廣東省深圳市羅湖區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★啟用前

試卷類型：A

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題

高二數(shù)學(xué)

2023.1

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共4頁(yè)，共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.

3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.

4.非選擇題的答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.

5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={(x,y)|x-y=0},3={(x,y)|x+y+l=0},則AcB的子集個(gè)數(shù)為

A.0B.1C.2D.無(wú)窮多個(gè)

1\/3..2

2.已知復(fù)數(shù)外=----1----1,則ar=

22

A0B.-coC.CD—\D.0+1

3.已知向量4：二(2,左),b=(2,4),若Q_LA,則〃+可=

A.6B.5C.4D.3

4.某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固

定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本磯x)萬(wàn)元.其中

X2+10X,0<X<40

0(x)=410000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為

71x+-------945,%>40

70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元C.875萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

5.圓。］：f+/一4丁一6=0與圓二2：/+y2-61+8y=0公共弦長(zhǎng)為

A.亞B.而C.2亞D.3逐

6.已知/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x3-x,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線

方程是

A.2x-y-2=0B.4x-y-4=0

C.2x+y-2=0D.4x+y-4=0

7.某批產(chǎn)品來(lái)自A,8兩條生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線占60%,次品率為4%；8生產(chǎn)線占40%,

次品率為5%,現(xiàn)隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，若抽到的是次品，則它來(lái)自A生產(chǎn)線的概率是

165

A.-B.—C.—D.一

21159

8.正四面體S—ABC中，M是側(cè)棱S4上(端點(diǎn)除外)的一點(diǎn)，若異面直線與直線AC

所成的角為a,直線MB與平面ABC所成的角為夕，二面角M—8C-A的平面角為?，

則

A.a<B<丫B./7<a<yC./3<y<aV).y<a<(3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.等比數(shù)列｛凡｝的公比為夕，前"項(xiàng)和為S“，且夕工一1,以下結(jié)論正確的是

A.｛端｝是等比數(shù)列B.數(shù)列即+%，42+43,《3+%4成等比數(shù)

列

C.若q>l,則｛4｝是遞增數(shù)列D.若4>0,則⑸｝是遞增數(shù)列

10.已知隨機(jī)變量X?函數(shù)/(X)=——e2，(xeR),貝ij

A.當(dāng)X=H時(shí)，取得最大值口=

(jy127r

B.曲線)=/(x)關(guān)于直線x=〃對(duì)稱

C.x軸是曲線y="X)的漸近線

D.曲線y="X)與x軸之間的面積小于1

22

11.已知A,8為橢圓C:：+%=l(a>b>0)左、右頂點(diǎn)，E(c,0)為C的右焦點(diǎn)，M

/2\

是。的上頂點(diǎn)，N—,0，MNf的垂直平分線交C于。，E,若D,E,/三點(diǎn)共線，

、C)

則

A.\FN\=aB.C的離心率為當(dāng)」

h2b2

C.點(diǎn)N到直線■的距離為一D.直線。A,DB的斜率之積為一-

CCTr

12.已知—肛司，函數(shù)/(x)=，，則

AJ(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.7(x)有四個(gè)極值點(diǎn)

Cj(x)在-上單調(diào)遞增D.〃x)的最大值不大于乎

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若a是第三象限角，且tana=3,則sina-cosa=.

14.已知?jiǎng)t工+'一的最小值為____.

x1-x

15.若正方形A3C。的頂點(diǎn)均在半徑為1的球。上，則四棱雉。-ABCO體積的最大值為

16.已知△ABC的頂點(diǎn)A(—2,1),點(diǎn)8,C均在拋物線。：丁=4》上.若A3,4c的中點(diǎn)

也在。上，BC的中點(diǎn)為。，則A￡>=,△A5C的面積S=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知數(shù)列｛%｝中，q=2,叫用一(〃+1)?！?1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)"=仁：%覆求數(shù)列也｝的前3?

18.(12分)

在△ABC中，角A,8,C對(duì)邊分別為a,b,c,且asinBcosC+csinBcosA=,

3

c>b.

(1)求cosB；

(2)若c=3,AC邊上中線80=百，求△ABC的面積.

19.(12分)

快到采摘季節(jié)了，某農(nóng)民發(fā)現(xiàn)自家果園里的某種果實(shí)每顆的重量有一定的差別，故隨機(jī)采摘

了100顆，分別稱出它們的重量(單位：克)，并以每10克為一組進(jìn)行分組，發(fā)現(xiàn)它們分布

在區(qū)間[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],并據(jù)此畫得頻率分布直方圖如下:

(1)求。的值，并據(jù)此估計(jì)這批果實(shí)的第70百分位數(shù)；

(2)若重量在[5,15](單位：克)的果實(shí)不為此次采摘對(duì)象，則從果園里隨機(jī)選擇3顆果

實(shí)，其中不是此次采摘對(duì)象的顆數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

注意：把頻率分布直方圖中的頻率視為概率.

20.(12分)

如圖，在三棱柱ABC—4AG中，側(cè)面A8gA是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA.VBC,M,

N分別是4用，8C的中點(diǎn).

(1)證明：MV〃平面ACGA；

(2)若NABC=90,再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為條件，求直線AC與平面4VW

所成角。的正弦值.

條件①：異面直線AC與MN所成的角為45°；

條件②：△AMN是等腰三角形.

21.(12分)

M是平面直角坐標(biāo)系xOy上一動(dòng)點(diǎn)，兩直線4：y=x,4：^=-%.己知此4,4于點(diǎn)4,

A位于第

一象限；MBJ_6于點(diǎn)8，8位于第四象限.若四邊形。4MB的面積為2.

(1)若動(dòng)點(diǎn)用的軌跡為C,求C的方程.

(2)設(shè)M(sj),過點(diǎn)M分別作直線MP,MQ交。于點(diǎn)P,。.若MP與MQ的傾斜角

互補(bǔ)，證明直線PQ的斜率為一定值，并求出這個(gè)定值.

22.(12分)

已知函數(shù),f(x)=ln(ttx)+6zx,其中a是非零實(shí)數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的不等式“力工把…恒成立，求4的取值范圍.

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

12345678

CABCCCBC

7.解析：因?yàn)槌榈降拇纹房赡軄?lái)源于A,8兩條生產(chǎn)線，設(shè)4="抽到的產(chǎn)品來(lái)自A生產(chǎn)

線"，B=”抽到的產(chǎn)品來(lái)自8生產(chǎn)線”，。="抽到的一件產(chǎn)品是次品”，則由全概率公

式得

P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6x0.04+0.4x0.05=0.044,

0.6x0.046

又由條件概率得P(A|C)=B淋-，⑷。(。同

P(c)0.04411

取中點(diǎn)記為。，連接A。，MD.過/作AD的垂線垂足為".過M作AC的平行線

交SC于N.易得/BMN=a,ZMBH=p,ZMDH=y

因?yàn)閟in/?="工<國(guó)”=siny,所以尸〈7.

MBMD

設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為1,AM=/l(O<A<l),有PM=MN=T—A.

MN1-A

2HDHD

cosa=2，cosy=--->----

BMBMMDBM

?n百6]GV3.回[八1-AMN

因?yàn)镠D=-------Z>--------X=——(1-Z)>----=----

23222v722

所以cosy>cos。，即y<&

綜上：/3<y<a

也可以取特殊位置法，更快作答。

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9101112

ABABCABDAC

第9題，增加條件4工―1.

12.【解析工(1)因?yàn)?(X)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A；

(f+1)cosx-2xsior

因?yàn)?

(2)'(x)=2，不妨令0<x<;r,

X2+1

令/貝|」(丁+l)cosx=2xsinx,得taax=g

_1(1

分別在同一坐標(biāo)系網(wǎng)出丁=1@11￥與>=一XH----的圖象，如下圖:

21X

它們?cè)诘谝幌笙拗挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能具體求出，肯定小于1,

故當(dāng)XW[—乃，句時(shí)，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)只有兩個(gè)，故最多只有兩個(gè)極值點(diǎn)，3錯(cuò);

nrrIR4

(3)當(dāng)％=—時(shí)，tan—=1,而一一十一〉I（由基本不等式得）,

442471

TT1

所以當(dāng)尤=2時(shí),XH--->taar,即當(dāng)0cx<??時(shí)，/z(x)>0?

42X

根據(jù)對(duì)稱性得/（X）在-（上單調(diào)遞增，故選C;

（4）又因?yàn)榻稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)2</<1，

所以當(dāng)0<x<乃時(shí)，“X）在（0,天）上單調(diào)遞增，在（七,不）上單調(diào)遞減,

.71

??sin―6

當(dāng)x=x0時(shí)取得最大值/（Xo）〉詈>下生=牛，故D錯(cuò).

0

2

另法：由C正確得2-9>—,故D錯(cuò).

TTc4

7TI+18

三、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分。

?Vio473,2781V2

13.-------14.915.-2―16.—,-------

52744

<v2\

16.【解析】:不妨設(shè)B4,y，哈,/

[4>

則AB的中點(diǎn)+■土在。：丁=4%上,

I82)

2

(M+1,2\2

所以=4x-12L|_42L,整理得y：-2y-17=0,

I2+=+

i872

所以口，為是方程丁一2y-17=0的兩根,

所以X=y；+y；=2(X+*)+34=22,2L1A=I,即AO=2Z,AABCK

M884"24

面

30127?,27r,--------3-：-------27,后8172

積S=；x彳x|x一%|=7x4(y+%)_4y%=—x6V2=——

Z4oo4

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

““=1J1

【解析】(1)法一：由叫用一("+1)4,=1得需

n?(/!+1)n〃+1

所以組-％=組-也+也

n\n〃-1)In-1

因?yàn)?=2,所以2—2=1—即。，=3〃一1.

nn

na^一(〃+1)〃“=1,

法二：當(dāng)〃》2時(shí)，由Ln"兩式相減得2a“=4+1+a,i，

(〃-1)怎一〃a“T=1,

所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

由q=2,a2—2q=1得％=5,所以d=的一4=3.

所以a〃=q+(〃一l)xd=3〃一l.

法一：由題意得力2i=。2〃-1=O2=4-

(2)=6"-3,b2nW+112n4,

設(shè)數(shù)列｛%-｝，｛4“｝的前50項(xiàng)和分別為工，T2,

5OXZ?+/?

所以7=5°仇+"99)=25x300=7500,T2=(2IOO)=25X620=15500,

1222

所以｛%｝的前100項(xiàng)和為7；+篤=7500+15500=23000.

2〃-12〃+1

法二：由題意得打〃_]=。=6力一3,b2n=。=12〃+4

則多1+%=18"+1，即數(shù)列｛%1T+b2n｝是首項(xiàng)為19,公差為18的等差數(shù)列，

50x49

所以｛2,_1+%,｝的前50項(xiàng)和為50x19+xl8=23000,

即數(shù)列｛4｝的前100項(xiàng)和為23000.

18.(本小題12分)

25

【解析】(1)由正弦定理有sinAsin8cosC+sinCsin8cosA=------sinB.

3

25

因?yàn)閟inBw0,有sinAcosC+sinCeosA=sin(A+C)=sinB=.

因?yàn)閏>〃，故cos3>(),cosB=Vl-sin2B=—

3

+C2-BD2

(2)法一：在ZVIBC和△AB。中，cosA

2hc2{f}C

因?yàn)閏=3,BD=6則/=24+6

因?yàn)镃OS8=^1^=/+9—（2/+6）=L

所以。=1

2ac6a3

所以S.ABC=gacsinB=g.L3?當(dāng)=加

法二：因?yàn)閏osNAZM+cosNCD8=0,所以=0,

有〃=2/+6.下同法一.

法三：如圖.作OE交A6于E,則BE=￡=3，DE=@,cosABED=-cosZABC=,

2223

解得a=l.

3

下同法一.同理也可有其他輔助線做法

法四：因?yàn)锳￡>=DC,則+兩邊平方可得a=l.

下同法一.

19.(本小題12分)

【解析】(1)因?yàn)轭l率分布直方圖的組距為10,

所以落在區(qū)間［5,15］,(15,25］,(35,45］上的頻率分別為0.20,0.32,0.18,

1-0.18-0.32-0.20

故。==0.030.

10

因?yàn)槁湓趨^(qū)間［5,25］上的頻率為0.20+0.32=0.52,

而落在區(qū)間［5,35］上的頻率為0.20+0.32+0.30=0.82,

所以第70百分位數(shù)落在區(qū)間［25,35］之間，設(shè)為x,

則0.52+(x-25)x0.03=0.70,解得x=31,

所以估計(jì)第70百分位數(shù)為31.

(2)由(1)知，重量落在［5,15］的頻率為0.2,由樣本估計(jì)總體得其概率為0.2,

因?yàn)閄可取0,1,2,3,且

48

則尸(X=0)=C；

125

尸"=2)=€：卜已)\：=掾，p(x=l)=C；xgJ=*，

、DJD1NDy25y1ND

所以X的分布列為：

X0123

6448121

p

125125125125

4R743313

所以X的數(shù)學(xué)期望為七X=0+上+-竺+上_=±（或直接由￡X=3X±==）.

125125125555

20.(本小題12分)

【解析】(1)證明：取AC的中點(diǎn)為。，連結(jié)A。，ON,因?yàn)镹是3C的中點(diǎn),

所以且0N=」A8,

2

又因?yàn)锳"〃45且AM=-AB,

2

所以AM〃ON且AM=ON,

所以四邊形AAWO是平面行邊形，

即MN〃A。，

而AOu平面ACGA，所以〃平面ACGA.

(2)因?yàn)锳A,1BC,且AB,BCu平面ABC,

所以44,，ABC,

又因?yàn)镹A8C=90°,所以分別以BC,BA,8g所在的直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系.

選擇條件①，因?yàn)镹A4Q為異面直線AC與所成的角，即NA4O=45,

所以O(shè)A=A41=2,MN=AO=2C，

設(shè)BN=m,則M7V=j5+m2=2垃,

解得加=百，

所以4(0,2,0),C(2>/3,0,0),

Al(0,1,2),M(6,0,0),

所以AC=RG,—2,0),AM=(0,-1,2),AN=(6,—2,01

n-AM=-y+2z=0,

設(shè)平面AMN的法向量〃=（x,y,z）,則

n?AN=也x-2y=0.

令y=2,則x=^r,z-1,即〃=(^=,2,1),

ACn4_y/93

所以sin。=cos(AC,n

\AC\n\

4x

選擇條件②，設(shè)BN=m,則4V=J4+//,MN=M+后,AM=卮

因?yàn)椤鰽AW是等腰三角形，所以上式中只能AM=AN,即機(jī)=1,

所以A（0,2,0）,C（2,0,0）,M（0,1,2）,N（l,0,0）,

所以AC=（2,—2,0）,AM=（0,-1,2）,AA?=（l,-2,0）,

n-AM=-y+2z=0,

設(shè)平面AM/V的法向量為〃=（x,y,z）,則<

n-AN=x-2y=0.

令y=2,則x=4,z=l,即〃=(4,2,1),

4742

所以sin。=cos（

\AC\-\n\_2也義后一玄

21.（本小題12分）

【解析】（1）法一：設(shè)用（看,%）,依題意得%>0且/>%>-不，

即與一%>0且%+%〉0,

設(shè)直線A4A:y=-X+〃2,則〃2=Xo+y()，

解卜，得.二%m_/+%

y=-x+m,2-2

所以。4=1A±AJ+|^^±AJ="+W=嗎+%)

所以四邊形OAMB的面積為0A?M4=/一%=2,

2

即％2_4=4,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為f_>2=4（%>o）.

法二：設(shè)依題意得x>0且x>y>-x,

即x-y>0且x+y>0,

設(shè)A（力,力），則M4=（x-〃,y-〃）,

因?yàn)橹本€4的方向向量為(1,1),所以MA-(l,l)=x—〃+y—〃=0，W，即

所以國(guó)］(受j+(受j

匹小丁)；記、?二空》

2_2

所以四邊形OAMB的面積為|。4|?|M4卜上手=2,

即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為f一產(chǎn)=4(%>0).

(2)法一：設(shè)直線MP:y-r=k(x-s)(左<-1)或&>1),

則MQ:y—t=—k^x—s^,

22A

聯(lián)立4m'T)得/-出-(米-抑=4,

整理得（1一42卜2+2%（依7）x_（依7）2-4=0,

2k（ks-t）2匕s—2ktk~s—2.kt+s

所以S+Xp,即x?=----：------s=----：-----

k2-\pk2-lk2-1

-2k2t+2ks

所以力=k（x-s）+t-o-------------1-t，

pk2-1

l,e妨2k1s+2kt-llct-lks

同理得--s，y°=+r，

K—1K—1

所以直線PQ的斜率k="f=二^=得證.

xQ-Xp4kft

法二：設(shè)直線PQ為丁=丘+人，聯(lián)立V—y2=4得尤2_(依+。>=4,

整理得(1一公卜2一2妨X—(6+4)=0,

〃+4

所以Xp+q=---7XX=.2_1

1—