八年級數(shù)學下冊專題16.1 二次根式【九大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

PAGE14專題16.1二次根式【九大題型】【人教版】【題型1根據(jù)二次根式概念判斷二次根式】 1【題型2根據(jù)二次根式的定義求字母的值】 2【題型3根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】 4【題型4根據(jù)二次根式有意義條件求值】 4【題型5利用二次根式的性質化簡（數(shù)字型）】 6【題型6利用二次根式的性質化簡（字母及復合型）】 7【題型7根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質化簡二次根式】 9【題型8含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】 10【題型9復雜的復合型二次根式化簡】 12【知識點1二次根式的定義】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).【題型1根據(jù)二次根式概念判斷二次根式】【例1】（2022春?寧津縣期末）下列各式中，一定是二次根式的個數(shù)為（）3，m，x2+1，34，-m2-1，a3（a≥A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．【解答】解：3一定是二次根式；當m＜0時，m不是二次根式；對于任意的數(shù)x，x2+1＞0，則x234﹣m2﹣1＜0，則-ma3當a＜12時，2a+1可能小于故選：A．【變式1-1】（2022春?順平縣期末）下列各式是二次根式的是（）A．-2 B．-2 C．32 D【分析】根據(jù)二次根式的定義，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．【解答】解：A、-2無意義，故A不符合題意；B、-2是二次根式，故BC、32不是二次根式，故CD、x（x≥0）是二次根式，故D不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2022春?宜城市期末）在式子2，33，x2+1，xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次根式的定義，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．【解答】解：在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有2共有2個，故選：B．【變式1-3】（2022春?鳳慶縣期末）下列各式：5、a2，-3，38，x-1(x?1)A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】利用二次根式的定義對每個式子進行判斷即可．【解答】解：∵式子a（a≥0）是二次根式，∴5，a2，x-1（x≥1），x2+2x+1是二次根式，-3∴一定是二次根式的有：5，a2，x-1（x≥1），x故選：B．【題型2根據(jù)二次根式的定義求字母的值】【例2】（2022春?萊州市期末）若12n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12【分析】根據(jù)12＝22×3，若12n是整數(shù)，則12n一定是一個完全平方數(shù)，據(jù)此即可求得n的值．【解答】解：∵12＝22×3，∴12n是整數(shù)的正整數(shù)n的最小值是3．故選：B．【變式2-1】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）若80n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先化簡80，然后根據(jù)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：∵80=45∴正整數(shù)n的最小值是：5．故選：D．【變式2-2】（2022春?信州區(qū)校級月考）當x＝-12時，代數(shù)式3-2x+1有最大值，其最大值是【分析】根據(jù)二次根式的非負性分析求值．【解答】解：∵2x+1≥0∴-2x+1≤∴3-2x+1≤∴當2x+1＝0時，即x=-13-2x+1有最大值為3故答案為：-12；【變式2-3】（2022?金牛區(qū)校級自主招生）已知a為實數(shù)，則代數(shù)式27-12a+2aA．0 B．3 C．33 D．【分析】把被開方數(shù)用配方法整理，根據(jù)非負數(shù)的意義求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式==2(=2∴當（a﹣3）2＝0，即a＝3時代數(shù)式27-12a+2a2的值最小，為9故選：B．【知識點2二次根式有意義的條件】（1）二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)；（2）二次根式具有非負性：a≥0【知識點3判斷二次根式有意義的條件】如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．【題型3根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】【例3】（2022春?來鳳縣期末）若代數(shù)式15x-1在實數(shù)范圍內有意義，則A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．【解答】解：∵15x﹣1≥0∴x≥5．故選：B．【變式3-1】（2022春?泰山區(qū)期末）若式子a+1a-2有意義，則aA．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞﹣1【分析】既要使二次根式a+1有意義，即a+1≥0，又要使分式有意義，即a﹣2≠0即可．【解答】解：由題意得，a+1≥0且a﹣2≠0，即a≥﹣1且a≠2，故選：C．【變式3-2】（2022春?泰山區(qū)期末）若(3x-4)2=4-3x，則x的取值范圍是x≤【分析】根據(jù)二次根式的性質列出不等式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：4﹣3x≥0，∴x≤4故答案為：x≤4【變式3-3】（2022春?睢縣期中）若4x6-|x|有意義，則x的取值范圍為x≥0且x≠6【分析】應從兩方面考慮x的取值范圍：分母不為0和二次根式有意義．【解答】解：由4x6-|x|有意義，則6﹣|x|≠0且4x≥0解得x≥0且x≠6．【題型4根據(jù)二次根式有意義條件求值】【例4】（2022春?海淀區(qū)校級期末）已知a，b都是實數(shù)，b=1-2a+4a-2-2，則ab的值為【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：由題意可得，1-2a≥04a-2≥0解得：a=1則b＝﹣2，故ab的值為（12）﹣2＝4故答案為：4．【變式4-1】（2022春?西湖區(qū)校級期中）某數(shù)學興趣小組在學習二次根式a2A．在a＞1的條件下化簡代數(shù)式a+a2-2a+1的結果為2aB．a+a2-2a+1的值隨a變化而變化，當aC．當a+a2-2a+1的值恒為定值時，字母a的取值范圍是aD．若a2-2a+1=(a-1)2【分析】根據(jù)二次根式的性質，得到a2-2a+1=|a﹣【解答】解：a2-2a+1=|a﹣當a＞1時，a+a2-2a+1=a+a﹣1＝2當a＝1時，a+a2-2a+1=a+a﹣1＝2a﹣當a＜1時，a+a2-2a+1=a﹣a因此A選項、C選項、D選項均正確，只有B選項不正確，故選：B．【變式4-2】（2022春?海安市校級月考）若x，y是實數(shù)，且y＜x-1+1-x+12【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x-1≥01-x≥0，解不等式組可得x＝1，進而可得y＜12，再根據(jù)絕對值的性質可得1﹣y【解答】解：由題意得：x-1≥01-x≥0解得：x＝1，則y＜1|1-y|y-1=故答案為：﹣1．【變式4-3】（2022?勃利縣期末）已知a滿足|2017﹣a|+a-2018=a，則a﹣【分析】先依據(jù)二次根式有意義得到a≥2018，進而化簡原式求出答案．【解答】解：∵|2017﹣a|+a-2018=∴a﹣2018≥0，故a≥2018，則原式可變?yōu)椋篴﹣2017+a-2018=故a﹣2018＝20172，則a﹣20172＝2018．故答案為：2018．【知識點4二次根式的性質】性質1：a2=a（a≥0性質2：a2=a=a（a≥0【題型5利用二次根式的性質化簡（數(shù)字型）】【例5】（2022春?平山縣期末）二次根式(-2)A．﹣2 B．2或﹣2 C．4 D．2【分析】根據(jù)算術平方根的意義，可得答案．【解答】解：(-2)2=2故選：D．【變式5-1】（2022春?金東區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．9=±3 B．22+32=5 C．4【分析】根據(jù)二次根式的性質即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合題意．B、原式=4+9=13C、原式＝2，故C符合題意．D、原式＝3，故D不符合題意．故選：C．【變式5-2】（2022春?樂清市期末）當a＝5時，二次根式4+a的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】把a＝5代入式子中，進行計算即可解答．【解答】解：當a＝5時，二次根式4+a=4+5故選：A．【變式5-3】（2022春?辛集市期末）下列各式中，正確的是（）A．25=±5 B．-(5)2=5 【分析】根據(jù)算術平方根的定義，二次根式有意義的條件，立方根的定義可進行判斷．【解答】解：A．∵52＝25，∴25=5，AB．∵-(5∴-(5)2C.1614=D.3(18故選：D．【題型6利用二次根式的性質化簡（字母及復合型）】【例6】（2022?泗水縣二模）已知y=(x-3)2-x+4，當x分別取正整數(shù)1，2，3，4，5，…，2022A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【分析】根據(jù)二次根式的性質得出當x﹣3≥0時，y＝1；當x﹣3＜0時，y＝7﹣2x，分別求出x＝1，x＝2時，y的值，再求出答案即可．【解答】解：y=(x-3)2-x+4＝|x﹣3|當x﹣3≥0，即x≥3時，y＝x﹣3﹣x+4＝1；當x﹣3＜0，即x＜3時，y＝3﹣x﹣x+4＝7﹣2x，當x＝1時，y＝5，當x＝2時，y＝3，所以當x分別取正整數(shù)1，2，3，4，5，…，2022時，所對應y值的總和5+3+1+1+1+1+???+1＝9+2019×1＝9+2019＝2028，故選：C．【變式6-1】（2022秋?南昌期末）閱讀下面的解題過程，判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答．已知m為實數(shù)，化簡：-解：原式=-m=(-m-1)-m【分析】根據(jù)二次根式的性質，m-1m成立，則【解答】解：不正確，根據(jù)題意，m-1m成立，則--＝m-m＝m-m＝（m+1）-m．【變式6-2】（2022春?鳳凰縣月考）若式子4-4a+a2與a2-8a+16的和為2，則a的取值范圍是2≤a【分析】根據(jù)二次根式的性質，得出a﹣2≥0且a﹣4≤0，進而確定a的取值范圍．【解答】解：∵4-4a+=(a-2＝|a﹣2|+|a﹣4|，當a＞4時，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6，因此不符合題意；當2≤a≤4時，原式＝a﹣2+4﹣a＝2，因此符合題意；當a＜2時，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a，因此不符合題意；∴2≤a≤4，故答案為：2≤a≤4．【變式6-3】（2022?綿陽模擬）等式x2(x+1)=-xA． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍．【解答】解：由題意可知：x≤0x+1≥0解得：﹣1≤x≤0，故選：A．【題型7根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質化簡二次根式】【例7】（2022春?黃驊市期中）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如下圖：化簡代數(shù)式a2-|a+b|+(c-a)2+|b+c【分析】首先根據(jù)數(shù)軸確定a、b、c的符號，再由二次根式的性質及有理數(shù)的加減法法則確定各個絕對值里面的式子的符號，然后去掉絕對值符號，從而對所求代數(shù)式進行化簡．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可以得到：b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，∴a2-|a+b|+(c-a)2+|＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|，＝﹣a+（a+b）+（c﹣a）﹣（b+c），＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，＝﹣a．故答案為：﹣a．【變式7-1】（2022?寧波）已知：a＜0，化簡4-(a+1a)【分析】根據(jù)二次根式的性質化簡．【解答】解：∵原式=又∵二次根式內的數(shù)為非負數(shù)∴a-1∴a＝1或﹣1∵a＜0∴a＝﹣1∴原式＝0﹣2＝﹣2．【變式7-2】（2022?廣饒縣期末）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡下列代數(shù)式的值a2-(c-a+b)2+|b+c|【分析】根據(jù)數(shù)軸得出＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，根據(jù)二次根式的性質得出|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b，去掉絕對值符號后合并即可．【解答】解：∵從數(shù)軸可知：a＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，∴原式＝|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b＝﹣a﹣c+a﹣b+b+c﹣b＝﹣b，故答案為：﹣b．【變式7-3】（2022春?禹州市校級月考）已知1＜x＜3，求1-2x+x【分析】利用x的取值范圍，結合完全平方公式將原式開平方求出答案．【解答】解：∵1＜x＜3，∴1-2x+=(x-1＝x﹣1+4﹣x＝3．【題型8含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】【例8】（2022?建湖縣一模）2、6、m是某三角形三邊的長，則(m-4)2A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4【分析】直接利用三角形三邊關系得出m的取值范圍，進而化簡二次根式得出答案．【解答】解：∵2、6、m是某三角形三邊的長，∴4＜m＜8，∴m﹣4＞0，m﹣8＜0，∴(m-4)＝m﹣4﹣（8﹣m）＝m﹣4﹣8+m＝2m﹣12．故選：A．【變式8-1】（2022春?辛集市期末）已知xy＜0，化簡：x-yx2=【分析】根據(jù)題意可知，y＜0，然后對二次根式進行化簡，根據(jù)xy＜0，去絕對值號．【解答】解：∵二次根式x-∴y＜0，∵xy＜0，∴x＞0，∴x-故答案為：-y．【變式8-2】（2022?徐匯區(qū)校級月考）如果a，b，c為三角形ABC的三邊長，請化簡：(a-b+c)2+(b-c-a)2=2a【分析】直接利用三角形三邊關系得出a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，進而利用二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：∵a，b，c為三角形ABC的三邊長，∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（b﹣c﹣a）＝a﹣b+c﹣b+c+a＝2a﹣2b+2c．故答案為：2a﹣2b+2c．【變式8-3】（2022春?靖江市期末）已知：m是5的小數(shù)部分，求m2【分析】先估算得到m=5-2，則1m=15-2=5+2，即1m＞m，利用完全平方公式得到原式=(【解答】解：∵m是5的小數(shù)部分，∴m=5-原式=(m-1m∵m=5-∴1m=15-2∴原式＝﹣（m-1＝﹣m+＝﹣（5-2）+＝4．【題型9復雜的復合型二次根式化簡】【例9】（2022?思明區(qū)校級期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，則a，A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】先化簡各式，然后再進行比較即可．【解答】解：a＝2021×2022﹣20212＝2021×（2022﹣2021）＝2021×1＝2021；b＝1013×1008﹣1012×1007＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007＝1012+1007+1＝2020；c==(2020-1=202=202∴2020＜2020∴b＜c＜a，故選：D．【變式9-1】（2022?興平市期中）像4-23，96-63...（1）化簡：11+230=5+6，24-6（2）若a+65=（m