高考數(shù)學(xué)排列組合高考常見(jiàn)小題全歸類（精講精練）（解析版）

專題09排列組合高考常見(jiàn)小題全歸類

【命題規(guī)律】

排列組合是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本

概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng).本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見(jiàn)

的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識(shí).

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

核心考點(diǎn)二：直接法

核心考點(diǎn)三：間接法

核心考點(diǎn)四：捆綁法

核心考點(diǎn)五：插空法

核心考點(diǎn)六：定序問(wèn)題（先選后排）

核心考點(diǎn)七：列舉法

核心考點(diǎn)八：多面手問(wèn)題

核心考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列

核心考點(diǎn)十：涂色問(wèn)題

核心考點(diǎn)十一：分組問(wèn)題

核心考點(diǎn)十二：分配問(wèn)題

核心考點(diǎn)十三：隔板法

核心考點(diǎn)十四：數(shù)字排列

核心考點(diǎn)十五：幾何問(wèn)題

核心考點(diǎn)十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題

核心考點(diǎn)十七：排隊(duì)問(wèn)題

核心考點(diǎn)十八：構(gòu)造法模型和遞推模型

核心考點(diǎn)十九：環(huán)排問(wèn)題

【真題回歸】

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩

端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種

排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空

方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排

列方式，

故選：B

2.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)

項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)I,每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志

愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有仁種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)兀素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不

同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

3.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門

不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（）

A.12B.120C.1440D.17280

【答案】C

【解析】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，

再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有￡種情況.

所以共有8=1440種不同安排方法.

故選：C

4.（2020?海南?高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村

里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【解析】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有6=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種

故選：C

5.（2020?海南?統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲

場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【解析】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有C：；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有C；：

最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有C：?C；=6x10=60種.

故選：C

6.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為0，如…，012.設(shè)以勺＜仁12.若

修=3且j-i=4,則稱ai,aj,心為原位大三和弦；若七/=4且/-i=3,則稱山，aj,成為原位小三和弦.用

這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（）

A.5B.8C.10D.15

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：k-j=3,j-i=4.

i=1,j-5,k-8；i=2,j—6,k—9■,i=3,j—7,k=10：i=4,/=8,Z=11；i—5,j=9,k=\2.

原位小三和弦滿足：k-j=4,j-i=3.

i=\,j=4,k=S；i=2,j—5,k=9■,i=3,/=6,左=10；i=4,j=l,k=\\；i=5,j=8,k=12.

故個(gè)數(shù)之和為10.

故選：C.

7.（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

【答案】*

【解析】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有〃=C；=70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有

加=6+6=12個(gè)，故所求概率尸='=衛(wèi)?=9.

n7035

故答案為：—.

8.（2020.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，

每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

【答案】36

【解析】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1

名同學(xué)

二先取2名同學(xué)看作一組，選法有：C;=6

現(xiàn)在可看?成是3維同學(xué)分配到3個(gè)小國(guó)，分法有：4=6

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36種

故答案為：36.

【方法技巧與總結(jié)】

1、如圖，在圓中，將圓分"等份得到〃個(gè)區(qū)域%，％,,現(xiàn)取Mt..2）種顏色對(duì)

這“個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有+種.

2、錯(cuò)位排列公式&=（豆邛+1）?〃!

3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要

表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”

原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，

應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，

被限制的位置稱為特殊位置.這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某4個(gè)元素排在相鄰

位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這么個(gè)元素“捆綁在一起“，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其

他元素一起排列，共有可方;種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有履種排法.根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有四之：.4種.

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某氏個(gè)元素互不相

鄰（4+求不同排法種數(shù)的方法是：先將（〃-A）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把上

個(gè)元素插入〃-左+1個(gè)空隙中，共有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

娼?&U種.

7、解決排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)需注意“四先四后”：

（1）先分類，后分步：某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分

成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決.常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步.

（2）先特殊，后一般：解排列、組合問(wèn)題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮

其他情形.

（3）先分組，后分配：對(duì)不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問(wèn)題，常?！毕确纸M，再分配”.

（4）先組合，后排列：對(duì)于既要選又要排的排列組合綜合問(wèn)題，常常考慮先選再排.

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【典型例題】

例I.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式.九宮格下面是相

通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的

牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：

“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；

“四角格”屬文火，火力溫和，適合煙菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種

適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，

若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）

【答案】C

【解析】由題可知中間格只有一種放法；

十字格有四個(gè)位置，3種適合放入，所以有一種放兩個(gè)位置，共有3種放法；

四角格有四個(gè)位置，2種適合放入，可分為一種放三個(gè)位置，另一種放一個(gè)位置，有兩種放法，或每種

都放兩個(gè)位置，有一種放法，故四角格共有3種放法;

所以不同放法共有Ix3x3=9種.

故選：c.

例2.（2022春?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí)）某市抽調(diào)5位醫(yī)生分赴4所醫(yī)院

支援抗疫，要求每位醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排一位醫(yī)生.由于工作需要，甲、乙兩位醫(yī)生必

須安排在不同的醫(yī)院，則不同的安排種數(shù)是（）

A.90B.216C.144D.240

【答案】B

【解析】完成這件事情，可以分兩步完成，

第一步，先將5為醫(yī)生分為四組且甲、乙兩位醫(yī)生不在同一組，共有。；-1=9種方案；

第二步，再將這四組醫(yī)生分配到四所醫(yī)院，共有禺=24種不同方案，

所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有24x9=216種不同安排方案.

故選：B.

例3.（2022春?山東聊城?高三山東聊城一中?？计谀┠炒笮吐?lián)歡會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中

選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能

相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（）

A.720B.520C.600D.264

【答案】D

【解析】若甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，則演出順序的種數(shù)為：C；C；A：=192,

若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：隹&=72：

因此不同的演出順序的種數(shù)為192+72=264.

故選：D.

核心考點(diǎn)二：直接法

【典型例題】

例4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問(wèn)

成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩

個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）種

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，甲乙都沒(méi)有得到冠軍，而乙不是最后一名，

分2種情況討論：

①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有用=6種情況，

此時(shí)有3x6=18種名次排列情況；

②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有8=6種情況，

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有6=6種情況，

此時(shí)有6x6=36種名次排列情況；

則-共有36+18=54種不同的名次情況，

故選：A.

例5.某校開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出A,8,C,2E,尸共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，

決出第1名到第6名的名次（沒(méi)有并列名次），A和8去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)A說(shuō)“很遺堪，你和B都末拿

到冠軍；對(duì)8說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）

A.720種B.600種C.480種D.384種

【答案】D

【解析】由題意，不是第一名且B不是最后一名，8的限制最多，故先排5,有4種情況，

再排A,也有4種情況，余下4人有A：=4x3x2xl=24種情況，

利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有4x4x24=384種情況.

故選：D.

例6.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）

A.24種8.6種C.4種D.12種

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，

則只需對(duì)剩下3人全排即可，

則不同的排法共有用=3x2x1=6,

故選：B.

核心考點(diǎn)三：間接法

【典型例題】

例7.將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同

的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

【答案】D

［解析］7個(gè)人從左到右排成一排，共有￡=5040種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有勾耳=720

種不同的站法，甲站在最右端有＜=720種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有&A：=48種

不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648

種不同的站法.

故選：D

例8.某學(xué)校計(jì)劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲、乙、丙三位

教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（）

A.21種B.231種C.238種D.252種

【答案】B

【解析】10人中選5人有C：。=252種選法，其中，甲、乙、丙三位教師均不選的選法有■《=21種，

則甲、乙、丙三位教師至少人被選中的選法共有C：°-C；=231種.

故選：B

例9.中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美

育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六

藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不

相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

【答案】A

【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動(dòng)，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為A；A>

其中'‘射"不在第一次且“數(shù)”和“樂(lè)”兩次相鄰的不同次序數(shù)為A；A：A]

于是得A；A；-A：A：A；=5x120-4x24x2=408,

所以“六藝”講座不同的次序共有408種.

故選：A

核心考點(diǎn)四：捆綁法

【典型例題】

例10.（2022?四川自貢?統(tǒng)考一模）在某個(gè)單位迎新晚會(huì)上有A、B、C、D、E、96個(gè)節(jié)目，單位為

了考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目。、F必須安排連在

一起，則該單位迎新晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）種

A.36B.48C.60D.72

【答案】A

【解析】由題意。、尸在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個(gè)節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)

為3A；A；=36.

故選：A.

例11.（2022?四川宜賓?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“四書(shū)”“五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中

庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活

動(dòng)期間舉辦“四書(shū)”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》相鄰，但都不與

《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.A：A；A；B.A：A；C.A：A；A；D.A：A：A；

【答案】C

【解析】先排除去《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座,

共有A：種排法，將《大學(xué)》《論語(yǔ)》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有A；種排法，

排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，

從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語(yǔ)》捆綁成的個(gè)元素和《周易》的講座，有A；種排法，

故總共有外&A；種排法,

故選：C.

例12.（2022春?四川內(nèi)江?高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┠骋惶斓恼n程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、

物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則

共有（）種不同的排法

A.24B.144C.48D.96

【答案】D

【解析】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有2種，

物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，

與語(yǔ)文、英語(yǔ)、生物三門課程進(jìn)行排序，有A；A：=48種排法.

由分步乘法討數(shù)原理可知，共有2x48=96種不同的排法.

故選：D.

核心考點(diǎn)五：插空法

【典型例題】

例13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）電視臺(tái)在電視劇開(kāi)播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)

廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）.

A.A：A；B.C<C；

C.A：A；D.CrC；

【答案】A

【解析】先排4個(gè)商業(yè)廣告，則A：,即存在5個(gè)空，再排2個(gè)公益廣告，則A）故總排法：A：A；,

故選：A.

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)

古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且商、角

不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有反-3,再將商、角插入4個(gè)空

2

中，共有3A：=36種.

故選：C.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）A,B,C,D,E,F這6位同學(xué)站成一排照相，要求A與C相

鄰且A排在C的左邊，8與O不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學(xué)的不同排法數(shù)為（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】C

【解析】首先將A與C捆綁到一起，與除8、。以外的其他2位同學(xué)共3個(gè)元素進(jìn)行排列，有A；=6種

排法，再將從〃插空到除最右邊的3個(gè)位置中，有A；=6種排法，因此共有6x6=36種排法，

故選：C

核心考點(diǎn)六：定序問(wèn)題（先選后排）

【典型例題】

例16.滿足％eN"（i=l,2,3,4）,且x＜看＜三＜七＜10的有序數(shù)組（不工2，七,王）共有（）個(gè).

A.C：B.4C.品D.4

【答案】A

【解析】???數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得?個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為C；.

故選：A.

例17.某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（）

A.120種B.80種C.20種D.48種

【答案】C

【解析】在5個(gè)位置中選兩個(gè)安排其它兩個(gè)節(jié)目，還有三個(gè)位置按順序放入甲、乙、丙，方法數(shù)為&=20.

故選：C.

例18.花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如

圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由題意，對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行取下，

先對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有曖種方法，

因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取,

所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，

故洪有萬(wàn)建F=2520種，

故選：A

核心考點(diǎn)七：列舉法

【典型例題】

例19.（2022春?河南南陽(yáng)?高三統(tǒng)考期末）2021年8月17|：：|,國(guó)家發(fā)改委印發(fā)的《2021年上半年

各地區(qū)能耗雙控目標(biāo)完成情況晴雨表》顯示，青海、寧夏、廣西、廣東、福建、新疆、云南、陜西、江蘇、浙江、安

徽、四川等12個(gè)地區(qū)能耗強(qiáng)度同比不降反升，全國(guó)節(jié)能形勢(shì)十分嚴(yán)峻.某地市為響應(yīng)節(jié)能降耗措施，決定

對(duì)非繁華路段路燈在晚高峰期間實(shí)行部分關(guān)閉措施.如圖，某路段有十盞路燈（路兩邊各有五盞），現(xiàn)欲在

晚高峰期關(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對(duì)的路燈也不能同時(shí)

關(guān)閉，則不同的關(guān)閉方案有（）

ABCDE

A'B'CD'E1

A.15種B.16種C.17種D18種

【答案】B

【解析】因?yàn)樵谕砀叻迤陉P(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相

對(duì)的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，所以不同的關(guān)閉方案如下：

ACEB；ACED；ACBD,ACBE,ADBE,ADCE,AEBD.

BDAC,BDAE,BDCE,BEAC,BEAD,CEAD,CEBD,BACE,DACE,

共16種方案，

故選：B

例20.三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不

同的傳球方式共有（）

A.6種B.8種C.10種D.16種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，作出樹(shù)狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計(jì)數(shù)原理可知：

經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，

例21.（2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）定義“規(guī)范01數(shù)列"｛a"｝如下：｛“"｝共

有2m項(xiàng)，其中,*項(xiàng)為0,項(xiàng)為1,且對(duì)任意kW2/n,a,,a2,,4,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,

則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

A.18個(gè)B.16個(gè)

C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，得必有4=0，4=1，則具體的排法列表如下：

0111

011

0

101

1

10

0011

001

011

110

01

10

10

011

10001

1

10

,01010011；010101011,共14個(gè)

核心考點(diǎn)八：多面手問(wèn)題

【典型例題】

例22.我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)

跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析：根據(jù)題意可按照只會(huì)左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理，分成二類，即可求解.

詳根據(jù)題意可按照只會(huì)左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類2個(gè)只會(huì)左邊的都不選，有C；?《=100種；

第二類2個(gè)只會(huì)左邊的有1人入選，有C；ClC：=400種；

第三類2個(gè)只會(huì)左邊的全入選，有以G?《=175種，所以共有675種不同的選法，故選4.

例23.某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又

會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語(yǔ)乂會(huì)法語(yǔ)”的參與情況分成三類.

①“2人既會(huì)英語(yǔ)乂會(huì)法語(yǔ)”不參加，這時(shí)有種：

②“2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)”中有一人入選，

這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，

因此有C；G'C：+C；C；C；種；

③“2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)”中兩個(gè)均入選，

這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，

因此有C；C；C：++C；C；C：C：種.

綜上分析，共可開(kāi)出+C；C；G+UGC：或+C；C；C：+C；C；C；C：=185種.

故選：B.

例24.“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存

在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只

會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同

的選派方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)從=｛只會(huì)劃左槳的3人｝,8=｛只會(huì)劃右槳的3人｝,。=｛既會(huì)劃左槳又會(huì)劃

右槳的2人｝,據(jù)此分3種情況討論:

①?gòu)腁中選3人劃左槳，劃右槳的在（BuC）中剩下的人中選取，有C；=10種選法，

②從A中選2人劃左槳，C中選1人劃左槳，劃右槳的在（BuC）中選取，有C；C；C：=24種選法，

③從A中選1人劃左槳，C中2人劃左槳，B中3人劃右槳，有C；=3種選法，

則有10+24+3=37種不同的選法.

故選：C.

核心考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列

【典型例題】

例25.編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為I、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩

個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

【答案】B

【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人，方法數(shù)有C：=10,

另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致，方法數(shù)有2,

所以不同的坐法有10x2=20種.

故選：B

例26.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放

一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：

（I）在6個(gè)小球中任選2個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里，有=15種選法，假設(shè)選出的2個(gè)小球的編號(hào)為5、

6：

（2）剩下的4個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里，

對(duì)于編號(hào)為1的小球，有3個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是2號(hào)盒子.

則對(duì)于編號(hào)為2的小球，有3個(gè)盒子可以放入，

對(duì)于編號(hào)為3、4的小球，只有1種放法.

綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為15、3、3=135種.

故選：B.

例27.若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱

子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（）

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分2步分析：

①先從5個(gè)人里選I人，恰好摸到自己寫的卡片，有C；種選法，

②對(duì)于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了自己卡片

的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，

所以不同的拿卡片的方法有=45種.

故選：D.

核心考點(diǎn)十：涂色問(wèn)題

【典型例題】

例28.（2022春?陜西寶雞?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）某兒童游樂(lè)園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不

同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種

C.54D.72

【答案】D

【解析】如圖：將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，

第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域

②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2

種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有4x3x2xlx2種方案，即48種方案；

區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，

有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方

法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有4x3x2xlxl種方案，即24種方案；

所以符合條件的涂色方案共有72種,

故選：D.

例29.（2022春?寧夏銀川?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O,4,B,C,D,

E六個(gè)點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色,

則不同的涂法種數(shù)是（）

【答案】D

【解析】先給O涂色，有C；種方法，接著給4涂色，有C：種方法，接著給B涂色，有C；種方法，

①若C與A同色，則有1種涂色方法，接著給。涂色，有3種涂色方法，

最后E有2種涂色方法；

②若C與A不同色，則有2種涂色方法，接著給。涂色，

若。與4同色，則有1種涂色方法，最后E有3種涂色方法；

若。與4不同色，則有2種涂色方法，最后E有2種涂色方法.

綜上，涂色方法總數(shù)為C；C；C；［lx3x2+2x（lx3+2x2）］=12（X）

故選：D

例30.（2022秋?河北石家莊?高二石家莊市第十五中學(xué)?？计谥校┯盟姆N顏色給正四棱錐V-A8CD

的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（）

A.72種B.36種C.12種D.60種

【答案】A

【解析】如下表

頂VABD

C與A同色12

種

432

數(shù)C與4不同色

1

1

總

4x3x2x(lx2+lxl)=72

計(jì)

故選：A.

核心考點(diǎn)H^一：分組問(wèn)題

【典型例題】

例31.2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱棒，某

電影院指派5名工作人員進(jìn)行電影調(diào)查問(wèn)卷，每個(gè)工作人員從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)影廳選一個(gè)，可以

多個(gè)工作人員進(jìn)入同一個(gè)影廳,若所有5名工作人員的影廳編號(hào)之和恰為10,則不同的指派方法種數(shù)為()

A.91B.101C.IllD.121

【答案】B

【解析】(1)若編號(hào)為1+2+2+2+3=10,則有C；x2=20種，

(2)若編號(hào)為1+1+2+3+3=10,則有C；xC；=30種，

(3)若編號(hào)為1+1+2+2+4=10,則有C；xC；=30種，

(4)若編號(hào)為1+1+1+3+4=10,則有C；xC；=20種，

(5)若編號(hào)為2+2+2+2+2=10,則有1種，

所以不同的指派方法種數(shù)為20+30+30+20+1=101種.

故選：B.

例32.已知有6本不同的書(shū).

(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法?

【解析】

(1)6本書(shū)平均分成3堆，不同的分堆方法的種數(shù)為=15.

(2)從6本書(shū)中，先取1本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，不同

的分堆方法的種數(shù)為=60.

核心考點(diǎn)十二：分配問(wèn)題

【典型例題】

例33.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人報(bào)名參加了

A,B,C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目需1名或2名志愿者，若甲不能參加A項(xiàng)目，乙不能參加8、C項(xiàng)

目，那么共有種不同的志愿者選拔方案.

【答案】10

【解析】由題意可得乙-淀參加A項(xiàng)目，

若A項(xiàng)目只有一個(gè)人時(shí)，即為乙，

則先將甲、丙、丁分為兩組，有C；種，

再將兩組分配到B,C兩個(gè)項(xiàng)目，有A；種，

則有C；?A；=6種不同的志愿者選拔方案,

若A項(xiàng)目有2人時(shí)，又甲不能參加A項(xiàng)目，

則只能從丙、丁中選1人和乙組隊(duì)到A項(xiàng)目，有C；種，

再將剩下的2人分配到民C兩個(gè)項(xiàng)目，有A；種，

則有CjA；=4種不同的志愿者選拔方案，

綜上，共有6+4=10種不同的志愿者選拔方案.

故答案為：10.

例34.（2022?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承

擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有種不同的選法

【答案】180

【解析】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有C；種選法，

第二步，再?gòu)氖Ｓ?人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有C；種選法，

第三步，再?gòu)?人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有C；種選法，

所以共有C：C；C；=180種選法.

故答案為：180.

例35.（2022?四川南充?高三統(tǒng)考期中）隨著高三學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，很多高三同學(xué)心理壓力加大.通

過(guò)心理問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某校高三年級(jí)有5位學(xué)生心理問(wèn)題凸顯，需要心理老師干預(yù).已知該校高三年級(jí)有3

位心理老師，每位心理老師至少安排1位學(xué)生，至多安排3位學(xué)生，則共有種心理輔導(dǎo)安排方法.

【答案】150

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5位學(xué)生分為3組，若有兩組2人，一組1人，有C空2c2=15種分組方法，

若兩組1人，一組3人，有C；=10種分組方法，

則有15+10=25種分組方法，

②將分好的3組安排給3個(gè)老師進(jìn)行心理輔導(dǎo)，有A；=6種情況，

則有25x6=150種安排方法，

故答案為：150.

核心考點(diǎn)十三：隔板法

【典型例題】

例36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）六元一次方程為+%++/=1。的正整數(shù)解有組.

【答案】126

【解析】為+々++%=10的正整數(shù)解的組數(shù)為c；=JQxR^x7￡x6=126,

故答案為：126.

例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將10本完全相同的科普知識(shí)書(shū)，全部分給甲、乙、丙3人，每人

至少得2本，則不同的分法數(shù)為（）

A.720種B.420種C.120種D.15種

【答案】D

【解析】先從10本書(shū)中拿出3本，分給每人一本書(shū)，

再將余下7本書(shū)采用“隔板法”分給3個(gè)人，分法種數(shù)為C；=15,

故選：。

例38.（2022春?山東濟(jì)寧?高三濟(jì)寧一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）（x+2y+z）”展開(kāi)式為多項(xiàng)式，則其展開(kāi)式

經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（）

A.12項(xiàng)B.24項(xiàng)C.39項(xiàng)D.78項(xiàng)

【答案】D

【解析】（x+2y+z）”展開(kāi)之后必有形如小獷丁的式子出現(xiàn)，其中〃且“+6+c=ll.

構(gòu)造14個(gè)完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個(gè)，利用隔板法，共有分法G；種；

每組去掉一個(gè)小球的數(shù)目分