成對(duì)力保守力勢(shì)能

關(guān)于成對(duì)力保守力勢(shì)能第1頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

在元位移

中，重力所做的元功是

第2頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。

設(shè)物體沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，重力所作的功為：第3頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

表明：在重力場(chǎng)中物體沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)重力所作的功為零。第4頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

如用矢量點(diǎn)積的方法描述重力的功，則更方便。

此式表明重力的功只決定于作功的起點(diǎn)和終點(diǎn)而與作功的路徑無關(guān)。dAmgdydr===P·(+mgj).(dxidyj)yx0yyaabbdrPmgdyyy==()Aabmgmgybya沿任意閉合路徑一周

保守力作功為零：第5頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三2.彈性力的功

彈簧勁度系數(shù)為k

，一端固定于墻壁，另一端系一質(zhì)量為m的物體，置于光滑水平地面。XOXxbOxax設(shè)

a、b

兩點(diǎn)為彈簧伸長(zhǎng)后物體的兩個(gè)位置，xa

和

xb

分別表示物體在a、b

兩點(diǎn)時(shí)距

0

點(diǎn)的距離。ab第6頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三XxbOxax

由此可見，彈性力作功也僅僅與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。第7頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三3.

萬有引力的功

兩個(gè)物體的質(zhì)量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。M靜止，以M為原點(diǎn)O建立坐標(biāo)系，研究m相對(duì)M的運(yùn)動(dòng)。第8頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三MmrrGabF=2rFmrabM第9頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三MmrrGabθF==dA2Fdr.rdrFmrdrabM第10頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三cosMmMmrrrGGabsinθθF====()dA22FFdr.90+0θrdrFMmrdrab第11頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三cosMmMmMmMmrrrrGGGGabsinθθF=====()))(([]dAA2222FFdr.90+0θdr==rraabbdrrGMmGMmrrrdrFMmrdrab第12頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三萬有引力的功

由此可見，萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。第13頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三重力、萬有引力、彈性力都是保守力摩擦力不是保守力記住

保守力的判據(jù)是：第14頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三二、成對(duì)力的功

設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2，質(zhì)量分別為和，為質(zhì)點(diǎn)1受到質(zhì)點(diǎn)2的作用力，為質(zhì)點(diǎn)2受到質(zhì)點(diǎn)1的作用力，它們是一對(duì)作用力和反作用力。第15頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三由此可見，成對(duì)作用力與反作用力所作的總功只與作用力及相對(duì)位移有關(guān)，而與每個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。表明：任何一對(duì)作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。第16頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

保守力的普遍定義：在任意的參考系中，成對(duì)保守力的功只取決于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置，而與各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。

表明：任何一對(duì)作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。第17頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三根據(jù)這一特點(diǎn)，就可以按下述方法計(jì)算一對(duì)力的功：例如，質(zhì)量為m的物體在地面以上下落高度h時(shí)，重力及其反作用力所做的功為mgh.認(rèn)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)靜止而以它所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，再計(jì)算另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)時(shí)它所受的力所做的功。這樣用一個(gè)力計(jì)算出來的功，也就是相應(yīng)的一對(duì)力所做的功之和。第18頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三每對(duì)內(nèi)力所做功并不一定為零

有人認(rèn)為作用力和反作用力大小相等、方向相反，因此，系統(tǒng)內(nèi)力的功的代數(shù)和必等于零，這是錯(cuò)誤的！第19頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

勢(shì)能：質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中與位置相關(guān)的能量。它是一種潛在的能量，不同于動(dòng)能。三、勢(shì)能幾種常見的勢(shì)能：重力勢(shì)能彈性勢(shì)能萬有引力勢(shì)能第20頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

涉及重力勢(shì)能時(shí)，一定要將地球列入系統(tǒng)。重力勢(shì)能是指質(zhì)量為m的物體與地球所組成的系統(tǒng)擁有的重力勢(shì)能，而不屬于其中個(gè)別的物體。并設(shè)質(zhì)量為m的物體在地球表面時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為零。注意上述公式的適用條件：第21頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三設(shè)彈簧為原長(zhǎng)時(shí)彈性勢(shì)能為零。彈性勢(shì)能即:式中x代表彈簧的絕對(duì)變形量.第22頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三萬有引力勢(shì)能上述公式成立條件：兩物體質(zhì)量分別為M和m，兩者間的距離為r,并設(shè)兩者間的距離為無窮遠(yuǎn)時(shí)引力勢(shì)能為零。第23頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三此時(shí)的引力勢(shì)能應(yīng)等于把質(zhì)點(diǎn)m從目前位置移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處(引力勢(shì)能為零處)萬有引力所做的功。第24頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三注意

萬有引力勢(shì)能是由質(zhì)量分別為M和m兩物體組成的系統(tǒng)所共同擁有的。第25頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三保守力的功

上式的意思是，系統(tǒng)在由位置a

改變到位置

b時(shí)，成對(duì)保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少（或勢(shì)能增量的負(fù)值）。第26頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三注意：

（1）勢(shì)能既取決于系統(tǒng)內(nèi)物體之間相互作用的形式，又取決于物體之間的相對(duì)位置，所以勢(shì)能是屬于物體系統(tǒng)的，不為單個(gè)物體所具有。（2）物體系統(tǒng)在兩個(gè)不同位置的勢(shì)能差具有一定的量值，它可用成對(duì)保守力作的功來衡量。（3）勢(shì)能差有絕對(duì)意義，而勢(shì)能只有相對(duì)意義。勢(shì)能零點(diǎn)可根據(jù)問題的需要來選擇。第27頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢(shì)能屬于保守力相互作用系統(tǒng),是由相對(duì)位置決定的函數(shù).上式的意思是，系統(tǒng)在由位置a

改變到位置

b時(shí)，成對(duì)保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少（或勢(shì)能增量的負(fù)值）。第28頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三空間某點(diǎn)的勢(shì)能是相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)的,數(shù)值上等于由該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí),保守力所作的功.令b點(diǎn)的勢(shì)能為零第29頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三CalculationoftheforcefrompotentialenergyTheworkdonebytheconservativeforceonanobjectcanbemeasuredasthedecreaseofthepotentialenergyoftheobjectintheconservativefield:dW=F?dr

=Fxdx+Fydy+Fzdz=–dUThemathematicalexpressionofthetotaldifferentiationofthepotentialenergy第30頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三4.勢(shì)能曲線重力勢(shì)能彈性勢(shì)能引力勢(shì)能第31頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢(shì)能曲線的作用：

（1）根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。

（2）利用勢(shì)能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。設(shè)系統(tǒng)內(nèi)的物體在保守力F的作用下，沿x軸發(fā)生位移dx時(shí)，保守力作功第32頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢(shì)能曲線的作用：

（1）根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。

（2）利用勢(shì)能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。

表明：保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢(shì)能對(duì)此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。第33頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題3-1

一質(zhì)量為m=1kg的物體，在保守力F（x）的作用下，沿x軸正向運(yùn)動(dòng)（x>0）。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能是式中x以m為單位，勢(shì)能以J為單位a=1J·m2,b=2J·m

。a）畫出物體的勢(shì)能曲線；b）設(shè)物體的總能量E=-0.50J保持不變，這表明物體的運(yùn)動(dòng)被引力束縛在一定范圍之內(nèi)。試分別用作圖和計(jì)算的方法求物體的運(yùn)動(dòng)范圍。第34頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題3-1一質(zhì)量為m=1kg的物體，在保守力F（x）的作用下，沿x軸正向運(yùn)動(dòng)（x>0）。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能是式中x以m為單位，勢(shì)能以J為單位a=1J·m2,b=2J·m

。（a）畫出物體的勢(shì)能曲線；（b）設(shè)物體的總能量E=-0.50J保持不變，這表明物體的運(yùn)動(dòng)被引力束縛在一定范圍之內(nèi)。試分別用作圖和計(jì)算的方法求物體的運(yùn)動(dòng)范圍。解（a)

根據(jù)取下列數(shù)據(jù)來畫出勢(shì)能曲線第35頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234現(xiàn)在，用式（3-8）求物體的平衡位置令F=0,解得x=1m

，這就是物體的平衡位置，在該點(diǎn)，勢(shì)能有極小值，如圖所示。-10121234x/mEP/J第36頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三（b）當(dāng)物體的總能量E=-0.50J保持不變時(shí)，令Ep(x)