一維橫場伊辛模型的精確解

一維橫場伊辛模型的精確解伊辛模型是一個(gè)最簡單且可以提供非常豐富的物理內(nèi)容的模型，可用于描述很多物理現(xiàn)象，如：合金中的有序-無序轉(zhuǎn)變、液氦到超流態(tài)的轉(zhuǎn)變、液體的凍結(jié)與蒸發(fā)、玻璃物質(zhì)的性質(zhì)、森林火災(zāi)、城市交通等。Ising模型的提出最初是為了解釋鐵磁物質(zhì)的相變，即磁鐵在加熱到一定臨界溫度以上會(huì)出現(xiàn)磁性消失的現(xiàn)象，而降溫到臨界溫度以下又會(huì)表現(xiàn)出磁性。這種有磁性、無磁性兩相之間的轉(zhuǎn)變，是一種連續(xù)相變（也叫二級相變）。Ising模型假設(shè)鐵磁物質(zhì)是由一堆規(guī)則排列的小磁針構(gòu)成，每個(gè)磁針只有上下兩個(gè)方向（自旋）。相鄰的小磁針之間通過能量約束發(fā)生相互作用，同時(shí)又會(huì)由于環(huán)境熱噪聲的干擾而發(fā)生磁性的隨機(jī)轉(zhuǎn)變（上變?yōu)橄禄蚍粗?。漲落的大小由關(guān)鍵的溫度參數(shù)決定，溫度越高，隨機(jī)漲落干擾越強(qiáng)，小磁針越容易發(fā)生無序而劇烈地狀態(tài)轉(zhuǎn)變，從而讓上下兩個(gè)方向的磁性相互抵消，整個(gè)系統(tǒng)消失磁性，如果溫度很低，則小磁針相對寧靜，系統(tǒng)處于能量約束高的狀態(tài),大量的小磁針方向一致,鐵磁系統(tǒng)展現(xiàn)出磁性。為了研究我們上面所定義的動(dòng)力學(xué)相變，我們要對一維橫場伊辛模型的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行求解。事實(shí)上，對于一維橫場伊辛模型確實(shí)是有精確解的。早在1925年伊辛就解決了一維伊辛問題。文章發(fā)表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年論文引言中，引用伊辛經(jīng)典模型中沒有相變，作為引入量子模型的論據(jù)。海森堡模型所引發(fā)的統(tǒng)計(jì)模型和可積系統(tǒng)的研究，至今方興未艾、碩果累累。1944年Onsager發(fā)表了平面正方二維伊辛模型的精確解，證明確有一個(gè)相變點(diǎn)。這是統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展的里程碑。不過那篇文章及其晦澀難懂。直到1949年Onsager和Kaufmann發(fā)表了使用旋子代數(shù)的新解法，人們才得以領(lǐng)會(huì)奧妙，計(jì)算其它晶格，并且開始了求解三維伊辛模型的嘗試。伊辛模型J”z華量子伊辛模型的普遍表達(dá)式可以寫為[5]H=-JgW0J”z華ii,j上述式子的意義：其中J>0,是一個(gè)決定微觀能量尺度的相互作用常數(shù)；g>0,是一個(gè)無量綱的耦合常數(shù)，被用來調(diào)節(jié)H跨過量子相變點(diǎn)。對于i,j的求和涵蓋了所有i和j最近鄰的格點(diǎn)。其中的算符中y是我們熟悉的泡利矩陣；i取不同值是其作用在不同的自旋態(tài)上，所以iHj的兩個(gè)算符是相互對易的。其中*本身是對角化的。它們的形式如下：H-1)9=(06。、=(11),在本文中我們研究的一維橫場伊辛模型的哈密頓量(周期性邊界條件)為：H(g)=—羽°z略1+空叩i=1i=1當(dāng)g<1時(shí)系統(tǒng)在零溫下處于鐵磁相，當(dāng)g>1時(shí)，系統(tǒng)處于順磁相。這兩個(gè)相以量子臨界點(diǎn)g=gc=1為分界［5］。這個(gè)哈密頓量在以彳的本征態(tài)為基矢時(shí)的矩陣表示是非對角化的。求解這個(gè)哈密頓量即是把哈密頓量的表示矩陣變換成對角形式。但可惜的是，在此基矢下，矩陣的維數(shù)是以2N的方式隨N的增大而增長。所以隨著格點(diǎn)數(shù)N的增加，計(jì)算機(jī)做這個(gè)矩陣對角化所需要的時(shí)間是以指數(shù)方式增長的，在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)中是無法在可接受的時(shí)間尺度內(nèi)進(jìn)行有效求解的，這即是所謂的指數(shù)墻問題。指數(shù)墻問題的根本性解決依賴于量子計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的新突破。幸運(yùn)的是，我們想要求解的一維橫場伊辛模型是一個(gè)特別的模型，它可以通過某些技巧來進(jìn)行精確求解，得到解析的表達(dá)式。為了求一維橫場伊辛模型的精確解，必須要做一些變換，下面將一一介紹。Jordan-Wigner變換［10-12］Jordan-Wigner變換是解一維橫場伊辛模型必不可少的工具［5］。它是在自旋模型和費(fèi)米子模型之間的一個(gè)非常有用的映射。根據(jù)泡利不相容原理，在每個(gè)格點(diǎn)上，費(fèi)米子只能有存在0個(gè)或1個(gè)粒子這兩種狀態(tài)。因此，可以將每個(gè)格點(diǎn)上自旋的兩種狀態(tài)映射到費(fèi)米子的兩種存在狀態(tài)上，用費(fèi)米子的產(chǎn)生湮滅算符來代替自旋算符。但可惜的是，事情并沒有那么簡單，我們并不可以直接把自旋算符換成產(chǎn)生湮滅算符，因?yàn)閷τ谕粋€(gè)格點(diǎn)，自旋算符滿足對易關(guān)系，而費(fèi)米子產(chǎn)生湮滅算符則滿足反對易關(guān)系。對于一維自旋問題，真正可以用的變換最先由Jordan和Wigner在1928年得到，他們的做法是在原來的產(chǎn)生湮滅算符的前面乘上一個(gè)由格點(diǎn)位置決定的相因子，來使其滿足原來自旋算符的對易關(guān)系。所以，考慮到自旋算符和費(fèi)米子算符各自的對易關(guān)系，變換式可以寫為：。+=口（1—246j<i0=1—2c+c.1n（1-2*）耳j<i其中費(fèi)米子產(chǎn)生湮滅算符對易關(guān)系：II.Jc+}=8...Jc.}=Jtlc+}=0ijJijJ上述變換是Jordan-Wigner變換的一種常用形式，但我們?yōu)榱朔奖?，在分析伊辛模型時(shí)，常常把自旋軸繞y軸轉(zhuǎn)90°：ozTlollllXU—Jyzllo所以實(shí)際要用的變換式是：°z=n（i-2c/cj）（ci+ci）j<i將上式代入到%）中：H（g）=-Rna-2c；cj）（ci+4）n（i-空）"山+%）+g（iTOC\o"1-5"\h\zij<ij<i+1—2c：c）］利用費(fèi)米子產(chǎn)生湮滅算符的對易關(guān)系化簡：H（g）=-1w［n（i-2c；5）n（i-2cj、）、+4）（i-2c：ci）（ci+i+c3）+ij<ij<ig（i-2citci）］川川—i》n（ftcj）n（i-2那峋-ci）&i+cit+i）+g（iij<ij<i-Tc）］1其中n（i—zctona-zcjOj所以：h?=-2w/i+i+c;ci+i-cici+i-cici+i-2gcici+g]=-2W[c;ci+i+c;ci+i-cici+i-cici+i]+gWcici這就把哈密頓量從自旋模型變到了費(fèi)米子模型（其中丟掉了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)-2）。2.3傅立葉變換對于上面已經(jīng)被我們變換到費(fèi)米子模型的哈密頓量我們還是無法直接求解，因?yàn)槠渲邪煌顸c(diǎn)之間的耦合項(xiàng)，此時(shí)要想消除類似c『ci+i這樣的不同格點(diǎn)的耦合項(xiàng)就要進(jìn)行傅立葉變換，將哈密頓量變換到K空間，用粒子的行為模式k代替實(shí)空間的格點(diǎn)來表示哈密頓量。傅立葉變換的變換式為：k滿足正交關(guān)系：NZ叫(1')=熊,k‘代入上式得：Zcici=ZckckikWc+ci+i=Wc+cke-ikikVc十c十二Wc十c十eikii+i-kkikWci+ici=Wckc-ke-ikik{Vc"ci=VcKkeik

ik

所以，哈密頓量寫成：1H(g)=-2cke-ik+ctkckeik+ckc-ke-ik+ckckeik-2gckck)k將k取絕對值，則求和符號中的每一項(xiàng)都會(huì)分裂成兩項(xiàng)（這兩項(xiàng)的求和指標(biāo)k互為相反數(shù)），新哈密頓量為：H（g）=-1W空ke-ik+ctkckeik+ckc-ke-ik+ckckeik—2gckck+ctkc-keikk>0+ckkc-kke-ik+c-kckeik+c-kkc-k+ckkc-kke-ik+c利用恒等式：1cosk=2(eik+e-ik)

(isink=2(eik—e-ik)哈密頓量可化簡為：H(g)=、(—coskckc-coskctc】-isinkctck-isinkc】q+gckckk-k-k-kk-kkkkk>0+gck-kc-k)=W[(g-cosk)(ckck-c-kC-k)+isinkCckc-k-c-kck)]k>0kg-coskisinkckckc-k-isinkcosk-gckk>0-k哈密頓量在這種形式下就顯然的可以利用正則變換變換成對角形式，也就是利用ck，c-k，c-k，ck的某種線性組合重寫哈密頓量H（g）。這種變換叫做Bogoliubov變換。2.4Bogoliubov變換下一步就是要利用Bogoliubov變換，定義新的準(zhǔn)粒子產(chǎn)生湮滅算符，把中

間的2x2矩陣對角化，使哈密頓量變?yōu)閷切问?。Bogoliubov變換的變換式為：'ck'ck=Uk(g)Yk-iVk(g)Y-k

Wk=Uk(g)Y-k-ivk(g)Yk'ck=u*k(g)Yk+iv*k(g)Y-k

〔c-k=u*k(g)Y-k—iv*k(g)Yk帶入哈密頓量：H(g)=W(YkY-k)(k>0=W("H(g)=W(YkY-k)(k>0=W("Y-k)(k>0u*k(g)iv*k(g))(g-coskisinkuk(g)-ivk(g))(Yk)iv*k(g)u*k(g)八—isinkcosk—g八-ivk(g)u&)八y-J(g-cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)isinkv*k(g)+i(cosk-g)vi(g-cosk)v*k(g)+isinku*k(g)-sinkv*k(g)+(cosk-g)u*kk(g)(g))(uk(g)-ivk(g)uk(g)M12)(Yk)M22M12)(Yk)M22)(Y—k)21

k>0其中矩陣元M的表達(dá)式如下：M11=[(g-cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)]uk(g)+[sinkv*k(g)+(cosk-g)v*k(g)]vk(g)M12=-i[(g-cosk)u*k(g)+sinkv*k(g)]vk(g)+i[sinkv*k(g)+(cosk-g)v*k(g)]uk(g)M21=i[(g-cosk)v*k(g)+sinku*k(g)]uk(g)-i[-sinkv*k(g)+(cosk-g)u*k(g)]vk(g)M22=-[(g-cosk)v*k(g)+sinku*k(g)]vk(g)+[-sinkv*k(g)+(cosk-g)u*k(g)]uk(g)令其中M12=M21=0其中tan2ek其中tan2ek(g)sinkg-coskuk(g)=COS%?vk(g)=si