高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題17其它綜合類競(jìng)賽題（學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專題17其它綜合類競(jìng)賽題

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

I.（20⑼全國(guó)?高三競(jìng)賽）計(jì)算:岳（￡）=.

2.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)平1,2,3）,今（2,4,1）,小14,5）,中4,火+1,3）是空間中體積為1

的一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn).則k=.

3.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）給定函數(shù)/（、）=J匚工（AW1）.則函數(shù)/"）與反函數(shù)尸⑴

交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

4.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）把函數(shù)/（2=””的系數(shù)按其自然位置排成兩行兩列，記

cx^-d

為二階矩陣A=「'j.其中，每一個(gè)數(shù)字稱為二階矩陣的元素.又記

"d）

..af（x}+h（a2+fx:）x+（ab+bd）

//.'）=[=1------Q-----1的系數(shù)所組成的二階矩陣

c/（x）+”[ac+cd）x+'[bc+dj

卜5；"*/]為A的平方，即人一…卜”：：空,觀察二階矩陣乘

\ac+cdbc+cV/+bc+（rJ

法的規(guī)律，寫出A3=A2XA=「""'I中的元素如=________.

l/l（122）

5.（2018?江西高三競(jìng)賽）“、/，為正整數(shù)，滿足=盛，則所有正整數(shù)對(duì)何力）

的個(gè)數(shù)為

6.（2018?湖南?高三競(jìng)賽）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角

形，笫一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去

一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.

設(shè)A,,是第n次挖去的小三角形面積之和（如A是第1次挖去的中間小三角形面積，

&是第2次挖去的三個(gè)小三角形面積之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和

的值為______

邊長(zhǎng)為1的原等邊三角形第一次第二次

7.（2018?湖南?高三競(jìng)賽）己知n為正整數(shù)，若與超二皿是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么這個(gè)

〃-+6〃-16

分?jǐn)?shù)的值等于.

8.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)A?為常數(shù).若對(duì)一切V?（）」），有

，+0+十大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

9.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）定義數(shù)列｛%｝：q,=〃'+4（〃eM）,令4=&".）.則4

的最大值為?

10.（20⑼全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖，設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形48CQ,其中，

A8=I8,CD=6.若圓臺(tái)的面為8,是下底面與A8夾角為60。的直徑，則異面直

線PC、DQ所成角的余弦值為

'2x+），24,

11.（20|8.甘肅.高三竟賽）設(shè)反F滿足7-”1.若z=<u+）只在點(diǎn)A（2.。）處取得坡

A-2V<2.

小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

12.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若函數(shù).Y=/（x+l）的反函數(shù)為「=.廣卜+1）,且

/（1）=3999,則滿足/（〃）=〃的最小正整數(shù)”=.

13.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）方程4sin.v（l+cosx）=36的解集為.

14.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知一元二次方程

1an?6+sec?6）丁+2（tan2。-sin2，）x-cos2。=。有重根.則cos0的值是.

15.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)/（x）定義在N.上，其值域且對(duì)任意”wN.,

都有」（〃+及/（/（〃））=3〃.則/（l（））+/（U）=.

16.（2018.全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知+2.V+I,存在實(shí)數(shù)，，使得當(dāng)時(shí)，

恒成立.則，”的最大值是

17.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）直用坐標(biāo)平面上兩曲線y=Y與人=./剛成的圖形的面積為

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知關(guān)于?的方程/+（4-2010）》+“=（）（“工（））的兩根均為

整數(shù).則實(shí)數(shù)“的值為.

19.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽〉若/（A）=1-2技前-F：-2j2O2O.d+2x-J2019,

則/（^2019+低元）的值為

2（）.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）不等式./+（|_.卬21的解集為---------

21.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知函數(shù)$=Y+6or-a與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

（小。）、卜。），并且（I+溫?一（『6〃7$-）=&—,則，，的值是

22.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)常數(shù)k使得方程2./+2f-5.u+x+.y+k=（）在平面直

角坐標(biāo)系工。丫中表示兩條相交的直線,交點(diǎn)為P,若點(diǎn)A、B分別在這兩條直線上，且

I網(wǎng)=|方1=1,則可而=.

23.（2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知“、b、，是一個(gè)直角三角形三邊之長(zhǎng)，且對(duì)大于2的

自然數(shù)”，成立（〃'+〃"+/）2=2（,產(chǎn)+必+〃"）.則”=

24.（2（）18?山東?高三競(jìng)賽）已知“，beZ,且“+〃為方程V+依+。=0的一個(gè)根，則

b的最大可能值為

V3+y5=26

25.（2018?貴州?高三競(jìng)賽〉方程組｛?/.、＜的實(shí)數(shù)解為_____.

+.）?）=-6

26.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知，、B、，為方程5『-6『+7、-8=0的三個(gè)不同的

根，則儼++為+/）（/+/?+〃）的值為.

27.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽〉使得方程d+3+&/=0①只有整數(shù)解的實(shí)數(shù)“的個(gè)數(shù)為

28.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某人排版一個(gè)三角形，該三角形有一個(gè)內(nèi)角為60。.該角的兩

邊邊長(zhǎng)分別為X和9.這個(gè)人排版時(shí)錯(cuò)把長(zhǎng)X的邊排成長(zhǎng)x+1，但發(fā)現(xiàn)其他兩邊的長(zhǎng)度沒(méi)

變.則、=.

29.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知/（.r）=y-3V+3.r在區(qū)間,,可（〃>.）上的值域?yàn)?/p>

[?.*].則滿足條件的區(qū)間團(tuán)封為

30.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）30!末尾最后一個(gè)不為零的數(shù)字為.

31.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）平面區(qū)域

5=]（.v,y）x.yeQ,J,sii/x+sinx.siny+sinb《：（?的面積等于

i'j2J4----------

32.（201&上海?高二競(jìng)賽）分解因式：（0，+1）"+1）（「+1）+沖=.

33.（2021.全國(guó)?高三競(jìng)賽）若一個(gè)分?jǐn)?shù)f（a,〃均為正整數(shù)）化為小數(shù)后，小數(shù)部分

b

2

出現(xiàn)了連續(xù)的“2020”，^1^1—=0.020202L,就稱它為“好數(shù)”.則“好數(shù)”的分母的第二

小的可能值為

二、雙空題

34.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）閱讀下藺一道題目的證明，指出其中的一處錯(cuò)誤.題目：

平面上有六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)，則這些三角形中有一個(gè)

的最短邊又是另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊.證明：第一步，對(duì)已知的六個(gè)點(diǎn)作兩兩連線，

可以得出15條邊，記為4，%,…，生.第二步，由于任何三點(diǎn)組成的都是“三邊互不

相等的三角形”，因此，15條邊互不相等不妨設(shè)《.第三步，由于“任何三

點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)”，因此，任取三條邊都可以組成三角形，則《、

小、%組成的三角形的最長(zhǎng)邊的,也是%、出、處組成的三角形的最短邊，命題得證.

這三步中，第步有錯(cuò)誤，理由是.

三、解答題

35.（2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽）在直角坐標(biāo)系中，有三只青蛙A、B、C,其起始位置分別

為4（4,6）、綜卜有-2,-6-3）,G（6+69+&）,首先，A以B為中心跳到其對(duì)稱

點(diǎn)上，然后，B以C為中心跳到其對(duì)稱點(diǎn)上，接著，C以A為中心跳到其對(duì)稱點(diǎn)

上，…依此類推.設(shè)A、B、C第n次跳到的位置分別為兒、8,,、C“,

的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,面積為S.證明：/+〃+I>300x17刈7s

36.（2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)異面直線”、力成6■。角，它們的公垂線段為且

\EF]=2,線段A8的長(zhǎng)為4,兩端點(diǎn)A、8分別在“、〃上移動(dòng).求線段A8中點(diǎn)戶的軌

跡方程.

37.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求所有三次多項(xiàng)式P(x),使得對(duì)一切不)史0,均有

?+)，)2，(”+，(3?).

38.(2()18?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知多項(xiàng)式

/(x)=2紈d+(2-7“)/+(5“-3)M+(ll-7a)x+M-5,其中，“為實(shí)數(shù).證明：對(duì)任

意的實(shí)數(shù)“，方程/。)=0總有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根.

39.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)給定正整數(shù)〃，求￡(g一；，其中1Vl表示不超過(guò)實(shí)數(shù)?'的

最大整數(shù).

40.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)試求所有的正整數(shù)”及實(shí)數(shù)使得

ntan工+與cot.v+均為有理數(shù).

41.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)實(shí)數(shù)￡占=￡工=￡n=1滿足之丁^—,試求

1=))=1X|M+工內(nèi)工

=上[=123)的值.

%

[a-tb+c,

42.(2018?氽國(guó)?高三競(jìng)賽)己知非零實(shí)數(shù)〃、。、，滿足，/,,

(1)求證：二次方程&+，。-2<k-(6+/)(〃-C)=0①必有實(shí)根，且2c-〃-a是

方程的一個(gè)實(shí)根：

(2)當(dāng)”=15,/>=7時(shí)，求c、/.

43.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)“、〃為復(fù)數(shù)，0工/"1.求證：|“+邛引“『+|〃「：

44.(2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽)己知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式/(x)滿足

(A-1+4.v2+4.v+3)/(.r)=(x,-2v+2.r-l)/(x+l).QiE1!^：對(duì)所有正整數(shù)〃(〃28),

/(")至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).

45.(2019.貴州?高三競(jìng)賽)我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方

體，上而分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字)，其相對(duì)兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面

骰，只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì),一個(gè)“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)

生0-9這十個(gè)數(shù)之一，而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請(qǐng)問(wèn)；你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子

嗎?若能，請(qǐng)寫出你的設(shè)計(jì)方案；若不能，寫出理由.

46.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)二元函數(shù)2=/（x,））=2x、3『-6.v的定義域是

I）={（.V,j）|3*+2）247M，,X.yeR）.

（1）求z=f（x,力（點(diǎn)（x,y）wD）的取值范圍：

（2）求所有的實(shí)數(shù)使得在空間直角坐標(biāo)系。-孫：中，曲面z=/（x,「）（點(diǎn)

（x.j）eD）與另一個(gè)曲面z=.\y+〃（x、ywR）相交.

47.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)直線與函數(shù)「=.『-F+x的圖像恰有兩個(gè)不同的公共

點(diǎn).求出所有這樣的直線方程.

48.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知小事為實(shí)數(shù)，且人性1,對(duì)k={1,2,…川的子集

八={3、…，4}，定義S（A）=￡,+%+…+%.其中，規(guī)定S（0）=O,問(wèn)：從n個(gè)這樣的

和中至多可以選出多少個(gè)，使得其中任何兩個(gè)的差的絕對(duì)值都小于1?

49.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）（1）若正整數(shù)n可以表示成“"（a、bwN.a、，*2））的形

式，則稱n為“好數(shù)試求與2的正整數(shù)次塞相鄰的所有好數(shù).（2）試求不定方程

\2x-yX5：|=1的所有非負(fù)整數(shù)解（.r,）,,z）.

50.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在9x9的方格表中取出46個(gè)方格染成紅色.證明：存在一

塊由4個(gè)方格構(gòu)成的2x2區(qū)域.其中由至少3個(gè)方格被染成紅色.

競(jìng)賽專題17其它綜合類競(jìng)賽題

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

I.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）計(jì)算:目痣（；）=.

【解析】

【詳解】

注意到，fc,，=（】+.r）".

兩邊積分得

1,

22C*A=2（1+x）ndx

E'O0

案為貴（d

2.（2019?全國(guó).高三競(jìng)賽）設(shè)率1,2,3）金（2,4,1）,厚14,5）,乎4,A+1,3）是空間中體積為1

的一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn).則k=

【答案】-2或1.

【解析】

【詳解】

四面體體枳為=|6仕-2）-2（*-7）卜6

=4=1

可產(chǎn)1??+（eN）或-2.

故答案為-2或I.

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）給定函數(shù)則函數(shù)/（A）與反函數(shù)廣（”

交點(diǎn)的坐標(biāo)為

-1+757+小

【答案】（1,0）,（0.1）,

-2--2-

【解析】

【詳解】

/(A)=1)的反函數(shù)為/ta)=1_/(*>o).

j=VT-7.①

聯(lián)立方程

y=I-A\②

由式①得./=1-2A+A-3=2(I-.V)-(I-A-).

把式①、②代入上式，得y*=2y2-y,即（y*-.F）-（.、J-.v）=0

于是,y(y-l)(y2+y-l)=o.

解得.K=0,占=1：J-2=l.?\=().

y,=—!'J（舍去負(fù)值），與_1+有

~~2~

'-1+#-I+K

故答案為（1.0）.（0,1）,

22

4.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）把函數(shù)/卜）=黑9的系數(shù)按其自然位置排成兩行兩列，記

ab\

為二階矩陣A=

cJ-其中,每一個(gè)數(shù)字稱為二階矩陣的元素.又記

cif(x)+b(a2+be)x+(ab+bd)

/(/(》))=

JJ----—~r,一R■的系數(shù)所組成的二階矩陣

(/(?')+〃(ac+cd)x+(bc+df

a2+abah+P(i\.一-一，a2+heab+、，▼

W+/為A的平方,即A?=AxA=fW

I-觀察二階矩陣乘

法的規(guī)律，寫出A3=A：XA=中的元索%=

【答案】a2c+acd+be2+cd2

【解析】

【詳解】

根據(jù)二階矩陣乘法的規(guī)律，知川=中的“,應(yīng)是A?中第i行的元素分別乘以

A中第j列對(duì)應(yīng)兀素,的代數(shù)和.則“2inR/c+Ma+ec+c—kj/c+acd+僅2+＜小.

故答案為a'c+acci4-/?c2+c”

5.(2018-江西?高三競(jìng)褰)“、〃為正整數(shù)，滿足，-；=焉，則所有正整數(shù)對(duì)，力)

ab2018

的個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【解析】

【詳解】

由=^111<?<2018.口.“〃+201&，-2018〃=0,

ab2018

于是(2O18-a)(2OI8+〃)=2018?=22.1009，.

ffi]O<2OI8-tz<2O18,2018+〃>2018.

因1(X)9為質(zhì)數(shù)，數(shù)2，1009,所有可能的分解式為

1x2018，2x(2x|(X)92),4x1009、1009x(4x1()09).

其中每一個(gè)分解式對(duì)應(yīng)于(“,〃)的一個(gè)解，故其解的個(gè)數(shù)為4.

故答案為4

6.(2018,湖南?而三競(jìng)賽)如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角

形，第一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去

一個(gè)小三角形，保用它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.

設(shè)A”是第n次挖去的小三角形面積之和(如人是第1次挖去的中間小三角形面積，

&是第2次挖去的三個(gè)小三角形面積之和)，則前n次挖去的所有小三角形面積之和

的值為________________________

A*會(huì).

邊長(zhǎng)為1的原等邊三角形第一次第二次

【答案】

【解析】

【詳解】

原正三角形的而枳為手，而第k次哄挖去戶個(gè)小二角形，4=若用.因此，

可以采用等比級(jí)數(shù)求和公式，得到答案為

2磊SY獸用-削

4

故答案為卦（牙

7.（2018?湖南?高三競(jìng)賽）已知n為正整數(shù)，若":+："-"）是一個(gè)既約分?jǐn)?shù),那么這個(gè)

〃-+6/2-16

分?jǐn)?shù)的值等于.

【答案】F

【解析】

【詳解】

因?yàn)檎PT蜀M，當(dāng)〃-2=±1時(shí)，若（〃+8,〃+5）=（〃+5.3）=1,則

〃:+&T°是一個(gè)既約分?jǐn)?shù),故當(dāng)〃=3時(shí)，該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).

n~-6”-16

O

所以這個(gè)分?jǐn)?shù)為5?.

Q

故答案為言

8.（2019?全國(guó),高三競(jìng)賽）設(shè)A為常數(shù).若對(duì)一切刀、3七（0，1）,有

V+Jp，則實(shí)數(shù)*的取值范圍是?

【答案】（-8,0].

【解析】

【詳解】

注意到/+/--<*/4+++-*o（14）（1-/）2[1-5）（1-J）

ox\v4>IA,<0.

故答案為（-8,0]

9（2019全國(guó)?高三競(jìng)賽）定義數(shù)列｛%｝：a“="'+4（〃eN）令則4

的最大值為

【答案】433.

【解析】

【詳解】

由義卜+4.(”+1)、+4).知"“卜廣+4.3/+3"+1).

則〃“[-3(，P+4)+"(3"2+3”+1)],

且I。"？+3〃+1)=4,|(3，9+〃一12.3，/+3”+1)

=41(2〃+13、3，1+3〃+1)=4|(2”+13.33/?-2)

=41-2(33〃-2)+33(2〃+⑶]n4/433.

所以,⑷a4433.

易知，（/io，/u）=433.

從而，⑷a=433.

故答案為433

10.（2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖，設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形A8C7）,其中，

AB=I8,Q）=6.若圓臺(tái)的高為8，也是F底面與A8夾角為60。的直徑，則異面直

線PC、OQ所成角的余弦值為

Q

【答案】~

【解析】

【詳解】

如圖，設(shè)異面直線PC、Q。所成角為a,向量無(wú)、麗的夾角為伍以下底面中心

O為原點(diǎn)、A8所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則C（3O8）、仇-3,0,8）、心孚。

5一=’53與9出8、

于是4

\/

因此定?前=1.

而附=加.閾=必.

故ccsO=卷.

從而，COS<=COS0=—.

(2K+)：24,

11.(2018.甘肅.高三競(jìng)賽)設(shè)XJ滿足Jx-”L若2=小+.丫只在點(diǎn)A(2.0)處取得最

(x-2y<2.

小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】-7<?<2

【解析】

【詳解】

畫出平面區(qū)域如下:

由數(shù)形結(jié)合可得即-g<“<2.

12.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)若函數(shù))，=/(x+l)的反函數(shù)為)，=/T(x+l),且

/⑴=3999,則滿足/(〃)=〃的最小正整數(shù)”=

【答案】2000

【解析】

【詳解】

由條件得廣(大+1)-/'1(”=-1,1=廣(3999).

從而，/t(3999)-廣(3998)=-1,/-,(3998)-/,(3997)=-1，…

/+(人.)=_］.

相加得1-廣(A)=A-3999=廣伙)=4*?0-A=/(4?0?-&)=A.

令400?-*=，則8=2000.

13.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)方程4sinMl+cosx)=3O的解集為

【答案】x=2E+殳AGZ)

【解析】

【詳解】

原方程兩邊平方得27=16sin\r(l+co!ii)"=16(l-cos:.t)(l+2cosx+cos2x)

=16cos"x+32cos-32cos.v+11=0

=(2cos.v-l)2(4COS\r+l2cos.v+l1)=0

NCOSA=—=>.V=2^TE+—(A:GZ).

23、

14.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知〃一元二次方程

(tan28+sec?8)V+2pan28-siif8)x—cos28=0有重根.則cos0的值是------

［答案］

【解析】

【詳解】

由于方程有重根，故△=(),即(〔an26-sin的J+CQS2d(laMe+scc帝)=0.

設(shè)d=cos監(jiān)則

0.

故（小一3〃+1）。=0,

解得”=上正.

2

因此，COS0=殍.

15.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)/（》）定義在N,上，其值域8±N,,且時(shí)任意“eN,,

都有/(〃+[)>/(〃)，及/(/(〃))=3〃.則/(10)+/(")=.

【答案】39

【解析】

【詳解】

由/(/⑴)=3,知/(/(/⑴)卜/⑶.

若/(1)=1,則3=/(/。))=/⑴=1,矛盾.

因此，2</(1)</(2)5/(/(1))=3.

則/(2)=3,/⑴=2,/(3)=/(”2))=6./(6)=/(/(3))=9.

又6=八3)</(4)<〃5)</(6)=9,故/(4)=7,〃5)=8,/⑺=/(/(4))=|2,

/(12)=/(〃7))=21.

因?yàn)?(9)=/(/(6))=18,=⑵=21.所以，

7(10)=19,/(II)=20.

因此，/(⑼+/(")=39.

16.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知/("=.「+23+1,存在實(shí)數(shù)/,使得當(dāng)叫時(shí)，

f(x+/)4x恒成立.則W的最大值是

【答案】4

【解析】

【詳解】

[y=.V.

把/(')的圖像向右平移T個(gè)單位，數(shù)形結(jié)合得川的鍛大值是*=f(x+；)兩個(gè)交點(diǎn)橫

坐標(biāo)的較大者.

由/(1+，)=I，解得，=-U=-3.

再由/(x-3)=x.得x=l(舍去)，x=4.

故，”的最大值是4.

17.(2018.全國(guó)?高三競(jìng)賽)直角坐標(biāo)平面上兩的線了=T與A=y'M成的圖形的面積為

【答案】1.

【解析】

【詳解】

因?yàn)閮汕€分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而，只需計(jì)完兩曲線在第象限圍成的圖形的面積

A.

當(dāng)x＞i時(shí)，當(dāng)0＜、＜1時(shí)，/＜近.

所以，兩曲線在第象限有唯一的交點(diǎn)（U）.

乂A=j（\E-x）dr所以，兩曲線圍成的圖形的面積為

2A=1.

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知關(guān)于、的方程/+（。-2010）.，+a=0（“=。）的兩根均為

整數(shù).則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】4024

【解析】

【詳解】

設(shè)方程的根為X、爸（內(nèi)4占）.

由韋達(dá)定理得N+占=-（4-2010）,冊(cè)》=a,則斗弓+$+.q=2010,RP

（內(nèi)+1）（^2+1）=2011.

X,=0.[A;=-2012,

又因?yàn)?011為質(zhì)數(shù)，所以，,”.八或（一故〃=。（舍）或a=4O24.

（x2=2010[叢=—2.

19.（2021，全國(guó)?高三競(jìng)賽）若/（.v）=.V6-272019A5-.v4+.v'-2^020.vJ+2.v-720）9,

則f（病歷+與元）的值為

【答案】＞/2020

【解析】

【分析】

【詳解】

研究二次方程丁-2j20I9.r-1=0和F-2^2020.r+1=（）,

H[J（.v-72019+72020）（A--＞/2019-V2020）=0

和(A-V2020+同向Q-V2O2O-^2019)=0.

因此％=A/2019+-^020兩方程的公共根.

/(.r)=A4(X2-2>/2?l9.t-1)+A(A-2-2V2000.V+l)+(.r-J2019-,2020)+72020.

故/(回歷+疝說(shuō))=,2020.

故答案為：V2020.

20.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)不等式的解集為---------

【答案】?jī)H｝

【解析】

【詳解】

令=〉，，則不等式化為/+r=1,./+y3>1.

故04『+./

=.r(.r-l)+r(y-l)

=(1-,V3)(A-1)+(1-A-2)(y-0

=-(./-i)(x-i)-(F-i)(y-1)

=-(I-.v)(1-y)(A-+,y+2).

因?yàn)镮=Y+y2>X2,所以H4I.

同理，|)歸1.

ifel±.v>0,l±.v>0,.r+y+2>0.

若x+y+2=0,x+I=y+1=(),不滿足,d+./=I.因此，,t+y+2>0.

于是，不等式化為(l-x)(l-.y)40.

但1一A“，I-v>0.

故(l7)(l-y)=，.

解得(x.,y)=(l.O).(O」).

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0或I都是原不等式的解.

故原不等式的解集為｛Q1｝.

故答案為｛04｝

21.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知函數(shù)y=.『+6".r-”與K軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

3

（00）、（.巧.0）,并旦=8〃-3,則〃的值是

(l+,r,)(l+.r,)(|一癡一NJ(]-6“一占)

【答案】y

【解析】

【詳解】

由A36”'+4“>0,得a>0或“<一"-,

9

根據(jù)題意知

x2+6ta-?=(.r-xJ(x-.0)

則(1_xJ(l+xJ=/(_1)=1-7?.

(l-6?-x])(l-6</-x,)=/(l-6?)=l-7a

-3

于是，%cl=8“-3

1一7。

解得“=1或“=0（舍去）.

22.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)常數(shù)k使得方程2.P+2f-5Ah+x+>+*=0在平面直

角坐標(biāo)系XOF中表示兩條相交的直線,交點(diǎn)為P,若點(diǎn)A、B分別在這兩條直線匕且

西|=|“|=1,則麗.麗=

4

【答案】±J

【解析】

【詳解】

由題設(shè)知，關(guān)于X、的一次多項(xiàng)式2/+2/-5.O+X+）+A=0可以分解為兩個(gè)一次因

式的乘積.

因2x2+2y2-5.vy=(-2.r+y)(-x+2.y),

所以，2.v2+2y2-5.vy+x+y+k=(-2x+y+(i)(-x+2y+b),

其中，公，，為待定的常數(shù).

將上式展開后比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)得

ab=k,—a-2b=l、b+2a=l.

解得a=l,b=_JM=_l

f—2.r+y+1=0,]/、

再由|_r+2、，_i=0得兩直線斜率為人=2,交點(diǎn)P。1).

設(shè)兩支線的夾角為e(e為銳角).則

tan0=-^~—=—,cos^=—

\+k2k,45

故麗.麗=|尸A|M@cos，

n￡|P/t|-|P?|cos(18()°-6>)=±|P4||PH|cos0=±^,

4

枚答案為±y

23.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知“、b、。是一個(gè)直角三角形三邊之長(zhǎng)，且對(duì)大于2的

自然數(shù)"，成立=2?八"+〃2"+戶).貝lj"=.

【答案】4

【解析】

【詳解】

./Iitnn

1乂X=)?=//，z=(W，何

0=2上產(chǎn)+廬+一”+〃"+c〃『=2(.v4+.v，+z4)-(.v:+y2+z:了

=x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2v12z2

=-(.r+y+z)(.r+y-z)(y+z-A)(z+x-y).(*)

不妨設(shè)c為斜邊，Ijiijz>.v,2>y,可知.r+.v+z>0,y+2-x>0,z+.v-y>0.

：.(*)式等價(jià)于2='+丫，即(gj+4『=].

另一方面，<『+"=/成立，或(fj+JJ=1.

因?yàn)?<幺<1,0<々<】，)=(區(qū)丫+(2丫為單調(diào)減函數(shù)，僅在一個(gè)X點(diǎn)處取了=1.

CC、c)\CJ

因此，—=2>〃=4.

2

故答案為4

24.(2018山東?高三競(jìng)賽)已知“，bsZ,且〃+〃為方程F+at+/，=0的一個(gè)根，則

〃的最大可能值為.

【答案】9

【解析】

【詳解】

由題設(shè)（“+〃）-+"（"+/，）+〃=0,則2（r+3ab+b2+/?=?.

因?yàn)椤ǎ琈Z,則△=%2-8爐+〃）=必-汕必為完令平方數(shù).

設(shè)一汕="』（，〃€N）,則（〃一4?-m2=16.（〃一4+，〃）（〃一4一，〃）=16.

.4+，”=818-4+〃1=4、[。~4+，〃=一24+〃1=一4

所以｛,4C或k4,或｛//?；颍?/A-

\h-4-m=2\h-4-m=4〃-4一，〃=一8|〃-4一，〃二-4

解得〃=9.8,-1.0,所以〃的最大可能值為9.

人'十=

25.（2S8?貴州?高三競(jìng)賽）方程組，,,\的實(shí)數(shù)解為^

.n（.v+y）=-6

[x=-1（x=3

【答案】、或,

【解析】

【詳解】

t3+V'=26

因?yàn)椤畉v（t+，）=-6'所以（x+）'+="+）'3+&0，（工+））=26-18=8，

即N+.y=2,代入.1?。ǎ?），）=-6,得個(gè)=-3.

由產(chǎn)=；=PR"、：

xy=-3y=3[y=-1

26.（2,18?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知。、0、/為方程5『-6丁+7\-8=?的三個(gè)不同的

根，則（a?+M+加）設(shè)+為+/乂/+建+￡）的值為.

【答案】-翳

【解析】

【詳解】

注意到，（標(biāo)+矽+￡2）（仍+所/乂/+紗+*=

八'等5（?-/7）界5（/"?-\/'）'!5廠（六斗a）

_6（a"2）-7（a/）6（旌/卜7（尸-7）6（y2＜）7（y-a）

5（a-/7）5（6-y）5（y-a）

」6（a+6）-7][6（夕+y）-7][6（y+a）-7]

5

記/(x)=5(x-a)(x-0(x-7)

則,2+的+夕2)(/+Py+72)(/+ya+a,=*j[^)=_J^.

27.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)使得方程F+<“+8”=0①只有整數(shù)解的實(shí)數(shù)”的個(gè)數(shù)為

【答案】8

【解析】

【詳解】

設(shè)方程①有整數(shù)解，〃、〃(〃?4").則，"+〃=-〃.，”〃=&，.

于是，("?+8)(〃+8)=64.

解得，

(,",〃)=(—72.—9).(—40,—10).(—24,—12),(—16.—16).(—7,56),(-6.24).(—4.8).(0、0).

對(duì)應(yīng)的〃=-("|+〃)=81,50.36,32,-49,-18,Y,0.共8個(gè).

28.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)某人排版一個(gè)三角形，該三角形有一個(gè)內(nèi)角為60°,該角的兩

邊邊長(zhǎng)分別為和9.這個(gè)人排版時(shí)錯(cuò)把氏.V的邊排成長(zhǎng)犬+1.但發(fā)現(xiàn)其他兩邊的長(zhǎng)度沒(méi)

變.則人=.

【答案】4

【解析】

【詳解】

由二l=co$60°'得*'=4-

9

29.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)己知/(.*)=V-3.V2+3.v在區(qū)間[“，句0>”)上的值域?yàn)?/p>

卜句.則滿足條件的區(qū)間[“問(wèn)為

【答案】[0,1],[0,2],[1,2)

【解析】

【詳解】

有/(K)=3F-6.V+3=3(K-1)‘，知除K=1外./，(x)>0.

故/(.r)在(-8.+8)上為增函數(shù).

儂題意函數(shù)在了="取最小侑"，隹'=〃取最大值〃，則/(“)=“，/(。)=仇

這表明“、〃是方程/(.r)=.r的兩個(gè)根.

注意到.P-B.F+S.mOA(A-1)(A-2)=0.解得.5=0,毛=1,-4=2.

故所求的區(qū)間為[()/],[0,2],[1.2].

30.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)30!末尾最后一個(gè)不為零的數(shù)字為

【答案】8

【解析】

【詳解】

$lj30!=226x3Mx57x7*4x112x132x17x19x23x29

!)1|J=2'*x3'4x74X112X132X17x19x23x29

三2,9X314x74xl-X32x7x9x3x9(niodl0).

因?yàn)?,、7"模10均余I,且2」"模10余6,所以，券三23三8(modl0)

31.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)平面區(qū)域

S=■(工))X、)，€0,y,si/r+sinrsin)，+sin2,y4的面枳等于.

1

【答案】—

6

【解析】

【詳解】

由2(sin\-sinx?siny+sin：v)=2-2cos(K+V)?cos(.v-.v)+cos(.v+、)-cos(x-y)

(x+F)+g-

=--2coscos(x-y)--^

24,

得cos(.r+y)+^?cos(.t-y)-^-

20,

x+.yM-px+y>—,

3

即3或

kT隹|x-.v|>

4

2)

71'

結(jié)合X、yw(吟.可得到如圖的平面區(qū)域，其面枳為=--

6

32.(2018?上海?高二競(jìng)賽)分解因式：(.vy+l)(.v+l)(y+l)+.vv=

【答案】(xy+x+1)(xy+y+l)

【解析】

【詳解】

0=

(xy+1)(xy+x+y+l)+xy=(xy+l)((xy+1)+(x+y))+xy=(xy+1)A2+(x+y)(xy+l)+xy=((xy+1)+x)((

xy+1)+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)

33.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)若一個(gè)分?jǐn)?shù)￡(a,〃均為正整數(shù))化為小數(shù)后，小數(shù)部分

b

?

出現(xiàn)了連續(xù)的“2020”,例如了=0.020202。，就稱它為“好數(shù)”.則“好數(shù)”的分母的第二

99

小的可能值為

【答案】193

【解析】

【分析】

【詳解】

我們總可以將一個(gè)"好數(shù)''適當(dāng)乘一個(gè)10的方耗并減去其整數(shù)部分后使之成為一個(gè)小數(shù)

點(diǎn)后前四位是“2020”的此分?jǐn)?shù),Jii0.20202-<0.2021.

h

進(jìn)而---4-------<------<-----

500b5476476

若5n—〃=1,Wj476<5/?<5(X)H=4(mod5),所以〃=99.

若5a-b=2,則952<5〃4l(X)0且。三3(mod5),所以/，=193.198.

若5a-〃之3,則5〃>1428,〃2286.

39

另一方面，益=020207是“好數(shù)”，因此。的第二小的可能值為193.

故答案為：193.

二、雙空題(共。分)

34.(2018?全國(guó)?商三競(jìng)賽)閱讀下面一道題目的證明，指出其中的一處錯(cuò)誤.題目:

平面上有六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)，則這些三角形中有一個(gè)

的最短邊乂是另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊.證明：第一步，對(duì)已知的六個(gè)點(diǎn)作兩兩連線，

可以得出15條邊，記為，4，電，…，心.第二步，由于任何三點(diǎn)組成的都是“三邊互不

相等的三角形”,因此，15條邊互不相等不妨設(shè)《.第三步，由于“任何三

點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)”，因此，任取三條邊都可以組成三角形，則叫、

%、出組成的三角形的最長(zhǎng)邊%,也是與、4、%組成的三角形的最短邊，命題得證.

這三步中，第步有錯(cuò)誤，理由是.

【答案】二或三第三步有錯(cuò)誤，理由是：不能推H廠任取三條邊都可以組成三角

形”或第二步有錯(cuò)誤，理由是:不能推出

【解析】

【詳解】

不能推出“任取三條邊都可以組成三角形“，

比如，從六個(gè)點(diǎn)A、4、4、4、4、4中，記A、4的連線為4，記4、兒的

連線為4,記A、A的連線為％3、j,4互不相等）,

則%、明、/未必能組成一.角形，RP使組成三角形也不是本題所說(shuō)的“三點(diǎn)兩兩連線”

所成的三角形.

第二步也有錯(cuò)誤，理由是三點(diǎn)組成的“單個(gè)三角形”內(nèi)部邊長(zhǎng)互不相等，

不能推出“多個(gè)三角形”之間邊長(zhǎng)互不相等，因而，飛＜生”中的也可能有

說(shuō)明：雖然證明有錯(cuò)誤，但結(jié)i侖是成立的，可把六個(gè)點(diǎn)“兩兩連線”的每個(gè)三角形最長(zhǎng)

邊染成紅色，剩下的邊染成藍(lán)色，然后證叨必有同色三角形，

乂因?yàn)槊總€(gè)三角形都有紅邊，所以，同色三角形必有三邊同紅色的三角膨.這個(gè)三角

形的最短邊便乂是另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊.

三、解答題（共。分）

35.（2019?全國(guó),高三競(jìng)褰）在直角坐標(biāo)系中，有三只省姓A、B、C,其起始位置分別

為4（4,6）、8。卜6-2,-6-3）,品（6+石,9+五），苜先，A以B為中心跳到其對(duì)稱

點(diǎn)上，然后，B以C為中心跳到其對(duì)稱點(diǎn)上，接著，C以A為中心跳到其對(duì)稱點(diǎn)

上，…依此類推.設(shè)A、B、C第n次跳到的位置分別為人“、外C?,AA如山刈

的三邊氏分別為a、b、c.面積為S.證明：/+//+'2>300><172"”5

【答案】見解析

【解析】

【詳解】

設(shè)優(yōu)C.的三邊長(zhǎng)分別為可也.％,則由題意知

4“+4=2紇

?%+紇=2Cn①@③

C““+Q=24T

由式①得

將式④代入式②得

。=（—八+4）⑤

將武⑤代人式③并整理得

4心+34.2+54“+兒=0，

其特征方程為

萬(wàn)+3萬(wàn)_52+1=0，

即（"］）（萬(wàn)+401）=0.

解得々=1，4=_2+正，4=-2—石.

則A,=。+以：+7?'君⑥

O+E+F=(4,6)

0+^11.?+^1.廠=卜6-2,-百-3)24

在式④、⑤、⑥中令n=0,得

/)+1^.￡+^^1=(6+逐.9+灼

解得”=(0,0).￡=(1,2)/=(3,4).故

%O+W/,+>C：0

=W-c『+IC,-A-+|A-8j

p

-A”)+

=|A4~+；（A.i+A,）+^（AHI-A,）

=人/+1（|0|，|4。

又每只青蛙跳后,三只吉蛙所組成的二角形面積不變，

R|IS=SA,MI（.=75.

而同2=匠4"+/石T>25空+22（-1）",故

“，+//+<，=g|4oJ+如20”「

>2504+6灼（4+2廣”+22

>5404+6網(wǎng)（4+2廣S

=（70百+15，）（9+4不廣“S

>300x|7-°"S

36.（20”?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)異面直線“、/，成60。角，它們的公垂線段為《尸，且

\EF\=2,線段A8的長(zhǎng)為4,兩端點(diǎn)A、8分別在“、〃上移動(dòng).求線段A8中點(diǎn)/,的軌

跡方程.

【答案】：+卜=1

【解析】

【詳解】

易知點(diǎn)P在過(guò)E/'的中點(diǎn)0,且與“、〃平行的平面。內(nèi).

如圖所示，設(shè)〃、〃在a內(nèi)的射影分別為“'、〃'，點(diǎn)A、8在a內(nèi)的射影分別為4、

則乙4'08'=60。，且47『的中點(diǎn)即為A8的中點(diǎn)P.

于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定線段49的兩個(gè)端點(diǎn)分別在“'、8’上移動(dòng)時(shí)，其中點(diǎn)P的軌跡.

如圖所示，以/4'0斤的平分線為N軸，。為原點(diǎn)，建立白:角坐標(biāo)系.不失?般性，令

|。81=〃，=在A/VO8中，nr+ir-mn=12.①

2."走（,"+〃）、

設(shè)A9的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（內(nèi)#,則j2