湖北省重點高中2022-2023學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷（含解析）

湖北省重點高中2022年秋季高二年級期末聯(lián)考

數(shù)學試題

一.單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.數(shù)列｛%｝滿足為+1=3,則。2021=（）

1°”

125

A.-B.—C.—D.3

232

2.直線xcosa+Gy+2=0的傾斜角的范圍是（）

八冗八57

A.0,一B.0,—

66

7171\（冗5兀7T5乃

D.

66

2

3.與雙曲線V一,=1有相同的焦點，且短半軸長為26的橢圓方程是（）

2222

A.--F—=1B.--1--=1

45208580

2222

cJ匕=1D.二+J

25202520

4.等比數(shù)列｛4｝的各項均為實數(shù)，其前〃項和為S“，已知53=14,5；=1，則/=（）

11

A.2B.-C.4D.-

24

5.已知點尸為拋物線。：3；2=2*（〃>0）的焦點，過點廠且傾斜角為60的直線交拋物線

C于兩點，若|必上|我同=3,則〃=（）

13

A.-B.lC.-D.2

22

6.若M,N為圓C：（x-2）2+（y-2產(chǎn)=1上任意兩點,P為直線3x+4y—4=0上一個動

點，則NMPN的最大值是()

A.45B.60C.90D.120

7.在平面直角坐標系中，定義W+M稱為點P(x,y)的“3和”，其中。為坐標原點，對于下

列結論：(1)"3和''為1的點P(x,y)的軌跡圍成的圖形面積為2；(2)設p是直線

2x-y-4=0上任意一點,則點尸(%,y)的“b和”的最小值為2；⑶設尸是直線

奴一丁+匕=0上任意一點，則使得“b和”最小的點有無數(shù)個”的充要條件是。=1；(4)設尸

2

是橢圓/+三=1上任意一點，則和”的最大值為由.其中正確的結論序號為()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

/iyi+2015

8.若數(shù)列｛4｝,｛年｝的通項公式分別是4=(—1)"+2。/也=2+曰----且為＜勿對任

意neN*恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯

的得0分)

9.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A="第一枚正面朝上”，事件3="第二枚正面朝

上“，則下列結論正確的是()

A，(A)=gB.P(AB)=；

C.事件A與5互斥D.事件A與3相互獨立

10.關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有()

A.若數(shù)列｛4｝的前“項和S?=an2+bn+c(a,b,c為常數(shù))則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

B.若數(shù)列｛%｝的前"項和S“=2"+,-2,則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

C.數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，S“為前"項和，則S,,,S2,-S”,S3“-S2”仍為等差數(shù)列

D.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，S“為前"項和，則S“,S2”—S“，S3”-S2”,.仍為等比數(shù)列;

11.已知正方體A5CD—44GA的棱長為2,M為。。的中點，N為平面ABCO內一動

A.若MN=2,則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為萬

乃

B.若MN與平面ABC。所成的角為一，則N的軌跡為圓

3

C.若N到直線84與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線

7T

D.若DM與AB所成的角為§，則N的軌跡為雙曲線

22

12.已知橢圓c:「+2r=l(a>b>0)的左,右焦點分別是尸2,其中田段=2c.直線/過

ab

左焦點々與橢圓交于A,8兩點，則下列說法中正確的有()

A.若存在,A3鳥，貝kA3居的周長為4a

h2

B.若AB的中點為M，貝必加認=亍

C.若AE2片=3片，則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若|A@的最小值為3c,則橢圓的離心率e=；

三.填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.設點M在直線x+y-1=0上，迎與丁軸相切，且經(jīng)過點(-2,2),則M的半徑為

14.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的和除以與它前一項的差等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”.已知｛a,,｝是“和差等比數(shù)列"，4=2,4=3,則使得

不等式4>1（）的"的最小值是.

15.已知圓（X-2>+丁=9與x軸的交點分別為雙曲線C：二—1=1（。>0,。>0）的頂點

ab

和焦點，設耳，居分別為雙曲線C的左，右焦點，P為C右支上任意一點，則J-的

質|+4

取值范圍為.

16.在棱長為1的正方體ABCD-AAGR中，P是線段BCG上的點，過A的平面戊與直

線尸。垂直，當尸在線段3G上運動時，平面a截正方體ABC。-所得截面面積

的最小值是.

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.已知線段AB的端點5（4,3），端點A在圓C：（x+1尸+V=4上運動.

（1）點M在線段AB上，且求點M的軌跡方程;

（2）若直線y=Z（x-2）與點M的軌跡相交，求實數(shù)A的取值范圍.

18.甲、乙兩人加工一批標準直徑為50mm的鋼球共1500個，其中甲加工了600個，乙加工

了900個.現(xiàn)分別從甲、乙兩人加工的鋼球中各抽取50個進行誤差檢測，其結果如下：

直徑誤差（mm）-0.3-0.2-0.10+0.140.240.3

從甲加工的鋼球中抽到的個數(shù)26820563

從乙加工的鋼球中抽到的個數(shù)14724662

（1）估計這批鋼球中直徑誤差不超過±0.1mm的鋼球的個數(shù)；

（2）以甲、乙各自加工的鋼球的總數(shù)為依據(jù)按分層抽樣的方法從直徑誤差為-0.2mm的鋼

球中抽取5個，再從這5個鋼球中隨機抽取2個，求這2個鋼球都是乙加工的概率；

（3）你認為甲、乙兩人誰加工的鋼球更符合標準？并說明理由.

19.已知雙曲線C的焦點尸（2,0）和離心率e=苧.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/:曠=日+及與曲線C恒有兩個不同的交點A和3，且。4?08>2,求女的

取值范圍.

20.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和S“，滿足=2a“-2（〃eN"）,數(shù)列也｝的前〃項積為

n!.(nl=lx2x3x.x〃)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令c“=anbn,求數(shù)列《4-1的前n項和.

[c,￡,+J

21.圖1是直角梯形A5C￡＞,AB〃CO,/O=90,四邊形A5CE是邊長為2的菱形，并且

ZBCE=60-以BE為折痕將，BCE折起，使點C到達G的位置，且A0=指.

(1)求證：平面8GEL平面A3EO.

(2)在棱OG上是否存在點P，使得點P到平面A8G的距離為@5?若存在，求出直

5

線EP與平面A8G所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.

22.已知橢圓&:5?+，=l(a＞力＞0)的離心率為;,3

為橢圓上一點，AB為橢圓

上不同兩點，。為坐標原點，

(1)求橢圓C的方程；

(2)線段AB的中點為M，當，AOB面積取最大值時，是否存在兩定點G,H,使

+為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由.

參考答案:

1.B

【詳解】由題可知，4+1=4，%=：=：,得％=彳嗎=3，4===3=%,...數(shù)

1-4l-a231--

列｛”"｝是以3為周期的周期數(shù)列，，/⑼=生+3*673=%T-

故選：B.

2.A

【解析】

【解答】

解：設直線的傾斜角為0,

cosa

則tan0

又一啜bosa1,

所以一蟲領Jtan。住，

33

又Q,e<n,

所以0,g..

故選A

3.D

4.解：根據(jù)題意，設等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

若$3=14,S6=^,則qwl,

q(1Y)

則有心=:4=^—^=1+43=',解可得g=:，

S34(1一夕)\-q82

1一q

又由$3=14,即S3=4+電+%=14,解可得4=8,

貝IJ4=q/=8x」=(,

162

故選：B.

5.C

【詳解】由題意知F［與，0)AB的方程為y=6(x-5),代入C的方程，得

3x2—5px4—=0,

設A(%,X),B5,%),則占+超=?，叱2=孑；

因為|硝=5+西,恒同=5+々，且|網(wǎng)冏=3,

所以(§+%)仁+%)=3,整理得￡~+?西+x2)+xtx2=3,

所以以乙紅+4.=3,結合0>0,解得p=].

42342

故選：C

6.B

如圖，PAPB為兩切線，P為直線3x+4），-4=0上一個點,

所以/MPN</APB當PM,PN為兩切線是取等號；

又NAP3=2NAPC,故只需求(sinNAPC)2,

AC1|3x2+4x2-4|

sinZAPC=又(PC).”=d==2,

PC-PCn>/32+42

(sinZAPC)ZAPCZAPS=-.

\'max263

故選：B

7.B

【解析】（1）當W+N=l時，點P（x,y）的軌跡如圖，其面積為2,正確;

(2)P是直線2x-y-4=0上的一點，.?.y=2x-4,

4-3x,x<0,

?,.國+卜|=|乂+|21一4|=<4-x,0<x<2,可知，x<0,0vxv2時遞減，x22時遞增,

3x-4,x>2,

故N+|y|的最小值在x=2時取得，(|乂+曲.=2,正確；

(3)同(2),W+|y|=W+麻+可，可知當a=±l時，都滿足，“5和'’最小的點有無數(shù)

個，故錯誤；

(4)可設橢圓參數(shù)方程為「一筆”.??W+|y|=|cose|+陣sin4,

y=72sin9,11

易知其最大值為百，正確.

故選：B.

8.C

【詳解】試題分析：當〃為奇數(shù)時,=-a,b”=2H■—-,由已知ctn<bn,所以—ci<2H—,

因為恒成立所以a>2+-,所以。之一2,當〃為偶數(shù)時,

一InJImax

an^a,bn=2--,由已知a“<d，所以“<2—工，所以2—工的最小值是當〃=2時,

nnn

1333

2一一=-,所以a〈二，所以一24a(二.

2222

考點：數(shù)列的函數(shù)性質

9.ABD

【詳解】對于AB,拋擲兩枚質地均勻的硬幣，所有基本事件有｛正，正｝,｛正，反｝,｛反,

正｝,｛反，反｝,其中滿足事件A的有.｛正，正｝,｛正，反｝兩種情況，事件A和事件8同時

發(fā)生的情況有且僅有｛正，正｝一種情況，

:.P（A）=^2=~1,1P（AB）=-,A正確，8正確；

事件A與事件B可以同時發(fā)生，.?.事件A與事件8不互斥，C錯誤；

事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，，事件A與事件B相互獨立，。正確.

故選：A8D.

10.ABD

【解析】根據(jù)題意，結合等差、等比數(shù)列的性質依次分析選項，綜合即可得的答案.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若數(shù)列｛4｝的前"項和S"=""2+狐+。，

若c=0,由等差數(shù)列的性質可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

若C￥0,則數(shù)列｛《,｝從第二項起為等差數(shù)列，故A不正確；

對于B,若數(shù)歹!|｛《,｝的前〃項和s“=2田-2,

可得4=4-2=2,a2=S2—S,=8—2—2=4,a3=S3—S2=16—2—6=8,

則q,生，與成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝不為等差數(shù)列，故B不正確；

對于C,數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S,為前”項和，則S.,S2n-S?,S3n-S2n,…，即為

〃]+%+…+?！ǎ！?|+…+。2〃，。2向+…+%〃，…，

2

即為S2?-S?-Sn=S3l-S2l-S2?-S?=nd為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，

故C正確；

對于。，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S“為前〃項和，則S“，s2?-s?,反”-邑“，…不一定為等

比數(shù)列，

比如公比4=-1,〃為偶數(shù)，5?,S2n-S?,S3n-S2?,…，均為0,不為等比數(shù)列.故。不

正確.

故選：ABD.

11.BCD

【詳解】對于A,設MN中點為“，OM中點為。，連接“Q,則HQ//DN,且=

如圖，若MN=2,則所以OV2=MN2-r>M2=4-l=3,DN=6則”Q=乎，所以點

H的軌跡是以。為圓心，半徑為弓的圓，面積S="2=｝,故A錯誤；

z

DMTVnz——v

對于B,tanNMN￡>=",NMND三,則―一n"T，所以N的軌跡是以。為圓

心，半徑為立的圓，故8正確;

3

對于C,點N到直線8旦的距離為BN,所以點N到定點8和直線0c的距離相等，且B點

不在直線0c上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；

對于。，如圖，以。A、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設

N（x,y,0）,D,（0,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,

D.NAB|2V|1

所以AN=（x,y,-2）,AB=（0,2,0）,cos60一為「=/?〔J-=3,

'7。網(wǎng).8a+;/+4x22

92

Hl

化簡得3y2-Y=4,即4一彳-1,所以N的軌跡為雙曲線，故。正確;

3

故選：BCD.

12.AC

【詳解】對4根據(jù)橢圓的定義△ABE的周長為IAKI+I8片|+|AEI+|8KI=4a,故A正

確；

對8,設4（4%）,鞏程％），則“土白，汽&］，所以上=上三，勺時=當息，

I，2.）$AT?Xi-rXy

i.A=i

由/b2才->()1+)'2)()1-%)b1b2

—,^k-k=~,故B錯

考於a2b2(x,+x)(x,-x)a0Ma~

序+記=122

誤；

222

對C,AF{AF2=(-c-xl,-yl)(c-x1,-yl)=xl+yl-c,根據(jù)％2=〃[1-才

AFAF,=-4x,2+a2-2c2e[a2-2c2,a2-c2],貝IJ〃-2c243c24a之一。2=?='e與,:

tcrci52

故c正確:

2b22h2

對。，容易知道,AB的最小值為通徑長度,所以?_=3c,整理為

2b2=3ac=>2(?2-c2)=3ac,即2c?+3%-2/=(),兩邊同時除以標,得2e?+3e-2=()，

解得：e=：,或e=—2（舍），所以橢圓的離心率e=g,故。錯誤.

22

故選：AC.

13.1或5##5或1

【詳解】由點M在直線x+y-l=O上，設—a）.

又M與軸相切，且經(jīng)過點（-2,2）,

???半徑r=同=7(a+2)2+(l-a-2)2,且a<0.

解得a=—1或。=-5.則,M的半徑為1或5.

故答案為：1或5

14.5

a.+a.5「

【詳解】依題意，-~L=T=5,

1

a+a6+3;9

—:3---2=—:---=3,解得

%—%見-3

9

+-

2

得

5解

a4-9-能=54-

-8

-2

54

山=。=5,解得。廣等>1。，

54

?5-?4a.32

58

所以使得不等式%>10的〃的最小值是5.

故答案為：5

【解析】（X—2）2+y2=9與X軸交點的坐標分別為（TO）,（5,0）,

故。=1,c=5,

因為P為。右支上任意一點，根據(jù)雙曲線的定義有|州|PB|=2z=2,即

附1=1P閭+2

歸用2_"+2)2_/+今+4—,4

令￡=|即閆4,長0),則歸周2+4=77鼠=尸+4="?，

444

因為1+—在［4,+8)上為增函數(shù)，所以/+—24+—=5,

tt4

所以1所以1+7*"白，即咤e(l，0

t+-t+~|尸馬+45

16皿

*.⑴卜同+(y-i)2=￡

(2)

【詳解】（1）解；設點A（x°,%）、M（x,y）,

xf=式4_*())/=不工_2

由題意可得4M=gAB,可得；3

即1

y-%=§(3-%)

因為點A在圓。上，所以,(%+1)2+y；=4，艮嗚T+(1廣1|=4,

化簡可得卜-|j+（y-l）2=^

故點M的軌跡方程為卜-2）+（y-l）2=3.

(2)k<—

18.(1)a,=2"(〃eN，)

(2)前〃項和為2-("+j,“-I

【詳解】(1)由題意：S?=2a?-2,(?eN-)?,

當”=1時，可得q=2,

，

當〃22時，S,,,,=2??,1-2(n>2,neN)(2),

由①-②得：%=2%_|(〃>2,〃eN*),

由4,為正項數(shù)列，得｛〃,,｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

因此可得a“=2-2"T=2"(〃eN*)

(2)由于數(shù)列也｝的前〃項的乘積為加，

當〃=i時，得a=i；

當“22時，得〃=^^="(〃22,〃eN*)；

4=1符合通項，故得2=〃(“eN)

由(1)可知:c?=a?b?=n-2n,

%(〃+2b22________1_]

n-2-.(n+l).2-+l1小2"(n+l)2"+lJ，

令Z，為7s2的前〃項和，

%C/t+l

^\\11111111c1

7=4----------1------------1------------1---1----------------=2------------

"^1-2,2-222-223"3-234-24n-2"(n+l)-2,,+1J(n+l)-2""|'

19.(1)—；(2)(衛(wèi)i1)

20.(1)1062；

⑵W

(3)乙更符合標準，理由見解析.

【詳解】(1)由題意知，加工直徑誤差不超過丑)的鋼球中，

甲：二33x600=396個，乙：—37x900=666^,

所以這批鋼球中直徑誤差不超過±0.1如〃的鋼球一共有396+666=1062個；

(2)甲、乙加工鋼球的總數(shù)之比為600:900=2:3,

所以抽取的5個鋼球中，甲占2個，記為A,B,,乙占3個，記為a,b,c,

從5個鋼球中抽取的2個鋼球的基本事件有：AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bh,Be,ab.ac,be,共十個，

則全是乙加個的基本事件為：ab.ac,bc,共3個；

所以所求概率為P4；

(3)乙加工的鋼球更符合標準.

理由：甲、乙各加工的50個鋼球中直徑誤差為0,"優(yōu)的個數(shù)：甲有20個，乙有24個，20<24；

甲生產(chǎn)的鋼球中誤差達到±0.3的個數(shù)較多.

21.(1)證明見解析

(2)存在，巫

5

【詳解】(1)如圖所示：

在圖1中，連接AC,交BE于O,因為四邊形MCE是邊長為2的菱形，并且NBCE=60。,

所以AC_L3E,且OA=OC=石.

在圖2中，相交直線04,OC均與5E垂直，所以乙40G是二面角A-BE-G的平面角,

因為AG=",所以=相,OA1OC,,所以平面平面AS￡3：

(2)由(1)知，分別以Q4,OB,OG為x,y,z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系,

則D停,C(0,0,9，A(G,0,0),5(0,1,0),￡(0,-1,0),DG=

AD=-^-,--,0,A8=卜石,1,0),AE=(-A/3,-1,0).

、22,

設Z)P=zWq,/le[0,l],

則AP=4￡>+￡)P=A￡)+/IZ)G=-4-半；l,-|+|；l,G2.

設平面ABC,的法向量為〃=（x,y,z）,

ABn=0-y/3x+y=0i/r\

則，即r,取兒=1,6,1,

AC,-72=0-V3A:+V3Z=0'

因為點p到平面ABG的距離為正,

5

i厘中考，解得a=g，

羋,-[g],所以EP=AP-A￡=

貝ljAP=

442

設直線EP與平面ABG所成的角為。,