離散數(shù)學圖論課件

圖的術語度數(shù)完全圖子圖補圖圖的同構7-1圖的基本概念1離散數(shù)學定義一個圖是一個三元組<V(G),E(G),φG>,簡記為G＝<V,E>，其中：V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一個非空集合,vi(i＝1,2,3,…,n)稱為結點,簡稱點,V為結點集；E＝{e1,e2,e3,…,em}是一個有限集，ei(i＝1,2,3,…,m)稱為邊,E為邊集，E中的每個元素都有V中的結點對（有序偶或無序偶）與之對應。一、圖的術語2離散數(shù)學圖的術語若邊e與結點無序偶(u，v)相對應，則稱邊e為無向邊,記為e＝(u，v)，這時稱u，v是邊e的兩個端點；若邊e與結點有序偶<u，v>相對應，則稱邊e為有向邊(或弧)，記為e＝<u，v>，這時稱u是邊e的始點(或弧尾)，v是邊e的終點(或弧頭)，統(tǒng)稱為e的端點；在一個圖中，關聯(lián)結點vi和vj的邊e，無論是有向的還是無向的，均稱邊e與結點vi和vj相關聯(lián)，而vi和vj稱為鄰接點，否則稱為不鄰接的；關聯(lián)于同一個結點的兩條邊稱為鄰接邊；圖中關聯(lián)同一個結點的邊稱為自回路(或環(huán))；圖中不與任何結點相鄰接的結點稱為孤立結點；僅由孤立結點組成的圖稱為零圖；僅含一個結點的零圖稱為平凡圖；3離散數(shù)學續(xù)：含有n個結點、m條邊的圖稱為(n，m)圖；每條邊都是無向邊的圖稱為無向圖；每條邊都是有向邊的圖稱為有向圖；有些邊是無向邊，而另一些是有向邊的圖稱為混合圖。在有向圖中，兩個結點間(包括結點自身間)若有同始點和同終點的幾條邊，則這幾條邊稱為平行邊，在無向圖中，兩個結點間(包括結點自身間)若有幾條邊，則這幾條邊稱為平行邊，兩結點vi，vj間相互平行的邊的條數(shù)稱為邊(vi，vj)或<vi，vj>的重數(shù)；含有平行邊的圖稱為多重圖。非多重圖稱為線圖；無自回路的線圖稱為簡單圖。賦權圖G是一個三元組<V,E,g>或四元組<V,E,f,g>，其中，V是結點集合，E是邊的集合，g是從E到非負實數(shù)集合的函數(shù)。4離散數(shù)學(a)例：(b)(c)(d)例：5離散數(shù)學(e)(f)(g)(h)例：例：6離散數(shù)學(i)(j)(k)(l)例：例：7離散數(shù)學(m)(n)(o)(p)例：例：8離散數(shù)學定義在無向圖G＝<V，E>中，與結點v(vV)關聯(lián)的邊的條數(shù)，稱為該結點的度數(shù)，記為deg(v)；定義在有向圖G＝<V，E>中，以結點v(vV)為始點引出的邊的條數(shù)，稱為該結點的引出度數(shù),簡稱出度,記為deg+(v)；以結點v(vV)為終點引入的邊的條數(shù)，稱為該結點的引入度數(shù)，簡稱入度,記為deg-(v)；而結點的出度和入度之和稱為該結點的度數(shù)，記為deg(v)，即deg(v)＝deg+(v)+deg-(v)；δ(G)最小度，Δ(G)最大度定義在圖G＝<V，E>中，對任意結點vV，若度數(shù)deg(v)為奇數(shù)，則稱此結點為奇度數(shù)結點，若度數(shù)deg(v)為偶數(shù)，則稱此結點為偶度數(shù)結點。二、度數(shù)9離散數(shù)學例：de姓g(比v1)＝3，de攪g+(v1)＝2，de勞g-(v1)＝1；de貪g(五v2)＝3，de腳g+(v2)＝2，de惡g-(v2)＝1；de棍g(物v3)＝5，de拋g+(v3)＝2，de白g-(v3)＝3；de滴g(喊v4)＝de配g+(v4)＝de籌g-(v4)＝0；de此g(均v5)＝1，de糟g+(v5)＝0，de皇g-(v5)＝1；例：10離散植數(shù)學定理1.在無劈燕向圖G＝<V，E>中，沿所有嫩結點旅的度桿數(shù)的倒總和搜等于翼邊數(shù)防的兩拔倍，這即：在有雷向圖G＝<V，E>中，避所有狐結點挪的出拾度之銷和等嗎于所麗有結樣點的這入度振之和釣，所導有結地點的諒度數(shù)此的總仇和等州于邊閱數(shù)的松兩倍覆，即岔：11離散道數(shù)學定理定理在圖G＝<V，E>中，航其V＝{v1,v2,v3,…醬,vn}，E＝{e1，e2，……，em}，度數(shù)橋為奇齡數(shù)的丙結點執(zhí)個數(shù)窮為偶踢數(shù)。證明設V1＝{v電|vV且de克g(桐v)＝奇數(shù)}，V2＝{v屠|vV且de蔬g(轟v)＝偶數(shù)}。顯喚然，V1∩V2＝Φ，且V1∪V2＝V，于是完有：由于驢上式稀中的2m和偶育度數(shù)敘結點愿度數(shù)償之和績均為侍偶數(shù)隙，因盲而奇泄數(shù)的驅結點妙個數(shù)送也為醬偶數(shù)速。于極是|V1|為偶眨數(shù)(因為V1中的驢結點v之de匙g(掙v)都為連奇數(shù))，即出奇度演數(shù)的助結點猶個數(shù)彎為偶遲數(shù)。12離散拾數(shù)學三、逗完全枯圖定義在圖G＝<V，E>中，辣若所志有結燃點的坊度數(shù)載均有耕相完同度壁數(shù)d，則稱學此圖愁為d次正郊則圖屑。定義一個(n，m)璃(n2)的簡予單無輸向圖貿(mào)，若筐它唯為n-尤1次正殃則圖妄，則畢稱該(n，m)圖為無向線簡單枝完丈全圖，簡稱完全陰圖,記為Kn。有向棒完全滲圖定理設無臥向完丙全圖G有n個頂廳點，司則G有n(續(xù)n-層1)虛/2條邊陵。13離散恥數(shù)學例：例：如圖(a槳)、(b橡)、(c比)、(d匹)所示給，它穗們分坑別是霞無向座的簡癢單完豪全圖K3，K4，K5和有鑒向的嬸簡單礎完全畝圖K3。14離散不數(shù)學定義設有燃圖G＝<V，E>和圖G1＝<V1，E1>，若G和G1滿足繞：若V1V，E1E，則稱G1是G的子圖，記為G1G；若G1G，且G1G(即V1V或E1E)，則稱G1是G的真子掙圖，記為G1G；定義若V1＝V，E1E，則稱G1是G的生成蘆子圖；定義若V2V，V2Φ，以V2為結盒點集熊，以慨兩個吉端點那均在V2中的蓄邊的全體為邊襪集的G的子夠圖稱蘿為V2導出饅的子綱圖，簡液稱G的導暗出子弓圖。四、得子圖15離散扔數(shù)學例：例：在下純圖中腸，給榆出了萬圖G以及房誠它的鹿真子瘦圖G’和生楊成子寶圖G’椒’。G’是結剖點集{v1，v2，v4，v5，v6}的導艙出子溝圖。16離散津數(shù)學定義設G＝<V，E>為具匯有n個結沸點的顧簡單銹圖,從完宮全圖Kn中刪幅去G中的渡所有籌的邊罵而得扔到的政圖稱拳為G的補圖(或G的補)，記為握。定義Ｇ＝<Ｖ，壟Ｅ>是圖神，Ｇ友’＝<Ｖ’岡，Ε’肅>是Ｇ膠的子河圖，雷Ｅ”羞＝Ｅ斬－Ｅ逼’，丑Ｖ”選是因Ｅ”南中邊叔所關潤聯(lián)的桐所有磨頂點探集合餅，則由Ｇ”姜＝<Ｖ”吵，Ｅ領”>稱為蜻Ｇ’饅關于舌Ｇ的相對詞補圖。關于到完全漿圖的棉子圖化的補光圖稱萌為此虧子圖班的絕對漲補圖。五、譜補圖17離散與數(shù)學例：例：在下升圖(a昆)、(b禾)、(c煩)、(d析)中，(a停)與(b啞)是互糞為補腐圖；(c霉)和(d愛)是互有為補任圖。18離散蛾數(shù)學六、雀圖的癥同構例:如下辛圖所鴉示，圖(a鑄)、圖(b樂)、圖(c旬)和圖(d恐)所表兇示的號圖形棚實際歲上都周是一啦樣的躬。19離散匠數(shù)學定義定義設有溉圖G＝<V左,E哄>和圖G1＝<V1,E1>,如果箏存在善雙射懂函數(shù)g:夕V→布V1,使得攀對于云任意綿的邊e＝(vi,vj)E(或<vi,vj>E)當且癥僅當e1＝(g沉(vi),認g(思vj))E1(或<g(筑vi),延g(道vj)>E1)則稱G和G1同構，記為G≌廁G1。同構鳥的充臂要條情件：兩個踢圖的忽結點夫和邊災分別怎存在咳一一同對應膝，且茄保持棍關聯(lián)波關系塊。20離散樣數(shù)學例：例：如圖(a裁)、(b洽)所示山的兩紫個圖G＝<V愉,E晚>和G1＝<V1,E1>，證明G≌室G1。解：定船義函辣數(shù)g:朵V→撲V1，滿足g(礎vi)＝vi’(i＝1，2，3，4，5)，可以負驗證g是一筍個滿賓足定酸義