第8講函數(shù)奇偶性（教師版）

第八講函數(shù)奇偶性一．學(xué)問要點(diǎn)學(xué)問點(diǎn)一：偶函數(shù)的概念偶函數(shù)：一般地，假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．例：學(xué)問點(diǎn)二：奇函數(shù)的概念奇函數(shù)：一般地，假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．例：．注：定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必不行少的條件．例：在區(qū)間上是偶函數(shù)，但在區(qū)間上卻無奇偶性可言．學(xué)問點(diǎn)三：奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)①是奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；是偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱．②假設(shè)奇函數(shù)在處有定義，那么;當(dāng)是偶函數(shù)，那么③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．④奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇〔函數(shù)〕偶±偶＝偶〔函數(shù)〕奇×奇＝偶〔函數(shù)〕偶×偶＝偶〔函數(shù)〕奇×偶＝奇〔函數(shù)〕注：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應(yīng)用，解答題需先證明再利用．⑤對(duì)稱性：奇〔偶〕函數(shù)的定義域肯定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．⑥整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)都必需成立．⑦可逆性：是偶函數(shù)；是奇函數(shù)．⑧等價(jià)性：．．⑨可分性：依據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶的函數(shù)〔有且只有一類，即〕、非奇非偶函數(shù)．學(xué)問點(diǎn)四：奇偶性與對(duì)稱性的一些重要結(jié)論①假設(shè)，那么函數(shù)的對(duì)稱軸為．一般假設(shè)那么對(duì)稱軸為．②假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么函數(shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)．假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的對(duì)稱軸為．學(xué)問點(diǎn)五：周期性周期函數(shù)定義：假設(shè)對(duì)于定義域內(nèi)任意都有，那么叫作函數(shù)的周期．有關(guān)周期的一些重要結(jié)論有：①假設(shè)，那么周期；②假設(shè)，那么周期；③假設(shè)，那么周期；④假設(shè)，那么周期．二．經(jīng)典例題題型一：推斷函數(shù)的奇偶性【例1】推斷以下函數(shù)的奇偶性〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕．【答案】〔1)奇函數(shù)〔2〕偶〔3〕既奇又偶〔4〕奇〔5〕非奇非偶【變式】推斷以下函數(shù)的奇偶性〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．【答案】〔1〕非奇非偶〔2〕奇〔3〕偶〔4〕非奇非偶【拓展】推斷函數(shù)的奇偶性為：________________．【答案】非奇非偶函數(shù)【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，；同理當(dāng)，也有．但是假設(shè)為奇函數(shù)，那么必有，故為非奇非偶函數(shù)．題型二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用〔一〕圖像性質(zhì)【例2】是偶函數(shù)，且圖像與軸有四個(gè)交點(diǎn)，那么方程的全部實(shí)根之和是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】偶函數(shù)的對(duì)稱性．【變式】函數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是 B．是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【解析】，故為奇函數(shù)；，由此可知選C．【拓展】假設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，那么使得的的取值范圍是〔〕A．B．C． D．【解析】：偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增且，由草圖得答案D．〔二〕求函數(shù)值或值域【例3】，且，求．【解析】令，那么為奇函數(shù)．【變式1】，且，求．【解析】法1：，故法2：令，那么為偶函數(shù)，又，故．【變式2】設(shè)的圖像關(guān)于對(duì)稱，定義域?yàn)?，求的值域．【解析】由題意，為偶函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱解得，由偶函數(shù)得，所以，因此在上的值域?yàn)椋踩城髤?shù)值【例4】〔1〕設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么．【解析】由題意定義域，由，化簡(jiǎn)得〔2〕假設(shè)是奇函數(shù)，那么．【解析】由化簡(jiǎn)得〔3〕假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么〔〕 A．B． C．D．【答案】A【解析】：由函數(shù)的定義域?yàn)?，又由于為奇函?shù)，可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故．應(yīng)選A．【變式】函數(shù)是奇函數(shù)，，，且在上是增函數(shù)．〔1〕求的值；〔2〕當(dāng)時(shí)，爭(zhēng)論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】〔1〕由題可得：，且，故且又在上是增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)由值域知，；故，所以．所以．〔2〕由〔1〕可得,故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性為單調(diào)遞減．〔四〕求函數(shù)解析式【例5】是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求時(shí)，的解析式．【解析】當(dāng)時(shí)，，那么，是偶函數(shù)，，故時(shí)，有．【變式】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式．【解析】當(dāng)時(shí)，，那么，為奇函數(shù)，，故又，故【拓展】，是二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值是，且是奇函數(shù)，求的表達(dá)式．【解析】設(shè)，那么有，故令，那么有，所以．又當(dāng)時(shí)，的最小值是，故當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得〔舍去〕綜上，或．〔五〕解抽象函數(shù)不等式【例7】設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上遞增，且有，求的取值范圍．【解析】由在上是偶函數(shù)且在上遞增，知在上遞減，，.所以，即，即．【例8】是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的大小關(guān)系是．【解析】由偶函數(shù)得，，由上是增函數(shù)，且，得【變式1】偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，那么滿意的的取值范圍是〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是偶函數(shù)，∴，∴，再依據(jù)的單調(diào)性，得，解得；應(yīng)選A．考點(diǎn)：1．函數(shù)的單調(diào)性；2．函數(shù)的奇偶性．【變式2】設(shè)函數(shù)，那么使得成立的的取值范圍是〔〕A． B．C．D．【答案】A【解析】由可知是偶函數(shù),且在是增函數(shù),所以．應(yīng)選A．〔六〕抽象函數(shù)的奇偶性【例9】假設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都有，求證：為奇函數(shù)．【證明】令，那么，即，令，那么，即為奇函數(shù)【變式1】假設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都有．求證：為偶函數(shù).【證明】令，同時(shí)令即，為偶函數(shù)．【變式2】設(shè)函數(shù)定義在上，求證：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．【證明】對(duì)任意，故定義域．令明顯與定義域也是，且是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，那么故為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，即為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．【拓展1】均為奇函數(shù)，在上的最大值為5，那么在上的最小值為______．【解析】令，為奇函數(shù)，在上最大值為52=3，故在上最小值為3，即在上最小值為1．【拓展2】是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，滿意關(guān)系式：，那么的奇偶性為〔〕A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】A【解析】令，可得，故令，同理可得令，得應(yīng)選A．題型三：奇偶性的綜合應(yīng)用【例10】定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．〔1〕求證：為奇函數(shù)；〔2〕求證：在上是減函數(shù)；〔3〕求在上的最大值與最小值．【證明】〔1〕令有，即，令有，即為奇函數(shù)．〔2〕不妨設(shè)任意，那么有，即在上為減函數(shù)．〔3〕由于在上為減函數(shù)，故在上的最大值為，最小值而故在上的最大值為，最小值為．【例11】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.〔1〕確定函數(shù)的解析式；〔2〕用定義證明在上是增函數(shù)；〔3〕解不等式．【解析】〔1〕由得，代入得．即，．〔2〕不妨設(shè)那么由，得即定義域內(nèi)時(shí)有，在定義域上為增函數(shù)．〔3〕原不等式等價(jià)于由定義域且得在上單調(diào)遞增，即綜上．【變式】函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，假設(shè)對(duì)于任意的有．〔1〕推斷函數(shù)的單調(diào)性(不要求證明)；〔2〕解不等式；〔3〕假設(shè)對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】〔1〕函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)——————2分〔2〕解：由〔1〕知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]又由得，解得不等式的解集為——————6分〔3〕解：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且要使得對(duì)于任意的，都有恒成立，只需對(duì)任意的時(shí)恒成立令，此時(shí)可以看做的一次函數(shù)，且在時(shí)恒成立因此只需要解得題型四：對(duì)稱性及周期性的綜合應(yīng)用【例12】定義在上的偶函數(shù)滿意，且在上是增函數(shù)，給出以下關(guān)于的推斷：①是周期函數(shù)；②關(guān)于直線對(duì)稱；③在上是增函數(shù)；④在上是減函數(shù)；⑤，其中正確的序號(hào)是．【答案】①②⑤【分析】首先理解題目定義在R上的偶函數(shù)，那么必有，又有關(guān)系式，兩個(gè)式子綜合起來就可以求得周期了．再依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，且在上是增函數(shù)，推出單調(diào)區(qū)間即可．【解析】∵定義在R上的偶函數(shù)滿意，∴，∴是周期為2的函數(shù)，那么①正確．又∵，∴的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，②正確，又∵為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，又∵對(duì)稱軸為．∴在上為增函數(shù)，，故③④錯(cuò)誤，⑤正確．故答案應(yīng)為①②⑤．考點(diǎn)：函數(shù)的周期性；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【變式1】定義在上的奇函數(shù)滿意，假設(shè)，，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為〔〕A．B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)知原函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，所以，即：即：，與，解得：或，所以答案為D．考點(diǎn)：1．函數(shù)的奇偶性；2．函數(shù)的周期性；3．解不等式．【變式2】假設(shè)函數(shù)滿意，且在單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)的最小值等于_______．【答案】【解析】：由得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故，那么，由二次函數(shù)單調(diào)性得在遞增，故，所以實(shí)數(shù)的最小值等于．【拓展】設(shè)函數(shù)在上滿意，且在閉區(qū)間上，只有 〔1〕試推斷函數(shù)的奇偶性；〔2〕試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【解析】〔1〕∴的周期．又而故是非奇非偶函數(shù)．〔2〕在上，只有∴在無零點(diǎn)．又，故在無零點(diǎn)，∴在上僅有兩個(gè)解．故在和上均有兩個(gè)解．從而可知，在上有402個(gè)解，在有400個(gè)解．綜上可知，在上有802個(gè)解．

課后作業(yè)一．根底過關(guān)1．函數(shù)的圖像關(guān)于〔〕A．軸對(duì)稱B．直線對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．直線對(duì)稱【解析】定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，應(yīng)選C．2．定義兩種運(yùn)算：，，那么函數(shù)的奇偶性為〔〕A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇且偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【解析】，定義域，即定義域，那么，，為奇函數(shù)，應(yīng)選A．3．二次函數(shù)，假設(shè)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為〔〕A．－1 B．1 C．－2 D．2【解析】為偶函數(shù)，，，應(yīng)選D．4．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，假設(shè)，那么．【解析】由奇函數(shù)，，故．5．奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間內(nèi)遞減，求滿意：的實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】∵的定義域?yàn)?，∴有，解．①又為奇函?shù)，且在上遞減，∴在上遞減，∴，即．②綜合①②可知，．二．延長(zhǎng)拓展6．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，．〔1〕求的值；〔2〕推斷的單調(diào)性；〔3〕假