湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合'={#—"<1},'={小<"},若A*,則。的取值范圍（）

A.a<0B.a>2C.a>2D.a<2

答案：B

根據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.

解：由解得一1<X—1<1即0<x<2,

所以A={x[0<x<2},

因為AqB,所以。22,

故選:B.

2.命題“VxeR+，都有"eR+”的否定是（）

A.3XGR+>使得e'eR+B.3x走R+,使得，任R+

C3xeR+.使得e*eR*D.3xgR+，使得e'eR+

答案：A

全稱改存在，再否定結(jié)論即可.

解：命題"VxeR/，都有，eR+”的否定是FxeR'，使得e，生R"'.

故選:A

3.己知cos140°=m，則tan500等于（）

A.~r^B,C,D,

VI-W\ll-m-\-m\+m

答案：B

利用誘導(dǎo)公式化簡，求出sin50°,cos50。，然后利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求得.

解：cos14()°=cos(90°+50°)=-sin500=m<0,則sin50°=-m,

cos50°=71-Sin250°==A/1-??J2

sin50°-m

tan50°=

cos50°

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)=atanx+*G+4(a,Z?￡R)且/(lglog310)=5,則/(Iglg3)=()

A.-5B.-3C.3D.隨的值而定

答案：C

分析】先推導(dǎo)/(x)+〃f)=8,再根據(jù)Iglog310+lglg3=0求解即可

解：由題意，/(x)+/(-x)=otanx+bW+4+atan(-x)+b^^J+4=8,又

lglog310+lglg3=lg[^.lg3Ulgl=0,故/(愴108310)+人愴愴3)=8.

又/(lglog310)=5,故/(Iglg3)=8-5=3

故選：C

tzx2-x——xW1

5.已知函數(shù)/(x)=J4'"是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

logax-l,x>l

答案：B

分函數(shù)/(x)在R上的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增求解.

，1

6EX—X------xW]

解：當(dāng)函數(shù)4'一是R上的單調(diào)遞減函數(shù),

log“x-l,x>l

0<a<l

所以〈丁21，解得—WQ<一,

2a42

ci->—1

I4

因為a>0且aHl,

所以當(dāng)xWl時，/(x)不可能是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在R上不可能是增函數(shù)，

綜上：實數(shù)〃的取值范圍為，

_42_

故選：B

(7rl

6.已知用為正實數(shù)，且^一L+tan2x?15對任意的實數(shù)xxwAt+7/eZ均成立，則/"的最小值為

sin2xk2J

()

A.1B.4C.8D.9

答案：D

—^-+tan2x>15=>7/7>[15sin2x-tan2xsin2x),后利用同角三角函數(shù)關(guān)系及基本不等式可得答

SilTX\'nux

案.

1兀|均成立，

解：由一+tai?》215對任意的實數(shù)kn+—,keZ

sin"x\2?

可得加之(15sin2x-tan2xsin2x).

\(1-COS2X)2

2222X2

15sinx-tanxsinx=15(l-cosx)-2-15(l-cosX)2

\7cos-x'/cosX

=17-|16cos2x+——\—|<17-2/16cos2x?———=’"當(dāng)且僅當(dāng)16cos2》=—二，即

Icosx)vcosXcosX

1

cos9x=-時取等號.則加29.

4

故選：D

7.設(shè)Q=sin7,則()

a

A.CT<2<log2|tz|B.log?同<2"<片

2a26/

C.a<log2|（i|<2D,Iog2|tz|<6r<2

答案：D

分別判斷出;</<；,應(yīng)<2“<2孝，-l<log2|a|<-^,即可得到答案.

解：a=sin7=sin（7-2^）.

因為色<7—2乃〈生，所以_1<。<變.

6422

_1,1

所以一<;

42

因為y=2'在R上為增函數(shù)，所以Q=2；<2°<2冬

因為y=log2%在（0,+8）上為增函數(shù)，且〈告所以log2g〈log?同〈log2日，即

T<log21al<-g；

所以log2同<2".

故選：D

8.設(shè)函數(shù)/（力=m85（為+々）+〃005（%+/7）,其中加，n,a,/?為已知實常數(shù)，xeR,若

〃0）=/s=0,則（）

A.對任意實數(shù)x,/（x）=0B.存在實數(shù)x,/（x）H0

C.對任意實數(shù)x,/（x）>0D.存在實數(shù)x,/（x）<0

答案：A

根據(jù)/(0)=于(一)=0,可推出mcosa--/tcos/7,msina--nsin/3,整理化簡后可得加=〃或m=-〃,

分類討論，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，即可判斷答案.

解：由題意知/(O)=/(,)=0,即〃？cosa+”cos/?=-/Msina-nsin/?=0,

即wcosa=-〃cos/7,msina=-〃sin/7,

兩式兩邊平方后可得m2=n2＞故機=〃或〃?=一〃，

若加="w0,則cosa=-cos/7,sina=-sin/7,故e=/7+7t+2E,左eZ,

此時f(x)=mcos(x+/?+兀+2kji)+mcos(x+/?)=-mcos(x+/?)+wcos(x+/7)=0,

若加=-〃H0,則cosa=cos/7,sine=sin/7,故a=/7+2E,ZceZ,

此時f(x)=mcos(x+/3+2lat)-mcos(x+/7)=0,

若加=〃=()或/%=-〃=0,則/(x)=0,故對任意實數(shù)x,/(x)=0,

則A正確，B,C,D錯誤，

故選:A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知等式化簡得到〃2和〃之間的關(guān)系，然后分類討論，化

簡即可解決問題.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.下列三角函數(shù)值為魚彈的是()

(3吟

A.tan---B.tan505°C.sin7.6乃D.sin186°

I4J

答案：BCD

根據(jù)誘導(dǎo)公式，逐個選項進行計算，即可判斷答案.

(3萬、3)

解：對于A,tan一一—=-tan—=-(-1)=1,故A為正數(shù)；

14；4

對于B,tan505°=tan(360°+145°)=tan145°=-tan350<0,故B為負數(shù);

27r

對于C,sin7.6^-=sin(8^--0.4^-)=-siny<0,故C為負數(shù)；

對于D,sin186°=sin(l80°+6°)=-sin60<0,故D為負數(shù);

故選：BCD

10.下列計算或化簡結(jié)果正確的是()

什?八八1八cos9小,,12sinxc

A.右sin。?cos9=_,tan6+-------=2B.右tanx=—,則-----------=2

2sin。2cosx-sinx

C.若sina=?亞，則tana=2

D.若。為第二象限角，則

5

cosasina八

/.,：+/L=2

Vl-sin2aA/1-COS2a

答案：AB

cinty

利用siYa+cos2a=l,tana=-結(jié)合三角函數(shù)在各個象限的符號，逐項進行化簡、求值即得.

cosa

LT3y.八八1八cos。sin。cos?1_工心十網(wǎng)

解：對于A選項：sinOcosS=—,tan^4--------=---------1--------=--------------=2,故A正確；

2sin。cosJsin。sin6cos8

2x1

對于B選項：tanx=—,則一窩‘11"-=Jtanx.=---^=2,故B正確；

2cosx-sinx1-tanx〔_工

~2

對于C選項：;a范圍不確定，tana的符號不確定，故C錯誤；

對于D選項：Qa為第二象限角，.?.sina〉。,cosa<0,

cosasinacosasinacosasina

--------1—；----0,故D錯誤.

Jl-sin2aJl—cos2a|costz||sina|cosasina

故選：AB.

11.定義域和值域均為[-4,。]的函數(shù)^=/(力和丁=8(耳的圖象如圖所示，其中a>c>/?>0,下列四

個結(jié)論中正確的有()

A.方程/[g(x)]=0有且僅有三個解B.方程g[/(1)]=0有且僅有三個解

C.方程/[/(x)]=0有且僅有八個解D.方程g[g(x)]=O有且僅有一個解

答案：ABD

通過利用，=/(X)和r=g(x),結(jié)合函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象，分析每個選項中外層函數(shù)的零點,

再分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.

解：由圖象可知，對于方程y=/(x),當(dāng)一a?y<-c或c<y〈a,方程y=/(x)只有一解；

當(dāng)y=±c時，方程y=/(x)只有兩解；當(dāng)一c<y<c時;方程丁=/(力有三解；

對于方程丁=8(力，當(dāng)-aWyWa時，方程y=g(x)只有唯一解.

對于A選項，令r=g(x),則方程/(/)=()有三個根4=-b,q=0，t3=b，

方程g(x)=-b、g(x)=O、g(x)=A均只有一解,

所以，方程/[g(x)]=O有且僅有三個解，A選項正確；

對于B選項，令t=/(x),方程g(f)=O只有一解乙=人，

方程/(x)=人只有三解，所以，方程g[/(x)]=()有且僅有三個解，B選項正確；

對于C選項，設(shè)f=/(x),方程/(。=0有三個根乙=一人，q=0，4=人，

方程/(x)=R有三解，方程〃x)=0有三解，方程〃x)=人有三解，

所以，方程/[/(x)]=0有且僅有九個解，C選項錯誤；

對于D選項，令r=g(x),方程g(f)=O只有一解乙=6,方程g(x)=〃只有一解，

所以，方程g[g(x)]=O有且僅有一個解，D選項正確.

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的零點個數(shù)問題，求解思路如下：

(1)確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=/(a)；

(2)確定外層函數(shù)y=/(〃)的零點u=u.t(i=1,2,3,???,?)；

⑶確定直線“=%(i=l,2,3,)與內(nèi)層函數(shù)"=g(x)圖象的交點個數(shù)分別為q、2、%、L、%,

則函數(shù)y=，［g(x)］的零點個數(shù)為q+4+4+…+4,?

v*T

12.已知函數(shù)〃x)=1^—2'(x〉l),^(x)=—j--log2x(x>l)零點分別為a,夕，給出以下結(jié)

論正確的是()

3

A.a+/3-\B.a+fi=apC.a-(3<--D.a-/3>-2

答案：BD

x(y

先說明y='一,xHl的圖象關(guān)于直線y=x對稱，由題意可得a=log,￡,〃=2a,且力=2"=一上一，

x-］a-\

化簡可得a+￡=a分，判斷B;寫出a+月的表達式，利用基本不等式可判斷二+/>4,判斷A；利用零點

313

存在定理判斷出二<a<2,寫出a—，的表達式，由此設(shè)函數(shù)〃(x)=x-l-----,(-<%<2),根據(jù)其單

2x-12

調(diào)性可判斷C,D.

xV

解：對于函數(shù)y=——,x#l,有8=—

x-1y-1

x

即函數(shù)y=——,XW1的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

x-1

Yy

由題意函數(shù)〃力=」——2%x〉l),g(x)=——一小2%(%>1)的零點分別為a,夕，

x—\x-\

Y

可知。為丁=——,y=2',(x>l)的圖象的交點的橫坐標，

X—1

V-

夕為^=一：，丫=1。82元(》>1)的圖象的交點的橫坐標，

X—1

如圖示,可得4a,2a),3(p,log2￡),且A8關(guān)于直線y=x對稱，

a-\

故尸（2—1）一。=0,即a+/?=。/,故B正確;

由題意可知

所以a+/?=a-l+a+1=^-1+--——F2>2.（a-1）-F2>4,

a-\a-1va-I

2

由于/（2）=-------2?=—2w0,r.ow2,即a+/?>4,A錯誤；

2—1

3

MAJ2l2

因為__22=3_2a>0,f（2）=^-22=-2<0,

2-1

且〃x）=±—2'+l（x>l）為單調(diào)減函數(shù)，

x33

故"X）=,—2%X>1）在號2）上存在唯一的零點，即]<a<2,

a13

故a—。=a--------=a—1--------,（一<a<2）,

a-\a-\2

13

設(shè)h（）=x-1-------,（-<x<2）,則該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

xx-12

故版x）〉/z（5）=5_l_q=5_2〉_2,且以2_]__L:0,故_2<_3<&_夕<0,

--12-12

故C錯誤，D正確，

故選：BD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題要注意到函數(shù)圖象的特點，即對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推

a

得A（a,2a）,B（0,log,0,且A,6關(guān)于直線y=%對稱，從而可得a=log,△4=2&,且夕=2"=—匕

a-\

然后寫出。+，以及a—/?的表達式，問題可解.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

sin（。一3]cos[羽+e]tan（兀-6）（兀、1（5n、

13已知〃。）=【人若/卜吁針則仁+。的值為——

tan（-^-7r）sin（<9-7r）

答案：一§

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡〃夕），結(jié)果為cos。，結(jié)合=：可得cosG_0）=L再利用誘

Vo）363

導(dǎo)公式化簡/償+。）為一cos7g1—6）,即得答案.

6

sin]。-Acos[電+e]tan(兀-6).

解：由題意(2)(2J'7_(-cos^)sin^(-tan0)

=COS0

tan(一。一兀)sin(。一兀)(-tan0)(-sin0)

由/=,可得cos(工_。)=:，

<6)363

故/[看+ej=COS營+6]=8§[兀_(己_6)[=_8§吟一夕)=一§,

故答案為：-;

14.若正數(shù)〃，。滿足logz^+logd人=8,k)g4a+log88=2,則logg。+log?/?值為.

答案：一二

3

loga=20

根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)列出方程組求出《2，?即可求解?

log2b=-24

解：因為log2a+k)g4人=8,所以log2a+；log26=8,

又因為Iog4a+log88=2,所以glog?a+glog2b=2,

log6r+ylog/?=8

22loga=20

聯(lián)立彳2]解得<2

log2b=-24'

-log2?+-log2/?=2

、乙D

所以

log8a+log2b=-log2a+log2b=--—,

52

故答案為：----.

3

15.己知實數(shù)。力￡。2],且8+4"=4"，則2"-2"的最大值是.

答案：2

88

由己知可得2"-2"=]——----,令尤=2"，構(gòu)造函數(shù)/（》）=I——:—,xe[l,4],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

48+4"+2"J8+/+X

性，即可求出最大值.

解：解：由8+4"=4"，

可知8=4〃—4"=（2"）2—（2"7=（2"+2"）（2〃一2"）,

Q

則外一2“=才正，且有2"=應(yīng)彳

...2〃_2"=8----

，8+4"+2"’

令x=2"，?e[0,2]

Q

/（x）=^=—”[1,4],

\JS+x~+x

可知/（X）在[1,4]上單調(diào)遞減，

/⑴=--=§=2,

二/MaxV8+1+14

即2"一2"的最大值是2，

故答案為：2.

16.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量產(chǎn)（單位：mg/L）與時間/（單位：h）

間的關(guān)系為P=《e?,其中A，左是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，那么經(jīng)過h污染

物減少50%（精確到lh）?取1g0.5=-0.3,1g0.9=-0.045

答案:33

代入給定的公式即可求解.

解：由題知，

當(dāng)f=0時，解得尸=4，

當(dāng)，=5時，

P=（l—10%）《=《e-",解得：左=—Jn0.9,

所以P=E）0.9"

當(dāng)P=50%%時，

￡

則有：40.於=50%4=0.54，

即0."=0.5'

解得：'=5log090.5=5x，=5x———-33.

lg0.9-0.45

故答案為：33.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.若a,且(l+sin%卜in/7=sinccosacoss.

(1)解關(guān)于x的不等式tan萬/一》85?+1211/7<0的解集(解集用a的三角值表示)；

(2)求tan￡的最大值.

答案：(1)|x|sina<x<―一>

[sinaJ

(2)顯

4

QinryCCS

⑴根據(jù)題意tan夕一用。的三角函數(shù)值替換夕的三角函數(shù)值，從而解一元二次不等式即可;

1+sina

(2)利用基本不等式求解.

【1詳解】

csinacosa..八

tan￡=-------——，..sinax2一判1+si-n2o)\+smavO,

l+sin-a'7

(sincr-x-l)(x-sina)<0,因為sinav―—

sina

所以sina<xv---,

sina

/.原不等式解集\x\sina<x<［；

sina

【2詳解】

sinacosatanitana_V2

2WL

tan0=-----9--------9-=2

2sin~a+cos~a2tarr。+12J2tana—4'

當(dāng)且僅當(dāng)2tan2a=1即tana=也時取得等號.

2

18.中國最早用土和石片刻制成“土主”與“日暑”兩種計時工具，成為世界上最早發(fā)明計時工具國家之一.

銅器時代，使用青銅制的“漏壺”，東漢元初四年張衡發(fā)明了世界第一架“水運渾象”，元初郭守敬、明初詹希

元創(chuàng)制“大明燈漏”與“五輪沙漏”，一直到現(xiàn)代的鐘表、手表等.現(xiàn)在有人研究鐘的時針和分針一天內(nèi)重合的

次數(shù)，從午夜零時算起，假設(shè)分針走了nnin會與時針重合，一天內(nèi)分針和時針重合〃次.

(1)建立/關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系；

(2)求一天內(nèi)分針和時針重合的次數(shù)〃.

720

答案：(1)?=胃〃.

(2)22次.

(1)計算出分針以及時針的旋轉(zhuǎn)的角速度，由題意列出等式，求得答案；

(2)根據(jù)時針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間，結(jié)合(1)的結(jié)果，列出不等式，求得答案.

[1詳解】

設(shè)經(jīng)過/min分針就與時針重合，〃為兩針一天內(nèi)重合的次數(shù).

27rIT

因為分針旋轉(zhuǎn)的角速度為en^Uad/min),

6030v)

27rJr兀兀

時針旋轉(zhuǎn)的角速度為——=—(rad/min),所以t=2Tin,

12x60360v30360

720

即Hn/=---n.

11

【2詳解】

因為時針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間為24x60=1440(min),

720

所以—〃W1440,于是〃422,

11

故時針與分針一天內(nèi)只重合22次.

19.在平面直角坐標系xOy中，。是坐標原點，角a的終邊Q4與單位圓的交點坐標為m<0),

射線。4繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)6弧度后交單位圓于點B,點、B的縱坐標y關(guān)于。的函數(shù)為>=/(8).

⑵若〃e)=乎,6>e(O,7r),求tan(6-弓)的值.

答案：(1)/(e)=sin(e+V1_

2

V39

(2)

"V

(1)根據(jù)特殊值對應(yīng)的特殊角及三角函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)值的定義即可求解；

(1)根據(jù)(1)的結(jié)論及誘導(dǎo)公式，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可求解.

【1詳解】

因為sina=-2，且加<0,所以a=?,由此得/⑻=sin［

26k6；

【2詳解】

由/(6)=日6知sin(g+e.八71

-sin9+一一彳,即sin6?+-

47I6l6

由于6€(0,兀)，得8+色已申］，與此同時sin［e+2)<0,所以cosR+2)<0

由平方關(guān)系解得：cosf^+-1=--,

I6)4

20.已知函數(shù)/(6=聞5,-2-1+。回5'+2一1(0為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=l,求/［一；］的值；(參考數(shù)據(jù)：1g3=0.5,lg5=0.7)

(2)若函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，求『(X)在區(qū)間［-2,-1］上的值域.

999

答案：(1)0.3(2)lg—,1g—

(1)結(jié)合指數(shù)和對數(shù)運算公式計算；

(2)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列方程求。，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域.

[1詳解】

當(dāng)a=l時,〃力=虱25*—4-1,此時

-119

252-42=lg--2=lg|=21g3-lg5-1-0.7=0.3

【2詳解】

函數(shù)/3=回5'-2一1+“回5'+2-1的定義域為(一8,0)U(0,+w),

=1g",—2']+alg卜+2,]=1g+alg號￡

-lg|l-10'|-lg5'+?(lg|l+10v|-lg5')

/(x)=1g"-21+alg,+2-「卜1g琮I+alg號匚

=lg|10'-l|-lg2'+?(lg|l+10'j-lg2j

由偶函數(shù)的定義得恒有f(x)=f(-x)

即：-Ig5v-alg5'=-lg2v-?lg2v也就是恒有(lg2,-lg5)a=lg5,-lg2\所以a=T

當(dāng)x?-2，T時，小)=愴(2'5')-愴(5，+27)=愴品$=愴11+高)，

因為函數(shù)y=10，+l為上的增函數(shù)，所以“X)在卜2,—1]單調(diào)遞減，

QQQ

XG[-2,-1],/(x)elg—,1g—

999

故/(x)在上值域lg—,1g—

21.武漢城市圈城際鐵路，實現(xiàn)了武漢城市圈內(nèi)半小時經(jīng)濟圈體系.據(jù)悉一輛城際列車滿載時約為550人,

人均票價為4元，十分適合城市間的運營.城際鐵路運營公司通過一段時間的營業(yè)發(fā)現(xiàn)，每輛列車的單程營

業(yè)額y(元)與發(fā)車時間間隔/(分鐘)相關(guān)；當(dāng)間隔時間到達或超過12分鐘后，列車均為滿載狀態(tài)；當(dāng)

60

8WK12時，單程營業(yè)額丫與4f一+12成正比；當(dāng)5W/W8時，單程營業(yè)額會在f=8時的基礎(chǔ)上減少,

減少的數(shù)量為40(8—

(1)求當(dāng)5W/W12時.，單程營業(yè)額F關(guān)于發(fā)車間隔時間。的函數(shù)表達式；

120

(2)由于工作日和節(jié)假日的日運營時長不同，據(jù)