(新高考)高考數(shù)學一輪復習過關(guān)練考點04 指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)（含解析）

考點04指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)考綱要求考綱要求了解冪函數(shù)的概念，掌握常見的冪函數(shù)的圖像；理解指數(shù)函數(shù)的概念，以及指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。會用指數(shù)函數(shù)模型解決簡單的實際問題；理解對數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，了解對數(shù)函數(shù)的換底公式，理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會畫對數(shù)函數(shù)的圖像；近三年高考情況分析近三年高考情況分析指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，在江蘇高考中往往作為一種載體與其他函數(shù)結(jié)合考查，重點考查與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及與不等式等知識點的綜合，難度往往較大。冪函數(shù)在江蘇高考中的要求較低，近幾年江蘇高考中還沒有涉及，在平時的復習中可以適當?shù)年P(guān)注考點總結(jié)考點總結(jié)在高考復習中要注意以下幾點：①要善于用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，研究指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于這類問題考查的熱點是對含參的討論。在有關(guān)根式的變形或者求值的過程中，要善于用轉(zhuǎn)化的思想和方程觀點處理問題；②研究對數(shù)問題盡量華為同底，另外對數(shù)問題中要注意定義域的限制，充分對對數(shù)函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)討論一些與之有關(guān)的復合函數(shù)的限制；③對于與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合體現(xiàn)要善于運用數(shù)形結(jié)合的思想以及等價轉(zhuǎn)化的思想，注意與其他知識點的結(jié)合。三年高考真題三年高考真題1、（2020年北京卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（）．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，在同一直角坐標系中作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集為：SKIPIF1<0.故選：D.2、（2020年全國1卷）若SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為增函數(shù)，因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以C、D錯誤.故選：B.3、（2020年全國2卷）9.設函數(shù)SKIPIF1<0，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，關(guān)于坐標原點對稱，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，排除B；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.4、（2020年全國2卷）若SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A正確，B錯誤；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.5、（2020年全國3卷）4.Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K為最大確診病例數(shù)．當I(SKIPIF1<0)=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則SKIPIF1<0約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.6、（2020年全國3卷）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】由題意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用作商法以及基本不等式可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小關(guān)系，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，綜合可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0.故選：A.7、（2020年天津卷）.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.8、（2020年山東卷）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：SKIPIF1<0描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為SKIPIF1<0天，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0天.故選：B.9、（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0．故選B．【名師點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，考查了數(shù)學運算的素養(yǎng)．采取中間量法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?0、（2019年高考天津理數(shù)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選A.11、（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0．故選B．【名師點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，考查了數(shù)學運算的素養(yǎng)．采取中間量法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?2、（2019年高考天津理數(shù)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選A.13、（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0．故選B．14、（2019年高考天津理數(shù)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選A.15、（2020年江蘇卷）7.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，SKIPIF1<0，則f(-8)的值是____.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0二年模擬試題二年模擬試題題型一、指對數(shù)比較大小例1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題,因為SKIPIF1<0單調(diào)遞減,則SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0單調(diào)遞減,則SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0單調(diào)遞增,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故選：A2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系：SKIPIF1<0．故選：B.3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）三個數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小順序是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選A.4、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）若SKIPIF1<0,則()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<05、（2019年北京高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，據(jù)此可得：SKIPIF1<0.本題選擇D選項.6、（2020屆河北省衡水中學高三年級上學期五調(diào)）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時，是增函數(shù).因為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，所以有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時，是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0，故本題選D.7、（2020屆河北省衡水中學高三年級小二調(diào)）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即.SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.故選：B.方法總結(jié)：本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)遞增；當SKIPIF1<0時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)遞增；當SKIPIF1<0時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.題型二：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運用例1、（2020屆河北省衡水中學高三上學期七調(diào)）設SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意SKIPIF1<0.故選：A.2、（2020屆浙江省之江教育評價聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函數(shù)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.3、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則SKIPIF1<0的解析式最有可能是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】選項B、D的函數(shù)定義域為SKIPIF1<0，和圖象不匹配，錯誤；選項C函數(shù)SKIPIF1<0為減函數(shù)，和圖象不匹配，錯誤；選項A函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，且為增函數(shù)，正確.故選：A4、（北京海淀區(qū)一零一中學2019-2020學年度上學期高三開學考）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則直線y=x+1與曲線SKIPIF1<0的交點個數(shù)為_____；若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有三個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是_____.【答案】一個SKIPIF1<0【解析】（1）函數(shù)圖象如圖所示：（注意：x=0取不到）又因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，所以交點個數(shù)為SKIPIF1<0個；（2）關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有三個不等實根?SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象有三個交點.如圖所示：當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，設切點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時共兩個交點，將SKIPIF1<0圖象下移時只有有一個交點；將SKIPIF1<0圖象上移時，有三個交點；直到當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象剛好兩個交點，當SKIPIF1<0圖象上移時只有2個交點，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象有三個交點.故答案為：一個；SKIPIF