正多邊形和圓的關系

關于正多邊形和圓的關系第1頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三正多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

AB=BC=CD=DE=EA∠A=∠B=∠C=∠D=∠E如正五邊形滿足的條件是第2頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三正n邊形：

如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形。第3頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三想一想：菱形是正多邊形嗎？矩形和正方形呢?為什么？第4頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三3.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n

條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的中心。幾種常見正多邊形的性質及對稱性4.它們是中心對稱圖形嗎？

1、正多邊形的各邊相等2、正多邊形的各角相等3、它們有幾條對稱軸？第5頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三你知道正多邊形和圓有什么關系嗎？正多邊形和圓第6頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三··第7頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三·正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心到正多邊形的距離叫做正多邊形的邊心距.定義OABDEFG說出圖中正多邊形的中心，半徑，中心角，邊心距，COG正多邊形的邊心距就是內切圓半徑。中心０既是外接圓的圓心也是內切圓的圓心。思考：正多邊形的半徑是外接圓半徑。那么，正多邊形的內切圓半徑是（用圖中線段表示）第8頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三給你一個圓，怎樣就能作出一個正多邊形？圓中依次出現幾段相等的弧正多邊形和圓的關系非常密切,只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓.第9頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三如圖,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次連接各分點得到正五邊形ABCDE.∴∠A=∠B.

·ABCDEO同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五邊形ABCDE的頂點都在⊙O上,∴五邊形ABCD是⊙O的內接正五邊形,⊙O是五邊形ABCD的外接圓.1：我們以圓內接正五邊形為例證明.第10頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三⌒⌒⌒123ABCDE4⌒⌒5如果將圓n等分，依次連接各分點得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形

弦相等（多邊形的邊相等）弧相等—

圓周角相等（多邊形的角相等）多邊形是正多邊形第11頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三2.各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形?各角都相等的圓內接多邊形呢?如果是,說明為什么;如果不是,舉出反例.解答：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.·A1A２A３A４A５A６A７AnO先說A1第12頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三我們在以前學過了那些正多邊形？請同學們找出它們的中心，畫出它們的半徑，邊心距和中心角！（等邊三角形，正方形等）第13頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三EFCD..O中心角ABG邊心距把△AOB分成2個全等的直角三角形設正多邊形的邊長為a,半徑為R,它的周長為L=na.Ra第14頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例有一個亭子,它的地基半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1m2).解:如圖由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.因此,亭子地基的周長l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積OABCDEFRPr第15頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三請同學們完成下表中有關正多邊形的計算正多邊形邊數內角中心角半徑邊長邊心距周長面積

3

4

6160°90°120°120°90°60°242212821第16頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三搶答題：1、O是正圓與

圓的圓心?！鰽BC的中心，它是△ABC的2、OB叫正△ABC的

，它是正△ABC的

圓的半徑。

3、OD叫作正△ABC的，它是正△ABC的圓的半徑。ABC

.OD外接內切半徑外接邊心距內切第17頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三4、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的

;5、正方形ABCD的內切圓的半徑OE叫做正方形ABCD的

.ABCD.OE中心邊心距第18頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三6、⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，弦AB的弦心距OF叫正五邊形ABCDE的，它是正五邊形ABCDE的圓的半徑。7、∠AOB叫做正五邊形ABCDE的角，它的度數是DEABC.OF邊心距內切中心72°第19頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三8、圖中正六邊形ABCDEF的中心角是它的度數是9、你發(fā)現正六邊形ABCDEF的半徑與邊長具有什么數量關系？為什么？

BAEFCD.O∠AOB60°第20頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三3.分別求出半徑為R的圓內接正三角形，正方形的邊長，邊心距和面積.解：作等邊△ABC的BC邊上的高AD,垂足為D連接OB，則OB=R在Rt△OBD中∠OBD=30°,邊心距＝OD=·ABCDO\BC=2

BD=3R在Rt△OBD中由勾股定理得：BD=OB2-BD2=R2-

()2=32RS△ABC

=－BC×AD=

－

×3R×－

R=R23.34322121第21頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三解：連接OB，OC

作OE⊥BC垂足為E，∠OEB=90°∠OBE=∠BOE=45°在Rt△OBE中為等腰直角三角形·ABCDOE第22頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三

由于正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的應用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一。

120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB活動1怎樣畫一個正多邊形呢？問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.第23頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三活動2你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°第24頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三活動3你能尺規(guī)作出正四邊形、正八邊形嗎？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……第25頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三FADE.︶︶︶︶︶︶60o將圓六等分，即作一60度的圓心角，連接等分點得一正六邊形。怎樣將圓六等分？想一想：怎樣畫一正六邊形？活動4第26頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三活動5你能尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？OABCEF·D

以半徑長在圓周上截取六段相等的弧，依次連結各等分點，則作出正六邊形.

先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………第27頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三活動6

說說作正多邊形的方法有哪些?歸納（1）用量角器等分圓周作正n邊形；（2）用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形,用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形．第28頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三達標檢測：1、判斷題。①各邊都相等的多邊形是正多邊形。（）②一個圓有且只有一個內接正多邊形。（）2、證明題。求證：順次連結正六邊形各邊中點所得的多邊形是正六邊形。ABCDEF××第29頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的中心。第30頁，講稿共3