人教版高中數(shù)學(xué)選修第一講《不等式和絕對值不等式》課件5課時課件

第一講不等式和絕對值不等式1、不等式復(fù)習(xí)引入：比較法的基本步驟：1.作差(或作商)2.變形3.定號(與0比較或與1比較).

二:不等式的性質(zhì)（傳遞性）（可加性）（可乘性）（乘方性）（開方性）（加法法則）（乘法法則）（對稱性）新課講解：基本不等式定理1（重要不等式）

如果a,b∈R,那么

a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。證明：探究：

你能從幾何的角度解釋定理1嗎？

分析：a2與b2的幾何意義是正方形面積，ab的幾何意義是矩形面積，可考慮從圖形的面積角度解釋定理。課本P5頁aabbbAHIDKGBJCFE

如圖把實數(shù)a，b作為線段長度，以a≥b為例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.則S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.

S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于圖中有陰影部分的面積，它不大于正方形ABCD與正方形CEFG的面積和。即a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，兩個矩形成為正方形，此時有a2+b2=2ab。

定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。證明：稱為a,b的算術(shù)平均稱為a，b的幾何平均

兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。如圖在直角三角形中，CO、CD分別是斜邊上的中線和高，設(shè)AD=a，DB=b，則由圖形可得到基本不等式的幾何解釋。CABDO關(guān)于基本不等式的幾何意義：課本P6頁例1求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。結(jié)論：已知x,y都是正數(shù)：（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值A(chǔ)BENMFDCQPHG例2某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖（右圖）是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個空角（圖中四個直角三角形）上鋪上草坪，造價為每平方米80元。（1）設(shè)總造價為S元，AD長為x米，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個最小值。三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式思考：以上定理如何證明呢？課本例5解：∵

∴

∴=

當(dāng)且僅當(dāng)即

時有最小值1例3若Ｘ＞－１，則ｘ為何值時，有最小值，并求出最小值？解:小結(jié)：理解并熟練掌握基本不等式及其應(yīng)用，特別要注意利用基本不等式求最值時，一定要滿足“一正二定三相等”的條件。三個正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式的應(yīng)用例6構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.練習(xí)：θ是銳角，求y=sinθcos2θ的最大值。課堂練習(xí)：課本P10第5題、第6題、第11題5、設(shè)a,b∈R+,且a≠b，求證：

(1)(2)6、設(shè)a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；（2）a+b+c>第11題

作業(yè)二、絕對值不等式1、絕對值三角不等式

實數(shù)a的絕對值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到原點的距離：OaAx|a|xABab|a-b|任意兩個實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點間的距離。

聯(lián)系絕對值的幾何意義，從“運算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關(guān)系：分ab>0和ab<0兩種情形討論：（1）當(dāng)ab>0時，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）當(dāng)ab<0時，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，則a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|

定理1如果a,b是實數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立。探究如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換成向量a,b,能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？Oxy探究當(dāng)向量a,b共線時，有怎樣的結(jié)論？這個不等式稱為絕對值三角不等式。定理1的代數(shù)證明：探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？例如：|a|-|b|與|a+b|，|a|+|b|與|a-b|，|a|-|b|與|a-b|等之間的關(guān)系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是實數(shù)，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。證明：根據(jù)絕對值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。B例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路碑的第10km和第20km處?，F(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？

分析：假設(shè)生活區(qū)建在公路路碑的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km，則有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求問題化歸為求該函數(shù)的最小值，可用絕對值三角不等式求解。練習(xí)：課本P20第1、2題.求證：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用幾種方法證明DDC小結(jié)：理解和掌握絕對值不等式的兩個定理：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0時等號成立）

|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0時等號成立）能應(yīng)用定理解決一些證明和求最值問題。作業(yè)：課本P20第3、4、5題2、絕對值不等式的解法復(fù)習(xí)：如果a>0，則

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①換元法：令t=ax+b,轉(zhuǎn)化為|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段討論法：例3

解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7補充例題：解不等式|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比較：類型化去絕對值后集合上解的意義區(qū)別|ax+b|<c-c<ax+b<c{x|ax+b>-c}∩{x|ax+b<c},交|ax+b|>cax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b<-c}∪{x|ax+b>c},并

課堂練習(xí)：P20第6題x12-2-3ABA1B1yxO-32-2①利用絕對值不等式的幾何意義②零點分區(qū)間法