數(shù)學(xué)第六次課

作業(yè):P561(2)、（4）、（6）、(8)；2(2)、（4）、（6）、(8)；3(1)、（3）、（5）P602（2）、（4）3（2）、（4）、（6）6（3）、（5）第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,例1證3.函數(shù)的間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)例4解可去間斷點(diǎn)例5解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例5中,跳躍礙間斷命點(diǎn)與及可去奏間斷榴點(diǎn)統(tǒng)迅稱為斯第一稍類間紹斷點(diǎn).特點(diǎn)第二蠻類間陽斷點(diǎn)例6解例7解注意不要索以為駛函數(shù)耍的間擋斷點(diǎn)恥只是機(jī)個別當(dāng)?shù)膸资醾€點(diǎn).狄利蠢克雷摟函數(shù)在定披義域R內(nèi)每鬧一點(diǎn)翠處都嬌間斷,且都欲是第恨二類竹間斷斷點(diǎn).僅在x=0處連強(qiáng)續(xù),其余斯各點(diǎn)說處處初間斷.★★在定銳義域R內(nèi)每恥一點(diǎn)顛處都等間斷,但其創(chuàng)絕對根值處扶處連溪續(xù).★判斷攜下列停間斷晚點(diǎn)類奶型:例8解小結(jié)1.函數(shù)擦在一農(nóng)點(diǎn)連鑒續(xù)必在須滿蟲足的寸三個茶條件;3.間斷毀點(diǎn)的蒸分類重與判瘡別;2.區(qū)間須上的豈連續(xù)漢函數(shù);第一督類間福斷點(diǎn):可去座型,跳躍睡型.第二凡類間液斷點(diǎn):無窮軌型,振蕩替型.間斷猴點(diǎn)(見下患圖)可去桐型第一甜類間促斷點(diǎn)oyx跳躍給型無窮零型振蕩配型第二肆類間拘斷點(diǎn)oyxoyxoyx二、糖連續(xù)鑒函數(shù)扯的運(yùn)褲算定理1例如,定理2嚴(yán)格蛙單調(diào)雙的連損續(xù)函戒數(shù)必光有嚴(yán)該格單澡調(diào)的陡連續(xù)暈反函詢數(shù).例如,反三籍角函鞭數(shù)在隙其定計義域峽內(nèi)皆底連續(xù).定理3證將上睡兩步節(jié)合起副來:意義1.極限蹦符號竿可以土與函愁數(shù)符撲號互摩換;例1解定理4注意定理4是定中理3的特馬殊情紗況.例如,初等先函數(shù)菜的連化續(xù)性三角寺函數(shù)果及反伶三角礙函數(shù)京在它副們的絞定義石域內(nèi)涉是連橋續(xù)的.★★★定理5基本僑初等積函數(shù)測在定略義域逼內(nèi)是旺連續(xù)端的.★(均在剖其定州義域放內(nèi)連紹續(xù))定理6一切勺初等品函數(shù)巾在其定義刷區(qū)間內(nèi)都柔是連虹續(xù)的.定義偷區(qū)間租是指臘包含豆在定傷義域限內(nèi)的理區(qū)間.1.初等巧函數(shù)息僅在棉其定唇義區(qū)抱間內(nèi)擔(dān)連續(xù),在其椅定義若域內(nèi)徹不一你定連管續(xù);例如,這些魚孤立喘點(diǎn)的考鄰域遍內(nèi)沒戶有定交義.在0點(diǎn)的粘鄰域夏內(nèi)沒租有定債義.注意注意2.初等萍函數(shù)薄求極孕限的琴方法代入州法.例3例4解解三、撞閉區(qū)晌間上寸連續(xù)輔函數(shù)期的性年質(zhì)定義:例如,定理1(最大選值和刃最小真值定亦理)在閉冬區(qū)間什上連糖續(xù)的蒜函數(shù)販一定覽有最堪大值扭和最愚小值.注意:1.若區(qū)完間是軍開區(qū)傳間,定理爭不一巷定成拜立;2.若區(qū)睜間內(nèi)患有間彈斷點(diǎn),定理槽不一救定成兔立.定理2(有界低性定敗理)在閉芬區(qū)間鎮(zhèn)上連智續(xù)的少函數(shù)去一定稿在該申區(qū)間號上有干界.證定義:幾何巴解釋:幾何忠解釋:MBCAmab證由零償點(diǎn)定呀理,推論在閉槽區(qū)間序上連型續(xù)的讓函數(shù)菜必取冷得介岸于最掩大值放與議最小泰值花之揭間的押任何姿值.例1證由零購點(diǎn)定窄理,例2證由零絲式點(diǎn)定雙理,三、荷小結(jié)四個香定理有界嘗性定膜理;最值糞定理;介值劉定理;根的傅存在店性定刪理.注意1．閉禾區(qū)間觸；2．連宗續(xù)函餓數(shù)．這兩全點(diǎn)不根滿足啊上述排定理海不一凈定成駝立．解題億思路1.直接別法:先利評用最呼值定被理,再利聾用介彎值定層理;2.輔助凳函數(shù)赤法:先作手輔助雄函數(shù)F(x),再利慎用零腹點(diǎn)定豆