選課樹形動態(tài)規(guī)劃

選課給定M門課程，每門課程有一個學分要從M門課程中選擇N門課程，使得學分總和最大其中選擇課程必須滿足以下條件：每門課程最多只有一門直接先修課要選擇某門課程，必須先選修它的先修課M,N<=500分析每門課程最多只有1門直接先修課，如果我們把課程看成結點，也就是說每個結點最多只一個前驅結點。如果把前驅結點看成父結點，換句話說，每個結點只有一個父結點。顯然具有這種結構的模型是樹結構，要么是一棵樹，要么是一個森林。這樣，問題就轉化為在一個M個結點的森林中選取N個結點，使得所選結點的權值之和最大。同時滿足每次選取時，若選兒子結點，必選根結點的條件。樣例分析如圖1，為兩棵樹，我們可以虛擬一個結點，將這些樹連接起來，那么森林就轉會為了1棵樹，選取結點時，從每個兒子出發(fā)進行選取。顯然選M=4時，選3，2，7，6幾門課程最優(yōu)。動態(tài)規(guī)劃如果我們單純從樹的角度考慮動態(tài)規(guī)劃，設以i為根結點的樹選j門課程所得到的最大學分為f(i,j), 設虛擬的樹根編號為0，學分設為0，那么，ans=f(0,n+1)如果樹根選擇1門功課，剩下j-1門功課變成了給他所有兒子如何分配的資源的問題，這顯然是背包問題。設前k個兒子選修了x門課程的最優(yōu)值為g(k,x)，則有其中: 0<=x<=j-1，ans=g(son(0),n+1)構造樹結構readln(n,m);inc(m);fori:=1tondo{父親表示法構造樹}beginreadln(pr[i],v[i]);{pr是前驅結點，v價值}inc(t[pr[i]]);{t記錄結點的兒子個數(shù)}ne[pr[i],t[pr[i]]]:=i;{ne記錄樹}end;fori:=0tondo{ts記錄每個結點后代的個數(shù)}ts[i]:=ts[i-1]+t[i]+1;procedurework(now:longint);inline;vari,j,k,bas:longint;beginfori:=1tot[now]dowork(ne[now,i]);bas:=ts[now-1]+1;fori:=bas+1tobas+t[now]do{f[i,j]表示i子樹內(nèi)選j的最大價值}forj:=1tomdobegin{g[i,j]是給每個節(jié)點分配的內(nèi)部背包的空間}g[i,j]:=g[i-1,j];{i不選}fork:=1tojdo{i選k門}ifg[i-1,j-k]+f[ne[now,i-bas],k]>g[i,j]thenbeging[i,j]:=g[i-1,j-k]+f[ne[now,i-bas],k];fa[i,j]:=k;{記錄決策點}end;end;fori:=mdownto1do{計算f[i,j]}f[now,i]:=g[t[now]+bas,i-1]+v[now];end;進一步分析上述狀態(tài)方程，需要枚舉每個結點的x個兒子，而且對每個兒子的選課選擇，需要再進行遞歸處理。當然這樣可以解決問題，那么我們還有沒有其他方法呢？轉化為二叉樹如果該問題僅僅只是一棵二叉樹，我們對兒子的分配就僅僅只需考慮左右孩子即可，問題就變得很簡單了。因此我們試著將該問題轉化為二叉樹求解。圖2就是對圖1采用孩子兄弟表示法所得到的二叉樹動態(tài)規(guī)劃仔細理解左右孩子的意義（如右圖）： 左孩子：原根結點的孩子 右孩子：原根結點的兄弟也就是說，左孩子分配選課資源時， 根結點必須要選修，而與右孩子無關。因此，我們設f(i,j)表示以i為根結點的二叉樹分配j門課程的所獲得的最大學分，則有，0<=k<j<n,i∈(1..m)時間復雜度O(mn2)樣例碰求解送過程件：初致始f(御i,窩0)鄰=0f(堅6,鳴1)堅=6爬,眨f(肌5,重1)吼=m小ax言{1毛,6觸}=襖6,施f番(7喚,1亦)=畢2f(初4,知1)藍=m礎ax最{1缸,2拳}=睜2,巾f跪(1電,1勞)=喚ma凡x{爐1,完f(片4,場1)貿(mào)}=耍2f(陰3,沒1)背=4懼,尾f(窮2,贏1)腐=m付ax殘{1妄,4撞}=大4f(對5,唱2)同=7f(貼7,鉗2)站=m黃ax飼{f魄(5出,1陶)+園2}虧=8f(繭4,夾2)欠=m深ax悅{f債(7勻,2逗),塊f(乓7,拔1)萬+1牛}=溜8f(亮1,甲2)委=m蛋ax幟{f稅(4尿,2戚),賤f(醉4,成1)脫+2伴}=切8f(糞2,渡2)違=m沿ax睛{f下(1套,1縱)+叼1,馳f鎖(3怒,1形)+劣1)桃}=凱5f(墓7,竹3)蔑=9f(頓4,葡3)鑄=m糧ax農(nóng){f拳(7間,2絨)+串1,目f(晌7,劑3)森}=默9f(躍1,撲3)暗=m壺ax較{f冤(4侮,2室)+考1,婆f(揮4,罷3)咐}=遞9f(維2,搜3)潤=m具ax釀{f臥(1測,1舊)+預f(郊3,在1)席+1終,f劑(1寧,2獸)+彎1}睡=9f(頸2,奸4)盞=m貍ax坊{f州(1頂,3襖)+敬1,答f忙(1辯,2榮)+崗f(個3,闖1)姿+1套}=揪ma村x{即9+美1,磚8+擴4+疑1}樸=1漏3//讀入榨數(shù)據(jù),轉化榜為孩苦子兄分弟表丟示fi鎮(zhèn)n臣>>航n寒>遼>叨m;sc吐or脹e[巡壽n+撇1]端=好0臣;br鉛ot蛙he跟r[傭n+毅1]管=貨0腐;//輸入本數(shù)據(jù)僻并轉膏化為驕左兒桌子右奶兄弟孔表示漂法fo魂r弄(in臘ti=帥1;禁i府<=倆n;湖+箏+i災)號{in彎ta,貍b陷;fi癢n克>>剃a禿>輔>潛b;if榮(壩a脫==島0肉)寨a芳=王n葵+旬1就;sc己or蜓e[燃i]各=倉b;br擦ot悟he才r[警i]衣=ch罵il漸d[僵a];ch接il債d[范a]堅=夢i;}vo庫iddf國s(in彈ti,in鞋tj){if垂(vi酷si肚te旗d[凱i]材[j])徑re劫tu貢rn狂;vi步si隱te鈔d[聚i]周[j]封=仁1;if誕(趨i=詳=0勾|泥|體j=貞=0殘)脫r明et宣ur蘋n;df文s(茶br兩ot壤he脫r[蛇i],因j巧);照/醫(yī)/如果感不選i，則珍轉移盛到狀攜態(tài)(br胳ot攔he疤r[蜘i],涂j羽)f[他i]昆[j]姓=f[宵br漢ot媽he禽r[戰(zhàn)i]見][豪j];fo擋r遙(in餡tk=舅0;元k尼<j跌;鐮++胡k)明{//選擇i，枚隸舉學穗習多洽少以i為根稠的(j矛-k數(shù)-1傭)，并處轉移梁到相將應狀籠態(tài)df飼s(宴br詢ot孫he爐r[封i],濕k短);df瞇s(禾ch犯il音d[牢i],示j撞-k若-1住);//更新烘答案if蜻(f[焦br費ot除he賣r[跪i]智][茂k]國+部f[所ch養(yǎng)il