高三數(shù)學(xué)第2章第5節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)講義

幕函數(shù)與二次函數(shù)

［考試要求］1.(1)了解募函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)＞=》，y=x2,y=xi,y=

九十，的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次

函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

［走進(jìn)教材-夯實基礎(chǔ)］回顧知識?激活技能

€＞梳理?必備知識

1.幕函數(shù)

(1)基函數(shù)的定義

一般地，形如y=y(aWR)的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較

函數(shù)尸Xy=x~y=/i

多V上令

圖象7F

定義域RRR

值域R{y|y20}R1加201｛小孚0)

非奇非偶

奇偶性壹函數(shù)偶函數(shù)查函數(shù)查函數(shù)

函數(shù)

性

在(一8,(J］

質(zhì)在R上在(一8,0)

上單調(diào)遞減；在R上單在「0,+8)

單調(diào)性單和(0,+8)

在(0,+8)調(diào)遞增上單調(diào)遞增

調(diào)遞增上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞增

公共點(1,1)

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+Z?x+c(a#:0)；

(2)頂點式："x)=a(x—/〃)2+〃(ar0)；

(3)零點式：./(x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0).

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解析式fix)=ax*1+Zzx+c(a>0)J(x)=ax2+bx+c(a<0)

八

圖象11/J

仁A

定義域RR

44C一〃、4〃c一—2

值域

_4a[-8—4a

在xG(—8,一方上單調(diào)遞減;在xW1一8,一第上單調(diào)遞增；

單調(diào)性

在Xd［—L，+8)上單調(diào)遞增在+8)上單調(diào)遞減

對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤=一京對稱

提醒：二次函數(shù)了二加+法+8。/。)的系數(shù)特征

(1)二次項系數(shù)。的正負(fù)決定圖象的開口方向.

⑵一擊的值決定圖象對稱軸的位置?

(3)c的取值決定圖象與y軸的交點.

(4)/=序-4ac的正負(fù)決定圖象與x軸的交點個數(shù).

［常用結(jié)論］

1.鬲函數(shù))，=產(chǎn)在(0,+8)上的三個重要結(jié)論

(1)當(dāng)a>0時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)aVO時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)xC(O,l)時，a越大，函數(shù)值越小，當(dāng)xC(l,+8)時，a越大，函數(shù)

值越大.

2.根與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)兀外二加+法+以“工。)，當(dāng)/=〃-4ac>0時，其圖象與x軸有兩

個交點M(XI,0),M2(X2.0),這里的XI,及是方程_/U)=0的兩個根，且

X\+X2=~^

K*l

X1?X2=>

e激活?必備技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)是基函數(shù).()

(2)當(dāng)〃>0時，皋函數(shù)丫=爐在(0,十8)上是增函數(shù).()

(3)二次函數(shù)yuaf+fer+caeR)不可能是偶函數(shù).()

—kr

(4)二次函數(shù)^=0?+芯+(?06］。，旬)的最值一定是—布一.()

［答案］(1)X(2)V(3)x(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1.已知基函數(shù)y=_/(x)經(jīng)過點(3,#),則火x)()

A.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

D［設(shè)纂函數(shù)的解析式為y=￥,將點(3,小)的坐標(biāo)代入解析式得3a=仍,

解得a=g,.\y=x'T,故選D.］

2.若累函數(shù)^=/5)的圖象過點(4,2),則塞函數(shù)y=y(x)的圖象是()

CD

C［令小0=y，則4a=2,解得a=g,

.?猶x)=x+,則式X)的圖象如C中所示.］

3.已知函數(shù)1Ax)=/+4以在區(qū)間(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是

A.a》3B.aW3

C.a<—3D.-3

D[函數(shù)/0)=/+4儀的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x=-2a,

由函數(shù)在區(qū)間(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(-8,6)應(yīng)在直線x=-2a的左

側(cè)，所以一2。26,解得aW—3,故選D.]

4.函數(shù)^(x)=x2—2x(x￡[0,3])的值域是.

[-1,3]「.,g(x)=9-2x=(x—Ip—1,xG[0,3],

???當(dāng)X=1時，g(x)min=g(l)=-1,

又g(0)=0,g⑶=9-6=3,

??g(x)max=3,

即g(x)的值域為[-1,3].]

[細(xì)研考點?突破題型]重難解惑?直擊高考

考點一募函數(shù)的圖象及其性質(zhì)《題組通關(guān)

畬通性通法與鬲函數(shù)有關(guān)問題的解題思路

(1)若寡函數(shù)y=P(a￡Z)是偶函數(shù)，則a必為偶數(shù).當(dāng)a是分?jǐn)?shù)時，一般將

其先化為根式，再判斷.

(2)若嘉函數(shù)丁=犬在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a>0；若在(0,+8)上單調(diào)

遞減，則a<0.

(3)在比較嘉值的大小時，必須結(jié)合嘉值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其

單調(diào)性進(jìn)行比較.

1.(多選)已知?！陒一1,1,2,3},則使函數(shù)的值域為R,且為奇函數(shù)的

所有a的值為()

A.1B.-1

C.3D.2

AC[當(dāng)a=-1時，為奇函數(shù)，但值域為{x|xW0},不滿足條件.

當(dāng)a=l時，y=x為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件.

當(dāng)a=2時，)=/為偶函數(shù)，值域為{x|x20},不滿足條件.

當(dāng)a=3時，.y=V為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件.故選AC.]

2.當(dāng)x￡(o,+8)時，幕函數(shù)y=(/"2+機(jī)一].一5"廠3為減函數(shù)，則實數(shù)m的

值為（）

A.-2B.1

-1±V5

C.1或一2D.m于—

B[因為函數(shù)y=（加+機(jī)-1）尤-5，"-3既是賽函數(shù)又是（0,十8）上的減函數(shù)，

m24-7?-1=1,

所以，解得"2=1.]

[-5m~3<0,

3.若a=（；戶，/?=《戶，c=g）+,則a,4c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

D[因為y=x號在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以。=（；）號寸，因為y=

是減函數(shù)，

所以a=（；）GVc=（；）十，所以匕VaVc.]

4.若（a+l）+〈（3—2a）子,則實數(shù)a的取值范圍是.

—1,[易知函數(shù)y=x+的定義域為[0,+°°）,在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

（。+1》0,

所以《3—2心0,解得一1/<!」

[a+1<3—2G,

點評：比較大小時，若底數(shù)相同，可考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.若指數(shù)相同，

可考慮嘉函數(shù)的單調(diào)性，有時需要通過化簡，使底數(shù)（指數(shù)）相同.如本例T3,也

可化簡為“=?！?，匕=￡）丸c=gy,再通過y=1d■的單調(diào)性比較大小.

考點二求二次函數(shù)的解析式4例題對講

畬通性通法求二次函數(shù)解析式的策略

~I三點坐標(biāo)I_?廠直超為二熊芟二

「T頂點坐標(biāo)

T對稱軸1-,「直荻用話晟王一;

T最大（小）值卜-

~I與工軸兩交點薪1-一登區(qū)為樂演安一;

［典例1］已知二次函數(shù)_/u)滿足.*2)=—1,.八一i)=-i,且火工)的最大值是

8,試確定此二次函數(shù)的解析式.

［解］法一：(利用二次函數(shù)的一般式)

設(shè)火x)=ar2+c(aW0).

"4a+20+c=—

f?=-4,

由題意得'a~b+c=—1,解得｛b=4,

4ac-b2lc=7.

I4"A?=8,

故所求二次函數(shù)為/(x)=-4f+4x+7.

法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)

設(shè)式x)=a(x—m)2+n(aW0).

V/2)=/(-l),.?.拋物線對稱軸為d+g］)=.

，"7=5，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,/?=8,

.,.)=危)=心一寸+8.

；*2)=-1,.\^2-1］2+8=-1,解得。=一4,

：.fix)=一4,一習(xí)2+8=—4/+4x+7.

法三：(利用零點式)

由已知/(X)+1=O的兩根為Xl=2,X2=-1,

故可設(shè)於)+1=a(x-2)(x+1),

即危)=加一以一2Q_1.

又函數(shù)有最大值y3=8,即刨-2.1)-』

解得a=-4或a=0(舍去)，

故所求函數(shù)解析式為?x)=—4好+以+:.

點評：求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用

的解析式不同，其方法也不同.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知二次函數(shù)?r)的圖象的頂點坐標(biāo)是(-2,-1),且圖象經(jīng)過點(1,0),

則函數(shù)的解析式為火x)=.

/+^—a［法一:(一般式)設(shè)所求函數(shù)的解析式為f(x)=ax2+bx+c(a^O).

1

-

0-1

4

b--

夕

5

C---

夕

法二：(頂點式)設(shè)所求函數(shù)的解析式為^x)=a(x-hY+k.

由已知得?r)=a(x+2)2—1,

將點(1,0)代入,得a=§,所以於:)=§(尤+2/—1,

145

即於)=§『+比—引

2.已知二次函數(shù)?r)的圖象經(jīng)過點(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并

且對任意XGR,都有_A2—x)=A2+x),則函數(shù)的解析式7U)=.

x2-4x+3「.［為2—*)=/(2+幻對xSR恒成立，

.；*x)圖象的對稱軸為x=2.

又的圖象被x軸截得的線段長為2,

..."x)=0的兩根為1和3.

設(shè)fix)的解析式為f(x}=a(x—l)(x—3)(aWO).

又,.，Xx)的圖象經(jīng)過點(4,3),

3ci~3,tz=1.

.,.所求y(x)的解析式為y(x)=(x—i)(x—3),

即次x)=f—4x+3.］

考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)《多維探究

考向1二次函數(shù)圖象的識別

畬通性通法識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”

一看?看二次項系數(shù)的符號，它確定二次函數(shù)圖象的

符號一^開口方向

1

二看:看對稱軸和最值，它確定了二次函數(shù)圖象的具

對稱軸7體位置

:看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)圖象與

三看

軸的交點、與工軸的交點，函數(shù)圖象的最高

特殊點—ly

?點或最低點等

[典例2—1](1)一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一"坐標(biāo)系

中的圖象大致是()

(2)如圖所示的是二次函數(shù)y=o?+bx+c圖象的一部分,

且過點4—3,0),對稱軸為直線x=-1.給出下面四個結(jié)論：

①〃>4ac；?2a—b=1；③a—b+c=0；@5a<b.

其中正確的是()

A.②④B.①④

C.②③D.①③

(1)C(2)B[(1)若。>0,則一次函數(shù)y=ov+b為增函數(shù)，二次函數(shù))，=加

+/?x+c的圖象開口向上，故排除A;若a〈0,一■次函數(shù)y=ox+Z?為減函數(shù)，

二次函數(shù))，=o?+/?x+c的圖象開口向下，故排除D;對于選項B,看直線可知

b

a>0,b>0,從而一五VO,而圖中二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，故排

除B.故選C.

(2)因為圖象與x軸交于兩點，所以。2—4公>0,即〃>4ac,①正確.

b

因為對稱軸為直線x=-1,所以一五=—1,即2。-6=0,②錯誤.

結(jié)合圖象，當(dāng)尤=—1時，y>0,即〃一〃+c>0,③錯誤.

由對稱軸為直線X=—1知，Z?=2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以0V0,所以

5a<2a,即④正確.]

點評：對于判斷兩個函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中的題目，可假設(shè)一個圖象正

確，然后判斷另一個圖象是否正確.如本例T⑴.

考向2二次函數(shù)的單調(diào)性

畬通性通法二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略

(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向

或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解.

(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)

的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較.

[典例2—2](1)函數(shù)/x)=a『+(a—3)x+l在區(qū)間[―1,+8)上是單調(diào)遞減

的，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-3,0)B.(一8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

(2)二次函數(shù)抬尸加+法+山6陽的最小值為川)，則犬啦)，/(一|)，.八S)

的大小關(guān)系是()

A.姬)<f(一||</<小)

B.f(-|)<AV2)</(3)

(1)D(2)D[⑴當(dāng)a=O時，./(x)=-3x+l在[一1,+8)上遞減，滿足題意.

3-d

當(dāng)aWO時，式x)圖象的對稱軸為

由/(%)在[—1,+8)上遞減知

a<0,

<3—。解得一3WaV0.

2a'

綜上，a的取值范圍為

(2)*.*二次函數(shù)兀0=加+法+。(》￡R)的最小值為./U),

...函數(shù)的圖象開口方向朝上，對稱軸為直線x=l.

?/~|-1>lV3-l|>lV2-l|,

危⑵<八小)4一|),故選D.］

［母題變遷］

將本例(1)改為“若函數(shù)/(x)=a?+(a—3)x+l的單調(diào)減區(qū)間是［-1,+

8)”，則實數(shù)a=.

a<0,

—3［由題意知｛3—a解得a=-3.］

百=T，

考向3二次函數(shù)的最值問題

畬通性通法二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路

(1)類型：

①對稱軸、區(qū)間都是給定的；

②對稱軸動、區(qū)間固定；

③對稱軸定、區(qū)間變動.

(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點”是指區(qū)間

兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分

類討論的思想解決問題.

［典例2—3］求函數(shù)+2依+1在區(qū)間［—1,2］上的最值.

［解］y(x)=(x+a)2+1—a2.

①當(dāng)一。<一1,即a>l時，函數(shù)人處在區(qū)間上是增函數(shù)，

.?JU)min=次-1)=2—2a,/U)max=42)=4a+5.

②當(dāng)一iW—aV/即-3〈后1時，函數(shù)於)在區(qū)間上先減后增，二

/(X)min=A—。)=1—屋，_/(X)max=/(2)=4a+5.

③當(dāng)即一時，函數(shù)/U)在區(qū)間上先減后增，

7（X）min=/（-=1一/,人?max=八-1）=2—2〃.

④當(dāng)一。>2,即。<一2時，函數(shù)負(fù)x)在區(qū)間上是減函數(shù),

.\y(X)min=/(2)=4d+5,/(X)max=艮-1)=2—2〃.

[2-267,a>\,

綜上知，?r)min=j1—"2,—2WaW1,

〔。+

45,a<--2,

{4a+5,a>一

?

2—la,aW-

點評：對稱軸分區(qū)間討論，書寫結(jié)論時要注意合并區(qū)間.

考向4與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題

備通性通法

1.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵

(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).

(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看

參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：。詞＞)恒成立Oa2/(x)max,恒成

立O。W_/(X)inin.

2.aY+bx+cVOg＞。)在區(qū)間卜〃，川上恒成立的條件.設(shè)凡￥)=以2+法+‘,

‘角”)<0,

則

危)V0.

［典例2—4］(1)已知函數(shù)兀r)=f+mx—1,若對于任意m+1］,都

有人x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是.

(2)已知函數(shù)八X)=/+2%+1,/U)＞x+Z在區(qū)間［-3,-1］上恒成立，則人

的取值范圍為.

(1)［一坐，0)(2)(-8,1)［(1)作出二次函數(shù)兀r)的草圖如

圖所示，對于任意xG［，"，m+1］,都有/(x)VO,

'角")V0,

貝恂

y(m+l)<0,

nr+m2—1<0,

即＜

.(加+l)2+/7?(m4-1)—1<0,

解得一坐VmVO.

(2)由題意得N+x+l>Z在區(qū)間［-3,—1］上恒成立.

設(shè)1,—3,—1］,

則g(x)在［-3,—1］上單調(diào)遞減.

g(K)min=g(-1)=1.

...ZVL故女的取值范圍為(一8,1).］

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知。歷>0,則二次函數(shù)凡￥)=加+法+。的圖象可能是()

b

D［A項，因為&V0,一方V