數學建模 種群模型

關于數學建模種群模型數學建模種群模型1第1頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模2種群模型第三講種群模型【主要內容】

介紹動物群體的種群模型，包括單種群模型、多種群模型?！局饕康摹?/p>

了解微分方程穩(wěn)定性理論在數學建模中的應用。

建模目的是研究充分長時間以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。第2頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模3種群模型

單種群模型

本節(jié)介紹Malthus模型、Logistic模型及可開發(fā)的單種群模型，應用微分方程的數學工具來研究種群的增長與變化規(guī)律。

第3頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模4種群模型

1.1Malthus模型

設

p(t)——一給定的物種在時刻t的總數

r(t,p)——該物種在時刻t出生率與死亡率之差，稱為自然增長率。假設r

為常數，則種群的增長規(guī)律可以用以下微分方程表出

（1）

第4頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模5種群模型

上式稱為單一種群的Malthus模型，若設初值為

p(t0)=p0,則（1）式的解為

由于其增長形式為指數形式，故該模型又稱為指數增長模型。

第5頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模6種群模型1.2Logistic模型

Malthus模型的不合理性在于，它沒有反映出這樣的事實，即當種群群體龐大到一定程度時，群體中個體之間要為有限的生存空間及資源而進行競爭。因此線性微分方程（1）必須再加上一個競爭項。有人用某種昆蟲做實驗，結果表明，單位時間內兩個成員發(fā)生沖突的次數的統(tǒng)計平均與p2成比例，故這個競爭項的一個合理的選擇是-bp2，其中b是常數。第6頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模7種群模型

此模型稱為阻滯增長模型，是由荷蘭生物數學家Verhulst在1837年提出的，又稱為Logistic模型。

當初值p(t0)=p0給定時，（3）的解為

其變化曲線見下圖。

第7頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模8種群模型

注意到

于是，不論初值怎樣，群體規(guī)?？偸切∮诓⑶亿呌跇O限值

r/b,這個極限值的實際意義是環(huán)境資源對該種群的最大容納量，記N=

r/b,則方程（3）可以寫為更常見的形式第8頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模9種群模型

其中r是固有增長率，N是環(huán)境資源對該種群的最大容量。

有人曾用上述Logistic模型對

1790～1950年美國人口的數量作過預測，與實際數據相當吻合，誤差不超過

2.5%。第9頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模10種群模型1.3可開發(fā)的單種群模型考察一個漁場，我們要建立一個在有捕撈條件下魚的總量所滿足的方程，并且在穩(wěn)定的前提下討論如何控制捕撈使持續(xù)產量最大。

模型假設

記t時刻漁場魚的總量為p(t)，r為固有增長率，N為環(huán)境資源允許的最大魚量。第10頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模11種群模型1)在無捕撈條件下，p(t)服從

Logistic模型

2)單位時間的捕撈量h與漁場魚量成正比，比例系數為k

，表示單位時間捕撈率。于是第11頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模12種群模型

模型建立

，則在有捕撈條件下漁場魚量的增長模型為

第12頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模13種群模型

模型討論

由本問題的目標出發(fā)，我們關心的是漁場中魚量達到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時的情形，而不必知道每一時刻的魚量變化情況，故不需要解出方程，只需要討論方程

(7)的平衡點并分析其穩(wěn)定性。

平衡點：滿足的點稱為方程

(7)的平衡點。第13頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模14種群模型解得

(7)的兩個平衡點為：容易算出:

第14頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模15種群模型

稱平衡點p*

是穩(wěn)定的是指：對方程

(7)的任一個解p=p(t)

，恒有

判斷平衡點p*

是否穩(wěn)定，可以通過（8）式判別，但這需要解方程（7）。

另一種判別法是根據一階近似方程判斷：

第15頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模16種群模型

近似方程

(9)的一般解為：于是有下述結論：，則p*

是穩(wěn)定平衡點。，則p*

不是穩(wěn)定平衡點。

第16頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模17種群模型回到我們的問題，由于所以，?

當k<r

時，是穩(wěn)定平衡點,p1不是；?

當k>r

時，是穩(wěn)定平衡點,p0不是；第17頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模18種群模型

結果分析

當捕撈適度(即：k<r)時,可使?jié)O場產量穩(wěn)定在

從而獲得持續(xù)產量h(p0)=kp0

。而當捕撈過度（即：k>r）時，漁場產量將減至p1=

0

，破壞性捕撈，從而是不可持續(xù)的。第18頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模19種群模型

進一步討論

如何控制捕撈強度k,

使得持續(xù)產量

h(p0)=kp0

最大？

第19頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模20種群模型對應的

結論

控制捕撈強度k=r/2

，使?jié)O場產量pm保持在最大魚量N

的一半時，可以獲得最大的持續(xù)產量hm=rN/4。

第20頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模21種群模型

多種群模型

多種群模型包含相互競爭模型、相互依存模型及弱肉強食模型，前兩個模型可以統(tǒng)一用微分方程組描述為

第21頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模22種群模型

在該系統(tǒng)中，α，β的不同取值便決定了這兩個種群的不同關系。α，β>0，表示該模型為種群間相互競爭模型；α，β<0，則意味著該模型為種群間相互依存模型。若α·β<0,則該模型可變化為弱肉強食模型，我們在這里只討論第三種模型的建立及解的表現。第22頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模23種群模型

先介紹一些微分方程定性理論中的結論?？紤]微分方程組

二元方程組

的根稱為微分方程組（11）的平衡點。

第23頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模24種群模型

設(x*,y*)

是方程組（11）的一個平衡點

,令將P(x,y),Q(x,y)

在(x*,y*)

附近展開，略去高階項，可得近似線性系統(tǒng)：

第24頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模25種群模型

設系數矩陣

的特征根為λ1，λ

2，則有以下結論：①λ1

，λ

2是同號實數時：

λi<0

(x*,y*)

是穩(wěn)定點；

λi>0

(x*,y*)

不是穩(wěn)定點。②λ1

，λ

2是異號實數時，

(x*,y*)點不是穩(wěn)定點，稱為鞍點。第25頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模26種群模型③λ1

，λ

2是共軛復數時：

λ1

，2

＝

a±bi

a<0(x*,y*)

是穩(wěn)定點；

a>0(x*,y*)不

是穩(wěn)定點。微分方程組（11）的平衡點(x*,y*)

的穩(wěn)定性，可以應用上述三條結論判定。第26頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模27種群模型

弱肉強食模型

弱肉強食模型，生態(tài)學上稱為食餌（Prey）—捕食者（Predater）系統(tǒng)，簡稱為P—P系統(tǒng)。二十世紀20年代中期，意大利生物學家D’Ancona研究魚類種群間的制約關系。在研究過程中，他偶然注意到了在第一次世界大戰(zhàn)時期，地中海各個港口的捕魚資料中，鯊魚等（捕食者）魚類的比例有明顯的提高（見下表）。第27頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模28種群模型

他無法解釋這種現象，于是求助于著名意大利數學家V.Volterra，希望他能幫助建立一個P—P系統(tǒng)的數學模型，來解釋這種現象。

模型建立（Volterra模型）

設食餌數量為x1(t)

，捕食者數量為x2(t)

。

年份191419151916191719181919192019211922鯊魚比例11.921.422.121.236.427.316.015.914.8第28頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模29種群模型

第一步：只考慮食餌。假定大海的資源非常豐富，食餌之間不存在競爭，則x1(t)

將以固有增長率r1

的速度無限增長，即：x1’=r1

x1.

第二步：考慮到捕食者的存在，食餌的增長將受到限制，設降低的程度與捕食者數量成正比,

即：

x1’=x1(r1–α1x2)

(14)比例系數α1

反映捕食者的捕食能力。第29頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模30種群模型

第三步：捕食者離開食餌無法生存，設其自然死亡率為r2

(>0)

，則x2’=－r2x2

。而食餌為它提供食物的作用相當于使其死亡率降低，促進了其增長。設這個作用與食餌數量成正比，于是：

x2’=x2(-r2

＋α2x1)

(15)

比例系數α2

反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。方程（14）、（15）表示在正常的情況下，兩類魚相互之間的影響關系。第30頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模31種群模型模型分析

解方程組

x1(r1–α1x2)=0x2(-r2

＋α2x1)=0得到方程組（14）、（15）的平衡點為仍用線性化的方法研究平衡點的穩(wěn)定性。第31頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模32種群模型對于P1(0,0)點

,

兩個特征根為異號實數，故P1(0,0)點不穩(wěn)定。第32頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模33種群模型

對于：特征方程為此時，兩個特征根是共軛復數，實部為0，故無法直接判斷平衡點穩(wěn)定性。為分析解的漸進行為，一種變通方法是到相空間中去分析解軌跡的圖形。在（14）、（15）中消去dt

，得：

第33頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模34種群模型第34頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模35種群模型定理

當x1,x2>0

時，方程

定義了一族封閉曲線。第35頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模36種群模型

P0T1T2T2T2第36頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三數學建模37種群模型軌線是一族以平衡點P0

為中心的封閉曲線,方向為逆時針方向（由導數符號確定）。封閉軌線對應著方程(16)的周期解

,所以P0

是不穩(wěn)定的，我們用一個周期內的平均值作為食餌與捕食者的近似值。

第37頁，講