新高一下學(xué)期數(shù)學(xué)5月月考模擬

第頁新高一下學(xué)期數(shù)學(xué)5月月考模擬一、單選題（共9題；共18分）1.設(shè)a→=2A.

π6

B.

π3

C.

π4

D.

5π2.已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量i，j，且a=ki+3j,A.

3或-2

B.

1或-6

C.

-3或2

D.

-1或63.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A.

DC1⊥D1P

B.

平面DA1P丄平面A1AP

C.

∠APD1的最大值為90°

D.

AP+PD1的最小值為2+24.下列命題：

①平行于同一平面的兩直線平行;

②垂直于同一平面的兩直線平行;

③平行于同一直線的兩平面平行;

④垂直于同一直線的兩平面平行;

其中正確的有（

）.

A.

②和④

B.

①、②和④

C.

③和④

D.

②、③和④5.如圖，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一點(diǎn)，若A.

19

B.

136.在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，則sinBA.

85

B.

58

C.

57.已知三棱錐D?ABC的體積為23，且AB⊥BC，AB=2，AD+BC=22A.

2+22

B.

2+23

C.

2+26

D.

2+28.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a=c且滿足cosC+(cosA?3sinA)cosB=0，若點(diǎn)A.

8+53

B.

4+53

C.

12

D.

2+539.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?（PB+PC）的最小值是（

）A.

﹣2

B.

﹣32

C.

﹣43

D.

﹣1二、多選題（共3題；共9分）10.已知m,?n表示直線，A.

B.

C.

D.

11.如圖所示，在四棱錐E?ABCD中，△CDE是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，M為線段DE的中點(diǎn)，BC⊥DE則下列結(jié)論正確的是（

）A.

直線BM與EN是異面直線

B.

線段BM與EN的長(zhǎng)度不相等

C.

直線DE⊥平面ACM

D.

直線EA與平面ABCD所成角的正弦值為6412.如圖，在三棱錐P?ABC中，D、E、F分別為棱PC、AC、AB的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=PA=6，BC=8，則（

）A.

三棱錐D?BEF的體積為18

B.

平面DEF截三棱錐P?ABC所得的截面面積為12

C.

點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面BDE的距離相等

D.

直線PB與直線DF垂直三、填空題（共4題；共12分）13.已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=1,|214.已知球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB=AC=BC=23，球心到面ABC的距離為1，那么球的體積________

15.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=3，若點(diǎn)D、E都在邊BC上，且∠BAD=∠CAE=30°，則BD?BECD?CE16.已知單位向量a,b，滿足a?b=0，且正實(shí)數(shù)λ,μ滿足=0則四、解答題（共6題；共62分）17.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=π3，AB：BC=2：3，AC=（1）求sin∠ACB的值；（2）若∠BCD=3π18.已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=13，且sin（1）求△ABC外接圓的半徑；（2）若c=3，求△ABC的面積.19.如圖，在ΔABC中，∠BAC=2π3，AD=3DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=m（1）求m的值;（2）求|AP20.為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計(jì)），設(shè)∠BAD＝θ，(π2，π)．（1）當(dāng)cosθ＝?5（2）當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，求此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度．21.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD為等腰梯形，AD//BC，PA=AB=BC=CD，PA⊥PD，∠PAD=60°，Q為PD的中點(diǎn).（1）證明：CQ//平面PAB；（2）求二面角P?AQ?C的余弦值.22.如圖，四棱錐P?ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，且P在底面正投影點(diǎn)在線段AC上，BC=CD=12AC=2（1）證明：AP⊥BD；（2）若AP=5，AP與BC所成角的余弦值為55，求鈍二面角

答案解析部分一、單選題1.【答案】C【解析】【解答】因?yàn)?所以.即.又因?yàn)闉殇J角.所以.所以.選C.2.【答案】A【解析】【解答】解：∵向量a與b共線，∴?實(shí)數(shù)λ，使得a=λ∴ki+3j∵i，j是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，∴{k?2λ=03?λk+λ=0，解得{λ=故答案為：A.【分析】利用向量共線定理和平面向量基本定理即可得出.3.【答案】C【解析】【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正確．∵平面D1A1P即為平面D1A1BC，平面A1AP即為平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正確．當(dāng)0＜A1P＜22時(shí)，∠APD1將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=2+2即AP+PD1≥2+2故選：C．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正確．利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正確．當(dāng)A1P=22時(shí)，∠APD1為直角，當(dāng)0＜A1P＜2+2時(shí)，∠APD1為鈍角，C錯(cuò)．將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD4.【答案】A【解析】【分析】我們可以通過正方體觀察：①平行于同一平面的兩直線，有三種情況，平行，相交或異面；②由線面垂直的性質(zhì)定理知正確；③由正方體，可知還可能相交．④由線面垂直的性質(zhì)定理知正確．

【解答】①平行于同一平面的兩直線，可以平行，相交或異面，不正確．

②垂直于同一平面的兩直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，正確．

③平行于同一直線的兩平面，還可能相交，不正確．

④垂直于同一直線的兩平面平行，這是線在垂直的性質(zhì)定理，正確．

故選A

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線，線面，面面位置關(guān)系，對(duì)于客觀題，可通過相關(guān)的結(jié)論或定理以及常見的幾何體來判斷．5.【答案】A【解析】【解答】因?yàn)锳P=(m+29)AB+29BC

=mAB+【分析】通過兩種途徑用向量AB與向量AC表示向量AP，即可求得m的值.6.【答案】D【解析】【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，∵A=120°，AB=5，BC=7，∴49=25+AC2﹣10×AC×cos120°，即AC2+5AC﹣24=0，解得AC=3或AC=﹣8（舍去），由正弦定理可得sinBsinC=AC故選D．【分析】首先利用余弦定理列出關(guān)于AC的方程，從而解出AC的值，然后利用正弦定理的變形sinB：sinC=b：c求解．7.【答案】A【解析】【解答】因?yàn)?3AD?(12AB?BC)≥VD?ABC=23，AB=2，即AD?BC≥2．因?yàn)?2=AD+BC≥2AD?BC=22，當(dāng)且僅當(dāng)AD=BC=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)AC=2，AD=故答案為：A【分析】三棱錐D?ABC以△ABC為底面，則高≤AD，即可得到AD?BC≥2，再結(jié)合基本不等式即可得到AD,BC的長(zhǎng)，且AD為三棱錐D?ABC的高，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABD，即可得三棱錐D?ABC的四個(gè)面均為直角三角形，即可計(jì)算其表面積.8.【答案】A【解析】【解答】∵cosC+(cosA?∴cosA化簡(jiǎn)得3sin∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，∴tan∴由B∈(0,π)得，B=π又∵a=c，∴△ABC為等邊三角形；設(shè)∠AOB=θ，則0<θ<π，∴S==4=8sin∵0<θ<π，∴?π∴當(dāng)θ?π3=π2∴平面四邊形OACB面積的最大值為8+53故答案為：A．

【分析】利用輔助角公式結(jié)合兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)關(guān)系式，再利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，用三角形面積之和表示出四邊形面積，再利用換元法轉(zhuǎn)化三角型函數(shù)為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象求出三角型函數(shù)的最大值，從而求出四邊形面積的最大值。9.【答案】B【解析】【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），則PA=（﹣x，3﹣y），PB=（﹣1﹣x，﹣y），PC=（1﹣x，﹣y），則PA?（PB+PC）=2x2﹣23y+2y2=2[x2+（y﹣32）2﹣3∴當(dāng)x=0，y=32時(shí)，取得最小值2×（﹣34）=﹣故選：B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．二、多選題10.【答案】C,D【解析】【解答】對(duì)A項(xiàng)，若α//β,?對(duì)B項(xiàng)，若α⊥β,?n//α,?m⊥β，則對(duì)C項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可得，若m//n,m⊥α，則n⊥α，C符合題意；對(duì)D項(xiàng)，當(dāng)m//n,?m//α?xí)r，根據(jù)線面平行的判定定理可知，若n在平面α外，則n//α，若n在平面α內(nèi)，則故答案為：CD【分析】根據(jù)直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.11.【答案】B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，連接BD，易知BM?平面BDE，EN平面BDE，所以直線BM和EN共面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接EF、FN，則EF⊥CD，∵BC⊥CD，BC⊥DE，CD∩DE=D，∴BC⊥平面CDE，∵BC?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面CDE，∵平面ABCD∩平面CDE=CD，EF?平面CDE，∴EF⊥平面ABCD，∵FN?平面ABCD，∴EF⊥FN，∵F、N分別為CD、BD的中點(diǎn)，則FN=1又EF=CE2?CF2=對(duì)于C選項(xiàng)，由于BC⊥平面CDE，故AD⊥平面CDE，故AD⊥DE，所以DE⊥AM不滿足，所以直線DE⊥平面ACM不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)EA與平面ABCD所成的角為θ，則θ=∠EAF，則cosθ=故答案為：BD.

【分析】結(jié)合異面直線的定義即可判斷出A不正確，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的性質(zhì)定理再結(jié)合三角形的幾何計(jì)算即可判斷出B正確，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可判斷出C不正確，由線面角的定義結(jié)合三角形的幾何計(jì)算即可得出D正確。12.【答案】B,C【解析】【解答】因?yàn)镈、E、F分別為棱PC、AC、AB的中點(diǎn)，所以DE//PA，因?yàn)锳B=PA=6，BC=8，所以DE=12PA=3，EF=因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，即DE⊥平面BEF；又∠ABC=90°，所以BC⊥AB，因此EF⊥AB，所以三棱錐D?BEF的體積為VD?BEF取PB中點(diǎn)為M，連接DM，F(xiàn)M，易得：DM//BC//因此四邊形DMFE即是平面DEF截三棱錐P?ABC所得的截面，且四邊形DMFE平行四邊形，又DE⊥平面BEF，所以DE⊥EF，即四邊形DMFE是矩形，因此其面積為DE?EF=12，B符合題意；因?yàn)镈E//PA，PA?平面BDE，DE?平面BDE，所以PA//因此點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面BDE的距離相等，C符合題意；取BC中點(diǎn)為N，連接DN，F(xiàn)N，則DN//PB，F(xiàn)N//∠FDN即等于直線PB與直線DF所成的角，又FN=12AC=因此cos∠FDN=所以直線PB與直線DF不垂直，即D不符合題意；故答案為：BC.【分析】先由題意，證明DE⊥平面BEF，EF⊥AB，根據(jù)三棱錐的體積公式求出三棱錐D?BEF的體積，可判斷A；取PB中點(diǎn)為M，連接DM，F(xiàn)M，得到四邊形DMFE即是平面DEF截三棱錐P?ABC所得的截面，從而可求出截面面積，可判斷B；根據(jù)題意，證明PA//平面BDE，可判斷C；取BC中點(diǎn)為N，連接DN，F(xiàn)N，得到∠FDN即等于直線PB與直線DF所成的角，根據(jù)余弦定理求得異面cos三、填空題13.【答案】32【解析】【解答】∵a,b的夾角為45°，且|a∴即4+|∵|b|≥0故答案為3【分析】利用向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式將|2a→-b→14.【答案】20【解析】【解答】解:由題意，AB=AC=BC=23，所以△ABC的外接圓的半徑為2，因?yàn)榍蛐牡狡矫鍭BC的距離為1，所以球的半徑是：R=5，球的體積是：43πR3=20故答案為：205【分析】由題意可知三角形ACB是等邊三角形，球心到平面ABC的距離為1，可求出球的半徑，然后求球的體積．15.【答案】916【解析】【解答】解：如圖，由正弦定理得，BD12=BE=3sinCE12=CD=4sin∴①④?②③得：故答案為916【分析】根據(jù)條件便可由正弦定理分別得到，BD12=3sin∠BDA①BE=3sin∠AEB②CE12=16.【答案】[2【解析】【解答】單位向量a,b，滿足故可設(shè)a=(1,0),則a+b?λ又(a故(1?λ)+(1?μ)=0，故λ+μ=2，且λ∈(0,2)，則λa故|λ又當(dāng)λ=1時(shí)，上式取得最小值2，又2(λ?1)故容易知|λa?μb故答案為：[2【分析】賦予向量坐標(biāo)，用解析法求解，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值得問題，從而進(jìn)行求解即可.四、解答題17.【答案】（1）解：∵∠ABC=π3，AB：BC=2：3，AC=7，可得：AB=∴在△ABC中，由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC，可得：7=4BC29+BC2∴解得：BC=3，AB=2，∴由正弦定理可得：sin∠ACB=AB?sin∠ABCAC=2×

（2）解：∵由（1）及余弦定理可得：cos∠ACB=AC2+BC2∴sin∠ACD=sin(3π=22（277∴S△ACD=12AC?CD?sin∠ACD=12×7×1×22×（【解析】【分析】（1）在△ABC中，由已知及余弦定理，比例的性質(zhì)即可解得BC=3，AB=2，由正弦定理即可解得sin∠ACB的值（2）由（1）及余弦定理可求cos∠ACB，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠ACD的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．18.【答案】（1）解：依題意，sin(A+C)sinC+由正弦定理得bc+a整理得b2所以cosA=b2因?yàn)?<A<π，所以A=2π故所求外接圓半徑r=a2sinA

（2）解：因?yàn)閍=13,c=3,所以由余弦定理a2得13=b即b2解得b=1或b=?4（舍去），所以S=12bcsinA【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理進(jìn)行邊角互化即可求解；（2）利用余弦定理建立等式，求解邊長(zhǎng)即可得出面積.19.【答案】（1）解:建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=b，AB=c，則B(c,0)，C(?b由AD=3DB得故CD=(由AP=mAC+所以PD=(因?yàn)镃，P，D三點(diǎn)共線，所以CD//所以(3c解得m=1

（2）解:由(1)得P(c因?yàn)镾ΔABC所以bc=8，所以|AP|2所以|AP|min=4【解析】【分析】（1）建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=b，AB=c，求出CD，PD的坐標(biāo)，可知由C，P，D三點(diǎn)共線，即CD//PD，列方程即可求出m的值；（2）由(1)得|AP20.【答案】（1）解：在ΔABD中，由BD得BD2=14?65cos∵θ∈(π2,π)由BDsin∠BAD=ABsin∵ΔBCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

∴∠CDB=π2且∴cos∠ADC=在ΔACD中，AC2=A解得：AC=37

（2）解：由（1）得：BDSABCD=S=7+352(sinθ?2cos當(dāng)θ??=π2時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，即θ=?+π2，此時(shí)∴BD2=14?6答：當(dāng)cosθ=?55時(shí)，小路AC的長(zhǎng)度為37百米；草坪ABCD的面積最大時(shí)，小路BD【解析】【分析】（1）先由余弦定理得到BD=25，再利用正弦定理得到sin∠ADB=35，在ΔACD中，利用余弦定理即可求出小路AC的長(zhǎng)度；

（2）由（1）得：21.【答案】（1）解：取PA中點(diǎn)N，連結(jié)QN，BN.∵Q，N是PD，PA的中點(diǎn)，∴QN//AD，且QN=1∵PA⊥PD，∠PAD=60°，∴PA=1∴BC=1∴QN=BC，又AD//BC，∴QN//BC，∴BCQN為平行四邊形，∴BN//BC.又BN?平面PAB，且CQ?平面PAB，∴CQ//平面PAB

（2）解：取AD中點(diǎn)M，連接BM，取AM的中點(diǎn)O，連接BO，PO.設(shè)PA=2，由（1）得PA=AM=PM=2，∴ΔAPM為等邊三角形，∴PO⊥AM，同理∴BO⊥AM，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD，