高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題13多項(xiàng)式（學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專題13多項(xiàng)式

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

3322}

1.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）（20.v+1ly）=<u-+bxy+cxy+dy,則

a-2h+4c-&/=.

2.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）若a>b>,a+b+c=0,且"、&為</+6+（、=（）的兩實(shí)根則

忖-司的取值范圍為

3.（2018?湖南?高三競(jìng)賽）四次多項(xiàng)式.『-18八代+200.丫-1984的四個(gè)根中有兩個(gè)根

的積為-32,則實(shí)數(shù)k=_____.

4.（2018?湖南?高三競(jìng)賽）已知n為正整數(shù)，若"：+3〃-1。是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么這

〃-+6〃-16

個(gè)分?jǐn)?shù)的值等于.

5.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知關(guān)于r的方程F+ad+公+,、=0的三個(gè)非零實(shí)根成等

比數(shù)列，則/.

6.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)a,6滿足=2,"上+上且=4則=

\+a\-b

7.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)“、/>、x、）?滿足心+外=3,=7,

ax'+by,=16.ax4+by4=42.則a./+byf=.

8.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)拋物線V=v的一條弦被直線八、,=MX-1）+1（AWZ）

垂直平分.則弦PO1KJ長(zhǎng)等于

9.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）為正整數(shù)k,方盾?"-A）優(yōu)-A）=/-A的整數(shù)解組卜,4、）

有個(gè).

10.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程/+/次+】=，（〃eR）的兩根為a、

P.若=則片

11.（2021?全國(guó),高三競(jìng)賽）在1,2,3,4,1000中，能寫(xiě)成/-從+［（“6可）的

形式，且不能被3整除的數(shù)有個(gè).

12.（2020?浙江高三競(jìng)賽）設(shè)曲線C：f（x）=x}-3xz+2x,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,直線

y=K+/）與曲線。有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則〃的取值范圍為.

13.（2019?江蘇?高三競(jìng)賽）若』+,-2是關(guān)于K、y的多項(xiàng)式/+〃9+川-5x+y+6的因

式，則a—b的值是.

14.（2019?江西?高三競(jìng)賽）設(shè)x>0,且/+4=7,則丁+1=

X-X

15.（2019?江西?島三競(jìng)賽）將集合｛I,2......19｝中每?jī)蓚€(gè)互異的數(shù)作乘積，所有

這種乘積的和為.

16.（2019?山東?高三競(jìng)賽）整數(shù)〃使得多項(xiàng)式/口尸37一〃x一〃一2,可以表示為兩個(gè)非

常數(shù)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，所有〃的可能值的和為_(kāi)_____.

17.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知關(guān)于8的方程f+（“-2010）,v+“=0（aw0）的兩根均

為整數(shù).則實(shí)數(shù)”的值為

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知實(shí)系數(shù)方程/-啜+6-1=（）有三個(gè)正實(shí)根.則

Tn，的坡小值為

19.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若』、％、當(dāng)是關(guān)于N的一元三次方程9-51+5.1+1=0的

三個(gè)兩兩不等的復(fù)數(shù)根，則代數(shù)式卜:+.r,.t,+項(xiàng)（石+占斗+靖卜；+$N+才）的值為

20.（2019全國(guó)?高三競(jìng)賽）對(duì)xeR,?eN.,定義墨=但業(yè)士二上D.設(shè)

/'（X）是一個(gè)6次多項(xiàng)式且滿足尸（0）=1,P仕）=2""伏=1.2,…,6）.用

a伙=1,2,…,6）表示？（?￥）=.

21.（2018?河北?高三競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)x、y、z滿足F+y?+22=3,.v+2,v-2-=4,則

“inax+“min

22.（2018?福建?高三競(jìng)賽）己知整系數(shù)多項(xiàng)式/（》）=/+4f+生爐+%9+<6+4,

若/(6+3)=(),/(1)+/(3)=0,則〃-1)=

23.（2018?全國(guó),高三競(jìng)賽）設(shè)“、〃、wR.且滿足方程組,

《+C=0,則ab+bc+cu的取值范圍是

一加一4。-5=0.

24.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)數(shù)”使得關(guān)于x的一元二次方程

5.尸-5（Z+66?-1715=0的兩個(gè)根均是整數(shù)廁所有這樣的?是

25.（2018?全國(guó),高三競(jìng)賽）設(shè)多項(xiàng)式/（X）滿足2/（x+l）+3f（x-l）=l（）Y+ll\+32.

RO/（-'）=.

26.（2018?全國(guó)高三競(jìng)賽）已知關(guān)于工的方程F-4/+5X+A=0（”eR）有三個(gè)實(shí)

數(shù)根A,,.r,?v,.則max{x?x2,.v,}的最大值為.

27.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知多項(xiàng)式?？谑?產(chǎn)“+%0M2°2+…+，"+4有2020

個(gè)非零實(shí)根（可以有重檢），其中的，“…-，的no為非負(fù)整數(shù)，求2（2020）的坡小值.

28.（2021?浙江,高三競(jìng)賽）已知方程Y+s+〃=o有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

x4+av+（/?-2）.v3-av+1=0有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

29.（2019?福建?高三競(jìng)賽）已知/（x）=.，-IO.P+加+/?+＜：,若方程尺）=0的根均為

實(shí)數(shù)，川為這5個(gè)實(shí)根中最大的根，則，”的最大值為.

二、解答題

30.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)不士（N＜占）是方程”2*2+6.+[=0的兩個(gè)實(shí)根，

事內(nèi)（當(dāng)＜%）是方程“F+ht+l=?的兩個(gè)實(shí)根，若事＜七＜A4，求實(shí)數(shù)“的取值

范圍.

31.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知實(shí)數(shù)小八z滿足，\+）+z=2020」+'+L=焉求

xyz202。

證：工、.八w中至少一個(gè)為2020.

32.（2020?浙江?高三競(jìng)賽）己知。（#，QW為整系數(shù)多項(xiàng)式，若

尸2O2O）Q（x）=1,求P。），Q（x）.

[.v+y+xy=8

33.（2019?新疆?高三競(jìng)賽）己知x、j，、z是正數(shù)旦滿足h+2+戶=15.則

|z+.v+zv=35

工七），葉2+毛，=.

34.（2019?山東?高三競(jìng)賽）已知//-3/+9是素?cái)?shù)，求正整數(shù)〃的所有可能值

（a+〃+o+d=3

2222

35.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足《a+h+c+el=3.

|abc+lx（1+cda+dab-I

證明：a（l—a）,一〃）'=c（l-c）’.

36.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若（wR）為某一整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱？為“代數(shù)數(shù)二否

則,稱，為“超越數(shù)”,證明:

(1)可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并為可數(shù)集：

(2)存在超越數(shù).

37.(2019?全國(guó)高三競(jìng)賽)是否存在實(shí)數(shù)A,使得

小、㈤=八-W+)尸+巧伊+己+Z)是一個(gè)二亓名項(xiàng)式.

、'7x+y+z

a="】+c

38.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知非零實(shí)數(shù)〃、從，、/滿足i/,八.

(1)證明：二次方程.V2+C(〃-2c)A-(/r+r)(〃-<,)=0必有實(shí)根；

(2)當(dāng)“=15.〃=7時(shí)，求

39.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)實(shí)數(shù)〃、9、，滿足：存在“為/>、4、，一中某一個(gè)，且

另兩個(gè)恰為方程丁+(“一3)x+“2-3“=()的兩實(shí)根.試求/+/+/的最小可能值.

40.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)2006個(gè)實(shí)數(shù)《,的,??“刎滿足多■+g+…+探■=：

幺+芻+...+3=±%+生+...+』,，工+_^_+...+3=±,

34200854520097”-2007200840124013

求代數(shù)式與+￡+.+…+端的值.

41.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求出所有使工+尹從一+2+匕0火均為整數(shù)的正有理數(shù)組

.Vyz

(A；y,.v)Cv<y<z).

42.(2018?全國(guó)高三競(jìng)賽)已知復(fù)平面上的正〃邊形，其各個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)恰是某個(gè)

整系數(shù)多項(xiàng)式/(8)=/+%尸+…+4工+4的”個(gè)復(fù)根.求該正多邊形面枳的最小n

43.(2021?浙江?高?二競(jìng)賽)已知二次函數(shù)江=+<?+*(?.feeR)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).若

/伊+2x-l)=。有四個(gè)不同的根小旦々，演，占，5成等差數(shù)列，求

的取值范圍.

44.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)函數(shù)/(K)=a--V+bK-l有三個(gè)正零點(diǎn)，求

g(4,〃)=―r-----的坡小值.

a(b-a)

45.(2019?江蘇?高三競(jìng)賽)己知實(shí)數(shù)“、b、c均不等于0,且

〃+。+(?=〃U+從+/=貯，求四士?*”一變七色包.的值,

2abc

46.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式/(1)滿足

(x,+4.r+4,r+3)/(4)=(/-2X2+2K-1)f卜+1).①正明:對(duì)所有正整數(shù)"(〃28),

〃〃）至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).

47.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知正A48c的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線＞上.試求正A48C

中心的乳跡方程.

48.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知方程Y+px+g=0和寸-2丫+廠=0都有實(shí)根（/，、

q、rsR,〃。0）,且可以安排適當(dāng)?shù)捻樞蚍謩e將兩個(gè)方程的根記為外、%和X，

X廁MX7亞=I成立的充要條件是1+2/J（什廠）+1=p'.

49.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）試求出所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/（x）,使得對(duì)滿足

tib++E=（）的所有實(shí)數(shù)“、b、c＜都有

八〃-〃）++/（＜?'-"）=2/（“+/?+c）.

50.（2018?全國(guó),高三競(jìng)賽）求所有正整數(shù)對(duì)（PM、—）.其中，/且（〃M）=I,使得

競(jìng)賽專題13多項(xiàng)式

(50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練)

一、填空題

1.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)若(20x+ll.y)3=<1+〃*??+cvN+d/,則

a-2b+4c_&/=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

【詳解】

令x=I,y=-2,條件式立即化為(-2)'=?-2/7+4c-&/,即a-2/,+4<-&/=—8.

故答案為：-8.

2.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)若a>b>,a+b+c=0,且為潑+/M+C=0的兩實(shí)根.則

忖一閶的取值范圍為.

【答案】［0,3)

【解析】

【詳解】

由a+b+c=0,知方程<那+〃x+c=O有一個(gè)實(shí)根為1，不妨設(shè)N=l.

則由韋達(dá)定理知K,=￡.

a

而a>b>c.a十b+c=0,故

a>0,cVO,且a>ac>c.

則一2<，v-g.

a2

故=(￡)<4?

從而，忖7；同0,3).

故答案為口3)

3.(2018?湖南?高三競(jìng)賽)四次多項(xiàng)式/-l&P+kF+ZOOx-Ngd的四個(gè)根中有兩個(gè)根

的積為?32,則實(shí)數(shù)k=____.

【答案】86

【解析】

【詳解】

設(shè)多項(xiàng)式X」-I&P+Q2+2(X)X-I984的四個(gè)根為中當(dāng)、右％,則由E達(dá)定理，得

-V|+.v2+.v,+.Vj=18,

.V|X,+ApV,+MW+.v2.v；+x2x4+x5.v4=k,

.v.Ai.y,++A/r%+.r,.t3.r4=-2(X),

.外玉.0。=-1984.

設(shè)N%=-32，則.v,.r4=62,故

62(.V,+.v,)—32(A,+.v4)=-2?0.

x.+x,=4,

又為+勺+&+士=18,所以《'..

故《=玉&+*0+(X|+叢)(.q+x4)=86.

故答案為86

4.(2018,湖南?高三競(jìng)賽)已知n為正整數(shù)，若空即二3是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么這

*+6/7-16

個(gè)分?jǐn)?shù)的值等于.

【答案】［

【解析】

【詳解】

因?yàn)椋篔：；［：=］：；熏4當(dāng)”2=±1時(shí)，若(〃+8,〃+5)=(〃+5,3)=1,則

，E上即二U1是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，故當(dāng)〃=3時(shí)，該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).

//*-6//-16

Q

所以這個(gè)分?jǐn)?shù)為A.

O

故答案為

5.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知關(guān)于、的方程+〃x+r=0的三個(gè)非零實(shí)根成等

比數(shù)列，則

【答案】0

【解析】

【詳解】

d+dq+dqz=

設(shè)這三個(gè)根分別為4、4/、dq-,由韋達(dá)定理得上/%+"'2+"%'=/@

代入式-c,故“，-//=().

故答案為0

6.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)“，〃滿足”_〃=2.空里+上生=4則/—//=

I+?1-/?

【答案】82

【解析】

【分析】

【詳解】

空上+匕色1=40(")(1+〃)+(1-后(]_〃)=4(1+“)(1-〃)，

I+?\-h

<=>(a-b)\(a—h)*1+3>ab]-(a—b)2—lab-(?—/?)+2=4+4(“一〃)—4ab=ab=1,

a5-h5=(<?+h2)(/-〃')-<rb2(a-h)=82.

故答案為：82.

7.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知實(shí)數(shù)“、/八x、),滿足以+外=3,ax2+hy2=l,

”./+by3=16,ax4+hy4=42.貝ljax'+hy5=.

【答案】20

【解析】

【詳解】

由ctx'+屋=16=>(av'+by,)(.v+y)=I6(.r+_y)

=(av"+hy4)+ay+/?y2)=I6(.v+y)=>42+7.9,=16(.v+.V)>

ax2+hy2=7

=(a<2+by2)(.v+.y)=7(x+.v)

=(?P+，，/)+A：y(“x+=7(N+Y)

=>I6+3AI=7(A+v),

聯(lián)立式、解得x+.r=T4,母=-38.

則,“」+/，)，=42

=(m'+bj')(.v+),)=42(x+),)

=>(a?+by5)+.vy^(ix+by')=42(.v+.y)

=a?+by-=42(.v+y)-l6xy=20.

故答案為20

8.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)拋物線.-一的一條弦/?。被直線/：)，=A(x-l)+l(&eZ)

垂直平分.則弦照的長(zhǎng)等于.

【答案】Vio

【解析】

【詳解】

設(shè)直線PQ的方程為了=-'工+分(顯然否則，/不可能垂直平分PQ).

k

2

y=x

由I消去工并整理得v2+k、-bk=0.

y---x+p,

由PQ與拋物線.9=X有兩個(gè)不同交點(diǎn)，知上式的判別式大于零,即K+4從?>0.

設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,則有％=-g，X”=g+bk.

而〃在直線/上，所以，人=人｛3代+從+

將式代入式整理得：(八2乂&2-24+2)<0.

解得-2<￡<0,

乂由AeZ,知太=-1.

將A=-l代入式，得〃二一1.

于是，直線PQ的方程為.xx-l.

fy=V-I

由｛.「‘消去兒得V_3V+i=o.

I廠=工

設(shè)』、聲為其兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得

為+凸=3.xrv2=I.

故|PQ|=J1+烷Jb-.ql

A+x2)'-A(.V2=1-

故答案為加

9.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）對(duì)正整數(shù)k,方程（a2-大心2-4）=，2-A.的整數(shù)解組

有個(gè).

【答案】無(wú)數(shù)

【解析】

【詳解】

H乂〃=〃+l,r=ab-k,

則c?-k=a2b2-2kdb+k2—k

-人）（〃2-人.）="2〃2_人.（“2+〃2）+公.

因<J+//=（/,+1f+〃2=2/>（〃+1）+1=2<〃>+1,

所以.（l-Q（5-k）=c2-Z：.

由h的任意性知，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

故答案為無(wú)數(shù)

10.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在發(fā)數(shù)范圍內(nèi)，方程F+px+l=0（〃€R）的兩根為“、

夕.若|。-刈=】，則P=.

【答案】±6或±4

【解析】

【詳解】

若方程有實(shí)數(shù)根，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為撞里與邁I，此時(shí)，/）=±石；

22

若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)根互為共扼復(fù)數(shù)，分別為士G+i與±6-i

22

此時(shí)，p=±6

11.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在I,2,3,4,...,1000'I',能寫(xiě)成"+1（“wN）的

形式，且不能被3整除的數(shù)有個(gè).

【答案】501.

【斛析】

【詳解】

設(shè)5={1,234,…,1（）00},若“=從+1,則"3（mod4）.又

4A=(2A)3-(2A-1)2+1.44+1=(人—I)?-("1)2+1,4A+2=(2A+l)2-(2A-)3+l.因

此，n=a~-b-+1當(dāng)且僅當(dāng)n*3(mod44).令A(yù)=wS|"三3(mod44)),

fl={/?eS|fts()(mod3)),則Ac8={ceS|c三3(modl2)},因?yàn)槁?25(),同=333,

|Ac同=84,從而符合條件的數(shù)的個(gè)數(shù)為1(XX)-250-333+84=501

故答案為501

12.(2020?浙江?高三競(jìng)賽)設(shè)曲線C：J(X)=X3-3X2+2X,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,直線

)?=kv+/>與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則〃的取值范圍為.

【答案】0.

【解析】

【詳解】

直線F=心+〃與曲線C聯(lián)立，消去)'得：f-3/+(2-A).v-/>=().

法上出題設(shè)，該方程對(duì)任意的《wR,均有且乂只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

設(shè)g(.t)=F-3.d+(2-A)x-〃,則/(x)=3Y-6x+(2-k),

則△=36-l2(2-A)4?對(duì)任意的AeR恒成立，這不可能成立，

故人的取值范圍為0.

法2：設(shè)方程的根為?%,則

2

.?-3A-+(2-k)x-b=(.v-.r(1)(.v+?tv+〃).

由題意得.方程F+〃武+〃=0無(wú)解，或方程的根為品.對(duì)比兩邊的系數(shù)得：

3

m=—

THX。=-3的

n-mx{)=2-k=，n=5-k

一叫=-h

ii=—h

%

因?yàn)閂&wR,所以"eR,方程V+"故+〃=0化為

.V3+—,v+—=0(*)

941)

(1)方程(*)無(wú)解時(shí)，則△=1■——<0，即〃>9%對(duì)任意.。工0恒成立，

玉)上《)

故人的取值范圍為0.

⑵方程(*)有唯一的解則△=[?-竺=0n.%=工rW—T+3+—=0.

%?%4b{4h)9

矛盾.

綜上所述，〃的取值范困為0.

故答案為：0

13.(2019?江蘇?高三競(jìng)賽)若"y—2是關(guān)于X、y的多項(xiàng)式/-5x+y+6的因

式，則“一〃的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】

結(jié)合?因式分解待定系數(shù)V+"v+〃/-5x+.v+6=(x+>-2)(.r+力?+,”),即可得解.

【詳解】

由題：K+.V-2是關(guān)于x、y的多項(xiàng)式f+，《”/,『-5*+y+6的因式,

所以F+aw+by2-5.v+y+6=(,r+>,-2)(.r+by+m)

即x3+ary+hy1-5v+y+6=.vJ+(/?+1)xv+by2+(zw-2).v+(in-2I>)>>-2m

?=/?+!

a=—I

-2--5

所以，解得％=-2

m-2/>=I

m——3

-2/n=6

所以“一〃的值是I.

故答案為：I

【點(diǎn)M】

此題考杳多項(xiàng)式因式分解，利用待定系數(shù)法求解系數(shù)，也可利川賦值法，結(jié)合特殊值

求解.

4(2。⑼江西?高三競(jìng)賽)設(shè)Q。，且八97,則八卜

【答案】123

【解析】

【詳解】

1

XH—=X?+—742=9,所以.r4—=3.

X

由49=卜+[)=x、J+2,

則47.

所以y=，+口一二+3)

故答案為：123.

15.(2019?江西?高三競(jìng)賽)將集合｛I，2......19｝中每?jī)蓚€(gè)互異的數(shù)作乘積，所有

這種乘積的和為.

【答案】16815

【解析】

【詳解】

所求的和為;[(1+2+...+19尸-儼+2?+…+19，]=[(36100-2470)=16815.

故答案為：16815.

16.(2019?山東?高三競(jìng)賽)整數(shù)"使得多項(xiàng)式/(T)=3/—，”一〃一2,可以表示為兩個(gè)非

常數(shù)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，所有"的可能值的和為

【答案】192

【解析】

【詳解】

由題總知於,)=(，*'+〃x+c)(&+e).其中“、/＞、cd、e均為整數(shù).且不妨設(shè)(“，〃)=(】，3)

或(3,I).

若(a,J)=(1.3),則一5=7(-1)=(1一加r)(-3+e),所以(-3+e)|(-5),得聽(tīng)一2,2,

4,8：

又/卜三)=0得e1=3(ne-3n-6).有3|e,矛盾.

若(a,0=(3,I),一方面由一5=/(—I)得&-1)|(一5),有片一4,0,2.6；

另一方面.力)=0,得3/—〃e—"-2=0,故可以求得”的值為38,-2.26,130.

所以所求之和為192.

故答案為：192.

17.(2019?全國(guó)高三競(jìng)賽)已知關(guān)于'的方程f+(“-2010).v+a=0(“x0)的兩根均

為整數(shù).則實(shí)數(shù)”的值為-

【答案】4024

【解析】

【詳解】

設(shè)方程的根為-vi、占(N~X2)-

由韋達(dá)定理得興+占=一（々一2，IO）,XR=a.則-+A+.q=201（）,即

(再+1)(9+1)=2011.

又因?yàn)?。11為質(zhì)數(shù)，所以，「IM：=刈0,。嘿I(mǎi)x.=—2=012,故"=。（舍）或…）24.

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知實(shí)系數(shù)方程加-V+公-1=（）有三個(gè)正實(shí)根.則

p_5a2-6ab+3

的附小值為

【答案】108.

【解析】

【詳解】

設(shè)“r5-.$+辰-1=?的三個(gè)正實(shí)根為M、匕、vj.

由書(shū)達(dá)定理得9+%+、=：，①

b三

匕%+彩匕+匕匕=,，②

"a

由式、得“>（）.h>（）.

由式、得436.④

a

而3（耳f+丹丹+匕甘?）&（匕+匕+匕）"=3?3";=3ab<1.

5。/一6〃b+3>5a2+1

故『?

(/?-</)rz3(/?-?)

又（匕+匕一H）（匕+匕一七）（4+B_、）$IF"=>一2唧-2?J&-2、

=>9a2-4ab+]>()=>5a2+1>4r/(/?-a).

4a（b—a）4

則77------\=~-l°8.

a（b-o）cT

故當(dāng)a=今,b=6時(shí),〃取最小值108.

故答案為108

19.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若』、三、內(nèi)是關(guān)于x的一元三次方程9-5.d+5.t+1=0的

三個(gè)兩兩不等的復(fù)數(shù)根，則代數(shù)式（X；+NN+-v；）（-v；++汽+,r；）（*+.卬5+d）的值為

【答案】625

【解析】

【詳解】

由韋達(dá)定理得

X,+.V2+=5,.VrV2+X2.v,+A\A|=5,40戈3=-I.

則(.V；+A|A2+X；)+X內(nèi)+A；)(X；+工內(nèi)+A；)

工：￡.匕犬；X；.v；5工；5M-]-(5.v,-5.0-I)

N-占占一事七一%、一看

5.v；-5工-1-(54-5.V5-1)5M5.1]-(5卜5%1)

4一.q七一%

=125(.、+&T)(々MT)(M+N7)

=I25(4_.VJ(4_$)(4_%)=625.

20.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)對(duì)xwR.”wN.,定義c：=出二!土二竺D.設(shè)

n\

P(x)是一個(gè)6次多項(xiàng)式且滿足/>(())=1,P(A)=2i(*=1,2,…,6).用

《僅=1,2,…,6)表示/>(司=.

【答案】1+C：+C：+C；

【解析】

【詳解】

由/,(())=1,知存在多項(xiàng)式0(x)使得P。-)=I+xQ(、).

故1=。⑴=I+Q⑴，有0⑴=().

又有多項(xiàng)式。2(K)使得Q(-V)=(.1)23,即。(“=l+.v(.v-|)(22(-v).

故2=P(2)=I+2Q⑵,有0(2)=g.

從而，又有多項(xiàng)式R(x)使得。2(M=(X-2)QG)+；.

則P(.v)=l+C；+.v(A-l)(x-2)&(A).

又由4=尸(3)=I+3+3!如2),知(?,(3)=0.

故Q3=(.r-3)2(-V),p(.v)=]+C-+A-(.v-1)(x-2)(.v-3)(A).

進(jìn)一步有/J(.v)=l+C；+C+-V(A—1)(X-2)(.V-3)(A—4)(.V).

繼續(xù)下去并利用P(-v)是(,次多項(xiàng)式可得。⑺=1++C+C*.

故答案為1+C：+C：+C：

21.(2018?河北?高三競(jìng)賽)若實(shí)數(shù)x、y、z滿足F+./+￡=3,K+2)，-2Z=4,則

Zg、+。=-

【答案】*

【解析】

【詳解】

由柯西不等式得M+r)(l+22)>(x+2?,由己知得V+y2=3-z\

(x+2yf=(4+2z『,所以有5(3-巧2(4+22?，化簡(jiǎn)得9Z2+16Z+140，即Z.、、

ZE%方程9z?+16z+1=0的兩根，由書(shū)達(dá)定理得Znu,+Zm；n=-￡.

22.(2018?福建?高三競(jìng)賽)己知整系數(shù)多項(xiàng)式/(K)=*'+4/+a..r2+a.x+火，

若/(6+應(yīng))=0,/(l)+/(3)=O,WJ/(-!)=

【答案】24

【解析】

【詳解】

設(shè)％=6+無(wú)，則與一&=忘，

于是￥-26%+3=2,2'=a：+1.

所以(26％,=(x：+[)~,x；；-IO.VJ+1=0.

所以％=6+/足多項(xiàng)式g(.v)=.v4-lOf+1的一個(gè)根.

又.％=G+五不可能是三次整系數(shù)多項(xiàng)式、二次整系數(shù)空項(xiàng)式的零點(diǎn).

所以g(x)整除/(X).故J'(x)=g(.v)(.v-r)=(.V4-!()X2+1)(x-r),，,為整數(shù).

所以/(l)=—8(1—，)=-8+8/，/(3)=-8(3-r)=-24+8r.

由/(l)+f(3)=0,得(-8+8r)+(-24+8r)=0,,-=2.

所以/(')=(X4-10.v3+l)(.v-2),/(-l)=24.

23.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)“、〃、<wR.且滿足方程組,

":+?則岫+/”?+*的取值范圍是

cr-be-4n-5=0.

【答案】卜40,72]

【解析】

【詳解】

由題設(shè)得僅、=“2-4?_5.從+C2=Y"+[0RT+”.

則/,+c=±J(〃+c)-=±>lb'+c2+2/)c=±V?2+2?+l=±(<?+l).

由根與系數(shù)關(guān)系知，b、c是關(guān)乎，的一元二次方程/不"/+1)/+“2-々-5=0的兩個(gè)

實(shí)根.

由△=(〃+1)，-4(/一4“一5)2?,解得-I<a<l.

令/(“)=ah+hc+ca=a(b+c)+be=±a(a+\)+a2--5,

-?51

所以，/(a)=2(〃+l)a--或/(4)=-5(“+l)(-l4"47).

易知，當(dāng)〃“)=-5("+1)時(shí)，-40</(?)<0；當(dāng)/(a)=2(“+l)“一|時(shí)，

4g

--</(〃)<72.所以"+儀、+c”的取值范圍是卜4(),72].

8

24.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)實(shí)數(shù)”使得關(guān)于x的一元二次方程

N-5m+66〃-l7l5=0的兩個(gè)根均是整數(shù)廁所有這樣的〃是.

【答案】870

【解析】

【詳解】

設(shè)兩個(gè)整數(shù)根為超、%(%4%).由根與系數(shù)關(guān)系得"=."+』，從而，”是整數(shù).

由原方程得“=5"15=.v+l3+^—

51665.V-665A-66

5（A-8571）—FC,.-5x857+664219

O_■―eZ（因?yàn)?與51--66互質(zhì)）O--------------------G/O------------GZ

5.v-665.V-665A-66

。5x-66=±1或土4219(因?yàn)?219是質(zhì)數(shù))

ox=l3或857.

所以，a=13+857式13+13或857+857,即“=87（）!哎26或1714.

由方程有整數(shù)根知5,，這與”=26,1714矛盾.故</=87().

25.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)多項(xiàng)式/（、）滿足2/（x+l）+3/（x-l）=IO./+ll.r+32.

則"'?）=

【答案】2.V2+3.V+5

【解析】

【詳解】

注意到/（N+1）與/（1I）的次數(shù)相同，而右邊為二次的，故〃A）=/+6+U.

代入題設(shè)等式并比較兩邊系數(shù)得“=2.〃=3,C=5.

因此，/（v）=2.v3+3x+5.

26.（2018,全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知關(guān)于x的方程F-4A?+5A+“=0（aeR）有三個(gè)實(shí)

數(shù)根弓..%為.則max{?..%S}的最大值為.

【答案】2

【解析】

【詳解】

不妨設(shè).0=maxk，Xj,.q}.

x+x+.v.=4,x+A-,=4-.v?

由韋達(dá)定理得2晨=k=5f（.…）=5-/（4-斗）?

于是，以N、々為根的一元二次方程為.--（4-』）*-5+.虱4-』）=（）

=>△=（4-xJ-4[5-.v,（4-$）]20n3x；-8.v,+4<0

2\

當(dāng)-v,=2時(shí)，超=勺=1，a=-2.

故max{3,&/}的最大值為2.

27.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知多項(xiàng)式PCX%。.產(chǎn)"+“刈gx"%…+4"“0有2020

個(gè)非零實(shí)根（可以有重根），其中“。，4.…，/og為非負(fù)整數(shù)，求產(chǎn)（202。）的坡小值.

【答案】202產(chǎn)

【解析】

【詳解】

設(shè)2020個(gè)非零實(shí)根為'"''',,2020>易知4”“2020—I-

當(dāng)入20時(shí)，/>(.??)>0.所以E<0.

由均值不等式知2020-x,..202W行(i=l,2,…、2020).這2020個(gè)式子相乘，得

2020(2020—

22202

P(2020)=4202Vn(°°-“初。產(chǎn)'匈㈠產(chǎn)n*

>\Vz

=。M?202產(chǎn)、伊-

V02O2U

2020

=202嚴(yán)2。*0a第>2021.

當(dāng)P(x)=(x+1)如。時(shí)，等號(hào)成立.故『(2020)的最小值為20212Mo.

故答案為：202產(chǎn)20.

28.(2021?浙江?高三競(jìng)賽)已知方程F+m+〃=o有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

Y+小」+(〃-2)V-av+1=0有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

【答案】4

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)項(xiàng)與與是方程爐+“r+〃=()的兩個(gè)不同的根.

由」：達(dá)定理知N+占=-a,玉々=b.

不難驗(yàn)證,f+av'+(ft-2).v2-av+1

232

=x-(.v,+A;).r+(-VIX2-2).V+(.V|+X,)A+I

=(/-wi)(F1)、

剩K只需證明，方程F-中-1=O,1'-X,A-I=0的根是實(shí)數(shù)」L兩兩不同.

事實(shí)匕這兩個(gè)方程的判別式顯然都是正的，所以個(gè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

2

而若X是這兩個(gè)方程的公共根.則有(F-.v,.v-l)-(x-Arv-l)=-N)=0.

于是x=0,是X=0卻明顯不是它們的根.

所以方程/+公+(〃-2).『-<"+1=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根.

故答案為：4.

29.(2019?福建高三競(jìng)賽)已知/")=./-lOx'+ad+Za+c,若方程%)=0的根均為

實(shí)數(shù)，加為這5個(gè)實(shí)根中最大的根，則，"的最大值為.

【答案】4

【解析】

【詳解】

設(shè).仆)=0的5個(gè)實(shí)根為芭觸Jx我兒，”,則由書(shū)達(dá)定理,得，"+N+X,++為=0,

W?(.V,+X,+A；l+.V4)+(.V,X,+NN+X,Aj+x,x,+x,.v4+x；芍)=-10.

1

于是,卬?+.v,.Vj+與％+,r2.r?+x2x4+%為=-10+in.

所以x：+x；+x；+.v;

=(x+x+.V,+.V)：+N&+.v.v,+.0。+內(nèi)％)

t24-2(.V1X2+.VIAJ2

=〃?2-2(-10+ni2)=20-"F

另一方面，由柯西不等式，知(.』+三+.“+.《『”4(xf+.r；+,v；+石).

于是，，“法網(wǎng)20—〃P)、"「I6,〃f?4.

乂對(duì).小Kx-4)(.r+l)4=f_]Ox3_201-15矛4.

方程的根均為實(shí)數(shù)，且5個(gè)實(shí)根中最大的根,”=4.

所以”，的最大值為4.

故答案為：4.

二、解答題(共0分)

30<202?企國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)均W(N<±)是方程儂.+]=()的兩個(gè)實(shí)根，

』,%(為<%)是方程/+Av+1=0的兩個(gè)實(shí)根，若與:占<三<&,求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

【答案】

【解析】

【分析】

【詳解】

b\力^

由L達(dá)定理，得內(nèi)+M=--7>A.AS=—一q+.0=--?=一.

a~'a-aa

前后兩式分別和除，得」?+;=-6='+'.

~"243工J

因?yàn)閄/,=二>0,所以.*、.與同號(hào).

。一

…八JI1II)II

^fX?<()<.￥,<x2<X4,矛盾.

,11111111

XiXy<-V<x2<0<.v4,則一<-<_<__+_,矛盾.

工2X“3%*以內(nèi)％

所以內(nèi)、.、$、&同號(hào)，n有.%%=1>0,即〃>o.

a

11111111c

又因?yàn)?<為<戈2<X，得一<一<一<—，所以-：---7>-----7>0

即/>〃，結(jié)合〃>0,知實(shí)數(shù)。的取值范圍為{al〃>1}.

31.(2021全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知實(shí)數(shù)x、j，、z涉足"了+2=2020,+1+1=短求

xyz2020

證：x、y、z中至少一個(gè)為2020.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

由題意知2020(AJ+)-Z+ZX)=ATZ.故：

(A-2O2())(.y-2()2())(z-2()2())

=.vyz-2020(.0'+yz+zv)+20202(.r+y+z)-2020’

=2O2O;(.v+y+z-2020)=0,

故x、.1、二中至少一個(gè)為2020.

32.(2020?浙江?高三競(jìng)賽)已知P(x),Q(』為整系數(shù)多項(xiàng)式,若

P-(A)-(.V!-2020)G(.V)=I,求P(x),QQ).

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】

【詳解】

由題意得：)-1=(.d-2020)Q(.v),L!|J[P(.v)-l][P(.v)+1]=(.v2-2020)Q(x).

因?yàn)镕(.r)+l-[P(A)-l]=2,故P(x)+1,P(A)-1無(wú)公約式，

若0(6=。，則2。)=±1,

若。(、)H(),因?yàn)镻。)，Q(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式,

P(x)-1=_2020)<?,(.v)JP(x)+1=(./-2020)</,(.v)

則

P(.V)+1=</,(A)P(A)-|=</,(.V)

其中q(.V),%(R無(wú)公約式,

P(.v)-1=(.V2-2020)</)(.v)

則%(x)=(Y-202())4(x)+2,

P(x)+l=%(x)

故P(x)=(.v2-2020)</,(.v)+l,Q(x)=qG)[(.d-2020)^(.t)+2].

a.o+iXY-zozobM)

同理當(dāng)111.

P。)-1=</,(A)

P(x)=(.r-2020)/(A-)-I,Q(.r)=q,(x)[(V-202()兒(x)-21，

綜上，P(-v)=(.r-2020)(/,(.v)-1,(2(.r)=?/,(.r)[(.t2-202())</,(A)-2]

或P(x)=(x--2020卜4(A)+1,Q(.r)=%(.v)[(.v2-2020)(.r)+2J,

q(x)為將系數(shù)的多項(xiàng)式.

[.v+y+.vy=8

33.(2019?新疆?高三競(jìng)賽)已知了、「、二是正數(shù)且滿足b'+z+1z=l5?則

|z+x+zx=35

.什)注2+.9=.

【答案】15

【解析】

【分析】

根據(jù)盧「飛尸8知.葉吐物1=9,即(1+A)(1+))=9,同理對(duì)方程組變形，作商求解.

【詳解】

由X+.V+K產(chǎn)8知.v+產(chǎn)券41=9,即(]+x)(i+y)=9.

(J+3■)(1+z)-16

同理可得□

(l+z)(i+.r)=36

結(jié)合和可得(l+K)(l+J)a+2)=3x4x6,

ft!和可知z=7.

同理由，口可得x=g,尸1.從而.v+j?+z+.ri?=15.

故答案為：15

【點(diǎn)瞄】

此題考查解三元二次方程組，涉及利用因式分解整體代入求解方程，對(duì)代數(shù)式的綜合

處理能力要求較高.

34.(2019?山東?高三競(jìng)賽)已知C-3/+9是素?cái)?shù),求正整數(shù)〃的所有可能伯

【答案】?-1.n-2

【解析】

【詳解】

因?yàn)橐?"2+9=(”?+3"+3)("2—3"+3),所以或〃?-3"+3=1,解得，「I.2.

將〃=1,，尸2代入檢驗(yàn)均滿足題意，所以”=1.片2為所求.

a+b+e+d=3

1222

35.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足《a+b+e+(l=3

(abc+bed+cda+(kih=1

ill:明：?(1—a)=/?(l-/?)'=t(l—=J(l-