1010J5

設(shè)/(x)=x-sinx,xe(0,l),則r(x)=]-cosx>0,

所以/(x)=x-sinx在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以{5>/(0)=0,即(>sing,所以b=ln(l+sinq<ln[l+g),

，1Y

設(shè)g(x)=x-ln(x+l),xe(O,l),則g'(x)=l-----=---->0,

x+1x+l

所以g(x)=x-ln(x+l)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以gg)>g(0)=0，即(>ln(l+!)>ln[l+sin￡|,所以a>b,

設(shè)力(x)=x-91n(x+l),xe(O,l),plljh\x)=1------=~—,

55x+5x+1

當(dāng)時(shí)，h\x)<0,當(dāng)時(shí)，hf(x)>0,

所以力(x)=7ln(x+l)在(0,；)上單調(diào)遞減，在gl)上單調(diào)遞增，

所以/?(小〃(0)=0,即所以"C,

所以力vavc

故答案為：b<a<c.

例22.(2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)"=21n(sin++cos擊｝,4偌，

則a,h,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

/、29

【解析】因?yàn)閍=lne否=1西8'，川巾11擊+cos擊j'c=ln]|^j，

所以只要比較x=e"m,y=(sin」一+cos」一)=1+sin—=1+sin0.02,z=f—Y=(1+0.02)'’的大小即可,

I100looj50l50j

/(x)=ex-(1+sinx)(x>0),則/''(x)=e*-cosx>0,所以f(x)在(0,+a>)上遞增,

所以〃x)>/(0),所以e*>l+sinx,

所以e002>l+sin0.02,即

令g(x)=(1+x)1-2-ev,則g'(x)=1.2(1+x)°-2-e',g"(x)=0.24(1+x)q-e、

因?yàn)間*(x)在(0.+a))上為減函數(shù)，且g"(0)=0.24-l<0,

所以當(dāng)x>0時(shí)、g"(x)<0,

所以g'(X)在(0.+8)上為減函數(shù)，

因?yàn)閊(0)=1.2-1>0,g，(0.2)=1.2xl.2a2-eM=1.2L2-e0-2,

要比較1普2與要的大小,只要比較In1.2'2=1.2In1.2與Ine02=0.2的大小，

令h(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),則hr(x)=ln(l+x)+1—1=ln(l+x)>0,

所以人（X）在上遞增，所以〃（尤）>/?（（））=（）,

所以當(dāng)xe（0,+oo）時(shí)，（l+x）ln（l+x）>x,所以1.21nl.2>0.2,

所以1.212>e02,所以g'(0.2)=1.2xl.2°-2-e0-2=1.21-2-e0-2>0,

所以當(dāng)xe(0,02)時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.2)上遞增，

所以g(x)>g(0)=0,所以(l+x)>2>e",

所以(1+0.02)12>e°m,所以z>x,所以z>x>y,

所以c>a>b,

故選：D

例23.(2022春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))已知a=ln?8=2/-2,c=2tan[^1-l),則

的大小關(guān)系是()

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】設(shè)/(x)=lnx—(x-1),則尸(幻=4一1,當(dāng)0<x<l時(shí)，f'(x)>0,

X

當(dāng)1<J時(shí),所以函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,加)單調(diào)遞減,

所以x=l時(shí)，/(xj/⑴=0,所以/(x)<0,BPlnx<x-l,

所以a=lng=21n也<2g-1=b,

因出:C〉b>4,

故選：A.

2I5

例24.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)a=b=—（4-In2）,c=—，則"c的大小關(guān)系是（）

333

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

日

2i—e"?E「x

【解析】①先比較設(shè)函數(shù)/。)=二，

J三3x

2

則/（幻=出3<0,得函數(shù),"）在（0,2）單調(diào)遞減，/〃）=注0>0得函數(shù)〃x）在（2,”）單調(diào)遞增所

以/(百)</(J])即C<〃；

2

②再比較"C：由①知/min(x)=/(2)=^-</(V3)=c，

4

25/21(2+ln^)-(lnx+2)-(lnx+1)

3211/iU)=---------h(x)=——z——

J-xx

V2

當(dāng)0<xvL/i'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>LA(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

ee

所以/?=%g<%x(])=/)=；e,而：e<】.e==</(G)=c，

V2e3344

所以〃vc,

故選：A

核心考點(diǎn)五：數(shù)形結(jié)合

【典型例題】

例25.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2、+x,^(x)=log2x+x,/z(x)=2sinx+x的零點(diǎn)分別為

a,b,c則〃，b,c,的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由/i(x)=2sinx+x=0得x=0,，c=0,

由/(x)=0得2*=-x,由g(x)=0得log2X=-x.

在同?平面直角坐標(biāo)系中畫出y=2*、y=log2x,y=-x的圖象,

由圖象知a<0,b>0,:.a<c<b.

a

例26.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))己知正實(shí)數(shù)“"，c滿足e<+'=e+e"=log,3+log86,c+log,c=2,

則”，b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】ec+e_2a=e"+e'c=>ec-e-c=ea-e-2a,

故令"x)=e'—e：則/(c)=e°—〃a)=e-

易知)，=-e='=-J和y=，均為(0,內(nèi))上的增函數(shù)，故/(x)在(0,e)為增函數(shù).

,.?e-2"ve-",故由題可知，e,—eY=e"—e-2">e"—e-°,即/(c)>/(a),則c>a>0.

易知6=log23+log?指=log23痣>2,log2c=2-c,

作出函數(shù)y=logH與函數(shù)y=2-x的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi)，即l<c<2,

:.c<b,

:.a<c<b.

故選：B.

例27.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。=6工/=兀。,0=(起「，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】令/(x)=￥，(x>0),則:(x)=^^,(x>0),

由第x)>0,解得0<x<e,由/'(x)<0,解得x>e,

所以〃力=皿,(犬>0)在(0,6)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減；

因?yàn)闊o(wú)〉e,

所以/⑺</(e),BP—<—,

兀e

所以elnjiv兀Ine,所以ln7f<lne"，

又y=lnx遞增，

所以兀,<e",即bv。；

X2<7r<4,所以兀>(血),

又y=“e在(0,+8)上單調(diào)遞增，且?！?也『

所以兀=>[(&)]=(夜

即b>c；

綜上可知：c<b<a,

故選：A

例28.(2022春?四川內(nèi)江?高三?？茧A段練習(xí))最近公布的2021年網(wǎng)絡(luò)新詞，我們非常熟悉的有“抄辦”、“內(nèi)

卷”、“躺平”等.定義方程f⑺=7'(X)的實(shí)數(shù)根X叫做函數(shù)〃x)的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=Inx,/?(x)=V-1

的“躺平點(diǎn)”分別為a,P,則a,夕的大小關(guān)系為()

A.a>pB.a>(3C.a<PD.a<p

【答案】D

【解析】：g(x)=lnx,則g，(x)=J,

由題意可得：Ina=「，

令G(x)=lnx\,則a為G(x)的零點(diǎn)，

可知G(x)在定義域(0,+e)內(nèi)單調(diào)遞增，JLG(1)=-l<0,G(e)=l-1>0,

Aae(l,e)；

XV/i（x）=?-l,則”（x）=3d,

由題意可得：夕-1=3夕，

令〃（力二/7%2—1,則夕為“（X）的零點(diǎn)，

W（x）=3工2-6x=3x（x-2）,

令”[x）>0,貝iJx<0或x>2,

二”（x）在（y,0）,（2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0,2）內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng),2）時(shí)，H（x）4H（0）=-1<0,則“（X）在（TO,2）內(nèi)無(wú)零點(diǎn),

當(dāng)xe[2,+e）時(shí)，H（3）=-l<0,/7（4）=15>0,則廣?3,4）,

綜上所述：戶43,4）；

故a</.

故選：D.

核心考點(diǎn)六：特殊值法、估算法

【典型例題】

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知"=2：b=3：了=唳、4/=10氐5,則。也。”的大小關(guān)系為（）

A.h>a>d>cB.h>c>a>dC.b>a>c>dD.a>b>d>c

【答案】c

【解析】

依題意，〃=2（=（2偽；，函數(shù)y=?在[0，+°°）上單調(diào)遞增，而*20<3,于是得即

,3

b>a>—,

2

函數(shù)y=log4x在（0,xo）單調(diào)遞增，并且有l(wèi)og43>0,log45>0,

則2=log,16>log415=1嗚3+log45=（-Jog”5『+2后3?帆45>2Jlog」3?Jlog”5,

于是得log,？'log,s<1,BPlog45<—!—=log34,則c>d,

log”

又函數(shù)y=log3X在（0，+8）單調(diào)遞增，且4<3石，則有l(wèi)og34<log33G=|,

3

所以/?>〃>—>c>d.

2

故選：C

例30.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知〃=右，6=2）。印必不，則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

由"=9，y=2,可知

劣3

又由e?<8，從而e<2四=21f<I^c=log2e<^<a,

因?yàn)槿?=2-警<0,所以1<舊；

56255

因?yàn)閑5-26>2.75-64>0,從而e5>26,即e>2>

￡6

由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，c=log2e>k）g225=-,

綜上所述，a>c>b.

故選：B.

例31.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若e>b>a>〃，〃?=a",n=ba,P=bg“b,則加，n,。這三個(gè)數(shù)

的大小關(guān)系為（）

m>n>pg.n>p>tn

C.n>m>pD.m>P>n

【答案】C

【解析】因?yàn)閑>匕>a>〃，所以取〃=2,6=|,則

m-a'^22=亞=寂e（5,6），