電磁場理論第章：矢量與場論

第一章矢量分析1.1場的概念1.1.0對點、線、面、體積的再認識（補充）1.1.1矢性函數在二維空間或三維空間內的任一點P，它是一個既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實數矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，如電場強度E、磁場強度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢量，如某物體所受到的重力。而在實際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢量，如沿著某一曲線物體運動的速度v等。設t是一數性變量，A為變矢量，對于某一區(qū)間G［a,b］內的每一個數值t,A都有一個確定的矢量A(t)與之對應，則稱A為數性變量t的矢性函數。記為而G為A的定義域。矢性函數A(t)在直角坐標系中的三個坐標分量都是變量t的函數，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數A(t)也可用其坐標表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。同一矢量在不同坐標系下有不同的表達式！（見后）1.1.2標量場和矢量場如果在某一空間區(qū)域內的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內，除有限個點和表面外，其物理量應是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數學上只需用一個代數變量來描述，這些代數變量(即標量函數)所確定的場稱為標量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。

1.1.3矢量的加、減、點乘與叉乘（補充）

在標量場φ(M)中的一點M處，其方向為函數φ(M)在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標量場φ(M)在M點處的梯度。在直角坐標系中，梯度的表達式為:1.2標量場的梯度

數學上從定義可推得在不同坐標系下的表達式設c為一常數，u和v為數量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。R為空間兩點(x,y,z)與(x’,y’,z’)的距離

例1矢量r=xex+yey+zez，證明：

證：因為所以*例2.已知社位于室原點標處的特點電招荷q在點M(嶺x,音y新,兼z)處產課生的廢電位伯為，其中粥矢徑r為r=xex+yey+zey，且已爪知電亮場強冬度與囑電位城的關際系是E=-蓮▽φ，求電猛場強斃度E。途解：根據▽f(u)=f′(u)·▽u的運拾算法似則，1.夕3矢量兇場的販通量神和散脊度1.斯3.滴1矢量基場的痕通量將曲合面的解一個許面元苗用矢初量dS來表歌示，巖其方稀向取顯為面激元的屬法線托方向肆，跟其大小為dS，即n是面掌元法主線方冷向的貍單位趴矢量。n的指鈴向數止學約網定有砍兩種旺情況醉：對顧非閉著合曲科面，通則選駁定封攤閉曲鈴線L繞行搏的方葡向后寺，沿步繞行咬方向仗按右手螺善旋的拇翼指方揉向就洪是n的方圓向；對閉易合曲高面，面元巷法線移方向套約定蛙向外。如圖1-丑3所示俊；圖1-所3法線騰方向駝的取童法將曲佛面S各面賞元上俗的A·dS相加瓦，它宴表示特矢量蹲場A穿過深整個莖曲面S的通量，也鮮稱為洽矢量A在曲雙面S上的乞面積臥分：如果菌曲面楚是一朵個封享閉曲濱面，軋則1.協(xié)3.寸2矢量顫場的諷散度稱此病極限畢為矢些量場A在某青點的散度，即散度信的定義拜式為矢量斗場A的散世度經泄推導規(guī)，可拼表示趨為：性質:數學鈔上從伶定義差可推緞得在渣不同船坐標閑系下秧的表潤達式散度團定理記為定義閱：1.將4矢量誘場的矛環(huán)量避和旋較度在力洞場中抖，某棉一質晨點沿馬著指現定的忙曲線c運動匆時，蝴力場湖所做汗的功誓可表草示為麥力場F沿曲倆線c的線咱積分才，即圖1-嗓5矢量文場的農環(huán)量1.魂4.殃2矢量儉場的摧旋度將上勻極限款值定垃義為A的旋溫度(旋度墻值是們矢量)在法紛線方催向的哈投影,即:原始宮定義準：數學巴上從州定義其可推驚得在例不同辰坐標市系下香的表擾達式,在直點角坐泄標系靈下有:上式可用模下行侵列式幫助藝記憶:可以垃證明捷，有爆下列兇恒等費式：1.垂4.屬3斯托支克斯匙定理此式遲稱為羞斯托孫克斯少定理訓或斯托伙克斯甜公式。它將語矢量芹旋度攀的面繞積分紙變換神成該為矢量攔的線吹積分，或文將矢砌量A的線煌積分芝轉換母為該捉矢量溉旋度牽的面磁積分溉。式花中dS的方息向與dL的方根向成況右手次螺旋五關系。例1-國12求矢屯量場A=x(z-響y)ex+y(x-遵z)ey+z(y-頌x)ez在點M(1，0，1)處的耀旋度相。解：矢量飛場A的旋擺度例1-土13在坐薪標原側點處疑放置匪一點雖電荷q，在自蓄由空間油產生伙的電炊場強嗽度為求自別由空階間任蘋意點(r≠0回)電場刷強度是的旋層度▽×E。解：1.日5圓柱對坐標速系與汽球坐賤標系1.郊5.若1圓柱壤坐標哄系圖1-船7圓柱懸坐標贏系同一奮矢量珠在不彩同坐槐標系碎下有啊各自雷的表告達式1.俘5.填2球面忠坐標件系圖1-露8球面刮坐標慚系1.