第06講空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（七大題型）

第06講空間向量及其運算的坐標(biāo)表示【題型歸納目錄】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算題型三：空間向量的共線與共面題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示【知識點梳理】知識點一、空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3、空間點的坐標(biāo)空間一點A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).知識點二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)1、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點相應(yīng)的一個坐標(biāo).特殊點的坐標(biāo)：原點；軸上的點的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)分別為.2、空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有點關(guān)于原點的對稱點是；點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是；點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.知識點三、空間向量的坐標(biāo)運算（1）空間兩點的距離公式若，則①即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。②，或.知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。（2）空間線段中點坐標(biāo)空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，則(1).(2).知識點詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典例例題】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示例1．（2023·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)為.故選：C.例2．（2023·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎叫兴倪呅危?，，，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點的坐標(biāo)為.故選：D例3．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平行六面體中，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.例5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，所以向量．故選：B.例6．（2023·高二課時練習(xí)）若?，點C在線段AB上，且，則點C的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】點?，為線段上一點，且，所以，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，，則點的坐標(biāo)為______．【答案】/【解析】點，，則設(shè)點，則由，則，即x=0y=12所以點的坐標(biāo)為故答案為：例8．（2023·高二課時練習(xí)）已知點，，若點為線段AB上靠近的三等分點，則點的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，而，令，則，∴，可得，即.故答案為：例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，則的坐標(biāo)為____，的坐標(biāo)為____，的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】如題圖示，，∴，，.故答案為：，，.題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算例10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，則（

）A．-5 B．-7 C．3 D．【答案】B【解析】，，∴．故選：B例11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【解析】由已知，，，∴.故選：C．例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故選:B.例13．（2023·寧夏固原·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B例14．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，由，得，解得.故選：B.例15．（2023·高二課時練習(xí)）已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.例16．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題可得，故選:B.題型三：空間向量的共線與共面例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，若與共線，則實數(shù)（

）A．-2 B． C． D．2【答案】B【解析】∵，，∴，.∵與共線，∴，即.故選：B.例18．（2023·福建漳州·高二?？计谥校┡c向量共線的單位向量可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以與向量共線的單位向量可以是或.故選：D例19．（2023·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，若三點共線，則有，得，解得，，.故選：B例20．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考期末）已知向量，則與同向共線的單位向量（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為向量，所以，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.例21．（2023·吉林·高二吉林省實驗?？计谀┤?,且,為共線向量,則的值為（

）A．2 B． C．6 D．8【答案】A【解析】解:由題知,,為共線向量,因為,,所以有,解得,故.故選:A例22．（2023·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若三點共線，則（

）A．1 B．4 C．6 D．2【答案】D【解析】因為，所以，由三點共線，則有與共線，所以，解得：，所以，故選：D.例23．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，，若共面，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】因為共面，則設(shè)，所以，解得，所以，故選：D.例24．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，若三向量共面，則實數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，可設(shè)，即，解得：.故選：C.例25．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知向量共面，則實數(shù)的值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因為共面，所以存在，使得，整理得，解得.故選：C.例26．（2023·山西長治·高二山西省長治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若空間四點共面，則的值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【解析】因A，B，C，D四點共面，則存在有序?qū)崝?shù)對，使得.又.則，得.故A，B，C錯誤，D正確.故選：D題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示例27．（2023·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【解析】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.例28．（2023·高二課時練習(xí)），，則_______．【答案】6【解析】因為，，所以，所以；故答案為：.例29．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）已知.則__________．【答案】【解析】因為，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．例30．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點是點關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對稱點，則__________【答案】3【解析】因為點是點關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對稱點，所以點坐標(biāo)為,所以，所以.故答案為：3例31．（2023·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則__________．【答案】【解析】因為，所以，則.故答案為：.例32．（2023·新疆喀什·高二校考期末）若，則___________【答案】【解析】，，.故答案為：.題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示例33．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，，若，則實數(shù)__________.【答案】4【解析】由題意得，，即，所以，解得.故答案為：4例34．（2023·上海徐匯·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量與向量平行()，則的值為______.【答案】【解析】因為向量與向量平行，所以，則，解得，所以，故答案為：.例35．（2023·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，且與是共線向量，則實數(shù)x的值為_______．【答案】【解析】設(shè)，則，解得：.故答案為：-6例36．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量與共線，則______.【答案】【解析】空間向量與共線，則存在實數(shù)，使得，則，解得，所以.故答案為：.題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示例37．（2023·高二課時練習(xí)）已知，單位向量滿足，則_________．【答案】或【解析】設(shè)向量，其中，因為且，可得，即，將代入，可得或，所以向量的坐標(biāo)為或.故答案為：或.例38．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【解析】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：例39．（2023·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為_________.【答案】【解析】因為向量，，且，則，可得.故答案為：.例40．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期中）已知向量，且與互相垂直，則的值是__．【答案】/【解析】因為與互相垂直，所以，解得．故答案為：例41．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，若，則x=___________.【答案】1【解析】空間向量，由，得，解得，所以.故答案為：1題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示例42．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】因為向量，，且與的夾角為鈍角，所以，且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：例43．（2023·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【解析】因為，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.例44．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與夾角為，則k的值為________．【答案】【解析】，，所以，可知，解得：．故答案為：.例45．（2023·高二課時練習(xí)）已知、、，則向量與的夾角大小為______．【答案】【解析】由題意得，，，，與的夾角為．故答案為：.例46．（2023·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為__________【答案】3【解析】向量，，∴，，．又夾角的余弦值為，∴，解得．故答案為:．例47．（2023·高二課時練習(xí)）已知向量，，，若向量與所成角為鈍角，則實數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】因為，，，所以，解得，所以，所以，，因為向量與所成角為鈍角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，此時與共線同向，綜上可得.故答案為：例48．（2023·遼寧大連·高二大連市第三十六中學(xué)校考期中）已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】且【解析】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為且.故答案為：且.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.2．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.3．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）已知向量，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，解得.故選：D.4．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量,若三個向量共面,則實數(shù)m等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】由共面可得，即，所以，解得．故選：A．5．（2023·高二課時練習(xí)）長方體中，，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點，又，則長方體的高等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)長方體的長為，由長方體的性質(zhì)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，由可得，所以，解得：.故選：C.

6．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)，則AB的中點M到點C的距離（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的中點，所以故選：C．7．（2023·高二課時練習(xí)）已知向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖：因為向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為，所以，，所以，解得，所以.故選：A8．（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)校考期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因點Q在直線上運動，則，設(shè)，于是有，因為，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時，，此時點Q，所以當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為.故選：C二、多選題9．（2023·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.10．（2023·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚?，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則【答案】ACD【解析】對于A項，由可得，解得，故A項正確；對于B項，由可得，解得，故B項錯誤；對于C項，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，所以不存在實數(shù)，使得，故C項正確；對于D項，由可得，解得，所以，故D項正確.故選：ACD.11．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B．若，則的夾角是鈍角C．已知，，若與垂直，則D．已知A、B、C是空間中不共線的三個點，若點O滿足，則點O是唯一的，且一定與A、B、C共面【答案】ACD【解析】因為向量是空間的一個基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個基底，故A正確；當(dāng)與的夾角為時，也可得，所以B錯誤；因為，，則，，且與垂直，所以，解得，故C正確；因為，所以，所以共面，所以四點共面，如圖，取中點為，取中點為，則，又因為，故，所以，即，則在上且靠近的三等分點處，即滿足此關(guān)系的點只有一個，所以點唯一，且與共面，故D正確；故選:ACD12．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且，若線段DE上存在點P，使得，則邊CG長度的可能值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，又，所以，由，得，顯然且，則，所以，因為，所以，所以，所以.故選：CD.三、填空題13．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知點，，向量，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】設(shè)，則，即，故.故答案為：14．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校考階段練習(xí)）已知空間向量，，，若，，共面，則______．【答案】【解析】若，，共面，則存在實數(shù)，使，即所以，解得，，．所以．故答案為：16．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎?，，且，則為______.【答案】【解析】，，且，，即，解得又故答案為：四、解答題17．（2023·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，，設(shè)，．(1)設(shè)，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，求k．【解析】（1）由題可知，，由，得，設(shè)，因為，所以，解得，所以或．（2）因為、、，，，所以，，則，所以與的夾角為．（3）因為，，又與垂直，所以，解得或