柯西中值定理

§2柯西中值定理和不等式極限一柯西中值定理定理(6.5)設冷、能)滿足⑴在區(qū)間〔說丄]上連續(xù)，在⑺丄)內可導了(“人笆(忑)不同時為零;g3)Hg(a)則至少存在一點旅2◎使得g(h)-g(a)g?柯西中值定理的幾何意義曲線血由參數(shù)方程^=/W彳 xe[a,h]J=gW給出，除端點外處處有不垂直于天軸的切線，則血上存在一點P處的切線平行于割線曲.。注意曲線AB在點(広門處的切線的斜率為而弦布的斜率為型一如◎3）-血）受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下由于—=才（切@一□）#0,類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)容易驗證冒0）滿足羅爾定理的條件且心）=炸）-推）-㈣旋）-g@）?如根據(jù)羅爾定理，至少有一點肚麗使得你=°,即由此得型—㈣_畑旋）-◎（□）—6⑥注2：在柯西中值定理中，取◎&）=◎則公式（3）可寫成伴畀=您這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 =附，則畑=0.這恰恰是羅爾定理.注3:設于仗）在區(qū)間I上連續(xù)，則TO）在區(qū)間I上為常數(shù)□畑=°,三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必與兩點間某點的切線平行。可以用這種幾何解釋進行思考解題：例1：設了㈤在（a，b）可導，且廣㈤在［a，b］上嚴格遞增，若畑二畑，則對一切葢已?沏有了㈤"⑷=子3）。證明：記A（心⑷），聘』?），對任意的，記c（兀心），作弦線AB，BC，應用拉格朗日中值定理，壬E（s）間E（xQ,使得廣?,廣仿）分別等于AC，BC弦的斜率,但因廣嚴格遞增，所以廣?V八叭從而x-aVb-x注意到畑二燉,移項即得了㈤v了⑷=2）, %已??2、利用其有限增量公式要點：借助于不同的輔助函數(shù)，可由有限增量公式進行思考解題：例2：設上連續(xù)，在（a,b）內有二階導數(shù)，試證存在亡已儀?使得佝弋佇?"畑=冒尹?證：上式左端/的-次字）+/W=［/W-/（字）］-［/（學）-/W1F（字+字）7（字）-恥+字）-畑］作輔助函數(shù)則上式_烈^^）一€@）一◎=孑垃）^^乎*誕+0學）牛字尿苗，其中3、作為函數(shù)的變形要點：若了⑶在［a,b］上連續(xù)，（a,b）內可微，則在［a,b］上了0）=于〔呵）-八占）0-叼）（占介于x與坯之間）此可視為函數(shù)了（力的一種變形，它給出了函數(shù)與導數(shù)的一種關系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質。例3設了㈤在【°丹）上可導，了3）=0,并設有實數(shù)A>0,使得^㈤I冬貝|了0）|在［）上成立，試證了㈤=O，v^［Og）證明：證明：了㈤|在［0,百］上連續(xù)，故存在可"°方］使得mas”1)1= =M于是M=于是M=|/(^)|=Z)+八加1-0)|=/(站加）1巧W扣?|W故M=0，%）在［0,刃］上恒為0。用數(shù)學歸納法，可證在一切［2川故M=0，（i=l,2,…）上恒有

利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性證明中值點的存在性:例1設函數(shù)了在區(qū)間血糾上連續(xù)，在仏毋內可導，則北已仏坊,使得證在Cauchy中值定理中取€0）=血"例2設函數(shù)了在區(qū)間妝圳上連續(xù)，在⑺血內可導，且有血）=恥）=0試證明：北已（恥）宀了?-廣?=0證明恒等式:7Tarctgx+arcctgx=—例3證明：對辦已玖有例4設函數(shù)了和可導且了㈤例4設函數(shù)了和可導且了㈤H0,又則g(x)=cf(x)證明0.）例5設對5氏R,有l(wèi)/^+^）-/WI蘭加,其中M是正常數(shù).則函數(shù)了㈤是常值函數(shù).（證明八°則函數(shù)了㈤是常值函數(shù).（證明八°）.證明不等式:例6例6證明不等式：曲〉°時,例7例7證明不等式:丄cln（1+丄）＜-有總+1證明方程根的存在性:證明方程sinx+xc0sx=O在（°旳內有實根.例8證明方程+ +例8證明方程+ +=a+h+c在（°」）內有實根.四、小結本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°拉格朗日中值定理的內容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導數(shù)的橋梁，是數(shù)學分析的重要定理之一。2°構造輔助函數(shù)法是應用微分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數(shù)法是轉化問題的一種重要手段，通過巧妙地數(shù)學變換，將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的體現(xiàn)。關于如何恰當?shù)貥嬙旌瓦x用輔助函數(shù)問題，請同學們結合第三部分的題目仔細體會總結。二不定式的極限

0型:定理6.6 （E’Hospital法則）若函數(shù)了⑶和童⑶滿足:(i)(i)（ii） 在點的某空心鄰域內而這可導，且NW；lim^^-=A{A（iii） 可為實數(shù)，也可為03）lim^-=A貝lj 心曲gW（證）注意：若將定理中的x換成XTxT歸,“Too,只要相應地求證條件（ii）中的鄰域，也可以得到同樣的結論。lim lim —例1屛一（1+店）例2例3 .（作代換 或利用等價無窮小代換直接計算?）例4limsinx（E’Hospital法則失效的例）二?型不定式極限：定理6.7 (&Hospital法則)若函數(shù)了⑶和g〔R滿足:lim/(x)=limg(x)=oo(i)在點坯的某右鄰域內二這可導，且占㈤工。liml^-=A(A可為實數(shù)，也可為00)lim =￡心忒g(x)例5例6例5例6註：關于當忑-他時的階.x=5：0.1：50;y1=log(x);y2=x「(l/2);plot(x,yl,'b',x,y2,'m')右圖看出產(chǎn)高于噸xclf,x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x「2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘)注意1心殆不存在，并不能說明 心就gb）不存在（為什么？）注意2不能對任何比式極限都按洛必達法則來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法則條件例求極限r(nóng)x+sinxlim fx(￡‘Hospi