第06講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（七大題型）

第06講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【題型歸納目錄】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算題型三：空間向量的共線與共面題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2、空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.知識(shí)點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則(1).(2).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典例例題】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.例2．（2023·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎叫兴倪呅危?，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D例3．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，故選：B例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.例5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以向量．故選：B.例6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．例7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】/【解析】點(diǎn)，，則設(shè)點(diǎn)，則由，則，即x=0y=12所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)為線段AB上靠近的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】由題設(shè)，，而，令，則，∴，可得，即.故答案為：例9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為1，則的坐標(biāo)為_(kāi)___，的坐標(biāo)為_(kāi)___，的坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】【解析】如題圖示，，∴，，.故答案為：，，.題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，則（

）A．-5 B．-7 C．3 D．【答案】B【解析】，，∴．故選：B例11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【解析】由已知，，，∴.故選：C．例12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故選:B.例13．（2023·寧夏固原·高二校考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所?故選：B例14．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，由，得，解得.故選：B.例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.例16．（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題可得，故選:B.題型三：空間向量的共線與共面例17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，若與共線，則實(shí)數(shù)（

）A．-2 B． C． D．2【答案】B【解析】∵，，∴，.∵與共線，∴，即.故選：B.例18．（2023·福建漳州·高二校考期中）與向量共線的單位向量可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以與向量共線的單位向量可以是或.故選：D例19．（2023·河南安陽(yáng)·高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，若三點(diǎn)共線，則有，得，解得，，.故選：B例20．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中?？计谀┮阎蛄浚瑒t與同向共線的單位向量（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.例21．（2023·吉林·高二吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┤?,且,為共線向量,則的值為（

）A．2 B． C．6 D．8【答案】A【解析】解:由題知,,為共線向量,因?yàn)?,所以有,解得,故.故選:A例22．（2023·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．4 C．6 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，由三點(diǎn)共線，則有與共線，所以，解得：，所以，故選：D.例23．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楣裁妫瑒t設(shè)，所以，解得，所以，故選：D.例24．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，可設(shè)，即，解得：.故選：C.例25．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）已知向量共面，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)楣裁妫源嬖?，使得，整理得，解?故選：C.例26．（2023·山西長(zhǎng)治·高二山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若空間四點(diǎn)共面，則的值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【解析】因A，B，C，D四點(diǎn)共面，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得.又.則，得.故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示例27．（2023·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【解析】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.例28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)），，則_______．【答案】6【解析】因?yàn)?，，所以，所以；故答案為?例29．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）已知.則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．例30．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，則__________【答案】3【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為,所以，所以.故答案為：3例31．（2023·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：.例32．（2023·新疆喀什·高二?？计谀┤簦瑒t___________【答案】【解析】，，.故答案為：.題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示例33．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】4【解析】由題意得，，即，所以，解得.故答案為：4例34．（2023·上海徐匯·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量與向量平行()，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，則，解得，所以，故答案為：.例35．（2023·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，且與是共線向量，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)______．【答案】【解析】設(shè)，則，解得：.故答案為：-6例36．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量與共線，則______.【答案】【解析】空間向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，解得，所以.故答案為：.題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示例37．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，單位向量滿足，則_________．【答案】或【解析】設(shè)向量，其中，因?yàn)榍遥傻?，即，將代入，可得或，所以向量的坐?biāo)為或.故答案為：或.例38．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【解析】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：例39．（2023·江蘇鹽城·高二校考階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為_(kāi)________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄浚?，且，則，可得.故答案為：.例40．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期中）已知向量，且與互相垂直，則的值是__．【答案】/【解析】因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得．故答案為：例41．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，若，則x=___________.【答案】1【解析】空間向量，由，得，解得，所以.故答案為：1題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示例42．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為鈍角，所以，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：例43．（2023·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【解析】因?yàn)?，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.例44．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，若與夾角為，則k的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，，所以，可知，解得：．故答案為：.例45．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、，則向量與的夾角大小為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意得，，，，與的夾角為．故答案為：.例46．（2023·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________【答案】3【解析】向量，，∴，，．又夾角的余弦值為，∴，解得．故答案為:．例47．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，若向量與所成角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，解得，所以，所以，，因?yàn)橄蛄颗c所成角為鈍角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，此時(shí)與共線同向，綜上可得.故答案為：例48．（2023·遼寧大連·高二大連市第三十六中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】且【解析】因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故答案為：且.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，所以三個(gè)向量共面，故不可以作為空間向量一個(gè)基底，故B正確.對(duì)于C，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，無(wú)解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.3．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，所以，解?故選：D.4．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量,若三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)m等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】由共面可得，即，所以，解得．故選：A．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體中，，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，又，則長(zhǎng)方體的高等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，由可得，所以，解得：.故選：C.

6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以故選：C．7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，向量，且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖：因?yàn)橄蛄?，向量，且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，所以，解得，所以.故選：A8．（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)校考期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)，于是有，因?yàn)?，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C二、多選題9．（2023·浙江·高二浙江省開(kāi)化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.10．（2023·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)校考期末）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，解得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B．若，則的夾角是鈍角C．已知，，若與垂直，則D．已知A、B、C是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是唯一的，且一定與A、B、C共面【答案】ACD【解析】因?yàn)橄蛄渴强臻g的一個(gè)基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個(gè)基底，故A正確；當(dāng)與的夾角為時(shí)，也可得，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，，且與垂直，所以，解得，故C正確；因?yàn)?，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，如圖，取中點(diǎn)為，取中點(diǎn)為，則，又因?yàn)椋?，所以，即，則在上且靠近的三等分點(diǎn)處，即滿足此關(guān)系的點(diǎn)只有一個(gè)，所以點(diǎn)唯一，且與共面，故D正確；故選:ACD12．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且，若線段DE上存在點(diǎn)P，使得，則邊CG長(zhǎng)度的可能值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，又，所以，由，得，顯然且，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：CD.三、填空題13．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，則，即，故.故答案為：14．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：15．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，，，若，，共面，則______．【答案】【解析】若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即所以，解得，，．所以．故答案為：16．（2023·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎?，且，則為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，且，，即，解得又故答案為：四、解答題17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)設(shè)，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，求k．【解析】（1）由題可知，，由，得，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以或．?）因?yàn)椤?、，，，所以，，則，所以與的夾角為．（3）因?yàn)?，，又與垂直，所以，解得或