級(jí)材料力11復(fù)習(xí)第8章扭轉(zhuǎn)

第8章

扭轉(zhuǎn)§

8-1

扭矩和扭矩圖§

8-2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形§

8-3圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形§

8-4強(qiáng)度條件和剛度條件§

8-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力能§8-6矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)MMOO’A§8-1桿件扭轉(zhuǎn)變形時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩和扭矩圖)一，桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形b’Bab在兩個(gè)轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，表面上原有直線ab

變?yōu)槁菪€(小變形時(shí)可認(rèn)為是直線)ab’諸橫截面繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)nMM?xnM?x分析圖示圓軸任一橫截面n—n上的內(nèi)力。仍用截面法。在n—n

截面處假想將軸截開，取左側(cè)為研究對(duì)象二，扭矩和扭矩圖nnMM?xM?xTT

=

M

e橫截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個(gè)力偶稱為該橫截面上扭矩取右側(cè)為研究對(duì)象其扭矩與取左側(cè)為研究對(duì)象數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。Mx??TnnMM?xM?xTMx??TnnMM?xM?xT扭矩符號(hào)的規(guī)定:右手螺旋法則：使卷曲右手的四指轉(zhuǎn)向與扭矩轉(zhuǎn)向相同,若大拇指的指向離開橫截面則該扭矩為正;反之為負(fù)。++用平行于桿軸線的x

坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的縱坐標(biāo)表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，稱為扭矩圖。例8-1

:作用在傳動(dòng)軸上的外力矩的大小分別為:MA=2kN.m,MB=3.5

kN.m,MC=1kN.m,MD=0.5

kN.m,試作該的扭矩圖.ABCDMAMBMCMD用力偶矩的作用面將軸分段該軸

AB

,

BC,

CD

三段ABCDMAMBMCMDACDMAMBMCMD1B1AMAT1AB

段:(假設(shè)扭矩為正)M

A

+T1

=

0T1

=

-M

A

=

-2

kN.mABCDMAMBMCMD22AMAMBB

T2BC

段:(假設(shè)扭矩為正)M

A

-

M

B

+T

2

=

0T

2

=1.5

kN.mABCDMAMBMCMD33CD

段:(假設(shè)扭矩為正)M

D

-T

3

=

0T

3

=

M

D

=

0.5

kN.mDMDT3T1

=

-2

kN.m

T

2

=1.5

kN.m

T

3

=

0.5

kN.mTx21.50.5++-ABCDMAMBMCMD從動(dòng)輪nM2M1M3三，功率，轉(zhuǎn)速與外力矩之間的關(guān)系從動(dòng)輪主動(dòng)輪一傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/min，軸傳遞的功率由主動(dòng)輪輸入，然后由從動(dòng)輪輸出。若通過某一輪所傳遞的功率為P

千瓦（kW)，則作用在該輪上的外力偶矩M

，可按以下方法求得。P

——軸傳遞的功率，(kW)n

——軸的轉(zhuǎn)速(r/min)M

——作用在軸上的外力矩，(kN.m)nM=

9.55

P

(kN.m)例題：軸上有三個(gè)齒輪。軸的轉(zhuǎn)速為n

=183.5

r/min,齒輪2

的傳動(dòng)功率P2=0.756

kW，齒輪4

的傳動(dòng)功率P4

=2.98

kW

。作軸的

扭矩圖。m2m3

m4解:

將功率轉(zhuǎn)速換算成外力矩nPm22=

39.3

N

m183.50.756=

9.55·=

9.55nPm=155

N

m442.98183.5=

9.55·=

9.55m2

=

39.3

N

mm4

=155

N

mm2m3m4DABC該軸分為AB

,BC

,CD

三段m2

=

39.3

N

mm4

=155

N

mAB

段:ATABTAB

=

0BC

段:m2ABTBC-

m

=

0TBC

2m4DTCDT

BC

=

39.3N.mCD

段:TCD+

m4

=

0TCD

=

-155N.mm2m3m4DABC-39.3N.m+155N.mT

max

=155N

mTAB

=

0T

BC

=

39.3N.mTCD

=

-155N.mm2m3m4DABCdR0d

是薄壁圓筒的厚度，R0

是平均半徑。10d

￡

R0§8-2

薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一，橫截面上的切應(yīng)力用截面法求任一橫截面n—n

上的內(nèi)力nMMMTnl薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)其任一橫截面n-n上的內(nèi)力為扭矩T。橫截面上的應(yīng)力只能是切應(yīng)力。MMl1，試驗(yàn)預(yù)先在圓筒的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。MMl2，觀察到的現(xiàn)象圓周線保持不變；縱向線都傾斜一個(gè)相同的角度。ggMMlgg3，設(shè)想薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀，大小均無改變的平面，相鄰兩橫截面繞圓筒軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。MMggttl橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力的方向必與圓周相切。MMlgg圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，用j

表示。jMMggjl圓筒表面上每個(gè)格子的直角的改變量，稱為切應(yīng)變。用g表示。gMMggjgDABCdxABDDgCCdgl圓周表面各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等。近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化。結(jié)論:薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力大小相等,并與該點(diǎn)所在的圓周相切MT4，推導(dǎo)公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力t

都是相等的，而其方向于圓周相切。τdMTτdR0R0

為薄壁圓筒平均半徑T

=

M

=

At

dA

R0=t

R0

AdA

=t

R0

(2p

R0

d)T2pR2

d0t

=MMggj二，剪切胡克定律glt

=

Gg該式稱為材料的剪切胡克定律G

稱為材料的剪切彈性模量。其單位是Pa。MMggjglt

=

Gg材料在線彈性范圍內(nèi)工作,剪切胡克定律才適用。拉(壓)，剪切彈性模量與泊松比的關(guān)系2(1+n

)EG

=§8-3

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一，橫截面上的應(yīng)力預(yù)先在圓桿的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。MMgg試驗(yàn)結(jié)果：圓周線繞桿件的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀和大小均未改變;在變形微小的情況下，圓周線之間的縱向距離也不改變;縱向線則傾斜了一個(gè)相同的角度g。MMgg剛性平面假設(shè)：變形前垂直于軸的圓形橫截面，在變形后仍保持為同樣大小的圓形平面。且半徑仍為直線。aabO1O2TTdxb1，幾何方面傾角g是橫截面圓周上任一點(diǎn)A

處的切應(yīng)變DAgD1aabO1O2TTdxbgD1DAdjdj

是b-b截面相對(duì)于a-a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度。aabO1O2TTdxbgD1DAdjEr經(jīng)過O1A

上半徑為r

的任一點(diǎn)E

作縱向線EG。GaabO1O2TTbgD1DAdjErGdxEG

也傾斜了一個(gè)角度grgr

是橫截面半徑上任一點(diǎn)

E

處的切應(yīng)變。G1graabO1O2TTdxbgD1DAdjErGG1grrr=

GG1

=

rdjEG

dxg

?

tan

gdxgr=

r

dfdxrg

=

r

df此時(shí)式說明：同一半徑r

圓周上各點(diǎn)剪應(yīng)變gr

均相同，且其值與r

成正比。2，物理方面由剪切胡克定律t

=

Ggdxr

rt

=

Gg

=

Gr

dfdxrg

=

r

dfdxr

rt

=

Gg

=

Gr

df同一圓周上各點(diǎn)應(yīng)力tr

均相同，且其值與r

成正比，tr

垂直于半徑。oTdAtr

dA3，靜力學(xué)方面每個(gè)微元力對(duì)圓心的矩為(tr

dA)r所有微元力對(duì)圓心的矩之和等于橫截面上的扭矩T。oTdAtr

dAdxGA2r

dA

=

TdfdφA

ρ

(Gρ

dx

)dA

=

TA

rtrdA

=

Tdxt

=

Gg

=

Gr

dfrrPA

ρ2dA

=

IdxGIPdf

=

T

oTdAtr

dAI

prt

=

T

r上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公式dxr

rt

=

Gg

=

Gr

dfdxGIPdf

=

T

AI

p

=

r2dA稱為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩式中：T

為橫截面上的扭矩；r

為求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離I

prtr=

ToT說明：(1)

橫截面周邊各點(diǎn)處切應(yīng)力將達(dá)到最大值，圓心處的切應(yīng)力為零切應(yīng)力與r

成正比。且垂直于半徑。指向與T

的轉(zhuǎn)向一至。maxI

ptr=

T rWIPIPP=

T

Rt=

T

rmax

=

TmaxW

P

=

I

pRWP

稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3

或m3。二，極慣性矩及抗扭截面模量極慣性矩公式AI

p

=

r2dA抗扭截面模量公式W

P

=

I

pRdo實(shí)心圓截面dA

=

2pr(dr)rdrdAAPI

=r22IPpd

4=

r2dA

=

d

2

r

(2prdr)

=A

0

32RIWP=

p2232dpd

3pd

4=

16W

=

IP

=

IP

=P

R

dpd

4IP

=

3216pd

3WP

=Ddo空心圓截面)4a(1-=pD4IP1632pD3W

P

=

(1-a

4)Da

=

ddrrdA

=

2pr(dr)32(1-a

4)pD4r

(2prdr)=2

D

2

2d

2AIP

=

r

dA

=

162(1-a

4)=DRI

I

pD3WP

=

P

=

P圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角f

來度量的dxGIPdj

=

T三，扭轉(zhuǎn)角其中df

代表相距為dx

的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。dxTll

GI

pf

=

df

=

長為l

的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j

可按下式計(jì)算GIPdxdf

=

T對(duì)于同一材料制成的等直圓軸（G

，Ip為常量），當(dāng)只在兩端受一對(duì)外力偶作用時(shí)（

T

為常量

）

，從上式可得f

=

TlGIPGIP

稱作抗扭剛度例題

：實(shí)心圓軸１和空心圓軸２,

材料,

扭轉(zhuǎn)力偶矩

M

和長度

l

均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為

a

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比

.llll解：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2

,D2已知兩軸扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T

。d1d2D2max

2max

1t

=

t已知：WP1

=WP2所以WP2Tt2

max

=ld1ld2D21maxWP1T=t16pd

3WP1

=

1

16pD3

(1-a

4

)WP2

=

2

ld1ld2D21616

1

=

2

pd

3

pD3

(1-a

4

)11=1.1941-

0.84=

3dD2解得ld1d2D2l兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比1221=1.1942

(1-

0.82

)

=

0.512=p4p4=d

2D2

(1-

a

2

)d(D2

-

d

2

)2

2

2A1A在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕，即節(jié)省材料。例8-2：圖示實(shí)心圓軸外徑

d

=

60mm

，在橫截面上分別受外力矩

mB

=

3.8

KN.m,

mC=

1.27KN.m

作用，已知材料的剪切彈性模量

G

=

8·104

MPa。求

B

截面對(duì)于A

截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fBA

，

C

截面對(duì)于

B

截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fCB

，

C

截面對(duì)于A

截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fCA

，并求

C

截面的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fCmBmCABC0.7m1m解：畫扭矩圖(-)(+)1.27kN.m2.53kN.mmBmCABC0.7m1mT

AB

=

2.53kN.mT

BC

=

-1.27kN.m需分段計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角CBGI

P

GI

PBAff=

T

AB

l

AB

,

=

T

BC

l

BCpd

4I

P

=

32mBmCABC0.7m1mT

AB

=

2.53kN.mT

BC

=

-1.27kN.mGI

PT

AB

l

AB32=

+0.0174

rad8·104

·106

·2.35·103

·0.7=·604

·10-12pfBA

=GI

PT

BC

l

BC32=

-0.0125

rad8·104

·106

·-1.27

·103

·1=·604

·10-12pfCB

=mBmCABC0.7m1mfCA

=

fBA

+fCB

=

0.0174

-

0.0125

=

+0.0049

radmBmCABC0.7m1mradfC

=fCA

=

+0.0049因A

截面固定，C

截面的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角fC

，等于C

截面相對(duì)于A截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角fCAmBmCABC0.7m1m例8-3：一水輪機(jī)的功率為P

=7350

kW，其豎軸是直徑為d

=650Mm,而長度為l

=6000

mm

的等截面實(shí)心鋼軸，材料的切變模量為

G

=0.8·105MPa

，求當(dāng)水輪機(jī)以轉(zhuǎn)速n

=57.7

r/min

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j

。{n}

57.7{M

}r

/

minkN

.m=

9.55

{P}kW

=

9.557350

kN.m

=1.217kN.m解:T

=

M

=1.217KN

.m

=1.271·106

N.mT

=

M

=1.217kN.m

=1.271·106

N.m最大切應(yīng)力=

22.6MPa=

TW

P

pd

3tmax

=

T16相對(duì)扭轉(zhuǎn)角Tl=

0.00523

rad=GI

P

G

pd

432f

=

TlTrIpT

rtr

=W

P=

Tmaxt實(shí)心圓截面pd

4IP

=

32pd

3WP

=

16空心圓截面)324a(1-=pD4IP)164a=

(1-pD3WPda

=

DGIPf

=

Tl兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角復(fù)習(xí)例8-4兩端固定的圓截面等直桿AB,在截面C處受一個(gè)矩為M的扭轉(zhuǎn)力偶作用,已知扭轉(zhuǎn)剛度為GIp

,試求桿兩端的約束力偶矩

MA和MB

.lMCabBA12M解:列平衡方程MBMAM

A

+

M

B

-

M

=

0這是一次超靜定問題lMCabBA12變形相容條件:由于兩端固定,所以C

截面相對(duì)于固定端A

和B的扭轉(zhuǎn)角大小相等.幾何方程fCA

=

fCB物理方程GI

GIp

pCA=

T1

a

=

-M

A

afMMBMAGI

GIp

pCB=

T

2

b

=

M

B

bf補(bǔ)充方程bMAB=

a

MlMCabBA12MMBMAbMAB=

a

M聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程求解M

A

+

M

B

-

M

=

0lMA=

b

MlMB=

a

MlMCabBA12四,斜截面上的應(yīng)力MTxA單元體:微小的正六面體在圓桿的表面A點(diǎn)取出一個(gè)單元體,單元體左,右側(cè)面屬于桿的橫截面,頂面和底面屬于桿的徑向截面,前,后面屬于桿的切向平面MTxAdabcdabcttdabcttanxnxdceaaeatsaatt研究于前后面垂直的任意斜截面de上的應(yīng)力設(shè)de面的面積為dAdc

面的面積為dAcosace

面的面積為dAsinanxdceatattsaanxdceatatdAcosasa

dAa

dAtdAsina

a

Fn

=

0,

Ft

=

0,(tdAcosa

)sin

a

+

(tdAsin

a

)

cosa

+sa

dA

=

0ta

dA

-

(tdAcosa

)

cosa

+

(tdAsin

a

)sin

a

=

0sa

=

-tsin

2aa

=tcos

2asa

=

-tsin

2aa

=tcos

2adabctt討論=

0t–450s

min

=

s

450

=

-t(1)

在a

=-450

和a

=+450

的兩斜截面上正應(yīng)力分別為sa

中的最大值和最小值，它們的絕對(duì)值都等于t，但一個(gè)為拉應(yīng)力，一個(gè)為壓應(yīng)力。且在這兩截面上切應(yīng)力等于零。s

max

=

s

-450

=ta

=

-

450a

=450s

max

=ts

min

=

-tsa

=

-tsin

2adabca

=tcos

2att(2)

在a

=00

(橫截面)和a

=900

(縱向截面)上切應(yīng)力的絕對(duì)值最大,該截面上正應(yīng)力為零.tmax=t00

=

t900

=ts

max

=

s

00

=s

900

=

0§8-4強(qiáng)度條件和剛度條件一，強(qiáng)度條件對(duì)于等截面桿，切應(yīng)力最大的點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）在扭矩最大的橫截面的邊緣處。強(qiáng)度條件為危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力，即桿中最大的工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。max

￡

[t]對(duì)于等截面桿強(qiáng)度條件為T

max

￡

[t]W

PT

max

￡

[t]W

P強(qiáng)度條件可以解決三方面的問題強(qiáng)度校核選擇截面計(jì)算許可荷載二，剛度條件剛度要求扭轉(zhuǎn)角沿桿長變化率q（

q

=df/dx

,單位長度扭轉(zhuǎn)角)的最大值qmax

不超過某一規(guī)定的許用值[q

]。(許用單位長度扭轉(zhuǎn)角)剛度條件為max(

0

/

m)GIPpq=

T

max

·180

￡

[q]dxGIPdj

=

T例8-5：一實(shí)心圓截傳動(dòng)軸，其直徑d

=40

mm

，所傳遞的功率為30

kW，轉(zhuǎn)速為n

=1400r/min，該軸由45

號(hào)鋼制成，許用切應(yīng)力[t]=40MPa，切變模量G=80·104MPa，單位長度軸的許用扭轉(zhuǎn)角[q

]=2(0)

/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。解：先計(jì)算扭轉(zhuǎn)力偶矩{n}r

/

mink

.m{M

}

=

9.55

{P}kW

=

204

N.mT

=

M

=

204

N.m16=16.3MPa

<

[t]=

Ttmax

=

TW

P

pd

3T

=

M

=

204

N.mppqmax

=·180

=

0.58(0)

m

<

[q]G

pd

4T

·180

=

TGI

P32此軸對(duì)強(qiáng)度條件和剛度條件均滿足例題,一電機(jī)傳動(dòng)軸,傳遞功率為40

kW,轉(zhuǎn)速n=1400r/min,軸由鋼材制成,材料的切變模量G

=8·104

MPa,

扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力[t]=

40MPa,許用單位長度扭轉(zhuǎn)角[q

]=1.50/m.求軸的直徑.解:

1,

計(jì)算外力偶矩=

273N.mM

=

9.55

P

=

9.55

40n

14002,

橫截面上的扭矩為T

=

273N.m3,由強(qiáng)度條件maxt￡

[t]=pD3

16TW=

Tp16TD

?

3=

32.6

mmp[t]·180

￡

[q]p

GpD4

32

p·180

=

T4,由剛度條件q

=

TGIPT

·180·32D

?

4=

33.9

mmGp

2[q]取

D

=

34

mm例題,

將上例軸改為內(nèi),外直徑比值為

0.6的空心圓軸.試按原強(qiáng)度和剛度條件求軸的直徑.

并比較兩種情況下實(shí)心軸和空心軸的用料.解:由已知條件a

=

d1

=

0.6D1(1),

由強(qiáng)度條件16maxt￡[t]1

(1-a

4)=pD3TW=

Tp16TD

?

31=

34.2

mmp[t](1-a

4)(1

)3241pp·180

￡[q]-a

4·180

=pDGTGI(2),由剛度條件q

=

TP·180·32TD

?

41=

35.1

mmGp

2[q](1-a

4)取

D1

=

36

mm,

d1

=

21

mm(3),

實(shí)心軸和空心軸用料之比等于相應(yīng)的橫截面面積之比2

21=

0.718(1-

)Dp

D2aA實(shí)pA空=44空心軸比實(shí)心軸省料且減輕了重量例8-6：一傳動(dòng)軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速n

=300/min,主動(dòng)輪A

輸入的功率為

P1

=500

kW

。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率,

三個(gè)從動(dòng)輪

B,C,

D

輸出的功率分別為

P2

=

P3

=

150

kW,

P4

=

200

kW。該軸是用45號(hào)鋼制成的空心圓截面桿，其內(nèi)外徑之比

a

=?,材料的許用切應(yīng)力

[t]

=

40

MPa

，切變模量

G

=

8·104MPa,

單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角

[q

]=0.3(0)/m,試做軸的扭矩圖,并按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。ABCDnP1P2P3P4解：計(jì)算軸上的外力偶矩M1

=

9.55

P1

=15.9kN.mnM

2

=

M

3

=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mM2ABCDM2M3M1M411T1B一，畫扭矩圖在BC

段內(nèi)，假設(shè)T1

為正值T1

=

-M

2

=

-4.78KN

mM

1

=15.9kN.mM

2

=

M

3=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mABCDM2M3M1M4M

1

=15.9kN.mM

2

=

M

3=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mBCM2M3CA

段：假設(shè)T2

為正值。M

2

+

M

3

+T

2

=

0T

2

=

-9.56kN.mT2AB