高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第1部分研習(xí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

考點1單變量的不等式的證明

◎高考串講?找規(guī)律

(2021.全國乙卷)設(shè)函數(shù)/(x)=In(a—x),已知x=0是函數(shù)y=0"(x)的極值點.

⑴求o；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=￡景?，證明：g(x)Vl.

[解](1)由題意得y=xf(x)=xln(a-x),

貝1!y'=ln(a-x)+x[ln(a-x)]\

因為x=0是函數(shù)y=#(x)的極值點，

所以y'l_()=Ina=0,所以a=\.

X-u

(2)證明：由(1)可知，/(x)=In(l-x),其定義域為{x\x<1},

當(dāng)0<x<1時,ln(l-x)<0,此時/(x)<0.

當(dāng)x<0時，ln(1-x)>0,此時xf(x)<0,

易知g(x)的定義域為{xlx<1且xWO},

,,x+f(x)

故要證g(x)二—<1,

只需證X+/(x)>VU)/

即證x+ln(l-x)-xln(l-x)>0,

令1-x=則，>0且呈1,

則只需證1-Z+Inf-(1-f)lnt>0,

即證1-t+tint>0.

令6⑺=1-r+rlnr,則h\t)=-1+Inr+1=In/z

所以〃⑺在(0』)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,所以h(t)>/z(l)=0,

1/10

即g(x)<1成立.

福一解讀'

命題規(guī)律：最常見就是e、和InX與其他代數(shù)式結(jié)合的題目?重在考杳學(xué)生的

等價轉(zhuǎn)化能力，邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的能力.

通性通法：單變量不等式的證明方法

(1)移項法：證明不等式/(x)>g(x)(f(x)Vg(x))的問題轉(zhuǎn)化為證明/(X)—g(x)

>0(f(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x)；

⑵最值法:欲證/(x)<g(x),有時可以證明/(X)max<g(X)min；

⑶放縮法：在證明相關(guān)不等式中，若能靈活運用er2x+l,InxWx-1這兩

個不等式和不等式e?ex,In進行放縮，往往事半功倍.一般

ex

地，有W(x)2/(x)+1,Ing(x)Wg(x)—1,擴大了應(yīng)用范圍.

?考題變遷?提素養(yǎng)

1.［與e、Inx有關(guān)的不等式證明問題］已知函數(shù)/(x)=l—In尤，xG(O,l),求

、/fix).《二02

證：—Qx+xi——X<1.〉------/

［解］法一：(最值法)因為XG(O,1),

所以欲調(diào)+X2」<1,

exx

只需證L2^+X2」<1,

exx

即證x(l-lnx)<(1+x-%3)ex.

設(shè)函數(shù)g(x)=x(l-Inx),則g<x)=-Inx.

當(dāng)xG(O,l)時，g<x)>0,

故函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(x)<g(l)=1.

2/10

設(shè)函數(shù)/i(x)=(l+x-X3)er,則h'(x)=(2+x-3X2-X3)ex.

設(shè)函數(shù)p(x)=2+x-3必-X3,則p'(x)=1-6x-3X2.

當(dāng)XG(O,1)時，p，(O)“(l)=-8<o,

故存在使得p，(%)=0,

從而函數(shù)P(X)在(0,X。)上單調(diào)遞增，

在(龍(),1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)XW(0,X。)時,p(x。)>p(0)=2,

當(dāng)xw9,1)時，p(x0)-p(l)<-2<0,

故存在xf(0」)，使得如:廣。，

即當(dāng)xd(0,xp時,p(x)>0,當(dāng)xG(X],1)時，p(x)<0,

從而函數(shù)〃(x)在(0,xp上單調(diào)遞增，

在(X],1)上單調(diào)遞減.

因為h(0)=1,h(l)=e,

所以當(dāng)xe(0,l)時，心)>力(0)=1，

所以X(1-Inx)<(1+x-X3a，%e(o,l),

艮煙+X2,<1,%e(0,l).

QXx

法二：(放縮法)因為xC(0，D,

所以欲1四+必二<1,

QxX

-Inx1,

只需證------+X2--<1,

eix

即證x(l-Inx)<(1+x-X3)ev.

設(shè)函數(shù)g(x)=x(lTnx),則g，(x)=-Inx,

3/10

當(dāng)XG(O,D時，g3>o,

故函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

所以g(x)<g(l)=1.

設(shè)函數(shù)h(x)=(1+x-x3)ex,xG(0,l),

因為Xd(0,l),所以X>X3,所以1+X-X3>1,

又1<e,<e,所以h(x)>1,

所以g(x)<1<〃(x),即原不等式成立.

法三：(放縮法)因為xe(0,l),所以欲證誓+應(yīng)-1<1,只需證二I2+X2

」<1,

X

由于1-Inx>0,eY>eo=1,

則只需證明1Tnx+x2」<l,

x

只需證明Inx-X2+1>0,

x

令g(x)=lnx-X2+L則

X

11Y-1-2x3x-1

當(dāng)xG(0』)時，g'(x)=--lx--=--------1<----<0,則函數(shù)g(x)在(0,1)

Xx2JC2X2

上單調(diào)遞減，則g(x)>g⑴=0,

所以lnx-X2+1>0,即原不等式成立.

X

2.［與sinx,cosx有關(guān)的不等式證明問題］已知/(x)=cosx+"u2—1(x20).

(1)若在［0,+8)上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)x>0時，ex—2^sin%—cosx.

［解］(1)由題意知f(0)=0,且/(%)=-sinx+2mx=0,f，fU)=-cos

x+2m.

4/10

要使/(x)20在［0,+8)上恒成立，則必須滿足/"(x)M恒成立，即2加-

120,加

①若加/'(x)，0,則廣(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

可知尸(x)2/(0)=0,所以/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，可知/(幻河(0)=0,

滿足題意.

1

-

2+8),當(dāng)xW(0,/)時，/"(x)<0,則尸(x)在(0,

%)上單調(diào)遞減，

此時U(x)</(0)=0,所以/(X)在(0,5)上單調(diào)遞減，此時/(X)</(())=0,

舍去.

綜上可知，實數(shù)機的取值范圍為七，+8)

1如

\>-

,f(x)-cosx+mx2-120，取〃?=2

12-cosx.

結(jié)合(1)可知/'(x)=-sinx+Q0,則xesinx,

所以產(chǎn)+x-12sinx-cosx.

1

-

要證e.r-2>sinx-cosx,只需證e.v2

令g(x)=e,v-1X2-X-1,貝!］g\x)=ex-x-1,g"(x)=eA--1,

當(dāng)x20時，g"(x)=ex-120,

則g，(x)在［0，+8)上單調(diào)遞增，故g，(x)2g，(0)=0,

可知g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)2g(0)=0,

于是ex-1V2-x-1NO,即有ex-22sinx-cosx.

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考點2雙變量的不等式的證明

?高考串講?找規(guī)律

（2018?全國I卷改編）已知函數(shù)x+alnx存在兩個極值點玉，x2,證

明:”52.

［證明］???/（》）的定義域為（0,+8）,

1aXi-ax+1

廣(x)=-丁人=-一—

易知當(dāng)且僅當(dāng)。＞2時，/&）存在兩個極值點.

由于/㈤的兩個極值點5,々滿足X2-儀+1=0,所以=1,不妨設(shè)玉

，則々>1，

由鐘)-於2)_J上少/Tn%2

xx

X]-X,i2X1-X2

Inx.-Inx.-21nx

=-2+a——1-------x=-2+a—..........￡,

/-々1-x

X22

所以匹卜些)<a-2等價于?！-4+21nx,<0.

X「2X222

設(shè)函數(shù)g(x)=1-x+21nX,

X

19-X2+2x-1

2f(x)=-----]+_=------------------

8x2XX2

_(X-1)2

.?.g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

又式1)=0,從而當(dāng)xC(l,+8)時,g(x)<0,

6/10

所以-X,+21n,<0,即"J-於2)<”2.

X

2X］-X2

IS號解讀??

命題規(guī)律：以函數(shù)的極值點、零點為依托，將函數(shù)、方程、不等式巧妙地融

合在一起，重在考杳學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力.

通性通法：證明雙變量不等式的三種常見方法

(1)消元法：即借助題設(shè)條件，建立X1與尤2的等量關(guān)系，如X2=g(X1),從而

將/(x,,x,)>A的雙變量不等式化成"(X］)>A的單變量不等式；

(2)換元法：結(jié)合題設(shè)條件，有時需要先對含有雙變量的不等式進行“除法”

變形，再對含有雙變量的局部代數(shù)式進行“換元”處理，將雙變量問題等價轉(zhuǎn)化

為單變量問題，即構(gòu)建形如a形式.

X2

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把

不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函

數(shù).

?考題變遷?提素養(yǎng)

1.［與零點有關(guān)的雙變量問題］已知函數(shù)/(x)=ax—Inx(aCR).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)有兩個零點七,馬，證明：

［解］⑴當(dāng)。這0時，減區(qū)間為(0,+8),沒有增區(qū)間;

當(dāng)a>0時，減區(qū)間為(0,；),增區(qū)間為弓，+8).

(2)證明：函數(shù)/(x)有兩個零點分別為x1,x2,則a>0,不妨設(shè)X1<々，則In

%1-ax{-0,

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兩式相減得In%-3=o,

Inx2-InXj=a(x2-/).

要證點+/>2，只需證,

只需證>a

Inxo-Inx.____x2-x2,x

只需證__2>_2-----1,只需證__I>m2,

2x.x^丫_丫2x.xx.

1242人jIoNI

只需證心<華2-0.

/21%]xj

令f=Z,則r>1,即證Inf<

i/i\2f-松-1

設(shè)夕⑺=lnf-；r-7,則夕”)=—行—<0,即函數(shù)s⑺在(1,+8)上單

調(diào)遞減，則叭t)<磯1)=0.

BP^#_L+_L>2.

Inx}Inx2

2.［與極值點有關(guān)的雙變量問題］已知/(x)=xlnx—%zx2—x,，nGR.若f(x)

■遠g3

有兩個極值點不，x,,且Xj<x2,求證：X］Xz>e2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

[證明]欲證X]X2>e2,需證InX[+]門2>2.

由函數(shù)/(x)有兩個極值點5,%,可得尸(x)有兩個零點，又尸(x)=Inx-,

所以％,X,是方程尸⑴=0的兩個不同實根.

Inx}-mx1=0,①

法一：于是有

Inx2-mx2二0,②

①+②可得Inx}+Inx2=m(x]+x2),

In玉+Inx

即加二2

玉+4

8/10

②-①可得Inx2-In%1=m(x2-x(),

In4-Inx

BPm---------------}L

_____ln羽-Inx.Inx.+In

從而可ry得a一2--------L=!---------2

X2-Xj4+X2

(Inx-lnx)(x+xj

于是InX]+In々=712

1+油々

xxJ/

Z-1

玉

又。<匕<々，設(shè)f嚀，則’>L

因此叫+此=詈匕CL

K-r(r+l)lnt

要證Inx+Ex,>2,即證^一-—>2(f>1),

t-1

即證當(dāng)時，有hw>"12

t+1

人26-1)

令g(0=Inr-__——\t>1),

t+1

12(t+1)-2(t-1)_(Z-1)2

則g")=>0,

0+1)2t(t+1)2

所以g⑺為(1,+8)上的增函數(shù).

,,2X(1-1)

因m此g(0>In1-------------1=0.