七年級數(shù)學(xué)下冊第四章三角形3探究三角形全等的條件同步課件新版北師大版

知識點一

判定三角形全等的條件——邊邊邊

內(nèi)容應(yīng)用格式圖形表示邊邊邊(SSS)三邊分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)

注意用“≌”表示時,對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)的位置上

例1如圖4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直線上,試說明:△ABF≌△DCE.圖4-3-1分析要說明△ABF≌△DCE,需要得出這兩個三角形的三對對應(yīng)邊相

等,題目提供的條件中“AB=DC,AF=DE”恰好是對應(yīng)邊相等,我們只需

再得到BF=CE即可,這個可由“BE=CF”運用等式性質(zhì),兩邊同時加上

EF獲得.解析∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SSS).知識點二

判定三角形全等的條件——角邊角、角角邊

內(nèi)容應(yīng)用格式圖形表示角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊分別相等的兩

個三角形全等(可以簡寫成“角

邊角”或“ASA”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)

角角邊(AAS)兩角分別相等且其中一組等角的

對邊相等的兩個三角形全等(可

以簡寫成“角角邊”或

“AAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)

知識詳解(1)用“ASA”判定兩個三角形全等的條件是兩角及這兩個角的夾邊對應(yīng)相等.因此列舉兩個三角形全等

的條件時,一定要把夾邊寫在中間,以突出邊角的位置及對應(yīng)關(guān)系,避免出錯.(2)用“AAS”來判定兩個三角形全等時,要注意邊是其中一角的對邊,三個條件一定要對應(yīng),按“角角邊”

的順序列出全等的三個條件.(3)“AAS”與“ASA”的聯(lián)系結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推導(dǎo)得出,將兩者結(jié)合起來可得出:兩個三角形,如

果具備兩個角和一邊對應(yīng)相等,就可判定其全等.其中“對應(yīng)”必不可少.如圖,△ABC與△DEF不全等

例2

(2017四川宜賓中考)如圖4-3-2,已知點B、E、C、F在同一條直線

上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.試說明:BE=CF.

圖4-3-2分析由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS

得到△ABC≌△DEF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BC=EF,都減

去EC即可得BE=CF.解析∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(AAS),∴BC=EF,∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF.知識點三

判定三角形全等的條件——邊角邊

內(nèi)容應(yīng)用格式圖形表示邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角分別相等的兩

個三角形全等(可以簡寫成“邊

角邊”或“SAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

知識詳解(1)用“SAS”判定兩個三角形全等時,對應(yīng)相等的三對元素中的角必須是兩條邊的夾角,而不是其中一邊

的對角.書寫時,要按照邊角邊的順序來寫.

(2)當(dāng)角是一組相等邊的對角,即兩邊和其中一邊的對角分別相等時,兩個三角形不一定全等.如圖所示,在

△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B(∠B分別是AC,AD邊的對角),顯然△ABC和△ABD不全等

例3

(2017四川南充中考)如圖4-3-3,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分別是

點E、F,DE=CF,AE=BF,試說明:AC∥BD.

圖4-3-3分析欲得出AC∥BD,只要得出∠A=∠B,從而只要得出△DEB≌△CFA即可.解析∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB=∠AFC=90°,∵AE=BF,∴AF=BE.在△DEB和△CFA中,

∴△DEB≌△CFA(SAS),∴∠B=∠A,∴AC∥DB.知識點四

全等三角形判定方法的靈活運用判定兩個三角形全等時,如果給出的條件不全面,則需要根據(jù)已知的條

件結(jié)合相應(yīng)的判定方法進行分析,先找出所缺的條件再說明全等.具體思路如下:(1)已知兩邊

思路一(找第三邊)

思路二(找角)

AB=DE,BC=EF

首先找出AC=DF,然后應(yīng)用“SSS”判定全等

①找夾角:首先找出∠B=∠E,然后應(yīng)用

“SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定

全等(后面會學(xué)到)

(2)已知兩角

思路一(找夾邊)

思路二(找角的對邊)

∠A=∠D,∠B=∠E

首先找出AB=DE,然后應(yīng)用“ASA”判定全

等

首先找出AC=DF或BC=EF,然后應(yīng)用

“AAS”判定全等

(3)已知一邊一角

思路一(找夾角的另一邊)思路二(找夾邊的另一角)

思路三(找邊的對角)

①邊為角的鄰邊:AB=

DE,∠B=∠E首先找出BC=EF,然

后應(yīng)用“SAS”判定

全等首先找出∠A=∠D,然后應(yīng)用“ASA”判定全

等

首先找出∠C=∠F,然

后應(yīng)用“AAS”判定

全等

②邊為角的對邊:AC

=DF,∠B=∠E找邊的鄰角對應(yīng)相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后應(yīng)用“AAS”判定全等

例4如圖4-3-4,在△ABC中,點D是BC的中點,作射線AD,在線段AD及其

延長線上分別取點E,F,連接CE,BF.添加一個條件,使得△BDF≌△CDE,

并說明理由.你添加的條件是

(不添加輔助線).圖4-3-4分析由中點知BD=CD,又由對頂角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一

個條件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定兩三角形全等.解析可添加的條件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=

∠DFB).理由:(以DE=DF為例)∵D是BC的中點,∴BD=CD.在△BDF和△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(SAS).知識點五

三角形的穩(wěn)定性只要三角形三條邊的長確定了,這個三角形的大小和形狀就確定了,這

就是三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在實際生活中應(yīng)用很廣,無論什

么構(gòu)件,只要做成三角形形狀,放于任何地方都不變形.例5木匠師傅用4根木條釘成一個四邊形木架,如圖4-3-5,要使這個木

架不變形,他至少要再釘上

根木條.

()

圖4-3-5A.0

B.1

C.2

D.3解析連接AC或BD,構(gòu)成三角形,三角形具有穩(wěn)定性.答案

B題型一

利用三角形全等說明兩直線的位置關(guān)系例1如圖4-3-6,△ABC是等邊三角形,D是AB上一點,以CD為邊作等邊

三角形CDE,使點E,A在直線CD的同側(cè),連接AE.試說明:AE∥BC.

圖4-3-6分析根據(jù)等邊三角形的三邊相等,三個角相等,推出AC=BC,CE=CD,

∠B=∠BCA=∠ECD=60°,進而得出∠ACE=∠BCD,從而根據(jù)“SAS”

得出△ACE≌△BCD,可得∠EAC=∠B=60°=∠BCA,進而得出AE∥BC.解析因為△ABC和△DEC是等邊三角形,所以AC=BC,CE=CD,∠B=∠BCA=∠ECD=60°.所以∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,

所以△ACE≌△BCD(SAS),所以∠EAC=∠B=60°=∠BCA.所以AE∥BC.點撥要得出兩直線平行,一般將問題轉(zhuǎn)化為兩角(同位角、內(nèi)錯角或

同旁內(nèi)角)的關(guān)系,可利用三角形全等來完成.題型二

利用三角形全等解決線段的和(差)問題例2如圖4-3-7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分別過點B,C向過點A

的直線作垂線,垂足分別為點E,F.

圖4-3-7(1)如圖4-3-7①,過點A的直線與斜邊BC不相交時,試說明:EF=BE+CF;(2)如圖4-3-7②,過點A的直線與斜邊BC相交時,其他條件不變.若BE=10,

CF=3,求EF的長.分析(1)首先根據(jù)已知條件得出△ABE≌△CAF,然后利用對應(yīng)邊相等

就可以得出EF=BE+CF.(2)與(1)同理可知△ABE≌△CAF仍成立,再根

據(jù)對應(yīng)邊相等求出EF的長.解析(1)因為BE⊥EF,CF⊥EF,所以∠BEA=∠AFC=90°.因為∠BAC=∠BEA=90°,所以∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°.所以∠EBA=∠FAC.在△ABE和△CAF中,

所以△ABE≌△CAF(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.(2)與(1)同理可得到△ABE≌△CAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.點撥解決線段的和(差)問題,通常把各線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上,可用

全等三角形進行轉(zhuǎn)化.易錯點

錯用“SAS”例如圖4-3-8,∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,AD=BC,試說明:△ABD

≌△BAC.

圖4-3-8錯解在△ABD和△BAC中,因為

所以△ABD≌△BAC(SAS).錯因分析∠CAB和∠DBA并不是AD與AB和BC與AB的夾角.正解因為∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,所以∠DAC+∠CAB=∠CBD+∠DBA,即∠DAB=∠ABC.在△ABD和△BAC中,因為

所以△ABD≌△BAC(SAS).知識點一

判定三角形全等的條件——邊邊邊1.如圖4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”來判

定△ABC和△FED全等,下面的4個條件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=

BE;④BF=BE,可利用的是

()

圖4-3-1A.①或②

B.②或③

C.①或③

D.①或④答案

A由題意可得,要用“SSS”進行△ABC和△FED全等的判定,

只需AB=FE,若添加①AE=FB,則可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可

以;顯然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④

不可以,故選A.2.如圖4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”來判定△ABC≌△CDA,則添

加的條件是

.

圖4-3-2答案

AB=CD3.如圖4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,試說明:△ABC≌△AED.

圖4-3-3解析因為BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在△ABC和△AED中,

所以△ABC≌△AED.知識點二

判定三角形全等的條件——角邊角、角角邊4.如圖4-3-4,小紅同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是

()A.帶①去

B.帶②去C.帶③去

D.帶①和②去圖4-3-4答案

C③中有完整的∠B,∠C和BC邊,由“ASA”可配出完全一樣

的玻璃.5.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,還需添加一個條件,這個條件可以是

.答案∠C=∠C1或∠B=∠B1

6.如圖4-3-5,在△ABC中,D是BC邊上的點(不與B,C重合),F,E分別是AD

及其延長線上的點,CF∥BE.請你添加一個條件,使△BDE≌△CDF.(不

再添加其他線段,不再標(biāo)注或使用其他字母)

圖4-3-5(1)你添加的條件是

;(2)試說明:△BDE≌△CDF.解析(1)BD=DC(或點D是線段BC的中點或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC為例進行說明:因為CF∥BE,所以∠EBD=∠FCD.又因為BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△BDE≌△CDF.知識點三

判定三角形全等的條件——邊角邊7.如圖4-3-6,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,則圖中的全等三角形有

()

圖4-3-6A.3對

B.4對

C.5對

D.6對答案

A∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.由“SAS”可判定△ABD≌△CDB,△ABE≌△CDF,進而可證得△AED≌△CFB.8.(2018廣東中山期末)如圖4-3-7,點E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=

∠C.試說明:∠A=∠D.

圖4-3-7解析

∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF,即BF=EC,在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠A=∠D.知識點四

全等三角形判定方法的靈活運用9.已知△ABC的六個元素,則圖4-3-8②中的甲、乙、丙三個三角形和圖

4-3-8①中的△ABC全等的是

()

圖4-3-8A.甲、乙

B.丙

C.乙、丙

D.乙答案

C由SAS可判定乙三角形與△ABC全等,由AAS可判定丙三角

形與△ABC全等.10.(2016江蘇連云港灌云西片月考)如圖4-3-9,已知:點B、F、C、E在一

條直線上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知條件得出AB∥ED?如果能,

請說明理由;如果不能,請從下列四個條件中選擇一個合適的條件,添加

到已知條件中,使AB∥ED成立,并說明理由.供選擇的四個條件:①AB=DE;②∠A=∠D=90°;③∠ACB=∠DFE;④∠A

=∠D.

圖4-3-9解析不能;選擇條件①AB=DE(還可選擇條件②或③,但不能選擇條件④).理由:∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠B=∠E,∴AB∥ED.知識點五

三角形的穩(wěn)定性11.下面圖形中具有穩(wěn)定性的是

()

答案

A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.12.如圖4-3-10是一個由四根木條釘成的框架,拉動其中兩根木條后,它

的形狀將會改變,若想固定其形狀,下列有四種加固木條的方法,不能固

定形狀的是釘在

兩點上的木條.()

圖4-3-10A.A,F

B.B,E

C.C,A

D.E,F答案

D1.如圖,已知AB=AC,BD=DC,那么下列結(jié)論中不正確的是

()

A.△ABD≌△ACD

B.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半

D.AD平分∠BAC答案

C由“SSS”可判定△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC=90°,

∠BAD=∠CAD.∴A、B、D選項均正確.2.如圖,在△ABC和△ADE中,①AB=AD;②AC=AE;③BC=DE;④∠C=

∠E;⑤∠B=∠ADE.下列四個選項分別以其中三個為條件,剩下兩個為

結(jié)論,則錯誤的是

()

A.若①②③成立,則④⑤成立B.若②④⑤成立,則①③成立C.若①③⑤成立,則②④成立D.若①②④成立,則③⑤成立答案

D

SSA不能判定三角形全等.3.教室的門松動了,老師用一根木條斜著釘上去,門就不松動了,這是什

么道理?解析因為教室的門是四邊形,四邊形具有不穩(wěn)定性,易松動.斜釘一根

木條就變成了三角形,而三角形具有穩(wěn)定性,所以門就不再松動了.4.如圖,AB=CD,AB∥CD,CE=AF.試說明:∠E=∠F.

解析∵CE=AF,∴AE=CF.∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB.在△ABE與△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠E=∠F.1.(2015湖北宜昌中考)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖4

-3-11,四邊形ABCD是一個箏形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形

的性質(zhì)時,得到如下結(jié)論:①AC⊥BD;②AO=CO=

AC;③△ABD≌△CBD.其中正確的結(jié)論有

()

圖4-3-11A.0個

B.1個

C.2個

D.3個答案

D在△ABD與△CBD中,

∴△ABD≌△CBD(SSS),∴∠ADB=∠CDB,在△AOD與△COD中,

∴△AOD≌△COD(SAS),∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,∴AC⊥DB,AO=CO=

AC.綜上,①②③正確,故選D.2.(2015四川宜賓中考)如圖4-3-12,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.試說

明:∠A=∠D.

圖4-3-12解析

∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE,即∠DCE=

∠ACB.在△ACB和△DCE中,

∴△ACB≌△DCE,∴∠A=∠D.3.如圖4-3-13,已知A,D,E三點共線,C,B,F三點共線,AB=CD,AD=CB,DE=

BF,那么BE與DF之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

圖4-3-13解析

BE=DF.理由如下:如圖,連接BD.

在△ABD和△CDB中,

所以△ABD≌△CDB(SSS).所以∠A=∠C.因為AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,在△ABE和△CDF中,

所以△ABE≌△CDF(SAS),所以BE=DF.1.(2016河北唐山樂亭期中)如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC

到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿BC—

CD—DA向終點A運動,設(shè)點P的運動時間為t秒,當(dāng)t的值為

時,△ABP和△DCE全等.

()

A.1

B.1或3

C.1或7

D.3或7答案

C

AB=CD,∠DCE=90°,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,則根

據(jù)SAS可證得△ABP≌△DCE,此時BP=2t=2,所以t=1;若∠BAP=∠DCE

=90°,AP=CE=2,則根據(jù)SAS可證得△BAP≌△DCE,此時AP=16-2t=2,解

得t=7.綜上,當(dāng)t的值為1或7時,△ABP和△DCE全等.故選C.2.如圖,已知點D是△ABC的邊AB上一點,AB∥FC,DF交AC于點E,DE=

EF.試說明:△ADE≌△CFE.

解析解法一:∵AB∥FC,∴∠F=∠ADE.在△ADE和△CFE中,有

∴△ADE≌△CFE(ASA).解法二:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF,在△ADE和△CFE中,有

∴△ADE≌△CFE(AAS).3.如圖,在△ABC與△ABD中,BC=BD,點E為BC的中點,點F為BD的中點,

連接AE,AF,AE=AF.試說明:∠C=∠D.

解析

∵點E、點F分別為BC、BD的中點,∴BE=

BC,BF=

BD,又∵BC=BD,∴BE=BF.在△ABE和△ABF中,

∴△ABE≌△ABF(SSS),∴∠ABE=∠ABF(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△ABC和△ABD中,

∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).一、選擇題1.(2018甘肅臨澤二中月考,6,★☆☆)如圖4-3-14所示,在下列條件中,不

能判斷△ABD≌△BAC的條件是

()

圖4-3-14A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC答案

C對于C,∠BAD與∠ABC不是BD和AB與AC和AB的夾角,所以

不能判斷△ABD≌△BAC.二、填空題2.(2018廣東佛山順德江義初中期中,11,★☆☆)如圖4-3-15所示,建高樓

常需要用塔吊來吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形結(jié)構(gòu),這是因為三

角形具有

.

圖4-3-15答案穩(wěn)定性3.(2018江蘇無錫宜興月考,14,★★☆)如圖4-3-16,∠DAB=∠EAC=65°,

AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于點O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,

則∠DOE的度數(shù)是

.

圖4-3-16答案115°解析∵∠DAB=∠EAC=65°,∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC,∴∠DAC=∠EAB.在△ADC和△ABE中,

∴△ADC≌△ABE(SAS),∴∠E=∠ACD,又∵∠AFE=∠OFC,∴∠EAF=∠COF=65°,∴∠DOE=180°-∠COF=115°.三、解答題4.(2018廣東河源正德中學(xué)段考,22,★☆☆)如圖4-3-17,已知AB=AC,∠B

=∠C,試說明:BD=CE.

圖4-3-17解析在△ABD和△ACE中,∵∠B=∠C,∠A=∠A,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).5.(2017陜西西安七十中月考,21,★☆☆)如圖4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE

=CD,試說明:△ABD≌△ACE.

圖4-3-18解析∵BE=CD,∴BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SSS).1.(2018四川成都成華月考,11,★★☆)如圖,A、B、C、D四點在一條直

線上,AB=CD,EC⊥AD于C,FB⊥AD于B,若要使△ACE≌△DBF,則還需

補充條件

.(寫出一種即可)

答案∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等)解析∵A、B、C、D四點在一條直線上,AB=CD,∴AC=BD.又EC⊥

AD于C,FB⊥AD于B,∴∠ACE=∠DBF=90°,∴當(dāng)根據(jù)ASA判定△ACE≌△DBF時,需要添加∠A=∠D.當(dāng)根據(jù)AAS判

定△ACE≌△DBF時,需要添加∠E=∠F.當(dāng)根據(jù)SAS判定△ACE≌△DBF時,需要添加CE=BF.當(dāng)根據(jù)HL判定Rt△ACE≌Rt△DBF時,需要添

加AE=DF.故答案是∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等).2.(2018江蘇揚州廣陵月考,15,★★☆)如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=

AC,分別過點B、C作過點A的直線的垂線BD、CE,垂足分別為D、E,若

BD=3,CE=2,則DE=

.

答案5解析∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°,∴∠BAD+∠DBA=90°,∴∠DBA=∠CAE.∵CE⊥DE,∴∠E=90°.在△BDA和△AEC中,

∴△BDA≌△AEC(AAS),∴DA=CE=2,DB=AE=3,∴ED=5.3.(2018江蘇泰州高港月考,20,★★☆)長方形具有四個內(nèi)角均為直角,并

且兩組對邊分別平行且相等的特征.如圖,把一張長方形紙片ABCD折

疊,使點C與點A重合,折痕為EF.(1)如果∠DEF=110°,求∠BAF的度數(shù);(2)判斷△ABF和△AGE是否全等,請說明理由.

解析(1)∵四邊形ABCD是長方形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠CFE=180°-∠DEF=70°,由折疊知∠AFE=∠CFE=70°,∴∠AFB=180°-∠AFE-∠CFE=40°,∵∠B=90°,∴∠BAF=90°-∠AFB=50°.(2)△ABF≌△AGE.理由如下:由折疊知AG=CD,∠G=∠D=90°,∠DEF=∠GEF.∴∠B=∠G.∵AB=CD,∴AB=AG.∵∠AEF=180°-∠DEF,∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=2∠DEF-180°,又∠AFB=180°-2∠CFE=180°-2(180°-∠DEF)=2∠DEF-180°,∴∠AFB=∠AEG.在△ABF和△AGE中,

∴△ABF≌△AGE(AAS).一、選擇題1.(2018河北中考,1,★☆☆)下列圖形具有穩(wěn)定性的是

()

答案

A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.2.(2018江蘇南京中考,5,★★☆)如圖4-3-19,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是

AD上兩點,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為

()

圖4-3-19A.a+c

B.b+c

C.a-b+c

D.a+b-c答案

D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故選D.3.(2018貴州安順中考,5,★★☆)如圖4-3-20,點D,E分別在線段AB,AC上,

CD與BE相交于O點,已知AB=AC,現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD

()

圖4-3-20A.∠B=∠C

B.AD=AEC.BD=CE

D.BE=CD答案

D已知AB=AC,∠A為公共角,選項A,添加∠B=∠C,利用ASA即可說明△ABE≌△ACD;選項B,添加AD=AE,利用SAS即可說明△ABE≌△ACD;選項C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可說明△ABE≌△ACD;選項D,添加BE=CD,因為SSA不能判定兩三角形全等.故選D.二、解答題4.(2018四川瀘州中考,18,★★☆)如圖4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.試

說明:∠F=∠C.

圖4-3-21解析∵DA=BE,∴DE=AB,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠C=∠F.5.(2018陜西中考,18,★★☆)如圖4-3-22,AB∥CD,E、F分別為AB、CD

上的點,且EC∥BF,連接AD,分別與EC、BF相交于點G、H.若AB=CD,試

說明:AG=DH.

圖4-3-22解析∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.在△ABH和△DCG中,∵

∴△ABH≌△DCG(AAS),∴AH=DG,∵AH=AG+GH,DG=DH+GH,∴AG=DH.1.(2018山東菏澤中考,17,★★☆)如圖,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.請寫出

DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

解析

DF=AE.理由:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-FE,∴CF=BE.又∵CD=AB,∴△DCF≌△ABE(SAS),∴DF=AE.2.(2018四川南充中考,18,★☆☆)如圖,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.試說明:∠C=∠E.

解析∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,∵

∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠C=∠E.3.(2018浙江溫州中考,18節(jié)選,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的

中點,AD∥EC,∠AED=∠B.試說明:△AED≌△EBC.

解析∵AD∥EC,∴∠A=∠BEC.∵E是AB的中點,∴AE=EB.∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC(ASA).1.如圖4-3-23①,已知AB=AC,D為∠BAC的平分線上一點.連接BD,CD,全

等三角形的對數(shù)是

;如圖4-3-23②,已知AB=AC,D,E為∠BAC的平分線上的兩點.連接BD,CD,

BE,CE,全等三角形的對數(shù)是多少?如圖4-3-23③,已知AB=AC,D,E,F為∠BAC的平分線上的三點,連接BD,

CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的對數(shù)是多少?……依此規(guī)律,第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是多少?圖4-3-23解析題圖①中,∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD與△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS).∴題圖①中有1對全等三角形.同理,題圖②中,△ABE≌△ACE,∴BE=EC,∵△ABD≌△ACD,∴BD=CD.在△BDE和△CDE中,

∴△BDE≌△CDE(SSS),∴題圖②中有3對全等三角形.同理,題圖③中有6對全等三角形.由此發(fā)現(xiàn):第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是

.2.(2018山西期中)問題情境:如圖4-3-24①,在直角三角形ABC中,∠BAC=

90°,AD⊥BC于點D,可知:∠BAD=∠C;特例探究:如圖4-3-24②,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內(nèi)部,點B、C分

別在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.

試說明:△ABD≌△CAF;歸納證明:如圖4-3-24③,點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點E,F在

∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知

AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.試說明:△ABE≌△CAF;拓展應(yīng)用:如圖4-3-24④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=

2BD,點E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,則△

ACF與△BDE的面積之和為

.

圖4-3-24解析特