函數(shù)定義域求法例題及練習(xí)

函數(shù)定義域求法例題及練習(xí)

函數(shù)定義域求法一、基本的函數(shù)定義域限制1.分式中的分母不為0；2.偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于0；3.零指數(shù)冪的底數(shù)不為0；4.指數(shù)式的底數(shù)大于且不等于1；5.對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于且不等于1，真數(shù)大于0；6.正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z）；7.余切函數(shù)y=cotx（x∈R，且x≠kπ，k∈Z）；8.反三角函數(shù)的定義域：函數(shù)y=arcsinx的定義域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]；函數(shù)y=arccosx的定義域是[-1,1]，值域是[0,π]；函數(shù)y=arctanx的定義域是R，值域是(-π/2,π/2)；函數(shù)y=arccotx的定義域是R，值域是(0,π)。二、抽象函數(shù)的定義域求法1.已知f(x)的定義域，求復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域：由復(fù)合函數(shù)的定義可知，內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此求解方法為：若f(x)的定義域?yàn)閤∈(a,b)，則求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范圍，即為f[g(x)]的定義域。2.已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域：若f[g(x)]的定義域?yàn)閤∈(a,b)，則由a<x<b確定g(x)的范圍即為f(x)的定義域。3.已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域：可先由f[g(x)]定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求得f[h(x)]的定義域。4.已知f(x)的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域：若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集。例題2.1：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5]，求f(3x-5)的定義域。分析：該函數(shù)是由u=3x-5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量，由于f(x)與f(u)同一個(gè)函數(shù)，因此是已知-1≤u≤5，即-1≤3x-5≤5，求x的取值范圍。解：f(x)的定義域?yàn)閇-2,4]。1/4。②當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f(x)變?yōu)閒(x)＝7，定義域?yàn)镽；③當(dāng)k＝-3/4時(shí)，分母kx2＋4kx＋3＝0，恒成立，函數(shù)無意義。綜上可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3/4)∪(0,1/4)。2.當(dāng)k=2時(shí)，方程左邊=3不恒成立。綜上，k的取值范圍是2≤k<3或3<k≤4。函數(shù)定義域求法練習(xí)1.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=x-1；（2）y=1-（x+1）/（x+3）-3x/（x-1）+（2x-1）/（x-1）+4-x/（x2-3x+4）；（3）y=x2-2x-15。2.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2]，則函數(shù)f(x)的定義域也是[-2,2]。3.已知f(x)=1/（x+1），求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,∞)。4.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇0,1]，函數(shù)f(x-2)的定義域?yàn)閇-2,-1]。5.若函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-2,3]，則函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)閇-3,2]，函數(shù)1/f(x+2)的定義域?yàn)閇-4,-1)∪(2,3]。6.已知函數(shù)f(2x-3)的定義域是(-1,4)，函數(shù)f(1-3x)的定義域是(-∞,4]，則函數(shù)y=f(x+3)+f(x2)的定義域?yàn)閇-3,-2)∪(-2,1)。7.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,4]，求函數(shù)y=f(x+3)+f(x2)的定義域?yàn)閇0,1]∪[3,4]。8.已知函數(shù)f(x)的定義域是(a,b)，求函數(shù)F(x)=f(3x-1)+f(3x+1)的定義域?yàn)閇(a+1)/3,(b-1)/3]。9.若函數(shù)f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,∞)。10.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，且b>-a，則函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x)的定義域?yàn)閇0,b]。11.若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則f(x+a)×f(x-a)的定義域是[0,1-|a|]∪[|a|,1]。12.已知函數(shù)y=(2-x)/(2ax-(a+1)x-1)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的范圍是a≠0,1/2。13.若函數(shù)y=ax2-ax+(1-x)/(x-4)的定義域是R，則a的取值范圍是a≠0