新北師大版第2章第9節(jié)實際問題中的函數(shù)模型作業(yè)

課時精練(十四)實際問題中的函數(shù)模型[基礎(chǔ)達標練]1．(2022·紅橋區(qū)期末)面對突如其來的新冠病毒疫情，中國人民在中國共產(chǎn)黨的領(lǐng)導(dǎo)下，上下同心、眾志成城抗擊疫情的行動和成效，向世界展現(xiàn)了中國力量、中國精神．下面幾個函數(shù)模型中，能比較近似地反映出如圖中時間與治愈率關(guān)系的是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝ax D．y＝logaxB由圖象可知，治愈率先減后增，選項B符合題意，ACD選項均是單調(diào)函數(shù)，不符合題意．2．(2022·泰州模擬)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)B由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0，0<a<1.故選B.3．(2022·海南?？诙?在核酸檢測時，為了讓標本中DNA的數(shù)量達到核酸探針能檢測到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對DNA進行快速復(fù)制擴增數(shù)量．在此過程中，DNA的數(shù)量Xn(單位：μg/μL)與PCR擴增次數(shù)n滿足Xn＝X0×n，其中X0為DNA的初始數(shù)量．已知某待測標本中DNAμg/μL，核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為10μg/μL，則應(yīng)對該標本進行PCR擴增的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg≈，ln≈)()A．5 B．10C．15 D．20B由題意知X0，Xn＝10，×n，n＝100，取以10為底的對數(shù)得nlg＝2，所以n＝eq\f(2,lg1.6)≈10.故選B.4．(2022·安徽淮南二模)1947年，生物學(xué)家MaxKleiber發(fā)表了一篇題為《bodysizeandmetabolicrate》的論文，在論文中提出了一個克萊伯定律：對于哺乳動物，其基礎(chǔ)代謝率與體重的eq\f(3,4)次冪成正比，即，其中F為基礎(chǔ)代謝率，M為體重．若某哺乳動物經(jīng)過一段時間生長，其體重為原來的10倍，則此時這種動物的基礎(chǔ)代謝率為原來的基礎(chǔ)代謝率(參考數(shù)據(jù)：eq\r(4,10)≈3)()A．倍 B．倍C．倍 D．倍C設(shè)該哺乳動物原體重為M1、基礎(chǔ)代謝率為F1，則F1＝，經(jīng)過一段時間生長，其體重為10M1，基礎(chǔ)代謝率為F2，則5．(2022·山東師范大學(xué)附中模擬)已知某電子產(chǎn)品電池充滿時的電量為3000毫安時，且在待機狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇．模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電300毫安時；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即：從當前時刻算起，t小時后的電量為當前電量的eq\f(1,2t)倍．現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機10小時后有超過5%的電量，則x的取值范圍是()A．1<x<2 B．1<x≤2C．8<x<9 D．8≤x<9C由題意得，x小時后的電量為(3000－300x)毫安，此時轉(zhuǎn)為B模式，可得10小時后的電量為(3000－300x)·eq\f(1,210－x)，則由題意可得(3000－300x)·eq\f(1,210－x)>3000×，化簡得(10－x)·eq\f(1,210－x)，即10－x>29－x.令m＝10－x，則m>2m－1，由題意得0<x<10，則0<m<10，令m分別為1，2時，這個不等式左右兩邊大小相等，由函數(shù)y＝x和y＝2x＋1的圖象可知，該不等式的解為1<m<2，所以1<10－x<2，得8<xC.6．(2022·全國模擬)(多選題)“雙11”購物節(jié)中，某電商對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：(1)如果購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；(2)如果購物總額超過50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；(3)如果購物總額超過100元但不超過300元，則按標價給予9折優(yōu)惠；(4)如果購物總額超過300元，其中300元內(nèi)的按第(3)條給予優(yōu)惠，超過300元的部分給予8折優(yōu)惠．某人購買了部分商品，則下列說法正確的是A．如果購物總額為78元，則應(yīng)付款為73元B．如果購物總額為228元，C．如果購物總額為368元，D．，則購物總額為516元ABD購物總額為78元，則應(yīng)付款為78－5＝73(元)，A正確；購物總額為228元，則應(yīng)付款為228×(元)，B正確；購物總額為368元，則應(yīng)付款為300×0.9＋68×(元)，C(元)，則包含購物總額300元應(yīng)付的270(元)，(元)對應(yīng)購物額度為eq\f,0.8)＝216，因此購物總額為300＋216＝516(元)，D正確．故選ABD.7．(2022·武漢模擬)(多選題)某一池溏里浮萍面積y(單位：m2)與時間t(單位：月)的關(guān)系為y＝2t，下列說法中正確的說法是()A．浮萍每月增長率為1B．第5個月時，浮萍面積就會超過30C．浮萍每月增加的面積都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過時間分別為t1，t2，t2，ABD函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝2t，∵eq\f(2t＋1－2t,2t)＝eq\f(2t（2－1）,2t)＝1，∴每月的增長率為1，A正確；當t＝5時，y＝25＝32>30，∴B正確；∵第二個月比第一個月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三個月比第二個月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正確；∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正確．故選ABD.8．(2022·山西期末)(多選題)幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過調(diào)研，他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤p(x)(單位：萬元)與每月投入的研發(fā)經(jīng)費x(單位：萬元)有關(guān)：當每月投入的研發(fā)經(jīng)費不高于16萬元時，p(x)＝－eq\f(1,5)x2＋6x－20，研發(fā)利潤率y＝eq\f(p（x）,x)×100%.他們現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費9萬元，則下列判斷正確的是()A．投入9萬元研發(fā)經(jīng)費可以獲得最大利潤率B．要再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤C．要想獲得最大利潤率，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元D．要想獲得最大利潤，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元BC因為產(chǎn)品的月利潤為p(x)＝－eq\f(1,5)x2＋6x－20＝－eq\f(1,5)(x－15)2＋25，(0≤x≤16)，則當x＝15時，月利潤有最大值為25萬元，即在已經(jīng)投入9萬元時需再投入6萬元，才能使月利潤最大，故B正確，D錯誤，因為0＜eq\f(1,5)x≤eq\f(16,5)，eq\f(20,x)≥eq\f(5,4)＞0，所以eq\f(1,5)x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(\f(1,5)x·\f(20,x))＝4，即y＝－(eq\f(1,5)x＋eq\f(20,x))＋6≤－4＋6＝2，當且僅當eq\f(1,5)x＝eq\f(20,x)，即x＝10萬元時，利潤率有最大值為2，即在已經(jīng)投入9萬元時再投入1萬元，才能使利潤率最大，故A錯誤，C正確．故選BC.9．某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元．銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元．若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為萬元．答案1024解析依題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))所以y＝2log4x－2.令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.10．(2022·福建福州三模)某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值P(單位：億元)與時間t(單位：年)之間的關(guān)系為P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0為t＝0時的P值．假定P0＝2，那么在t＝10時，GDP增長的速度大約是．(單位：億元/年，)注：10≈，當x取很小的正數(shù)時ln(1＋x)＝x.答案解析由題可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×t，所以P′(t)＝2×tln，所以P′(10)＝2×10ln≈2××0.1＝≈0.52，即GDP增長的速度大約是0.52.11．(2022·河南月考)某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價打9折；若人數(shù)不低于50，則票價打8折；若人數(shù)不低于100，則票價打7折．不重復(fù)打折．方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元．已知一個旅游團有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團購票總費用的最小值為元．答案11710解析由方案一可知，滿10人可打9折，則單人票價為270元，由方案二可知，滿5000減1000元，按原價計算eq\f(5000,300)≈，則滿5000元至少湊齊17人，17×300－1000＝4100，則單人票價為eq\f(4100,17)≈241，滿10000元時，eq\f(10000,300)≈，則需34人，單人票價為241人，滿15000元時，eq\f(15000,300)＝50，人數(shù)不足，∵241＜270，∴用方案二先購買34張票，剩余13人，不滿足方案二，但滿足方案一，∴總費用為34×300－2000＋13×300×0.9＝11710(元).12．某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m為常數(shù)).(1)求c，m的值；(2)ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)？解(1)由題意可列方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))兩式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))(2)由題意可列不等式128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)．[技能提升練]13．(2022·廣東茂名二模)雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”．為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：A·h)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C＝In·t，其中n＝2為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當放電電流I＝10A時，放電時間T＝57h，則當放電電流I＝15AA．28h B．28.5hC．29h D．29.5hB根據(jù)題意可得C＝57·10n，則當I＝15A時，57·10n＝15n·t，即當放電電流I＝15A，h．故選B.14．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.(1)當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為．答案(1)130(2)15解析(1)顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應(yīng)為60＋80＝140(元)，超過了120元可以優(yōu)惠，所以當x＝10時，顧客需要支付140－10＝130(元).(2)由題意知，當x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大．而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金額為(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×，所以x≤x的最大值為15.15．(多選題)市場上有一種新型的強力洗衣液，特點是去污速度快．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝a·m，其中當0≤x≤4時，m＝eq\f(16,8－x)－1，當4＜x≤10時，m＝5－eq\f(1,2)x.若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗，當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時，它才能起到有效去污的作用．則下列結(jié)論正確的是()A．一次投放4個單位的洗衣液，在2分鐘時，洗衣液在水中釋放的濃度為eq\f(20,3)克/升B．一次投放4個單位的洗衣液，有效去污時間可達8分鐘C．若第一次投放2個單位的洗衣液，6分鐘后再投放2個單位的洗衣液，第8分鐘洗衣液在水中釋放的濃度為5克/升D．若第一次投放2個單位的洗衣液，6分鐘后再投放2個單位的洗衣液，接下來的4分鐘能夠持續(xù)有效去污ABD對于A，由題意可得a＝4，當0≤x≤4時，y＝eq\f(64,8－x)－4，當4＜x≤10時，y＝20－2x，當x＝2時，y＝eq\f(64,8－2)－4＝eq\f(20,3)，故A正確；對于B，當0≤x≤4時，eq\f(64,8－x)－4≥4，解得x≥0，故0≤x≤4，當4＜x≤10時，20－2x≥4，解得x≤8，故4＜x≤8，綜上所述，0≤x≤8，若一次投放4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達8分鐘，故B正確；對于C，當6≤x≤10時，y＝2×(5－eq\f(1,2)x)＋2[eq\f(16,8－（x－6）)－1]＝14－x＋eq\f(32,14－x)－6，當x＝8時，y＝6＋eq\f(32,6)－6＝eq\f(16,3)，故C錯誤；對于D，∵4≤14－x≤8，∴y＝14－x＋eq\f(32,14－x)－6≥2eq\r(（14－x）·\f(32,14－x))－6＝8eq\r(2)－6，當且僅當14－x＝eq\f(32,14－x)，即x＝14－4eq\r(2)時取等號，∴y有最小值8eq\r(2)－6≈5.3＞4，∴接下來的4分鐘能夠持續(xù)有效去污，故D正確．故選ABD.16．(2022·薌城區(qū)校級期末)土豆學(xué)名馬鈴薯，與稻、麥、玉米、高粱一起被稱為全球五大農(nóng)作物．云南人愛吃土豆，在云南土豆也稱洋芋，昆明人常說“吃洋芋，長子弟”.2018年3月，在全國兩會的代表通道里，