第一章圖論的基本概念

1.圖論問題的起源

18世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡被普列戈?duì)柡臃譃樗膲K,它們通過七座橋相互連接,如下圖.當(dāng)時(shí)該城的市民熱衷于這樣一個(gè)游戲:“一個(gè)散步者怎樣才能從某塊陸地出發(fā)，經(jīng)每座橋一次且僅一次回到出發(fā)點(diǎn)？”SNAB七橋問題的分析

七橋問題看起來不難，很多人都想試一試，但沒有人找到答案.后來有人寫信告訴了當(dāng)時(shí)的著名數(shù)學(xué)家歐拉.千百人的失敗使歐拉猜想,也許那樣的走法根本不可能.1876年,他證明了自己的猜想.Euler把南北兩岸和四個(gè)島抽象成四個(gè)點(diǎn),將連接這些陸地的橋用連接相應(yīng)兩點(diǎn)的一條線來表示,就得到如下一個(gè)簡圖:SNAB歐拉的結(jié)論歐拉指出:一個(gè)線圖中存在通過每邊一次僅一次回到出發(fā)點(diǎn)的路線的充要條件是:1)圖是連通的,即任意兩點(diǎn)可由圖中的一些邊連接起來;2)與圖中每一頂點(diǎn)相連的邊必須是偶數(shù).由此得出結(jié)論:七橋問題無解.歐拉由七橋問題所引發(fā)的研究論文是圖論的開篇之作,因此稱歐拉為圖論之父.4.圖的作用

圖是一種表示工具.改變問題的描述方式,往往是創(chuàng)造性的啟發(fā)式解決問題的手段.一種描述方式就好比我們站在一個(gè)位置和角度觀察目標(biāo),有的東西被遮擋住了,但如果換一個(gè)位置和角度,原來隱藏著的東西就可能被發(fā)現(xiàn).采用一種新的描述方式,可能會產(chǎn)生新思想.圖論中的圖提供了一種直觀,清晰表達(dá)已知信息的方式.它有時(shí)就像小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的線段圖一樣,能使我們用語言描述時(shí)未顯示的或不易觀察到的特征、關(guān)系,直觀地呈現(xiàn)在我們面前,幫助我們分析和思考問題,激發(fā)我們的靈感.5.圖的廣泛應(yīng)用圖的應(yīng)用是非常廣泛的,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、通訊和電力領(lǐng)域經(jīng)常都能看到許多網(wǎng)絡(luò),如河道網(wǎng)、灌溉網(wǎng)、管道網(wǎng)、公路網(wǎng)、鐵路網(wǎng)、電話線網(wǎng)、計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)、輸電線網(wǎng)等等.還有許多看不見的網(wǎng)絡(luò),如各種關(guān)系網(wǎng),像狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系、事物的相互沖突關(guān)系、工序的時(shí)間先后次序關(guān)系等等,這些網(wǎng)絡(luò)都可以歸結(jié)為圖論的研究對象----圖.其中存在大量的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題需要我們解決.還有象生產(chǎn)計(jì)劃、投資計(jì)劃、設(shè)備更新等問題也可以轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的問題.6.基本的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題基本的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題有:最短路徑問題、最小生成樹問題、最大流問題和最小費(fèi)用問題.圖論作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,已經(jīng)有有效的算法來解決這些問題.當(dāng)然這當(dāng)中的有些問題也可以建立線性規(guī)劃的模型,但有時(shí)若變量特別多,約束也特別多,用線性規(guī)劃的方法求解效率不高甚至不能在可忍受的時(shí)間內(nèi)解決.而根據(jù)這些問題的特點(diǎn),采用網(wǎng)絡(luò)分析的方法去求解可能會非常有效.例如,在1978年,美國財(cái)政部的稅務(wù)分析部門在對卡特爾稅制改革做評估的過程中,就有一個(gè)100,000個(gè)約束以上,25,000,000個(gè)變量的問題,若用普通的線性規(guī)劃求解,預(yù)計(jì)要花7個(gè)月的時(shí)間.他們利用網(wǎng)絡(luò)分析的方法,將其分解成6個(gè)子問題,利用特殊的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)程序,花了大約7個(gè)小時(shí)問題就得到了解決.由于后續(xù)學(xué)習(xí)的需要,我們補(bǔ)充離散數(shù)學(xué)中的一些基本內(nèi)容:關(guān)系與函數(shù).第一章圖的基本概念(1)定義1圖圖G是一個(gè)三元組,記作其中(1)V(G)={v1,v2,…,vn},稱為圖G的結(jié)點(diǎn)集.(2)E(G)={e1,e2,…,em}是G的邊集合,其中ei為{vj,vt}或<vj,vt>.若ei為{vj,vt},稱ei為vj和vt為端點(diǎn)的無向邊;若ei為<vj,vt>,稱ei為vj為起點(diǎn),vt為終點(diǎn)的有向邊;(3)稱為關(guān)聯(lián)函數(shù).第一章圖的基本概念(2)定義2.鄰接結(jié)點(diǎn):關(guān)聯(lián)于同一條邊的兩個(gè)結(jié)點(diǎn).孤立結(jié)點(diǎn):不與任何結(jié)點(diǎn)相連接的結(jié)點(diǎn).鄰接邊:關(guān)聯(lián)于同一頂點(diǎn)的兩條邊.環(huán):兩端點(diǎn)相同的邊稱為環(huán)或自回路.平行邊:兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間方向相同的若干條邊稱為平行邊或重邊對稱邊:兩端點(diǎn)相同但方向相反的兩條有向邊.第一莊章撕圖的怖基本漂概念(3附)定義3無向奇圖:每條之邊都養(yǎng)是無杠向邊囑的圖.有向稻圖:每條診邊都補(bǔ)是有喘向邊柿的圖.混合耕圖:圖中慶不全蓄是有偏向邊,也不火全是汁無向呢邊的贊圖.平凡驢圖:只有幅一個(gè)號孤立餡結(jié)點(diǎn)雨的圖.定義4.多重亡圖:含有背平行橡邊的還圖.簡單鄉(xiāng)豐圖:無環(huán)配且無眠平行充邊的太圖.完全旨圖:任何墨不同蘿結(jié)點(diǎn)灘之間板都有耍邊相很連的提簡單欣無向事圖.第一置章肥圖的洪基本涼概念(4泛)說明:(支1)在簡橫單圖揪中,以x為起珠點(diǎn)y為終上點(diǎn)的色邊至?xí)缍嘤邪狄粭l,因此,圖中歐的邊戚可直沈接用痛頂點(diǎn)瓶對表唇示,而關(guān)驕聯(lián)函逝數(shù)挽就敬可以晶直接裂表示辟在其減邊集菌中,故可萍簡記宿為G=賴<V敞(G藍(lán)),衡E(棚G)紙>.(2壺)對無錯(cuò)向圖G,將G中的閘每條妙邊用監(jiān)兩條富與e有相縣同端遼點(diǎn)對屬稱邊e和e’來代板替后悼得到矩一個(gè)跨有向擱圖D,這樣貓得到椒的有猾向圖D稱為G的對號稱有宰向圖.由此遮可見,無向壯圖可痛視為壇特殊熟的有阻向圖.(3幼)n個(gè)結(jié)遺點(diǎn)的玩完全扮圖記勵(lì)為Kn,完全繪圖Kn有效條邊.完全映圖的繪對稱揪有向畢圖稱肆為完探全有佩向圖,記作.(4鉆)圖G的頂挽點(diǎn)個(gè)醉數(shù)還嗓稱為攪圖G的階.(5乎)對于流有向做圖D,去掉瓜邊上肯的方揭向得致到的蛇無向右圖G稱為D的基邁礎(chǔ)圖.反之,任一到個(gè)無頃向圖G,將G的邊插指定每一個(gè)琴方向鉆得到途一個(gè)浩有向內(nèi)圖D,稱D為G的一綱個(gè)定橡向圖.例博證明:在任弓意六腐個(gè)人未的聚收會上,要么部三個(gè)挑曾相勁識,要么寒三個(gè)灰不曾仿相識.證明:用A,堂B,胡C,邪D,特E,典F代表尊這六灶個(gè)人,若兩田人曾阻相識,則在份代表訂該兩腔人的賞頂點(diǎn)鑼間連兆一條撈紅邊;否則廈連一渣條藍(lán)翼邊.于是,原問慰題等翠價(jià)于陵證明輕所得么圖中疑必含合有同親色三小角形.考察仔某一鴿頂點(diǎn),設(shè)為F.與F關(guān)聯(lián)線的邊辛中必餐有三枝條同碧色,不妨改設(shè)它襪們是示三條減紅邊FA慘,F冶B,王FC厲.再看怠三角初形AB綢C.若它擇有一恰條紅灶邊,設(shè)為AB鋪,則FA拾B是紅躺邊三廊角形;若三蹄角形AB筑C沒有喘紅邊,則其稿本身咱就是私藍(lán)邊銅三角勾形.第二犧節(jié)勾圖色的頂萍點(diǎn)度淚和圖列的同側(cè)構(gòu)(1望)定義1設(shè)G是任糧意圖,x為G的任皇意結(jié)核點(diǎn),與結(jié)輛點(diǎn)x關(guān)聯(lián)配的邊數(shù)(一條涌環(huán)計(jì)惡算兩血次)稱為x的度亡數(shù).記作de胳g(篩x)或d(軋x)魚.定義2設(shè)G為無餅向圖,對于G的每踐個(gè)結(jié)陡點(diǎn)x,若d(朝x)族=K散,則稱G為K正則山的無阿向圖.設(shè)G為有極向圖,對于G的每協(xié)個(gè)結(jié)寫點(diǎn)x,若d+(x兔)=棉d-(x替),則稱G為平衡服有向些圖.在有加向圖G中,若伍則侄稱G為K正則董有向牢圖.定理1(握手則定理往，圖韻論基即本定圈理)每個(gè)畫圖中,結(jié)點(diǎn)疑度數(shù)者的總酒和等士于邊隊(duì)數(shù)的闊二倍,即定理2每個(gè)零圖中,度數(shù)眾為奇屈數(shù)的畢結(jié)點(diǎn)版必定縫是偶鏡數(shù)個(gè).第二論節(jié)賀圖誓的頂遮點(diǎn)度薪和圖沃的同母構(gòu)(2徐)定理3在任襲何有暑向圖頓中,所有滑結(jié)點(diǎn)辯入度胞之和競等于重所有聞結(jié)點(diǎn)鑰出度停之和.證明酸因燃為每駕條有題向邊只必對壤應(yīng)一疏個(gè)入肢度和額出度,若一夜個(gè)結(jié)與點(diǎn)具膀有一趕個(gè)入吵度或訴出度,則必鍛關(guān)聯(lián)手一條裂有向超邊,因此,有向親圖中雜各結(jié)金點(diǎn)的朋入度輕之和墻等于目邊數(shù),各結(jié)殺點(diǎn)出嗎度之賄和也吸等于嫂邊數(shù).定義簡度瓦序列,若V(墊G)錫={雜v1,v2,…蝴,vp},稱非荒負(fù)整懇數(shù)序勞列(d渡(v1),累d(閥v2),趙…,d(謠vp))為圖G的度難序列.第二稿節(jié)遣圖奸的頂跪點(diǎn)度富和圖租的同猾構(gòu)(3恩)推論1非負(fù)片整數(shù)歲序列遇是某默個(gè)圖拳的度色序列棒當(dāng)且鵝僅當(dāng)旬是涂偶數(shù).證明:由定暗理1知必漏要性絞成立.對于草充分處性取p各相棄異頂預(yù)點(diǎn)v1,v2,…潤,vp,若di是偶津數(shù),就在vi處作di/2個(gè)環(huán);若di是奇季數(shù),在vi處作(di-1虎)/昌2個(gè)環(huán),由于薯是偶換數(shù),故挽中由掛偶數(shù)歌個(gè)奇丈數(shù)頂紛點(diǎn),從而邁將所滾有與唇奇數(shù)di相對應(yīng)丘的頂沫點(diǎn)vi兩兩惰配對濾并連靠上一息條邊.最后師所得移的序議列就修是.第二禿節(jié)疑圖放的頂艇點(diǎn)度籮和圖果的同洽構(gòu)(4仙)圖序殊列:簡單尼圖的激度序備列.定理4非負(fù)棍整數(shù)下序列攜是圖羅序列暮當(dāng)且跳僅當(dāng)貌是尺偶數(shù),并且掌對一蕉切整毀數(shù)k,有定義3設(shè)G1=<匠V1,E1>和G2=<坑V2,E2>是簡旺單圖,若存白在一以個(gè)從V1到V2的雙井射函鹿數(shù)f,且f具有升這樣沫的性論質(zhì),對V1中的黃所有x和y,招x和y在G1中相鄰,當(dāng)且盡僅當(dāng)f(嘗x)和f(饒y)在G2中相鄰,就說G1和G2是同構(gòu)敘的,記作G1∽G2.例1畫出悅所有析不同萍構(gòu)的茶具有5個(gè)結(jié)留點(diǎn),3條邊恐的簡攀單無仿向圖.例2是否龍可以個(gè)畫一仆個(gè)簡吃單無浪向圖,使各分點(diǎn)度頃數(shù)與言下列也的序廟列一海致:(爛1)洞2,肆2,涉2,遍2,蛋2,逮2宮(2損)2鴿,2務(wù),3后,4余,5軌,6乳(勇3)頌1,咐2彩,3毫,4藝,4惕,5第三候節(jié)顛圖葬的運(yùn)剃算(一）定義1設(shè)拖與永是或任何說兩個(gè)核圖.若且械是繼在些上的耐限制,則稱是G的子蘇圖,記作稱G為G1的母喂圖.若丑且,則稱紛是G的生回成子摩圖或眼支撐助子圖.設(shè),以V1為頂點(diǎn),以兩深端點(diǎn)拍均在V1中的鐘全體保邊為邊境集的G的子圖,稱為V1的導(dǎo)出啄子圖,記作G[商V1].設(shè),以E1為邊集,以E1中的轎邊關(guān)果聯(lián)的溝全部慮頂點(diǎn)集的G的子圖,稱為E1的導(dǎo)出濕子圖,記作G[蒙E1].特別,若,則以G-承V1表示智從G中刪拐去V1內(nèi)的笑所有壇點(diǎn)以駱及與杰這些姜頂點(diǎn)種關(guān)聯(lián)含的邊戒所得矮到的爆子圖,若V1={準(zhǔn)v}脂,常把G-舅{(lán)v駕}簡記幅為G-納v,桃,類似懂地,設(shè),G淺-E1表示蓋在G中刪眠去E1中所止有邊照所得宜的子厲圖,同樣G-隨{e防}簡記午為G-緞e.第三禿節(jié)談圖毛的運(yùn)柄算(二）定義2設(shè)G＝<V，E>是n階無形向簡恩單圖,以V為頂械點(diǎn)集,以所港有能旬使G成為完全詢圖Kn的添乖加邊津組成吵的集躁合為芹邊集芹的圖,稱為G相對董于完全殼圖Kn補(bǔ)圖,簡稱G的補(bǔ)皆圖,記作.定義3設(shè)G1和G2都是銳圖G的子耐圖.G1和G2的并:僅由G1和G2中所有夏邊組最成的黃圖.G1和G2的交:僅由G1和G2的公溪共邊栗組成提的圖.G1和G2的差G1-G2:僅由G1中去掉G2中的忠邊組簡成的乞圖.G1和G2的環(huán)和:在G1和G2的并省中去掉G1和G2的交般所寸得到衡的圖.定義4.自補(bǔ)暴圖:若簡取單圖G同構(gòu)進(jìn)于G的補(bǔ)爆圖,則稱G為自倘補(bǔ)圖.(1霸)證明:自補(bǔ)各圖的稿階數(shù)掏為n=嗎4k或n=燙4k淺+1僵,k為某自個(gè)自病然數(shù).(自己鮮查閱)(2及)找出淋所有4階和5階的辛自補(bǔ)要圖.例.在一俱次舞泄會上,A安,B兩國六留學(xué)拼生各n人,A國每電個(gè)學(xué)瘡生都忍與B國一喪些學(xué)族生(不是極所有)跳過寶舞.B國每控個(gè)學(xué)捕生至裁少與A國一煙個(gè)學(xué)蠢生跳綁過舞.證明:一定跳可以榜找到A國兩是個(gè)學(xué)爹生a1憂,a評2及B國兩純個(gè)學(xué)繡生b1滴,b浩2,使得a1和b1久,a聰2和b2跳過自舞,而a2和b1炭,a薪1和b2沒有皂跳過莊舞.(自己轎思考)圖的運(yùn)算(三)定義別四:設(shè)G1和G2是任兩個(gè)銷無向怨圖,蒼G1和G2的笛范卡兒晨積為友圖,其中G滿足:銀V(戒G)倦=V洞(G1)滿V(駕G2);光G中的湯兩頂膨點(diǎn)<a兔,b宏>和<c鑰,d授>是鄰覺接的洋當(dāng)且鏟僅當(dāng)a=鋸c且{b,設(shè)d}塑E逆(G2)或者b=霉d且{a糧,c薯}師E園(G1).說明:(炊1)通過瓶圖的抗笛卡陣兒積費(fèi)運(yùn)算,可歸絕納地?cái)⒍x接一個(gè)傍重要摔的圖漏類--棵-n立方撿體Qn(n1獻(xiàn)):當(dāng)n=圍1,決Qn=K2;當(dāng)n>惡1,共Qn=Qn-扭1K2.(2恒)n立方觀體Qn也可翅以看址作是蚊用頂罰點(diǎn)表坦示2n個(gè)長斧度為n的位枝串圖.兩個(gè)堵頂點(diǎn)別相鄰,當(dāng)且警僅當(dāng)捏它們堆所表問示的舉位串川恰恰籃差一稻位.第四趟節(jié)昏路俱與連獻(xiàn)通圖(一)定義1設(shè)u和v是任承意圖G的頂蓄點(diǎn),圖G的一筆條u-捧v是有不限的漲頂點(diǎn)呀和邊騙交替燭序列u0e1u1e2…un-蓄1enun(u前=輛u0,v看=un),其中電與邊ei(1i國吼n)相鄰存的兩唯頂點(diǎn)ui-兇1和ui正好惱是ei的兩防個(gè)端童點(diǎn).數(shù)n(鏈中者出現(xiàn)據(jù)的邊幣數(shù))稱為幸鏈的迷長度.u波(u0)和v(敬un)稱為肉鏈的密端點(diǎn),其余駕的頂想點(diǎn)稱害為鏈滿的內(nèi)爪部點(diǎn).一條u-霧v鏈,當(dāng)uv時(shí),稱它開為開傻的,否則毅稱為舅閉的.邊互失不相標(biāo)同的樂鏈稱暖為跡,內(nèi)部啦點(diǎn)互籌不相裂同的械鏈稱拐為路.注釋1.(1味)在一購條鏈忽中,頂點(diǎn)續(xù)和邊爹可以哨重復(fù).(2愚)若G是簡熔單圖,G中的親鏈u0e1u1e2…un-脊1enun還可冠用結(jié)頭點(diǎn)序枕列u0u1…un-傻1un表示.(3冰)不含奴邊的挑鏈(即長潑度為0)稱為蹦平凡扔鏈.(4望)設(shè)W是有晨向圖D中u-濫v鏈(跡,路),指定W的方命向從u到v.若W中所譯有邊瓶的方緞向與灰此方傷向一漆致,則稱W為D中從u到V的有察向鏈(跡,路).第四緞節(jié)仔路狂與連疤通圖(二)定義2.兩端夾點(diǎn)相褲同的械跡(即閉批集)稱為躬回.兩端紅點(diǎn)相她同的餅路(即閉廁路)稱為即圈或甩回路.長度另為K,奇數(shù),偶數(shù)挪的回(圈)分別裙稱為K,奇,偶回(圈).有向莊閉跡(閉路)稱為蛾有向眉回(有向漠圈).定理1.若簡意單圖G中每砌個(gè)頂督點(diǎn)的蜓度數(shù)檔至少助是k(醉k2疫),則G中必蹄含有銷一個(gè)箏長度扎至少減是k+氣1的圈.證明:在G的所些有路床中,取一漂條長剪度最素長的浩路p,記P=懂v0v1…vt-臉1vt.則v0的所糞有鄰葡接點(diǎn)萍全在p中,由于d(典v0)墊k謝界2,所以v0至少皂有k個(gè)鄰燒接點(diǎn),設(shè)所降有鄰葬接點(diǎn)譜為vi1,vi2,…來,vis,1欄i1i2…掏暴ist純,其中s=退d(非v0)尾k錯(cuò)月2,則C=餐v0v1v2…visv0就是G的一它個(gè)長裳為is+1的圈,顯然is+1煙發(fā)k情+1轟.第四秧節(jié)佛路竊與連令通圖(三)定理2.設(shè)簡致單圖G中每塵個(gè)頂宇點(diǎn)的沖度數(shù)聞至少果是3,則G中含煤有偶眾圈.證明:在G的所工有路猜中,取一膜條長自度最顛長的室路p,記P=曾v0v1…vt-材1vt.則v0的所阻有鄰榴接點(diǎn)絞全在p中,設(shè)v0的所聽有鄰旅接點(diǎn)籍為vi1,vi2,…鄰,vis,1稼i1i2…肥震ist辰,其中s=密d(糖v0)染3對,在G中取筐三個(gè)仗圈c1=v0v1…vi2v0曉,c2=v0v1…visv0,c3=v0vi2vi2普+1…visv0,它們丟的長陵度分探別為i2+1苗,is+1和is-i2+2漸.這三盛個(gè)數(shù)幅中至但少有殊一個(gè)販?zhǔn)桥加脭?shù).即c1,秀c2,微c3中至少鑄有一勤個(gè)是縫偶圈.定義3.給定區(qū)無向篇圖G=任<V氧(G緊),憑E(款G)裝,客(G略)>壁,x,詞yV(封G)椅,若圖翠中存蹲在連靠接x和y的路,稱節(jié)上點(diǎn)x和y是連言通的.規(guī)定x到自賴身總神是連凈通的.第四抹節(jié)王路傻與連伶通圖(四)1.說明:容易灣驗(yàn)證,結(jié)點(diǎn)茂集V(掀G)上的犯頂點(diǎn)央間的吃連通挨關(guān)系是V(典G)上的扛一個(gè)等價(jià)斬關(guān)系,該等夢價(jià)關(guān)表系確付定V(達(dá)G)的一困個(gè)劃分{V1,V2,…竭,Vm},使得當(dāng)且賀僅當(dāng)兩個(gè)頂頂點(diǎn)x和y屬于蒙同一子頃集Vi時(shí),熄x和y才是答連通壘的.繡Vi在G中的狀導(dǎo)出脊子圖G[姥V1],喇G[思V2],苗…,G[善Vm]稱為G的連通循分支避或分顏支,m稱為G的連鑰通分戚支數(shù),記作W(松G)社=m當(dāng).如下蔥圖有4個(gè)連僚通分唯支.定義4.如果探無向去圖G中每化一對桌不同勻的頂診點(diǎn)x和y都有一條路,即W(沙G)根=1訓(xùn),則稱G是連揚(yáng)通圖,反之露稱為猴非連年通圖.第四索節(jié)聚路仰與連林通圖(五)引理1非平甚凡圖G是連通信圖當(dāng)且去僅當(dāng)對V(互G)的每畜一個(gè)抗非空櫻真子勝集S,定理3設(shè)G是P階連奮通圖,則證明:只需甘證明躺連通源的簡槍單圖風(fēng)成立苦即可.設(shè)懸掛雀點(diǎn):度數(shù)堂為1頂點(diǎn).第四薄節(jié)勻路鋪與連愧通圖(六)定理4設(shè)連途通圖G至少噴有兩杜個(gè)頂滲點(diǎn),其邊悼數(shù)小車于頂哲點(diǎn)數(shù),則此寨圖至衡少有并一個(gè)惡懸掛冊點(diǎn).證明:設(shè)圖G是滿廚足條指件的P階圖.反設(shè)輛圖G沒有慘懸掛誕點(diǎn),由于G是連產(chǎn)通圖,故每吼個(gè)頂厚點(diǎn)的黑度數(shù)技至少也為2,即對跨每個(gè)擔(dān)頂點(diǎn)v,宅d(轎v)2妹,故,與厘矛盾.定理5設(shè)簡汗單圖G的結(jié)能點(diǎn)序過列為.度數(shù)神依次撇是d(挽v1)≤d(晴v2)≤…≤d(葬vp)胡,如果組對任柄意的文則G是連青通圖.證明:反設(shè)G不連菜通,令G1是G中不亂含vp的一現(xiàn)個(gè)連姻通分類支,惰,而G2是G中含vp的一提個(gè)連鴿通分及支,則G2至少炮有銳個(gè)秀頂點(diǎn),且第四望節(jié)僻路材與連緊通圖(七)則由已知,搖.若記則,則與伸矛感盾.推論1設(shè)G是P階簡鍵單圖,每個(gè)支頂點(diǎn)腐的度最至少丑是[P蠟/2餓],則G是連消通圖.定義5設(shè)縮慧是氣有向影圖,斯,若圖D中存辟在x到y(tǒng)的有丙向路,稱結(jié)般點(diǎn)x可達(dá)黑結(jié)點(diǎn)y.規(guī)定x到自柏身總斤是可懼達(dá)的.定義6設(shè)G是有劍向圖,任何籌結(jié)點(diǎn)芒間,至少矛有一蛋個(gè)結(jié)吹點(diǎn)可貫達(dá)另協(xié)一個(gè)爐結(jié)點(diǎn),則稱忘該有備向圖終是單柏側(cè)連倚通的.如果偶有向智圖D的任虹何一攤對結(jié)才點(diǎn)間屑是相棕互可貍達(dá)的,則稱棉該有屢向圖覆是強(qiáng)侵連通化的.若有腥向圖G的基究礎(chǔ)圖小是連布通的,則稱悟該有舌向圖D是弱盞連通睬的.定義7設(shè)G是有研向圖,光,叛G中所清有從x到y(tǒng)的有卻向路氣的最叢小長穗度稱濕為從x到y(tǒng)的距瓦離.稱為走圖G的直增徑.第五作節(jié)哨連翅通圖掃和二駛分圖(1良)定義1如果范在圖G中刪盛去一陵個(gè)結(jié)版點(diǎn)x后,圖G連通工分支稀數(shù)增釋加,即W(抽G-忠x)亂>W墨(G暴),則稱這結(jié)點(diǎn)x為G的割柜點(diǎn).如果松在圖G中刪立去一產(chǎn)條邊e后,圖G的連框通分第支數(shù)會增加,即W(池G-尤e)患>W察(G志),則稱閘邊e為G的割殖邊.定義2沒有斜割點(diǎn)生的非峽平凡劫連通缸圖稱份為塊.G中不稀含割陷點(diǎn)的天極大寄連通鼓子圖興稱為生圖G的塊.定義3如果G的頂?shù)c(diǎn)集芝的一故個(gè)真羽子集T滿足G-病T不連乏通或描是平蓮凡圖,則稱T為G的一壁個(gè)點(diǎn)民割.如果唐圖G的邊蘆集的咳一個(gè)斑真子盟集S滿足G-翠S不連轎通或索是平疤凡圖,則稱S為G的一劈燕個(gè)邊申割.定義4設(shè)G是連斷通圖,稱針是G的點(diǎn)微割}為G的點(diǎn)安連通泰度或咬連通羞度;稱天是G的邊壯割}為G的邊質(zhì)連通雪度.定理1對一朝個(gè)圖G,有飼是圖G的最疲小頂測點(diǎn)度.證明:若G不連拿通,則際結(jié)霸論成猜立.若G連通.(1逼)先證般設(shè)x是G中度符數(shù)最番小的遍頂點(diǎn),即.設(shè)所尼有與舉關(guān)蓋聯(lián)的捏邊集服為S(距x)遷,顯然x是G-像S(希x)的一襖個(gè)孤碗立點(diǎn).所以(2踐)再證當(dāng)舉時(shí),顯然假設(shè)枯對所讀有恭的唇圖G有運(yùn)設(shè)S是H的一撐個(gè)邊痛割,且淺若及邊告易譜知故由勾假設(shè)撈知蔬并狼設(shè)T是H-論e的一咐個(gè)點(diǎn)潔割,且協(xié)此單時(shí),就是H的一泊個(gè)點(diǎn)饅割,即K(咬H)≤︱T矩∪{戚u}︱德≤n夕+1拍=（H）.再由散歸納盯假設(shè)桑即知K(鑰G)≤（G）結(jié)論壁成立.第五寇節(jié)壩連裹通圖加和二株分圖(3帽)定義5如果堅(jiān)無向鞋圖G的連通趙度禾稱圖G是n連通限的或G為n連通柴圖.若膀稱圖G是n邊連掛通的許或G為n邊連厭通圖.定理2設(shè)圖G是n連通賴的,則對(反證)定理3設(shè)G是2邊連叼通圖,則G有強(qiáng)連淘通的霧定向漠圖.證明:設(shè)G是2邊連拌通圖,則G必含傅有圈.先取滋一個(gè)脖圈C1,定義G的連忌通子鴿圖序恩列G1,G2,…如下:離G1=濕C1;若Gi(i=1飼,2稈,…沈)不是G的生厘成子原圖,設(shè)vi是在G中而扒不在Gi中的稍一個(gè)途頂點(diǎn),則存燒在從vi到Gi的邊靜不重虧路Pi和Qi,定義,由于援該序午列必覆終止般于G的一陷個(gè)生停成子問圖Gn.依次圈對每筆個(gè)Gi定向:首先動(dòng)讓G1的定追向圖憤成為嘗一個(gè)倡有向售圈;對設(shè)已冶有定塌向圖,讓Pi成為侍以vi為始僅點(diǎn)的家有向沃路,而Qi成為炎以vi為終甚點(diǎn)的總有向籌路,得,即狗是辣強(qiáng)連著通圖i=圾1,含2,碗…n績.第五翅節(jié)礎(chǔ)連施通圖羨和二荒分圖(4蒜)因此全最后嗽的甚是踢強(qiáng)連仇通有泰向圖.由于Gn是G的生吃成子揀圖,所以G有強(qiáng)齒連通訓(xùn)的定輪向圖.一個(gè)受圖G有強(qiáng)仍連通言的定坡向圖緞的必造要條饒件是G為2邊連窄通的.否則G有割江邊,這與G有強(qiáng)陰連通領(lǐng)的定掠向圖救矛盾.定義6把簡辯單圖G的頂堆點(diǎn)集藝合分標(biāo)成兩甩個(gè)不聚相交典的非墊空集鴉合V1,V2,使得睛圖G中的鮮每一映條邊,與其粉關(guān)聯(lián)篩的兩旗個(gè)結(jié)已點(diǎn)分貴別在V1和V2中,則G稱為零偶圖駝或二閑分圖,記作G=乎<V1,V2,E課>,其中V1和V2叫做G的二梳劃分.對于丟二分粗圖G=俘<V1,V2,E歌>,若,V1中的我任意虹一點(diǎn)伴與V2中的蠅所有送點(diǎn)相評鄰且V2中的斬任意夜一點(diǎn)施與V1中的經(jīng)所有妄點(diǎn)相輔鄰,則稱該圖伐為結(jié)細(xì)點(diǎn)m和n的完專全偶戰(zhàn)圖或慣完全懲二分收圖,記作Km,嶺n.例1試說舌明n立方倘體Qn是二逗分圖.證明:不妨脈設(shè)草由Qn的定安義知Qn是簡贊單圖.假定則邊,即兩搭結(jié)點(diǎn)悼序列礎(chǔ)恰差蘇一位.令顯然.而且,若存寧在即擱與科矛盾.所以X中任之何兩企頂點(diǎn)毒之間胞無邊維相連.同理他可證Y中任濁何兩然頂點(diǎn)存之間此也無香邊相框連.因此Qn是二掠分圖.定理4非平歪凡圖G是二秧分圖當(dāng)且拍僅當(dāng)G中不昌含有山長為嶄奇數(shù)版的圈.證明:(碰)設(shè)G是一物個(gè)二務(wù)分圖,G的二暫分為V1和V2,則G[耗V1]和G[夫V2]為零核圖.設(shè)v=刑v1v2…vkv1是G中長撥度為k的一牛個(gè)圈.下證k為偶鳳數(shù).不妨殲設(shè)煤由態(tài)于v2和v1相鄰,故;同樣股有又最康后一桌個(gè)頂方點(diǎn)是V1,故k必為往偶數(shù).不妨捆設(shè)G中每畫一對慎點(diǎn)之歸間有瘦路連冠接(否則還只考舊慮G的每毛個(gè)每項(xiàng)一對除點(diǎn)之盈間有打路連過接的酸極大重子圖).任取G的一宴個(gè)頂督點(diǎn)u,由G的假計(jì)設(shè),對G的每魔個(gè)頂揀點(diǎn)v,在G中存失在u-丈v路.現(xiàn)利斃用u對G的頂霸點(diǎn)進(jìn)拜行分林類.設(shè)顯然,威.由于G中不射存在蝦長度粒為奇界數(shù)的肚圈,所以責(zé)對任某意一吵個(gè)點(diǎn)v,伙G中所農(nóng)有從u到v的路使的長碌度都愛有相炊同的調(diào)奇偶堡性,因而廈由G的假辟設(shè),現(xiàn)對G的每叮一條攜邊e=見{u1,u2},若u1,u2都在V1上,則存似在兩防條路P1與P2分別簽連接u與u1和u與u2,且P1與P2的長度末均為肉偶數(shù),閉鏈局的長誘度為把奇數(shù),故G中有限一條晴長為緩奇數(shù)悶的圈,矛盾.同樣u1和u2不能除同時(shí)里在V2中.故e的兩烤個(gè)端片點(diǎn)分租別在V1和V2中.因此G是二敵分圖.第六泊節(jié)窮圖健的矩右陣表鉆示(1鍬)1.鄰接圈矩陣:設(shè)昆是任抹意圖,其中V=伶{x1,x2,…準(zhǔn),xn},戶E={拒e1,e2,…榴,em},則n階方繁陣A=暈(aij)稱為G的鄰香接矩洋陣.其中aij為圖G中以xi為起聾點(diǎn)且歷以xj為終雅點(diǎn)的磚邊的拔數(shù)目.說明1:由定米義易賤知,無向滑圖的貨鄰接巷矩陣音是對障稱矩彩陣,而有獨(dú)向圖銀的鄰刷接矩淺陣未架必是棕對稱喉矩陣.(如P2成7)定理1已知篇有向犁圖,其中V=覽{x1,x2,…氧,xn},且A=矛(aij)nn為G的鄰昆接矩吊陣,則Ak中的i和j列元列素aij(k)是圖G中從xi到xj且長貨度為k的有盼向鏈?zhǔn)恋臄?shù)搜目.證明:裙k=飯1時(shí),結(jié)論踐顯然域成立.若Ak-傅1第i行j列元蒼素aij(k嚼-1悼)是G中長毫度為k-態(tài)1的從xi到xj的有宵向鏈末的數(shù)旺目.又Ak=Ak-拼1A,所以aij(k)=因?yàn)镚中每摸條從xi到xj且長馬度為k的有殺向鏈唇都是乖由長諸度為k-婆1的從xi到xt(1t甘耽n)的鏈倚再接仗上邊<xt,xj>而得.據(jù)歸欲納假般設(shè)知低定理靜得證.說明2:該定浙理同想樣適賴合無妙向圖,且定靜理中皇的鏈嗓不能圈改為登跡或怖路.第六劫節(jié)丟圖陵的矩宰陣表蜘示(2天)推論1若G是P階簡愚單圖,且G的鄰接謎矩陣太為A=細(xì)(aij),則對G的每榴一個(gè)建頂點(diǎn)vi,i旨=1含,2略,…腿,p型,有d(見vi)=齒aii(2昏),其中A2=(氣aii(2某)).證明:因?yàn)殁張DG中與描頂點(diǎn)vi關(guān)聯(lián)憶的邊愉數(shù)等涌于從vi到vi長為2的鏈己的數(shù)乒目,故由符定理1知結(jié)綱論成濃立.R=亡A+許A2+…周+Ap-尊1=(rij),rij為xi到xj長度悟不超奔過p-毅1的鏈劉的數(shù)班目定理2已知P(有P3坐)階圖G的鄰評接矩驢陣為A,作P階方作陣R=肉A+支A2+…頓+Ap-惹1,則圖G連通賄的充分欺必要襪條件為R中的工每個(gè)翼元素字都不設(shè)為零.2.關(guān)聯(lián)衰矩陣:設(shè)材是有刃向圖,且V=,稱蚊階矩戲陣M