初中數(shù)學(xué)經(jīng)典課件：因式分解人教

因式分解15.4.1因式分解（初級(jí)篇）——因式分解的定義與提公因式法復(fù)習(xí)回顧口答：?jiǎn)栴}：630可以被哪些整數(shù)整除？解決這個(gè)問(wèn)題，需要對(duì)630進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)630=2×32×5×7類(lèi)似地，在式的變形中，有時(shí)需要將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問(wèn)題新課引入試試看(將下列多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的乘積)回憶前面整式的乘法上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積）m(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？在式子ma+mb+mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫做

。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)在下面這個(gè)式子的因式分解過(guò)程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項(xiàng)式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，

3、把它與公因式相乘。如何館準(zhǔn)確摘地找務(wù)到多骨項(xiàng)式款的公薄因式宮呢？1、系轉(zhuǎn)數(shù)所有扁項(xiàng)的河系數(shù)嫌的最大危公因厭數(shù)2、字扯母應(yīng)提圓取每爹一項(xiàng)猛都有富的字稱(chēng)母，且字殲?zāi)傅闹笖?shù)盾取最君低的3、系禿數(shù)與類(lèi)字母射相乘例題治精講最大悶公因作數(shù)為3=封3a的最渣低指堤數(shù)為1ab的最遷低指氣數(shù)為1b(3a–5bc)=–澡4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=15濱.4亮.2洪公式呼法（息中級(jí)六篇）利用完全平方公式因式分解第3課時(shí)利用平方差公式因式分解第2課時(shí)15影.4懼.2羽公式紹法（補(bǔ)中級(jí)籃篇1額）——女利用胸平方盆差公砌式進(jìn)榨行因思式分異解復(fù)習(xí)缺回顧還記行得學(xué)眨過(guò)的鋒兩個(gè)旬最基促本的聲乘法帶公式沉嗎？平方查差公凳式：完全砌平方講公式甲：計(jì)算條：=碧(9災(zāi)99谷+1母)(刻99趴9–棚1)此處恐運(yùn)用汁了什問(wèn)么公哭式?新課圣引入試計(jì)盯算：99穗92–刮112=宣10謝00趙×9散98芽=務(wù)9域98截00結(jié)0平方岔差公葡式逆用因式散分解:（1）x2–獎(jiǎng);（2）y2–4挖252252=腸(x+2槽)(x–2瓶)=畏(y+5芽)(y–5基)這些臥計(jì)算刑過(guò)程敬中都逆用了平第方差均公式即：此即始運(yùn)用爽平方額差公剝式進(jìn)傘行因吧式分姨解愧用文啊字表食述為鋪：兩個(gè)制數(shù)的嘉平方獎(jiǎng)差等售于這鹿兩個(gè)我數(shù)的尾和與鐵這兩駛個(gè)數(shù)失的差戴的積脫。嘗試只練習(xí)(對(duì)下龍列各透式因狹式分角解)：①a2–稈9豎=拜__暫__烤__擦__柳__帽__的__舌__盒__店_②像49嘆–n2=病__遼__透__完__曬__趨__敲__籠__澡__③漲5s2–爆20t2=狀__給__恒__盡__稼__優(yōu)__斷__懸__④懂10村0x2–沈9y2=_熊__森__智__采__巴__縣__鵝__(a+3郊)(a–3徐)(7餡+n)(繳7–n)5(s+2t)(s–2t)(1歌0x+3y)(儀10x–3y)=y2–較4x2=某(y+2x)(y–2x)=(x2)2–雷12=劇(x2+1鎮(zhèn))替(x2–1織)②–談4x2+y2③x4–腳1(x2–1局)=–戚(斗4x2–y2)=強(qiáng)–易(2x+y)(章2x–y)(x+1皂)(x–1挨)將前面②~⑥各式例(2)因式篇分解輸一定蹄要分陽(yáng)解徹檔底!④x2–x6=x2–祖(x3)2=陡(x+x3)(x–x3)=x·(1柿+x2)·x·(1衫–x2)=x2(1坦+x2)(1打+x)(堅(jiān)1–x)將前面②~⑥各式例(2)④x2–x6=x2(1活–x4)=x2(1談+x2)(靠1–x2)=x2(1香+x2)(1俘+x)(亮1–x)更簡(jiǎn)挽便！在我巨們現(xiàn)嫂學(xué)過(guò)淹的因降式分輔解方夠法中桌，先肉考慮提取竭公因鑒式，再腫考慮啄用公式針?lè)?。?x3–嫂54xy2=6x(x2–9y2)=綢6x(x+3y)(x–3y)⑥軟(x+p)2–攝(x–q)2=禮[桃(x+p)+貧(x–q)坡]·[斬(x+p)–盡(x–q)限]=奔(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式例(2)YXYXYX15梨.4貼.2鼠公式狹法（劍中級(jí)雷篇2包）——蜘利用跨完全姻平方嫁公式凳進(jìn)行禿因式宏分解復(fù)習(xí)句回顧還記億得前秒面學(xué)拋的完艦全平芒方公宮式嗎價(jià)？計(jì)算寸：新課飄引入試計(jì)萬(wàn)算：99哥92+筒1毛99贈(zèng)8擁+愁12×達(dá)99授9×愈1=執(zhí)(9裕99車(chē)+1材)2=挪106此處級(jí)運(yùn)用鉤了什謙么公宇式?完全加平方濤公式逆用就像扮平方旅差公驚式一塌樣，完全導(dǎo)平方籮公式也可別以逆用，從奏而進(jìn)債行一績(jī)些簡(jiǎn)透便計(jì)滑算與佩因式珠分解釣。即：這個(gè)頸公式紡可以請(qǐng)用文攪字表燃述為火：兩個(gè)有數(shù)的銳平方哈和加壁上（鼓或減書(shū)去）耀這兩阻個(gè)數(shù)習(xí)的積書(shū)的兩倍，辣等于丘這兩罷個(gè)數(shù)配的和登（或曠差）末的平穗方。牛刀猴小試(對(duì)下灣列各穴式因姨式分海解)：①a2+6a+9另=俊_塌__借__號(hào)__傻__跑__宰__陷__旺__②n2–1驚0n+2京5看=住__踩__謠__快__眾__或__陳__價(jià)_③儀4t2–8t+4照=彼_白__稱(chēng)__頃__僑__向__走_(dá)_儀__帥__④屆4x2–1脅2xy+9y2=糠__趁__愚__音__司__評(píng)__氧_(a+3味)2(n–5帥)24(t–1甘)2(2x–3y)2完全貨平方污式的新特點(diǎn)膏：1、必胞須是三項(xiàng)聯(lián)式（或被可以集看成顛三項(xiàng)如的）2、有定兩個(gè)同號(hào)的平恒方項(xiàng)3、有巖一個(gè)偽乘積命項(xiàng)（嘉等于灑平方踐項(xiàng)底汪數(shù)的±2倍）簡(jiǎn)記敘口訣寶：首平槳方，擇尾平塞方，斥首尾馳兩倍薄在中璃央。將例(1)中的完全平方式例(2)①16x2+保24x+漸9②斥–若4x2+兵4xy–y2④求4x2–圣8xy+渾4y2=(4x+3愛(ài))2=屈–(4x2–4xy+y2)=朵–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=懲4(x–y)2–夫2a2+⑥稍(p+q)2–閉12焦(p+q)領(lǐng)+卡36將例(1)中的完全平方式例(2)a41=(a2–1古)2=爐(a+1蟻)2(a–1靠)2=[(a+1抬)(a–1扯)]2=(p+q–6恒)2XXX15尖.4刑.3飯*持因閱式分好解（訂高級(jí)哄篇）——艙因式譜分解喪的其鐮他常角用方盡法知識(shí)樸結(jié)構(gòu)因式劇分解橋常用鵲方法提公染因式鞭法公式艇法十字佳相乘泥法分組忌分解餓法拆項(xiàng)通添項(xiàng)不法配方思法待定滅系數(shù)腦法求根慎法……一、圓提公資因式際法只需找到多項(xiàng)聰式中版的公因素式，然需后用原多平項(xiàng)式敲除以嶼公因胸式，把寇所得冒的商迷與公暑因式失相乘晃即可頓。往惜往與嫂其他奮方法細(xì)結(jié)合償起來(lái)煎用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、甚公式楚法只需渣發(fā)現(xiàn)踐多項(xiàng)殊式的特點(diǎn)，再小將符問(wèn)合其網(wǎng)形式旱的公建式套餅進(jìn)去屬即可鄙完成瘦因式語(yǔ)分解桌，有封時(shí)需授和別神的方窗法結(jié)合或多醋種公偷式結(jié)合。接下辰來(lái)是咽一些腥常用渾的乘域法公箱式，雞可以夕逆用瘡進(jìn)行午因式趁分解努。常用煌公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方板差公彎式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完在全平水方公蠻式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立融方和男、差檔公式隸）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完泉全立奪方和主公式謹(jǐn)）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式芽推導(dǎo)這是貿(mào)公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推綁導(dǎo)過(guò)宏程不要母與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、錢(qián)公式直法只需藏發(fā)現(xiàn)紹多項(xiàng)盡式的特點(diǎn)，再搭將符膨合其喉形式盡的公我式套東進(jìn)去紐奉即可擇完成紡因式努分解斥，有尊時(shí)需兩和別匯的方記法結(jié)合或多老種公礙式結(jié)合。三、舞十字垮相乘匠法①前面椒出現(xiàn)悠了一器個(gè)公本式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們?cè)嚎梢耘塾盟鼏蔬M(jìn)行釣因式炊分解（適像用于盛二次飄三項(xiàng)乎式）例1：因邁式分經(jīng)解x2+4x+3可以果看出賓常數(shù)紡項(xiàng)3親=1×3而一租次項(xiàng)股系數(shù)4棋=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且疾稱(chēng)為p、q型因幫式分敞解例2：因擱式分泊解x2–7x+1湯0可以氣看出楚常數(shù)扒項(xiàng)10畜=(–中2)×(–龍5)而一坦次項(xiàng)圣系數(shù)–7激=(–真2)+(–拋5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)垃公式稀簡(jiǎn)單堤的說(shuō)速，就是秋把常扯數(shù)項(xiàng)職拆成逮兩個(gè)貢數(shù)的腐乘積糊，而這嚇兩個(gè)榆數(shù)的輕和剛慢好等借于一銀次項(xiàng)岸系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2三、撥十字運(yùn)相乘薪法②試因虜式分康解6x2+7x+2。這里復(fù)就要參用到十字孩相乘盾法（適艘用于款二次滔三項(xiàng)慈式）。既然躬是二淹次式鉆，就恩可以竊寫(xiě)成(ax+b)(cx+d)的形脾式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd所以，傻需要井將二次菜項(xiàng)系準(zhǔn)數(shù)與常數(shù)悔項(xiàng)分別建拆成糞兩個(gè)掛數(shù)的腸積，泰而這核四個(gè)霜數(shù)中析，兩秒個(gè)數(shù)打的積譯與另歇外兩季個(gè)數(shù)庸的積角之和倡剛好神等于滅一次萍項(xiàng)系伴數(shù)，歲那么助因式檔分解今就成洪功了仁。=劫173x2+算11x+門(mén)106x2+稍7x+胡223124+永3=刺7∴6x2+7x+2田=(2x+1)(3x+2)13522+東15=憐1113255+棋6∴3x2+1論1x+1生0=爺(x+2)(3x+5)=寄–65x2–訪6xy–腳8y2試因增式分堤解5x2–6xy–8y2。這里敲仍然摟可以倉(cāng)用十字訓(xùn)相乘導(dǎo)法。15–244–扯10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記殖口訣箏：首尾斬分解察，交稅叉相蜓乘，乒求和扛湊中揪。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy四、釀分組者分解傘法要發(fā)玩現(xiàn)式腹中隱驗(yàn)含的似條件釀，通攤過(guò)交賭換項(xiàng)線的位文置，蔬添、特去括壇號(hào)等夫一些變換達(dá)到磁因式茂分解籍的目燃的。例1：因撲式分醉解ab–ac+bd–cd。解：紋原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a(b–c)+d(b–c)=(a+d)(b–c)還有噸別的翅解法叢嗎？四、況分組許分解銜法要發(fā)帶現(xiàn)式雪中隱還含的定條件鞭，通蜜過(guò)交鋼換項(xiàng)乖的位扭置，火添、悄去括僑號(hào)等遠(yuǎn)一些變換達(dá)到如因式辯分解堅(jiān)的目閃的。例1：因潛式分色解ab–ac+bd–cd。解：陵原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b(a+d)–c(a+d)=泰(a+d)(b–c)例2：因海式分腐解x5+x4+x3+x2+x+1。解：滋原式=悅(x5+x4+x3)+爐(x2+x+1烤)=階(x3+1氏)(x2+x+1賞)=(x+1資)(x2–x+1眼)(x2+x+1椅)立方垂和公虹式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1回顧蛛例題膝：因式顫分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解亂：原播式=裁(x5+x4)+飽(x3+x2)+婦(x+1涉)=梨(x+1帖)(x4+x2+1錄)=斧(x+1晨)(x4+2x2+1–x2)=蓋(x+1迫)[(x2+1潑)2–x2]=(x+1抖)(x2+x+1鋼)(x2–x+1抗)五*撓、拆蝴項(xiàng)添企項(xiàng)法怎么秀結(jié)果比與剛吵才不科一樣脅呢？因?yàn)闋匏€善可以出繼續(xù)作因式棗分解拆項(xiàng)菜添項(xiàng)艱法對(duì)段數(shù)學(xué)驢能力父有著盒更高頸的要稍求，協(xié)需要還觀察住到多牙項(xiàng)式薯中應(yīng)著拆哪買(mǎi)一項(xiàng)梅使得紗接下曲來(lái)可搜以繼群續(xù)因運(yùn)式分孔解，旱要對(duì)固結(jié)果挑有一槍定的預(yù)見(jiàn)軌性，嘗啟試較軌多，駛做題宅較繁另瑣。最好霧能根片據(jù)現(xiàn)大有多潮項(xiàng)式狠內(nèi)的責(zé)項(xiàng)猜測(cè)可能候需要獻(xiàn)使用榜的公緒式，毫有時(shí)欺要根獎(jiǎng)?chuàng)斡懯讲聹y(cè)可能構(gòu)的系卷數(shù)。五*、拆井項(xiàng)添番項(xiàng)法例因式低分解x4+鏈4解：魔原式=x4+4x2+既4–壯4x2=亮(x2+2愿)2–筒(2x)2=罩(x2+2x+2戰(zhàn))(x2–2x+2財(cái))都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全附平方唯公式平方忽差公舌式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn配方護(hù)法配方幼法是永一種斃特殊身的拆神項(xiàng)添央項(xiàng)法政，將磨多項(xiàng)釀式配成沸完全讀平方葡式，再河用平漸方差鏟公式長(zhǎng)進(jìn)行泳分解妨。因式某分解a2–b2+4a+2b+3。解：誤原式=潔(a2+4a+4想)腰–醒(b2–2b+1簡(jiǎn))=袖(a+2壞)2–(b–1翼)2=鳥(niǎo)(a+b+1絡(luò))(a–b+3金)配方敗法(拆項(xiàng)正添項(xiàng)痛法)分組攤分解南法完全睛平方歲公式平方繭差公請(qǐng)式二、唱新課1.我們市把叫做x的二躬次三乘項(xiàng)式方。這個(gè)魚(yú)式子底的x的最槽高次女項(xiàng)是2，并百有一右次項(xiàng)麥和常奔數(shù)項(xiàng)尸，共有米三項(xiàng)正。2.請(qǐng)同良學(xué)說(shuō)近出x的二至次三唯項(xiàng)式和x的一吃元二受次方顫程形式芳上有俯什么恨不同溫？答案炊：二泄次三旺項(xiàng)式柴是代同數(shù)式怎，沒(méi)處有等弱號(hào)，至方程失有等尤號(hào)。3.用配謙方法枯把分解章因式凳。分析晚：對(duì)再添一次結(jié)項(xiàng)系透數(shù)的賢一半溫的平慈方（注意牙：因鹿為因信式分膏解是棉恒等慰變形亂，所漆以必漸須同蕩時(shí)減去夾一次泉項(xiàng)系冶數(shù)一岔半的惹平方黑）解：這是配方的關(guān)鍵4.分解橫因式分析潛：把紅二次龍項(xiàng)系剃數(shù)化朋為1，便賭于配干方，旗但不退能各虛項(xiàng)除以2，而蛾是各稱(chēng)項(xiàng)提述取公涌因數(shù)2我們丙知道由在解參一元綱二次敘方程磚時(shí)，臂配方季法的綿步驟圾是固佳定模式得的，鞠即“額千篇冠一律秀”，蘇它的除一般率模式膽就是凍解一偉元二次方桃程的薦求根積公式烤法。妹由此鹿推想丙，用寫(xiě)配方牲法因戚式分宜解必定側(cè)與方暈程的妥根有起