高中數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)（二） （精練） （提升版）

3.2.2函數(shù)的性質(zhì)（二）（精練）（提升版）

題組一函數(shù)的周期性

1.（2022?四川攀枝花）已知定義在R上的奇函數(shù)/⑺滿足〃x+2）=f（x_2），且當(dāng)時,

flog2（x+l）,0<x<l/（2022）+/（2023）

則的值為（）?

A.,B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】：定義在R上的奇函數(shù)y（x）滿足/（x+2）=/（x.2），二/㈤的周期為%

?■?/（2022）=/（2）=0>/（2023）=/（3）=/（-l）=-/（0=-log2（l+l）=-l'

，/,（2022）+/（2023）=-1?故選：A

2.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））己知/（X）為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)

xe（°，】）時，?。?6+。，若誓卜（2022）=2^，則平詈卜（）

A.e'+eB.eC.e3—eD.-QI+e

【答案】B

【解析】由題意可得，為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，

f（x+4）=f（x）=-/（-x）'

故/（2）=/（-2+4）=-/（2）,/（2）=0'

又孥=404+1,故/管卜〃2022)=2e3即/(|卜⑵=2e3，

即據(jù))=2/，而當(dāng)xe(°J)時,/(x)=e"+a,

故/仁卜3+4=2/,.=^,則當(dāng)xe(O/)時，/(x)=e"+e)

w，,<2019)19.?,19八，/、3

故/-y-1=/(400+—)=f(--4)=-/(-)=-e-e>

故選：B

3.(2022?廣東茂名?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑴是”上的奇函數(shù)，且〃x-$=-/(x),且當(dāng)時,

/(x)=2x-3，貝4/(-2021)+“2022)-/(-2023)的值為()

A-4B._4C,0D.-6

【答案】B

【解析】因為/(x4)=-/(x),所以'a-"=/。)，因此函數(shù)的周期為3,

所以/(-2021)+/(2022)-/(-2023)=/(-2)+/(0)-/(-I)，

又函數(shù)/“)是&上的奇函數(shù),所以/3_3)=/(》)=-/(-》)，

所以/(TA-A-Z)'即〃2)=-/(1)，

所以原式=一/(2)+/(0)+/(1)=一/⑵+/(1)=2/(1)=2/(；)，

又當(dāng)時，〃X)=2X-3,可得〃g)=_2,因此原式=2/(；)=-4

故選：B.

4.（2022?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知函數(shù)“X）滿足：對任意xeR

+、卜一當(dāng)x/l，°）時，/*）=31,則/（1空,90）=（

【答案】C

【解析】因為

則/(x+g+；］=_/(x+；_￡|,即仆+1)=-/卜),

所以/(x+2)=-f(x+l)=/(x)，即7=2，

17

所以〃噫90）=藥,

故選：C

5.（2022?天津市）已知定義在R上的奇函數(shù)"X）滿足〃x+l）=/（l-x），且當(dāng)-l〈x<0時,

/(x)=log2(-3x+l)>則”2019)=.

【答案】

2

【解析】???/(X)是R上的奇函數(shù)，；./(-x)=-/(x)

又?:/(x+1)=/(1-x).：.f(2+x)=/(-x)=-f(x)

：,f(x+4)=-f(x+2)=/(x).所以〃X)是周期函數(shù)，且周期為4

二./(2019)=/(3)=/(-1)=log?[-3x(-1)+1]=log?4=2.故答案為：2

6.(2022?重慶?二模)已知定義域為R的函數(shù)/⑺滿足〃f)=-/(x)且/(x)=/(2+x)，則函數(shù)

的解析式可以是?

【答案】/(X)=sin7tx(答案不唯一)；

【解析】由題意,函數(shù)/'⑴滿足=且/(x)=/(2+x)，

可得函數(shù)/(X)是定義域R上的奇函數(shù)，且周期為2,

可令函數(shù)的解析式為/(x)=sin;rx(答案不唯一)；

故答案為：/(x)=sin/rx(答案不唯」)；

7.(2022?陜西渭南?二模(文))已知/(x)為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足/(x7)=_/(x+l)，則

y=/(%)在x=2022處的切線斜率為.

【答案】0

【解析】由題設(shè)，/(x)=-/U+2)>則/Xx+2)=-_/*+4),即f(x)=/(x+4)，

所以“X)的周期為4,又/&)為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù),即八o)=o,

而八x)=—/'(x+2)，故八0)=-八2)=0,即/'(2)=0,

且八x)=/(x+4)，故,(2022)=((4x505+2)=.『(2)=0?

故答案為：0

8.(2022,全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)/滿足/(工)+f(r)=0，/(x-2)=/(x+2)?

當(dāng)問-2,。］時，小)玉”，則/(四162)=

【答案】?

—1

【解析】由題意知〃X)為定義在R上的奇函數(shù)，〃0)=6+1=0,即6=-1.

因為/(x+2-2)=/(x+2+2)，所以/(x)=/(x+4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4,則

/(log3162)=/(log3162-4)=/(log32)-

因為噬32?0,1)，〃x)為奇函數(shù)，

所以/(log,2)=-/(-log、2)=—/[log：；)=-(；)一

+1=-1

故答案為：?

題組二函數(shù)的對稱性

1.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特)函數(shù)/(X)滿足/(x+2)+/(x)=2/(l)，xeR，函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)

于點(1,0)對稱，則/'(2022)=()

A.-8B.0C.-4D.-2

【答案】B

【解析】；y=/(x-l)關(guān)于(1,0)對稱,

y=f(x)關(guān)1'(0,0)對稱,即y=/(x)是奇函數(shù),

令x=-l得，/(-l+2)+/(-1)=2/(1),BP/(I)-/(I)=2/(1)，解得/(l)=0.

/(x+2)+/(x)=2/⑴=0，即/*+2)=_/(x)，

???/(x+4)=/(x)，即函數(shù)的周期是4.

/(2022)=/(4x505+2)=/(2)=-/(0)=0'故選：B,

2.(2022?甘肅蘭州)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足/(4_x)=/(x).當(dāng)04x42時，/卜)=3'+”

貝。(2021)+/(2022)=()

A.7B.10C._10D._12

【答案】C

【解析】/(x)在R上是奇函數(shù)，/(0)=1+。=0,a=-1

/(4-(-4-x))=/(-4-x).即/(8+x)=-f(4+x)

/(4+x)=/(4-(4+x))=f(-x)=-f(x)

y(x)=y(x+8)，即函數(shù)/(x)是周期為8的函數(shù)

/(2021)+/(2022)=/(8x252+5)+/(8x252+6)

=/(5)+/(6)=/(4-5)+/(4-6)

=/(—1)+〃—2)=_/(l)_/(2)=—(3-l)-(32_l)=T0故選:C

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,/（1）=/（力，且f（x）在已,+8］上1單"I周

遞減，則關(guān)于工的不等式“X+I）〉/（2-3X）的解集為（）

c.-00,小(1,+8)

【答案】c

【解析】因為/（I）=/（x）?+￡|卜/"/嗎—x］，所以函數(shù)〃力的圖象關(guān)于直線

又/（X）在1,+oo）上單調(diào)遞減,所以/（X）在］—00,;］上單調(diào)遞增,

X――對稱,

2

結(jié)合草圖可知：要使〃川）"（2』），則"1嗚的距離小于2』嗚的距離，故不等式

/(x+l)>/(2-3x)

等價于（x+l）-g＜（2-3x）-；，兩邊同時平方后整理得獷-5x+l＞。，解得或

故選：C.

4.（2022?遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=/（2x+l）的圖象關(guān)于直線工=1對稱，函數(shù)y=/（x+l）

關(guān)于點（1,0）對稱，則下列說法正確的是（)

A.〃1)=°B./(I)=/(jx)C./(X)的周期為2D」(x)=?

【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=/(2x+l)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

所以/(2(l+x)+l)=/(2(l-x)+l)，即/(2x+3)=/(3-2x).

用x代換上式中的2x,即可得到/(x+3)=/(3_x)，所以〃x)關(guān)于直線x=3對稱.

函數(shù)y=/(x+1)關(guān)于點(1,0)對稱，所以/(l+x+l)+/(l-x+l)=0＞即〃2+x)+/(2-x)=0所以〃x)關(guān)

于點(2,0)對稱.

對于〃x+3)=/(3-x)，令x取戶1,可得：/(x+4)=/(2-x)-

對于/(2+x)+/(2—x)=0，令x取x+2,可得：/(x+4)=—/(—

所以一(2.x)=-/(-x)，令x取-x,可得：/(2+x)=-/(x)，

所以/(x+2)=/(x-2)，令x取戶2,可得:/(x+4)=/(x)，即〃x)的最小正周期為4.所以C、D錯誤:

對于B：對于〃x+3)=/(3-x)，令x取尸3,可得：/(x)=/(6-x)-

因為/(x)的最小正周期為4,所以/(6-X)=/(2-X)，

所以/(%)=/(2r)，即/(x+l)=/(1-3)。故8止確.

對于A：由+=,可得x=l為對稱軸，所以不能確定/(i)=o是否成立.故A錯誤.

故選：B

5.（2022?江西?二模（理））已知函數(shù)"x）=Fn（x+2）+l，xNT則（

）

1l-ln（-x）,x<-l

A./(x)在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于0,7)中心對稱

B.f(x)在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于(1,-1)中心對稱

c./(X)在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于(-1,1)中心對稱

D./'(x)在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于(-1,1)中心對稱

【答案】D

【解析】當(dāng)x>-l時，/(-2-x)+/(x)=l-ln(x+2)+ln(x+2)+l=2

當(dāng)x<-l時，/(-2-x)+/(x)=ln(-x)+l+l-ln(-x)=2

x=T時，-27=-1，/(—2-x)+/(x)=2/(-l)=2

即對任意實數(shù)x恒有，y(-2-x)+/(x)=2,故/(x)圖象關(guān)于(-1,1)中心對稱；

當(dāng)xN-1時，/(x)單調(diào)遞增：當(dāng)x<-l時，〃x)單調(diào)遞增，且一(x)圖像連續(xù)，

故/(x)在R上單調(diào)遞增，

故選:D.

6.(2022?河南?許昌高中高三開學(xué)考試(文))已知函數(shù)/(x)=sin(x-l)+廠'+3,則

(x-l)

/(-2022)+/(-2021)+-+/(-1)+/(0)+/(2)+/(3)+-+/(2023)+/(2024)=(

A.10130B.10132C.12136D.12138

【答案】D

1

［解析】/(2-x)+/(x)=sin(l-x)++3+sin(x-1)+——--r+3=6

(If(1)3

所以/(X)的圖象關(guān)于點(1,3)對稱，所以當(dāng)再+9=2時，〃芭)+/(W)=6,

所以/(-2022)+/(-2021)+…+/(-1)+/(0)+/(2)+〃3)+…+/(2023)+/(2024)

=[/(0)+/(2)]+[/(-1)+/(3)]++[/(-2022)+/(2024)]

=2023x6=12138.

故選：D.

7.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))若函數(shù)/卜)滿足/(2-X)+/(X)=-2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)

的是()

A-/(x-l)-lB-/(x-l)+lC-/(x+l)-lD-/(x+l)+l

【答案】D

【解析】因為〃2_X)+/(X)=-2,所以關(guān)于對稱，所以將/1(X)向左平移一個單位，再向上

平移一個單位得到函數(shù)y=〃X+l)+l,該函數(shù)的對稱中心為(0,0),故y=/(x+l)+l為奇函數(shù)，

故選：0

8.(2022?全國?江西師大附中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(a=2'+2一、，則下列函數(shù)圖象關(guān)于直線

x=l對稱的是()

A./(x-l)+cos-1-xB./(x+l)+si吟x

JT

C./(x-l)+si吟xD./(X4-1)+COS—X

【答案】C

【解析】因為函數(shù)〃工)=2'+2』定義域為R，則/(司=2-"=/3

故函數(shù)/(x)=2'+2T為偶函數(shù)，則關(guān)于N軸對稱，

因此函數(shù)/(x.i)為函數(shù)/(x)向右平移一個單位得到，故函數(shù)/(x-i)關(guān)于x=l對稱,

且函數(shù)y=si啜關(guān)于直線*=1對稱，因此函數(shù)/(x-l)+s嗚x關(guān)于點*=1對稱，

故選：C.

9(2022?山東臨沂?一模)己知函數(shù)/卜)=/7_3一，+%，則不等式/(2-力+/(4-3力42的解集是

【答案】［1，+8)

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-l=---k+(x-l),那么8。)是單調(diào)遞增函數(shù),

e

且向左移動一個單位得到Mx)=g(x+1)=/-土+X,

A(X)的定義域為“，且力(-X)=5-d-X=-Mx),

所以〃(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以g(x)圖象關(guān)于(1,0)對稱.

不等式/(2—x)+f(4-3x)<2等價J'/(2-x)-1+/(4-3x)-1?0,

等價于.g(2_x)+g(4_3x),0,:.g(x)?g［2-(4-3x)］=g(3x-2)

結(jié)合g(x)單調(diào)遞增可知K,3X-2..x-i,

所以不等式/(2-x)+/(4-3x)W2的解集是［1，+8).故答案為：［1,+8).

題組三Mm函數(shù)求值

1.(2022寧波)已知函數(shù)/(x)="++2'?的最大值為M,最小值為“，則〃+”=(

%2-4

A?1B.0C.1D.2

-1

【答案】B

【解析】??f(x)=望'士.=x、4-3x+2、-2f=1+2'-27-3X,

X2-4X2-4X2-4

令g(x)=2'W'T,則g(-x)=-g(x),即g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

x2-4

g(x)=/(x)-l.:.g(x)max=M-1>m-1，旦g(x)0Mx+g(x)“血=0，

M-1+m-1=0<則A/+zn=2.故選：D?

2.(2022?合肥)已知0>0，設(shè)函數(shù)/(x)=x，+2x+b，xe[-a，a]，beZ,若/(》)的最大值

為M，最小值為機(jī)，那么加?和加的值可能為()

A.4與3B.3與1C.5才口2D.7與4

【答案】B

【解析】令ga)=d+2x，xe[-a，0，由g(—x)=f5一2x=-g(x)，得g(x)為奇函數(shù)，

設(shè)g(x)的最大值為人則最小值為T,.?."=/,+/，m=b-t?可得A/+"?=2b，

???beZ,,2b為偶數(shù)，即”+機(jī)為偶數(shù)，綜合選項可知，加和根的值可能為3和1.故選：B?

3.(2021?溫州)已知設(shè)函數(shù)〃幻=空"士的最大值為加，最小值為2,

八2019'+1

那么A/+N=()

A.2025B.2022C.2020D.2019

【答案】B

【解析】公卜2019川+3_2019(2019,+1)-2016_20192016.“⑴在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

2019v+l2019v+l2019x+l

20162016.2019,/(-x)+f(x)=2019x2-2016=2022

/(-x)=2019-=2019-

2019-r+l2019'+1

即~(a)=2019-20162016^20192

N=/(-a)=2019-

2019"+12019"+1

A/+N=20I9x2-20I6=2022故選：B-

4.(2021?鄲都)已知設(shè)函數(shù)加)=2?；荩?：9&€[y])的最大值為%最小值為

N，那么A/+N=()

A.2020B.2019C.4040D.4039

【答案】D

【解析】函數(shù)/■(-)=2°2。川+2019=202。、x2020+202叱=2020一一

八2020v+12020,+12020,+1

令g(x)=_J,.??g(T)+g(x)=l.

2020、+1

由于g(x)在xe[-a，a]時單調(diào)遞減函數(shù)；S.)miii+g(-a)?,ax=1

函數(shù)八幻=2°20-+2019?的最大值為”=2020_g(-a*..

八2020,+1'

最小值為N=2020-g(a)而“；那么AZ+NuMdOTgaL+gaUglMSg；故選：D-

5.(2022?湖南)已知函數(shù)/(x)=,一2x)sin(x.l)+x+l在~1，引上的最大值為例，最小值為

機(jī)，則M+m=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】.../(*)=(丫2_2x)sin(x-1)+x+1=[(x-1)2-l]sin(x-1)+x-1+2

令g(x)=(x-sin(x-1)-sin(x-l)+(x-l)?

g(2-x)=(x-1)2sin(l-x)-sin(l-x)+(1-x)，g(2-x)+g(x)=0，

則g(x)關(guān)于。,0)中心對稱，則在[-1，3]上關(guān)于(1,2)中心對稱,.?.M+m=4?故選：力?

6.(2022?廣西)已知函數(shù)y(x)=2sinx+x+2，xe[-27r，2乃]，/(x)的最大值為A/，最小值為

m，則/W+5=()

A.4B.4兀-3也C.41+36D.2兀+乖>-1

33

【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)=2sinx+x+2，xe[-2n,2用，所以r(x)=2cosx+l，令八.)=0,xe[-2%，

2幻，x“生，或》=生，或》=_也，或.文，

3333

xe",_豹，一生,爭和京2[仆）＞0,〃x）單調(diào)遞增

X€(-處，二萬)和(芍，力)，AX)<°,〃X)單調(diào)遞減，

3333

所以xe[-2乃，2刈，“X)的最大值為M，最小值為加，

/(-2萬)--2%+2,,(_3%)=2.且_加+2=6+2-",/(--)=2(-—)-—+2=-%/3+2--^-

32333233

冗、.\[32_/r_2zr,/4.、,6、、47r/(2))=2萬+2中最大

f(—)=2*-----1—乃+2=A/3+2H------，/(一乃)=2?(------)H--------F2=—J3+2+—，r取K

32333233

值及最小值，所以河=27r+2，〃?=_27r+2，所以M+加=4，故選：/,

7.（2022?吉安）已知設(shè)函數(shù)八幻=二2?冷的最大值為“，最小值為七

2020v+1,

那么M+N+/(2020)+/(-2020)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】易知函數(shù)/(x)在［-a,上單調(diào)，且

2020v2020A2020'(2020J+1)+2020v(2020x+1)2020v+2020v+2

--------1--------=---------------------；-------=---------------

2020'+1202(r+12020*+202(T*+22020*+20207+2

:.M+N+/(2020)+/(-2020)=2?

故選:

8.（2022?云南）設(shè)函數(shù)/'（x）=—!____J的最大值為“，最小值為"，則〃’+〃

2*+1x2+1

A..B.0C.1D.2

—1

【答案】C

【解析】由于以,+^^卜金X1-x且八0）=；，

~O---1-----------1-----

x2+l2-x+\x2+l2、+12、+1

中心對稱.所以最大值"和最小值"的和機(jī)+"故選：c

9.（2022?廣州）已知函數(shù)/（x）=/〃（x+>/F77）+,+4在~8,可上的最大值和最小值分別為“、

X

機(jī),則Af+"I=()

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

[解析】設(shè)"X)=./(x)-4,因F㈤=加(X+71+X2)+,為奇函數(shù)，

X

所以尸(X)地大值曲積X)=°,所以[/(X)最大俏題&]+"(x)-4]=0,所以"+”1=8.

故選：..

/L

10.(2022?上海)設(shè)函數(shù)〃x)=2018加(77W+x)+2019sinx+2020,xe[_￡,'的最大值為

M，最小值為N,那么M%N=4040.

【答案】4040

【解析】令g(x)=f(x)-2020=2018岳(&+1一〃)+2019sinx,則

g(-x)=201Sln(-Jx2+1—x)—2019sinx=-2018/n(Vx2+1+x)-2019sinx=-g(x),

故函數(shù)g(x)為定義域上的奇函數(shù)，；.g(x)ni(t+g(x),??,=0>即M-2020+N-2020=0，

:.M+N=4040?故答案為：4040.

題組四函數(shù)性質(zhì)的綜合運用

1.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)y(x戶茜足〃x+2)=/(x+4)，且/@+1)是奇函數(shù)，

則()

A.是偶函數(shù)B.J")的圖象關(guān)于直線x=1對稱

2

C.“X)是奇函數(shù)D./(X)的圖象關(guān)于點(別對稱

【答案】C

【解析】由/(x+2)=/(x+4)可得2是函數(shù)/(x)的周期，

因為/(x+1)是奇函數(shù)，所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

所以〃x)=—八2—x)，/(x)=—/(-x),所以/'(x)是奇函數(shù)，故選：C.

2.(2022?云南德宏)已知定義在/?上的可導(dǎo)函數(shù)y(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),滿足八x)<〃x)且〃苫+3)

為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，若/(9)+/(8)=1,則不等式〃x)<e?的解集為()

A.(-3,-Ko)B.(1,+8)C.(0,+oo)D.(6,+oo)

【答案】C

【解析】因為/'(x+3)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，

所以/(x+3)=/(-x+3)，/(x+l)+/(-x+l)=0.

所以/'(x)=/(_x+6)，/(x)+/(-x+2)=0,所以〃-X+6)+/(-X+2)=0.

令f=-x+2，則/(f+4)+/(/)=0.

令上式中t取L4,則/?)+/?—4)=0，所以/(f+4)=/(f-4).

令t取t+4,則/(r)=f(t+8)，所以/(x)=f(x+8).

所以為周期為8的周期函數(shù).

因為/(x+1)為奇函數(shù)，所以y(x+i)+/(-x+i)=o，

令X=O，得：/(1)+/(1)=0,所以/(1)=0,所以/(9)+/(8)=1,即為/⑴+/(0)=1，所以"0)=1.

記g(x)=/^，所以g，(x)=''(x):/("I

因為/'(x)<〃x),所以g，(x)<0,所以g(x)=/單在R上單調(diào)遞減.

eA

不等式〃x)<，可化為/包<[,即為g(x)<g(°).所以.故選：C

ex

3.(2022?河北邯鄲?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=[lnx+ln(2*x)].sinx，則下列結(jié)論正確的是

()

A.“X)的圖象關(guān)于直線》=乃對稱B./(x)的圖象關(guān)于點(萬,0)對稱

C./⑺有2個零點D./Q+X)是偶函數(shù)

【答案】B

【解析】顯然，的定義域為(0,2乃)，/S+x)的定義域為(_乃,外，且

/(7r+x)=[ln(^4-x)+ln(7r-x)]sin(^+x)=一[in(4+x)+ln(7r-x)[sinx'

記g(%)=/(〃+x)，則仃g(-x)=-[ln(^-x)+ln(^+x)]-sin(-x)=[ln(^-x)+ln(^+x)]sinx=-g(x)r

故/S+x)是奇函數(shù)，選項D錯誤?

乂/(%-x)=[ln(九一x)+ln(/r+x)}sin(〃-x)=[in(九一%)+In+x)}sin%=-/(〃+x)

故的圖象關(guān)于點(匹0)對稱，選項B正確，選項A錯誤；

令/(工)=0，則4[inx+In(2^--x)]-sinx=0,即lnx+ln(2〃一x)=0或sinx=。，

解得工(2%7)=1或"一"，即X]=4+1/-1<7T+7T=24，￡=47兀?>乃-乃=0或'一"，

故〃力有3個零點，選項C錯誤.故選：B

4.(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))函數(shù)/(幻滿足〃x)+/(r)=2，/(1+X)-/(1-X)=0,當(dāng)

xw[O,l]時，〃x)=x+l,則關(guān)于X的方程〃x)=^—在-2022]上的解的個數(shù)是()

2022*

A.1010B.1011C.1012D.1013

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/(X)滿足/(x)+/(-x)=2.所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(0,1)對稱，

因為/(l+x)-/(l-x)=0，即/(l+x)=/(l-x)，所以函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=l對稱，

因為當(dāng)xe[0,l]時，/(x)=x+l)

由圖可知，函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，周期為T=4，

由于函數(shù)*w[2,6]一個周期內(nèi)，歹=/(力與_L^有2個交點，

2022、

在上，y=/(x)與」^有]個交點，

2022、

所以根據(jù)函數(shù)周期性可知，當(dāng)、‘[°'2°22]時，y=/(x)與有2*迎2+i=ioii個交點.

2022，4

所以關(guān)于X的方程/(x)=—在X'[°'2°22]上的解的個數(shù)是1011個.

2022*

故選：B

5.(2022?寧夏?銀川一中一模(理))已知函數(shù)/(x)=eT_e，_d+2x_l，下列說法中正確的個數(shù)是

()

①函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(0,-1)對稱；

②函數(shù)/(x)有三個零點；

③x=0是函數(shù)/(x)的極值點；

④不等式/(〃?-2)+/(/)>-2的解集是(-2,1〉

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析,】/(x)+l=e-x-eJ：-x3+2x1

令g(x)=e-x-ex-x3+2x'則g(-x)=e*-e-JC+x3-2x=-g(x)?

所以函數(shù)g(x)=e-'_e*-Y+2x是奇函數(shù)，所以g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

所以/(x)的圖象關(guān)于點(0,-1)對稱，故①正確：

又因為g，(x)=-eT-e'-3》2+2=-(二+"+2_3》24_2+2-3/=-3x2<0.

所以g(x)在/?上單調(diào)遞減,所以/(力在公上單調(diào)遞減,

所以/(X)只有一個零點且無極值點，故②③錯誤；

由/(機(jī)_2)+/(川)>2得/(m_2)+l+/(/)+1>0，

'”以g(m—2)+gO"?)>0,以g(”—2)>—g(機(jī)2)''"以g("?—2)>gj/)，

所以加-2<-加2,所以m？+吁2<0，所以(機(jī)+2)(機(jī)-1)<0，所以-2<機(jī)<1，故④正確：綜上所述，正

確的個數(shù)是2個.

故選：B

6.（2022?天津南開?高三期末）函數(shù)/。）=3-3|-8$出乃》（欠€(wěn)11）的所有零點之和為（）.

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【解析】記力（》）=—，g（x）=si-而

g（3-x）=sin=sin（37r-TTX）=sinTVX=g（x），

M3_x）」2（3x）3|=|3_2x|=|2x_3|=,于是這兩個函數(shù)都關(guān)于x=3對稱，在同一坐標(biāo)系卜一畫出它

8882

們圖像如下，可知它們有8個交點，這8個交點可以分成4組，每一組的兩個點都關(guān)于x=±對稱，這樣的

2

兩個點橫坐標(biāo)之和是3,于是這些交點的橫坐標(biāo)之和為4x3=12.

故選：C.

7.（2022?江蘇）（多選）已知/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意xeR，有/0_力=_/（1+苫），

當(dāng)xe[0,l]時，/(x)=x2+x-2，則()

A./(x)是以2為周期的周期函數(shù)

B.點(13,0)是函數(shù)/(x)的一個對稱中心

仁/(2021)+/(2022)=-2

D.函數(shù)y=/(x)_l°gKx+l)有3個零點

【答案】BD

【解析】依題意，/(x)為偶函數(shù)，

且+=有I+l+x=],即/⑺關(guān)于。，0)對稱，

2

則/(x+4)=/(l+x+3)=-/(l-(x+3))=-/(-2-x)

=-/(-(2+x))=-/(2+x)=-/(l+l+x)=/(l-(l+x))=/(-x)=/(x)，

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，故A錯誤；

因為“X)的周期為4,4X)關(guān)于(1,0)對稱，

所以(-3,0)是函數(shù)/'(x)的一個對稱中心，故B正確；

因為的周期為4,則〃2021)=/(1)=0,/(2022)=/(2)=-/(0)=2>

所以/,(2021)+/(2022)=2，故C錯誤:

作函數(shù)y=bg,(x+l)和y=f(x)的圖象如下圖所示，

由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，

所以函數(shù)y=log2(x+l)_/(x)有3個零點，故D正確.

故選：BD.

8.(2022?遼寧沈陽?二模)(多選)已知奇函數(shù)/(X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為廣(X)，且

/(I+x)+2x=0恒成立若在［0,1］單調(diào)遞增，則()

A./(x)在［1,2］上單調(diào)遞減B.y(o)=O

C/(2022)=2022D-/(2023)=1

【答案】BCD

【解析】方法一：

對于A,若/(x)=x，符合題意，故錯誤，

對于B,因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo),所以/(o)=o,故正確,

對于C和D,設(shè)g(x)=〃x)-x，則g(x)為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，g(0)=0,

山題意/(］—x)+x-l=/(l+X)—1—X，得g(l—x)=g(l+x)，g(x)美卜且線x=1對稱，

易得奇函數(shù)g(x)的—個周期為4，g(2022)=g(2)=g(O)=0,故C正確,

由對稱性可知，g(x)關(guān)于直線x=-l對稱，進(jìn)而可得/(-1)=0，(其證明過程見備注)

且g，(x)的一個周期為4,所以g"023)=g'(-l)=0,故D正確?

備注：g(l-x)=g(l+x)，即-g(l-x)=-g(l+x)，所以g(-l+x)=g(-I)，

等式兩邊對x求導(dǎo)得,g，(-i+x)=-g，(-l-x)，

令x=0，/g'(-l)=-g'(-l)，所以g，(-1)=0。

方法二：

對于A，若/(x)=x，符合題意，故錯誤，

對于B,因已知奇函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，所以/(0)=0，故正確，

對于C,將/(i_x)-/(l+x)+2x=0中的x代換為x+1，

得/(_X)_/(2+X)+2X+2=0，所以/(X+2)+/(X)=2X+2，

可得/(x+4)+/(x+2)=2x+6,兩式相減得，〃x+4)_/(x)=4，

則/⑹-/(2)=4,/。0)-/(6)=4,…，7(2022)-/(2018)=4*

疊加得/(2022)-/(2)=2020，

又由/(x+2)+/(x)=2x+2>得/⑵=-/(0)+2=2,

所以/(2022)=/(2)+2020=20221故正確，

對于D,將/0_x)_〃l+x)+2x=O的兩邊對x求導(dǎo)，得-r(I)-/'(l+x)+2=0，

令x=o得，r(i)=i，

將寸(_x)=〃x)的兩邊對x求導(dǎo)，得j(-x)=_r(x)，所以r(-i)=「

將/(x+4)_/(x)=4的兩邊對x求導(dǎo)，得r(x+4)=/'(x)，

所以廣(2023)=/'(2019)=…=/'(-1)=1，故正確?

故選：BCD

9.(2022?海南?模擬預(yù)測)(多選)下面關(guān)于函數(shù)/