湖南省郴州市匯文中學2021年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

湖南省郴州市匯文中學2021年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（﹣3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為（）A．（﹣3，0）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）參考答案：A【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】利用R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（﹣3）=0，可求得f（3）=0，從而可作出其圖象，即可得到答案．【解答】解：由題意得：∵f（﹣3）=﹣f（3）=0，∴f（3）=0，又f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴當0＜x＜3時，f（x）＜0，當x＞3時，f（x）＞0，又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，f（﹣3）=0，∴當x＜﹣3時，f（x）＜0，當﹣3＜x＜0時，f（x）＞0，其圖象如下：∴不等式xf（x）＜0的解集為：{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}．故選A．【點評】本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，難點在于作圖，著重考查奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．2.關(guān)于函數(shù)，下列敘述有誤的是（

）A．其圖象關(guān)于對稱直線對稱B．其圖象可由圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫紺.其值域是[－2,4]D．其圖象關(guān)于點對稱參考答案：D3.函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.下列命題的說法錯誤的是(

)A．若復合命題為假命題，則都是假命題．B．“”是“”的充分不必要條件．C．對于命題則．D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”．參考答案：A

【知識點】全稱命題；復合命題的真假．A2解析：若為假命題，則至少有一個為假命題．故選A．【思路點撥】本題考查的是全稱命題、復合命題的真假問題、充要條件等．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學們體會反思．5.函數(shù)f（x）=3sin（x+）在x=θ時取得最大值，則tanθ等于（）A． B． C．D．參考答案：D【考點】三角函數(shù)的最值．【分析】由題意，函數(shù)f（x）=3sin（x+）在x=θ時取得最大值，θ=2kπ+，（k∈Z），即可求出tanθ．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=3sin（x+）在x=θ時取得最大值，∴θ=2kπ+，（k∈Z）∴tanθ=，故選D．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．6.函數(shù)＞，且的圖象恒過定點A，若點A在直線上(其中m，n＞0)，則的最小值等于(

)A.16 B.12 C.9 D.8參考答案：D7.定義兩種運算：，，則函數(shù)是（

）A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、奇函數(shù)且為偶函數(shù) D、非奇函數(shù)且非偶函數(shù)參考答案：A8.已知均為正實數(shù)，定義，若，則的值為（

）A、

B、

C、

D、或參考答案：C略9.我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”其中“冪”即是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體的體積相等，已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為A. B. C. D.參考答案：B由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相等，由三視圖知幾何體是一個正方體去掉一個半圓柱，如圖：正方體的體積為，半圓柱的體積為，從而其體積為，故選B．

10.已知平面直角坐標系上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x，y)為D上動點，點A的坐標為(，1)．則的最大值為

A.3

B.4

C.3

D.4參考答案：B

本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、不等式組表示的可行域以及借助于數(shù)形結(jié)合求最值的能力，難度中等。

作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，且，即為，z的幾何意義是斜率為的直線在y軸上的縱截距，當目標函數(shù)經(jīng)過點時取得最大值4.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且則______.參考答案：12.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圓O的切線CD，作BD⊥CD于D，交圓O于點E，給出下列四個結(jié)論：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC2=BD?BA；④CE∥AB；則其中正確的序號是

．參考答案：①②③④【考點】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；推理和證明．【分析】利用直角△ABC的邊角關(guān)系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的邊角關(guān)系即可得出CD，BD．再利用切割線定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC2=BD?BA；證明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB?sin60°=4．[來源:學&科&網(wǎng)]∵CD是此圓的切線，∴∠BCD=∠A=60°，即①正確．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=2，BD=BC?sin60°=6．由切割線定理可得CD2=DE?DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正確．∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC2=BD?BA，即③正確；④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正確；故答案為：①②③④．【點評】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、弦切角定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．13.將一枚質(zhì)地均勻的骰子（各面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）連續(xù)拋擲兩次，記面朝上的數(shù)字依次為a和b，則的概率為

．參考答案：基本事件共6×6個，∵，∴（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1、6）、（2，5）、（2，6）共6個，故概率為=．故答案是:．

14.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R，若函數(shù)f（x）的最小值為f（﹣1）=0，則f（x）=．參考答案：x2+2x+1【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】通過二次函數(shù)的頂點坐標，得到參數(shù)a，b的方程，從而求出a，b的值，得到函數(shù)的解析式．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1的最小值為f（﹣1）=0，∴，∴，∴f（x）=x2+2x+1．故答案為：x2+2x+1．15.曲線在點

處的切線傾斜角為__________；參考答案：135°16.設(shè)有序集合對滿足：，記分別表示集合的元素個數(shù)，則符合條件的集合的對數(shù)是________.參考答案：44對由條件可得。當時，顯然不成立；當時，則，所以，符合條件的集合對有1對；當時，則，所以A中的另一個元素從剩下6個數(shù)中選一個，故符合條件的集合對有對；當時，則，所以A中的另兩個元素從剩下6個數(shù)中選2個，故符合條件的集合對有對；當時，則，矛盾；由對稱性，剩下的幾種情況類似，故符合條件的集合的對數(shù)是對。

17.已知函數(shù)，則f(2019)=

．參考答案：1010三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知是等差數(shù)列的前n項和，數(shù)列是等比數(shù)列，恰為的等比中項，圓，直線，對任意，直線都與圓C相切.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若時，的前n項和為，求證：對任意，都有參考答案：設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以恰為與的等比中項,,所以,解得………7分所以……8分

(Ⅱ)時,而時,………10分所以……………12分說明:本問也可用數(shù)學歸納法做.19.（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）設(shè)a1，b1（k=1，2…，n）均為正數(shù)，證明：（1）若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，則…≤1；（2）若b1+b2+…bn=1，則≤…≤b12+b22+…+bn2．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；不等式的證明．【專題】計算題；證明題；綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）求導，令導數(shù)等于零，解方程，分析該零點兩側(cè)導函數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最終求得函數(shù)的最值；（Ⅱ）（1）要證…≤1，只需證ln≤0，根據(jù)（I）和∵ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)nak≤ak﹣1，即可證明結(jié)論；（2）要證≤…，根據(jù)（1），令ak=（k=1，2…，n），再利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則即可證得結(jié)論；要證…≤b12+b22+…+bn2，記s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），同理可證．【解答】解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當x＞1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；故函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，當x∈（0，+∞）時，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)nak≤ak﹣1，得bklnak≤akbk﹣bk（k=1，2…，n），求和得≤a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn）∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，∴≤0，即ln≤0，∴…≤1；

（2）先證≤…，令ak=（k=1，2…，n），則a1b1+a2b2+…+anbn≥1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即≤nb1+b2+…bn=n，∴≤…，②再證…≤b12+b22+…+bn2，記s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），則a1b1+a2b2+…+anbn=（b12+b22+…+bn2）=1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即…≤sb1+b2+…bn=s，∴…≤b12+b22+…+bn2，綜合①②，（2）得證．【點評】此題是個難題．本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列的通項公式滿足，求數(shù)列的前項和。參考答案：⑴由，當時得，

當時得，又滿足上式，所以：數(shù)列的通項公式為.

⑵由.

所以，得

相減得：∴.21.如圖，已知橢圓的上頂點為,離心率為，若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

參考答案：（1）（2）略

解析：解：（1）解：∵橢圓C：+y2=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為，∴=，解得a2=3，∴橢圓C的方程為．（2）解：由=0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，由A（0，1），直線AP的斜率為1，得直線AP的方程為y=x+1，直線AQ的方程為y=﹣x+1，將y=x+1代入橢圓C的方程，并整理得：4x2+6x=0，解得x=0或x=﹣，因此P的坐標為（﹣，﹣），同理，得Q（，﹣）．直線l的方程為y=﹣．代入橢圓的方程并整理得,

設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實數(shù)解，從而

…………………7分

由得，整理得：由知. 此時,因此直線過定點.

………14分

略22.某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)