知識點37解直角三角形及其應用2018-2

一、選擇題1.（2018吉林省長春市，6，3）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）.為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為，則A、B兩地之間的距離為（A）800sin米（B）800tan米（C）米（D）米【答案】D【解析】由題中條件可知，在RT△ABC中，∠ABC=，AC=800米，建立數學模型tan=，可得AB=米.【知識點】解直角三角形，銳角三角函數，俯角問題.2.（2018江蘇蘇州，8，3分）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務，當海監(jiān)船由西向東航行至A處時，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時到達B處，測得島嶼P在其北偏兩30°方向，保持航向不變又航行2小時到達C處，此時海監(jiān)船與島嶼P之問的距離（即PC的長）為A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里【答案】D【解析】本題解答時要利用直角三角形的邊角關鍵和勾股定理來進行計算.由題意可知AB=20，∠APB=30゜，∴PA=20，∵BC=220=40，∴AC=60，∴PC=（海里），故選D.二、填空題1.（2018湖北省江漢油田潛江天門仙桃市，15，3分）我國海域遼闊，漁業(yè)資源豐富．如圖，現有漁船B在海島A，C附近捕魚作業(yè)，已知海島C位于海島A的北偏東45°方向上．在漁船B上測得海島A位于漁船B的北偏西30°的方向上，此時海島C恰好位于漁船B的正北方向nmile處，則海島A，C之間的距離為nmile．【答案】【解析】本題主要考察三角函數的應用．過A作AD⊥BC于D．設，∵∠C45°，∠B30°，∴，，．∵，∴，解得．∴．【知識點】三角函數的應用2.（湖北省咸寧市，13，3）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_________m.(結果保留整數，)【答案】300【解析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110m，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝110m∴CD＝，∴BC＝BD+CD=110+≈300m【知識點】解直角三角形的應用3.(2018遼寧葫蘆島，15，3分)如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上，一架無人機在空中沿水平方向飛行進行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內，當無人機飛行至C處時，測得景點A的俯角為45°，景點B為的俯角為30°，此時C到地面的距離CD為100米，則兩景點A、B間的距離為__________米(結果保留根號)．【答案】：100+100，【解析】∵MN∥AB，∴∠A＝∠MCA＝45°，∠B＝∠NCB＝30°．∵CD＝100，∴AD＝＝100，DB＝＝100．∴AB＝AD＋DB＝100＋100．4.（2018廣西南寧，16，3）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°．已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是m．（結果保留根號）甲甲樓ABCD乙樓30°第16題圖45°【答案】40EQ\R(,3)，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝EQ\F(CD,AD)＝EQ\F(EQ\R(,3),3)．∴CD＝40EQ\R(,3)．5.(2018湖北黃石，14，3分)如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是____________米．(結果保留根號)第14題圖【答案】100(1＋)【解析】由題意可知∠A＝30°，∠B＝45°，∴AD＝＝100米，BD＝CD＝米，∴AB＝AD＋BD＝100＋＝100(1＋)米.6.（2018·寧夏，15，3）一艘貨輪以18km/h的速度在海面上沿正東方向航行，當行駛至A處時，發(fā)現它的東南方向有一燈塔B，貨輪繼續(xù)向東航行30分鐘后到達C處，發(fā)現燈塔B在它的南偏東15°方向，則此時貨輪與燈塔B的距離為____________km．【答案】18．【解析】如下圖，過點C作CD⊥AB于點D，則∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，從而∠B＝30°，AC＝×18＝9．在Rt△ACD中，sin∠CAD＝，從而CD＝ACsin∠CAD＝9×sin45°＝9×＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知識點】解直角三角形；方向角7.（2018遼寧錦州，16，3分）如圖，射線OM在第一象限，且與x軸正半軸的夾角為60°，過點D（6，0）作DA⊥OM于點A，作線段OD的垂直平分線BE交x軸于點E，交AD于點B，作射線OB，以AB為邊的△AOB的外側作正方形ABCA1，延長A1C交射線OB于點B1，以A1B1為邊在△A1OB1的外側作正方形A1B1C1A2，延長A2C1交射線OB于點B2，以AB為邊在△A2OB2的外側作正方形A2B2C2A3……按此規(guī)律進行下去，則正方式A2017B2017C2017A2018的周長為【答案】4×，【解析】本題為規(guī)律探究題，先根據圖形運用三角函數∠AOD=60°,OD=3,AD=3,BD=2,AB=,B1C=1,A1B1=+1,B2C1=tan30°A1B1=A1B1,A2B2=A1B1+A1B1=A1B1(+1)=(+1)2B3C2=A2B2,A3B3=A2B2+A2B2=A2B2(+1)=()2(+1)3A2017B2017=()2016(+1)2017A2017B2017C2017A2018的周長4A2017B2017=4×()2016(+1)2017三、解答題1.（2018廣西省桂林市，23，8分）如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處位于C處的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于BA前往救援，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時，問漁船在B處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船A的救援？（參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45，結果精確到0.1小時）【思路分析】過點B作BD⊥DC于點D，由題意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，先根據BC＝60，利用特殊角的三角函數值求出BD的長，再求出AD的長即可．【解題過程】解：如圖（1），過點B作BD⊥DC于點D，由題意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，DC＝BD，則在Rt△DEF中，∵BC＝60，∴sin∠BCD＝，即，解得BD＝，∴DC＝BD＝，則在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，即，解得AD＝，∴AB＝AD－BD＝－≈30（－）＝31.2（海里），∴漁船在B處等待得到海監(jiān)船A的救援需要的時間為＝1.04≈1.0（小時），答：漁船在B處等待得到海監(jiān)船A的救援需要約1.0小時．【知識點】銳角三角函數的實際應用；二次根式的化簡2.（2018海南省，22，8分）如圖10，某數學興趣小組為測量一棵古樹BH和教學樓CG的高，先在AH的仰角∠HDE為45°，此時教學樓頂端G恰好在視線DH上，再向前走7米到達B處，又測得教學樓頂端G的仰角∠GEF為60°，點A，B，C三點在同一水平線上．（1）計算古樹BH的高；（2）計算教學樓CG的高．（參考數據：，）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，從而求出BH的長．（2）設EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的長，GF=x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=x，求解出x，從而得到GF的長，GC=GF+FC，故求得CG的長．【解題過程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE米．（2）設EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=x．將代入上式，解得x=10．GF=x=17．∴GC=GF+FC米．答：古樹高為，教學樓高為．【知識點】解直角三角形，解直角三角形的應用3.如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為，測得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結果取整數）.參考數據：，.【答案】甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.【解析】分析：首先分析圖形：根據題意構造直角三角形；本題涉及兩個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式，進而可求出答案．詳解：如圖，過點作，垂足為.則.由題意可知，，，，，.可得四邊形為矩形.∴，.在中，，∴.在中，，∴.∴.∴.答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.點睛：本題考查解直角三角形的應用--仰角俯角問題，首先構造直角三角形，再借助角邊關系、三角函數的定義解題，難度一般．4.(2018甘肅省蘭州市,23,7分)(7分)如圖,斜坡BE,坡頂B到水平地面的距離AB為3米,坡底AE為18米,在B處,E處分別測得CD頂部點D的仰角為30°,60°.求CD的高度.(結果保留根號)BBADCFE【思路分析】作BF⊥CD于F,然后在兩個直角三角形中分別表示出BF,CE,然后利用BF和CE相等即可求解.【解題過程】作BF⊥CD于F,設CE=x米,因為∠DEC=60°,所以DC=x米?DF=(x-2)米,因為∠FBD=30°,所以BF=(x-2)米?因為BA⊥AC,DC⊥AC,所以四邊形BACF為矩形,所以BF=AC,所以(x-2)=x+18,解得x=12+10.答:CD的高度是(12+10)米?【知識點】解直角三角形三角函數5.（2018黑龍江省齊齊哈爾市，題號23，分值12）折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，折紙活動也伴隨著我們初中數學的學習.在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質和運動、確定圖形位置等，進一步發(fā)展空間觀念，在經歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀.折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪呰數學結論.實踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B’落在矩形所在平面內，B’C和AD相交于點E，連接B’D.解決問題(1)在圖1中，①B’D和AC的位置關系為______________;②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是_________________;(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(AB≠BC)，如圖2所示，結論①和結論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形.則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為____________；拓展應用(4)在圖2中，若∠B=30°，AB=，當△AB’D恰好為直角三角形時，BC的長度為__________. .【思路分析】(1)由折疊的性質可知，∠ACB=∠ACE,再由四邊形ABCD為矩形，AC為對角線可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC為對頂角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,將△AEC剪下展開后，能得到四條邊均相等的四邊形，即菱形，故答案為①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形變平行四邊形時也可得到B’D∥AC和菱形的結論；（3）當矩形為正方形時符合題意，即長寬之比為1：1；當∠ACB=30°時符合題意，即長寬之比為：1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.當∠AB’D=90°，且點B’在AD上方時，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC=;當點B’在AD下方，∠ADB’=90°時，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.當∠B’AD=90°,且點B’在AD上方時，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’.當∠B’AD=90°,且點B’在AD下方時，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+.【解題過程】解：（1）由折疊的性質可知，∠ACB=∠ACE.再由四邊形ABCD為矩形，AC為對角線可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC為對頂角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.將△AEC剪下展開后，能得到四條邊均相等的四邊形，即菱形.故答案為①B’D∥AC，②菱形.（2）結論仍然成立.若選擇結論①證明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若選擇結論②證明：如圖所示，設點E的對應點為點F.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折疊可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四邊形AECF是菱形.（3）當矩形為正方形時符合題意，即長寬之比為1：1；當∠ACB=30°時符合題意，即長寬之比為：1.（答對一個得1分，寫成“1或”也正常給分）（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.當∠AB’D=90°，且點B’在AD上方時，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°.∵∠B=∠AB’C=30°，∴在Rt△AB’C中，BC==8；當點B’在AD下方，∠ADB’=90°時，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD=6.當∠B’AD=90°,且點B’在AD上方時，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’=12.當∠B’AD=90°,且點B’在AD下方時，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+=4，解得AD=4.故答案為4或6或8或12.（答對一個得1分）【知識點】折疊的性質，平行線的判定與性質，銳角三角函數的應用，菱形的判定與性質，等腰三角形的性質.6.（2018湖南省懷化市，23，12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，點E為CD邊上一點，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線．（1）請你添加一個適當的條件________，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作?O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法)；（3）在（2）的條件下，?O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE＝4，sinAGF＝，求?O的半徑．【思路分析】（1）在四邊形中，一組對邊平行且相等，那么這個四邊形為平行四邊形．（2）由AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到，通過AE為的角平分線，可知，所以在三角形AFG和三角形AEB中有兩角對應相等，所以兩三角形相似，所以sinAGF＝sinABE，又已知AE＝4，所以通過直角三角形的三角函數可求出直徑AB的值，繼而求出半徑的值．【解題過程】（1）令AD＝BC，又∵AD//BC，根據平行四邊行的判定定理，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）∵?O交邊AD于點F，∴點F為圓上一點，∴，因為AE與BE分別為DAB和CBA的平分線，AD//BC，所以，即得，在中，又∵AE為的角平分線，∴，所以在三角形AFG和三角形AEB中，有，，∴∽，∴sinAGF＝＝sin＝，已知AE＝4，所以可得出直徑AB＝5，即半徑等于2.5．【知識點】平行四邊形的判定定理尺規(guī)作圖三角形相似的判定定理和相似三角形的性質直角三角形的三角函數求值圓周角的性質7.（2018年江蘇省南京市，23，8分）如圖，為了測量建筑物的高度，在處樹立標桿，標桿的高是.在上選取觀測點、，從測得標桿和建筑物的頂部、的仰角分別為、，從測得、的仰角分別為、.求建筑物的高度（精確到）.（參考數據：，，.）【思路分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，進而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度?！窘忸}過程】解：在中，，∵.∴.在中，，∵∴.∴.同理.∴.解得.因此，建筑物的高度約為.【知識點】解直角三角形的應用8.（2018浙江嘉興，22，10）如圖1，滑動調節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動調節(jié)點，傘體的截面示意圖為△PDE，F為PD中點，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°．當點P位于初始位置P0時，點D與C重合（圖2）．根據生活經驗，當太陽光線與PE垂直時，遮陽效果最佳．（1）上午10:00時，太陽光線與地面的夾角為60°（圖3），為使遮陽效果最佳，點P需從P0上調多少距離？（結果精確到0.1m）（2）中午12:00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點P在（1）的基礎上還需上調多少距離？（結果精確到0.1m）（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）【思路分析】（1）只要證明△CFP1是等腰直角三角形，即可解決問題；（2）解直角三角形求出CP2的長即可解決問題；【解答過程】（1）如圖2中，當P位于初始位置時，CP0=2m，如圖3中，上午10：00時，太陽光線與地面的夾角為65°，上調的距離為P0P1．∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，∴∠AP1E=115°，∴∠CP1E=65°，∵∠DP1E=20°，∴∠CP1F=45°，∵CF=P1F=1m，∴∠C=∠CP1F=45°，∴△CP1F是等腰直角三角形，∴P1C=m，∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，即為使遮陽效果最佳，點P需從P0上調0.6m．（2）如圖4中，中午12：00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點P調到P2處．∵P2E∥AB，∴∠CP2E=∠CAB=90°，∵∠DP2E=20°，∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，則CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，即點P在（1）的基礎上還需上調0.7m．9.（2018湖南婁底，22，8）如圖，長沙九龍倉國際金融中心主樓高達，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓高，為了測量高樓上發(fā)射塔的高度，在樓底端點測得的仰角為，，在頂端E點測得A的仰角為，求發(fā)射塔的高度.【思路分析】本題通過構造方程，先求出CD的長，在求出AC，最后求AB【解題過程】解：過E作，由題意得，四邊形EDCF是矩形EF=CD，CF=DE=340設CD=x，則EF=x，在中，在中，，AC=AF+CF，解得x=140CD=140，AC=480，AB=AC-BC=480-452=28米答：發(fā)射塔AB的高度為28米【知識點】三角函數的實際應用10.（2018吉林省，21,7分）數學活動小組的同學為測量旗桿高度，先制定了如下測量方案，使用工具是測角儀和皮尺.請幫助組長林平完成方格內容，用含a,b,c的代數式表示旗桿AB的高度.【思路分析】將所求AB的長度轉化為AE和EB的長度，在直角三角形AED，利用三角函數，求得AE的長度,而BE=CD，所以AB=AE+CD.【解題過程】測量步驟：（1）測角儀（2）皮尺計算過程：如圖，∠ADE=α，DE=BC=a，BE=CD=b，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∵tan∠ADE=∴DE=AE·tan∠ADE=a·tanα∴AB=AE+BE=(b+a·tanα)（米）【知識點】解直角三角形的應用11.（2018江蘇揚州，27，12）問題呈現如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D，N和E，C，DN和EC相交于點P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形．觀察發(fā)現問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為_________；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，求cos∠CPN的值；思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點M在AB上，且AM=BC，延長CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長線于點P，用上述方法構造網格求∠CPN的度數．【思路分析】（1）根據方法歸納，運用勾股定理分別求出MN和DM的值，即可求出tan∠CPN的值；（2）仿（1）的思路作圖，即可求解；（3）利用網格，構造等腰直角三角形解決問題即可；【解題過程】解：（1）如圖進行構造：由勾股定理得：DM=，MN=,DN=，∵()2+()2=()2，∴DM2+MN2=DN2，∴△DMN是直角三角形；∵MN∥EC，∴∠CPN=∠DNM，∵tan∠DNM=QUOTE=QUOTE=2，∴tan∠CPN=2．也可以這樣做：（1）如圖1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM=2．（2）如圖，cos∠CPN=cos∠QCM=．也可以這樣做：如圖2中，取格點D，連接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．(3)如圖，∠CPN=∠CMQ=45°．也可以這樣：如圖3中，如圖取格點M，連接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【知識點】正方形網圖，非直角三角形中銳角三角函數值12.（2018青海，24，8分）A處觀測對岸點C，測得∠CAD=45°，小英同學在距點A處60米遠的B點測得∠CBD=30°，請根據這些數據算出河寬（精確到0.01米，2≈1.414，3【思路分析】先添加輔助線：過C作CE⊥AB于E，然后設CE＝米，借助三角函數將AE、BE都用x的代數式表示，最后通過EB=EA+AB列方程求得答案．【解題過程】過C作CE⊥AB于E，設CE＝米．Rt△AEC中，∠CAE＝45°，AE＝CE＝x．在Rt△ABC中，∠CBE＝30°，BE＝CE＝x．∴x＝x＋60．解得x＝≈81.96．答：河寬為米．【知識點】解直角三角形的應用，勾股定理13.（2018貴州銅仁，22，10）如圖，有一鐵塔AB，為了測量其高度，在水平選取C，D兩點，在點C處測得A的仰角為45°，距點C的10米D處測得A的仰角為60°，且C、D、B在同一水平直線上，求鐵塔AB的高度.（結果精確到0.1米，）【思路分析】分別在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用特殊角的銳角三角函數分別表示出CB、BD的長度，然后列方程，解方程可得鐵塔AB的高度．解答過程】由題意，易得：AB⊥BC，∴∠ABC=90°，設AB=，在Rt△ABC中，，∴BC=；在Rt△ABD中，，BD=；∵CB-BD=CD，CD=10米，∴，（米）.答：鐵塔AB的高度約為23.7米.14.(2018湖南湘西州，23，8分)如圖，某市郊外景區(qū)內一條筆直的公路l經過A、B兩個景點，景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點C．經測量，C位于A的北偏東60°的方向上，C位于B的北偏東30°的方向上，且AB＝10km．(1)求景點B與C的距離；(2)為了方便游客到景點C游玩，景區(qū)管委會準備由景點C向公路l修一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條最短公路的長．(結果保留根號)第23題圖【解答過程】(1)根據題意可得：∠CAB＝30°，∠CBA＝120°．∴∠C＝180°－120°－30°＝30°．∴∠CAB＝∠C．∴AB＝BC．∵AB＝10，∴BC＝10．即景點B與點C的距離為10km．(2)如圖，過點C作CD⊥AB于點D．根據“垂線段最短”可得CD即為最短公路．∵∠CBA＝120°，∴∠CBD＝60°．在Rt△CBD中，BC＝10，∠CBC＝60°．sin60°＝＝＝．∴CD＝5．即：這條最短公路的長為5km．15.（2018江蘇常州，25，8）(本小題滿分8)京杭大運河是世界歷史文化遺產，綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬(岸沿是平行的)，如圖，在岸邊分別選定了點A、B和點C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m．再用測角儀測得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求該段運河的河寬(即CH的長)【解答過程】過D作DE⊥AB，垂足為E。易知四邊形CDEH為矩形，CD=HE=40m，DE=CH設河寬為xm，則DE=CH=xm，在RtΔACH中，∠CAB=30°，可得AH=m在RtΔDEB中，∠DBA=60°，可得BE=m∵AH+HE+EB=160m解得m答：該段運河的河寬為m。16.（2018?徐州，26，8分）如圖，1號數在2號樓的南側，兩樓的高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為32.3°，1號數在2號樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為55.7°，1號數在2號樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．（1）求樓間距AB；（2）若2號樓共有30層，層高均為3m，則點C位于第幾層？（參考數據：sin，cos，tan，sin，cos，tan）．【解答過程】解：（1）過點C，D分別作CE⊥PB，DF⊥PB，垂足分別為E，F．則有AB＝CE＝DF，EF＝CD＝42．由題意可知：∠PCE＝32.3°，∠PDF＝55.7°，在Rt△PCE中，PE＝CEtan32.3°＝CE；在Rt△PDF中，PF＝CEtan55.7°＝CE；∵PF－PE＝EF，∴CE－CE＝42，∴AB＝CE＝50（m）答：樓間距為50m．（2）由（1）得：PE＝CE＝（m），∴AC＝BP－PE＝90－＝（m），＝，∴點C位于第20層答：點C位于第20層．17.（2018內蒙古通遼，20，6分）我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經過一座山峰，如圖所示，其中山腳A、C兩地的海拔高度約為1000米，山頂B處的海拔高度約為1400米，由B處望山腳A處的俯角為30°，由B處望山腳C處的俯角為45°，若在A、C兩地間打通一條隧道，求隧道最短為多少米（結果取整數，參考數據EQ\R(,3)）．【思路分析】過B作BD⊥AC垂足為D，在Rt△ABD中利用三角函數求得AD，然后再在Rt△BCD中求得BD，根據AC＝AD＋DC即可求解．【解題過程】作BD⊥AC垂足為D，（如答圖）由題意可得BD＝1400－1000＝400（米）∠BAC＝30°，∠BCA＝45°在Rt△ABD中，∵tan30°＝EQ\F(BD,AD)，即EQ\F(400,AD)＝\F(\R(,3),3)，∴AD＝400EQ\R(,3)（米）在Rt△BCD中，∵∠BCA＝45°，∴DC＝DB＝400（米）∴AC＝AD＋DC＝400EQ\R(,3)＋400≈1092.8≈1093（米）答：隧道最短約為1093米．18.（2018山東萊蕪，20，9分）在小水池旁有一盞路燈，已知支架AB的長是，A端到地面的距離AC為4m，支架AB與燈柱AC的夾角為65°．小明在水池的外沿D測得支架B端的仰角為45°，在水池的內沿E測得支架A端的仰角為50°（點C、E、D在同一直線上），求小水池的寬DE．（結果精確到）（sin65°≈，cos65°≈，tan50°≈）【思路分析】過點B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．先解Rt△ABF求出AF和BF的長；再解Rt△ACE求出CE的長；利用DE=CD－CE可解．【解題過程】解：過點B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB·sin∠BAF×．AF=AB·cos∠BAF×，∴FC=AF+AC．由題意可知四邊形FCGB是矩形，∴BG=FC，CG=BF．∵∠DBG=45°，∴∠DBG=∠GBD，∴GD=GB，∴CD=CG+GD．在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE==≈．∴DE=CD－CE－≈．答：小水池的寬是m．【知識點】解直角三角形；銳角三角函數19.（2018上海，21，10分）如圖7，已知△ABC中，AB=AC=5，tan∠ABC=.(1)求邊AC的長；(2)設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求的值.【思路分析】(1)過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△AEB中，根據tan∠ABC==，設出AE=3x，BE=4x，根據勾股定理求出AB的長，進而求出x的值和BE、CE的長，再在Rt△AEC中，運用勾股定理求出AC的長.(2)根據條件得出DF∥AE，再運用平行線分線段成比例定理求解.【解答過程】(1)過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△AEB中，∠AEB=900，tan∠ABC==，設AE=3x，BE=4x，根據勾股定理，得AB=5x=5，則x=1，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中，∠AEC=900，∴AC=.(2)如圖BC的垂直平分線交AB于D，交BC于F，則BF=CF=BC=2.5，∴EF=FC=EC=2.5-1=1.5.∵∠AEC=∠DFC=900，∴DF∥AE，∴.20.（2018云南省昆明市，19，7分）小婷在放學路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會”的豎直標語牌CD．她在A點測得標語牌頂端D處的仰角為42°，測得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB＝10m，隧道高6．5m（即BC＝6．5m），求標語牌CD的長．（結果保留小數點后1位）（參考數據：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90，≈1．73）【思路分析】（如上圖（1），連接CB，過點A作AE⊥BD于E，在Rt△ACE中，利用特殊角的三角函數值求出CE的長，再在在Rt△ADE中，求出DE的長，即可求得CD的長度．【解題過程】解：如上圖（1），連接CB，過點A作AE⊥BD于E，則在Rt△ACE中，∵∠EAB＝30°，AB＝10m，∴AE＝AB·cos30°＝10×＝5，BE＝AB·sin30°＝10×＝5，又∵BC＝6．5m，∴CE＝BC－BE＝CE＝6．5－5＝1．5，在Rt△ADE中，∵∠EAD＝42°，AE＝5，∴DE＝AE·tan42°＝5×0．9≈5×1．73×0．9＝7．785，∴CD＝DE－CE≈7．785－1．5＝6．285≈6．3（m）．【知識點】解直角三角形；勾股定理，三角函數；相似三角形的判定和性質；一元二次方程的解法；矩形的判定和性質21.(2018黑龍江大慶，22，6)如圖一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向。與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間之后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向的B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離。(參考數據:≈2.449，結果保留整數)【思路分析】作PC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A＝60°，∠B＝45°且PA＝80m，要求OB的長，可以先求出PC和BC的長．【解答過程】解：由題意可知：作PC⊥AB于C，∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°．在Rt△ACO中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°∴AC＝AP＝40m，PC＝AC＝40m．在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝40m．∴PB＝＝40≈40×2.449≈98(海里)．答：輪船所在的B處與燈塔P的距離大約為98海里．22.（2018湖北恩施州，20，8分）如圖9所示，為測量旗臺A與圖書館C之間的直線距離，小明在A處測得C在北偏東30方向上，然后向正東方向前行100米至B處，測得此時C在北偏西15方向上，求旗臺與圖書館之間的距離．（結果精確到1米，參考數據1．41，1．73）【思路分析】這是一個有關三角形的實際應用問題，考慮用勾股定理．而勾股定理的應用前提是在直角三角形中，因此必須在三角形內作垂線，構造出直角三角形．過點B作BD⊥AC，這樣就得到等腰直角△BCD和一個角為的Rt△，各邊邊長迎刃而解．【解答過程】過點B作BD⊥AC，垂足為D．∵∠ABD＝30°，AB＝100m，∴AD＝50m，BD＝，又∵△BDC為等腰直角三角形，∴CD＝BD＝m，∴AC＝AD＋CD＝m即旗臺與圖書館之間的距離為()m．23.（2018湖北十堰，19，7分）如圖，一艘海輪位于燈塔C的北偏東45度方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東30度方向上的B處，求此時船距燈塔的距離（參考數據：EQ\R(,2)≈1.414，EQ\R(,3)≈1.732，結果取整數）【思路分析】過C作CD垂直于AB，根據題意求出AD與BD的長，由AD＋DB求出AB的長即可．【解答過程】作CD⊥AB于D．（如答圖）在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°．∴CD＝AC?cos45°＝100×EQ\F(\R(,2),2)＝50EQ\R(,2)在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°．∴BC＝2CD＝100EQ\R(,2)海里≈173海里答：B處距離燈塔P有173海里．24.（2018湖北隨州20，8分）（本題滿分8分）隨州新厥水一橋（如圖1）設計靈感來源于市花——蘭花，采用蝴蝶蘭斜拉橋方案，設計長度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車．斜拉橋又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成．某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔AB和斜拉索（圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC）均在同一水平面內，BC在水平橋面上．已知∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的長；（2）求最長的斜拉索AC的長．【思路分析】（1）證明∠BDE＝90°后，在Rt△BDE中，已知∠ABC＝45°及斜邊BE的長，求∠ABC的對邊DE的長，需用∠ABC的余弦求解．（2）根據BD＝DE，AB＝5BD，先求得AB長，再過點A作AM⊥BC于點M，利用解直角三角形知識和直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半求解．【解答過程】（1）∵∠ABC＝∠DEB＝45°，∴∠BDE＝90°，BD＝DE，在Rt△BDE中，DE＝BE·sin∠ABC＝6×sin45°＝3(米)．即最短斜拉索DE的長為3米．（2）過點A作AM⊥BC于點M，由（1）知，BD＝DE＝3，AB＝5BD＝5×3＝15．在Rt△ABM中，AM＝AB·sin∠ABC＝15×sin45°＝15(米)．∵∠ACB＝30°，∠AMC＝90°，∴AC＝2AM＝2×15＝30（米）．即最長斜拉索AC的長為30米．25.(2018湖南邵陽，24，8分)某商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯．如圖(十四)所示，已知原階梯式自動扶梯AB長為10m，坡角∠ABD為30°；改造后的斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB為15°，請你計算改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度．，溫馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)【思路分析】本題考查的是解直角三角形.在Rt△ABD中，根據“含30°角直角三角形的性質”求出AD的長；再在Rt△ACD中，根據sin∠ACD＝，求出AC即可．【解答過程】解：由題意可知，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB＝5m．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝．因為∠ACD＝15°，AD＝5m，所以．解得AC．答：AC的長度約為19.2m.26.（2018湖南省株洲市，22，8）下圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線l1∥l2∥l3，直線l與直線l1、l2、l3都垂直，垂足分別為點A、點B和點C，（高速線右側邊緣），l2上的點M位于點A的北偏東30°方向上，且BM＝千米，l3上的點N位于點M的北偏東α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，點A和點N是城際鐵路線L上的兩個相鄰的站點．道路線道路線l1道路線l2道路線l3αMNABC城際鐵路線L第22題圖（1）求l2和l3之間的距離；（2）若城際火車的平均時速為150千米/小時，求市民小強乘坐城際火車從站點A到站點N需要多少小時？（結果用分數形式表示）【思路分析】（1）直接利用銳角三角函數關系得出DM的長即可得出答案；（2）添加輔助線，得到包含MN的直角三角形，再解直角三角形即可．【解題過程】（1）過點M作MD⊥NC于點D．∵cosα＝，MN＝2千米，∴cosα＝．解得DM＝2（千米）．2分答：l2和l3之間的距離為2千米．（2）∵點M位于點A的北偏東30°方向上，且BM＝千米．∴tan30°＝．解得AB＝3（千米）．可得AC＝3＋2＝5（千米）．4分∵MN＝km，DM＝2千米，∴DN＝（千米）．則NC＝DN＋BM＝5（千米）．6分∴AN＝＝＝10（千米）．∵城際火車平均時速為150千米/小時，∴市民小強乘坐城際火車從站點A到站點N需要：小時．8分道路線道路線l1道路線l2道路線l3αMNABC城際鐵路線L第22題答圖D【知識點】解直角三角形的應用?方向角問題27.（2018遼寧省撫順市，題號21，分值12）如圖，BC是路邊坡角30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點A，B，C，D，M，N均在同一平面內，CM∥AN）.（1）求燈桿CD的高度；（2）求AB的長度(結果精確到0.1米）.(參考數據：)【思路分析】（1）延長DC交AN于E，根據題意，得∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE=BC=米.∴DE=BC=15米.∵DE=DC+CE,∴CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.由AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，即可求出AB的長度.【解題過程】解：（1）延長DC交AN于E，∵∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，∠DCM=90°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE==BC=米.∴tan∠DBE==,解得CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.∵AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，∴,解得AB≈11.4米.【知識點】解直角三角形的應用—坡度，銳角三角函數的定義，特殊角三角函數值.28.（2018·寧夏，21，6）已知點E為正方形ABCD的邊AD上一點，連接BE，過點C作CN⊥BE，垂足為M，交AB于點N．（1）求證：△ABE≌△BCN；（2）若N為AB的中點，求tan∠ABE．【思路分析】（1）先利用正方形的性質，得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，再利用CN⊥BE，結合同角的余角相等的性質，得∠ABE＝∠BCN，最后利用兩角及夾邊分別相等的兩個三角形全等即可證明△ABE≌△BCN；（2）由線段中點定義，得BN＝AB，再根據△ABE≌△BCN，得AE＝BN，最后利用正切函數定義即可得到tan∠ABE的值．【解題過程】解及證：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°．∴∠ABE＋∠CBM＝90°．∵CN⊥BE，∴∠BCN＋∠CBM＝90°．∴∠ABE＝∠BCN．在△ABE和△BCN中，，∴△ABE≌△BCN（ASA）．（2）∵△ABE≌△BCN，∴AE＝BN．∵N為AB的中點，∴BN＝AB．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝．【知識點】正方形的性質；全等三角形的判定；銳角三角函數29.（2018四川眉山，22，8分）知識改變世界，科技改變生活。導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會實踐活動，車到達A地后，發(fā)現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導航顯示車輛應沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達C地，求B、C兩地的距離．（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)【思路分析】本題考查銳角三角函數在實際生活中的應用，解題的關鍵是通過作高將原三角形分割成兩個直角三角形，設線段的長，運用三角函數表示出其余各邊的長，最后列方程解決問題．【解答過程】過B作BD⊥AC，垂足為D，設AD＝x，在Rt△ABD中，tan∠A＝，即：∴BD＝，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，即：，∴CD＝，＋x＝13，解方程得：x＝．∴BD＝12－，在Rt△BCD中，cos∠CBD＝，即：，∴BC＝．答：B、C兩地的距離為（）千米．30.（2018年浙江省義烏市，21，10）如圖1，窗框和窗扇用“滑