高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典講義（解析版）

第頁高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典講義（解析版）目錄TOC\o"1-3"\h\u24592第1講集合與常用邏輯用語 4503一、知識梳理 412363考點和典型例題 523781第2講不等式的性質(zhì)及其解法 145449一、知識梳理 1417076考點和典型例題 1617180第3講均值不等式及其應(yīng)用 2317055一、知識梳理 2312756考點和典型例題 232857第4講函數(shù)及其性質(zhì) 3131165一、知識梳理 3112286考點和典型例題 3329231第5講指對冪函數(shù)及其應(yīng)用 4331723一、知識梳理 4412350考點和典型例題 475987第6講函數(shù)的圖像 5811149一、知識梳理 5820593考點和典型例題 5917166第7講函數(shù)與方程 7130477一、知識梳理 7126747考點和典型例題 726435第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用 8312482一、知識梳理 83979考點和典型例題 8414531第9講導(dǎo)數(shù)的概念及運算 9123476一、知識梳理 912322考點和典型例題 9227673第10講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 10014481一、知識梳理 1003506考點和典型例題 10019748第11講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 11718173一、知識梳理 1174820考點和典型例題 1187515第12講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1309486一、知識梳理 130977考點和典型例題 131743第13講三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式 14331923一、知識梳理 1433734考點和典型例題 14528110第14講三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 1526513一、知識梳理 15225299考點和典型例題 15326939第15講解三角形及其應(yīng)用 1636150一、知識梳理 16318570考點和典型例題 16414212第16講平面向量及其應(yīng)用 178890一、知識梳理 17817819考點和典型例題 18031519第17講復(fù)數(shù) 19023820一、知識梳理 1903402考點和典型例題 1918751第18講等差數(shù)列及其求和 19715255一、知識梳理 19819528考點和典型例題 1985097第19講等比數(shù)列及其求和 20724219一、知識梳理 20711702考點和典型例題 20814075第20講數(shù)列綜合 21727354一、知識梳理 2171508考點和典型例題 21824514第21講空間幾何體 2299318一、知識梳理 2299775考點和典型例題 2307787第22講空間中的平行關(guān)系 24014053一、知識梳理 24015385考點和典型例題 2412564第23講空間中的垂直關(guān)系 25427491一、知識梳理 25431443考點和典型例題 25513064第24講空間向量及其應(yīng)用 2664940一、知識梳理 26625224考點和典型例題 26817580第25講直線的方程 2813809一、知識梳理 28132208考點和典型例題 28210766第26講圓的方程 29021796一、知識梳理 29013213考點和典型例題 29127508第27講橢圓 29913016二、知識梳理 2995601考點和典型例題 30028502第28講雙曲線 3104284三、知識梳理 31017131考點和典型例題 31118981第29講拋物線 31930808考點和典型例題 3202704第30講圓錐曲線的綜合應(yīng)用 3281058五、知識梳理 32912972考點和典型例題 3294474第31講統(tǒng)計與統(tǒng)計模型 34316700六、知識梳理 34327427考點和典型例題 34710456第32講計數(shù)原理 35618607七、知識梳理 35631931考點和典型例題 3582705第33講概率 36429963八、知識梳理 364984考點和典型例題 3663637第34講隨機變量及其分布列 3729860九、知識梳理 37225684考點和典型例題 375

第1講集合與常用邏輯用語學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.記作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.記作AB(或BA).(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.5.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“?”表示.(2)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“?”表示.6.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有q(x)成立存在M中的一個x，使p(x)成立簡記?x∈M，q(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，非q(x)?x∈M，非p(x)7.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p考點和典型例題集合的性質(zhì)【例題1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0<x<4,x∈Z}，且M?P，則M可以是（

）A．{1,2} B．{2,4} C．{0,2} D．{3,4}【詳解】因為P={x|0<x<4,x∈Z}={1,2,3}，又M?P，所以任取x∈M，則x∈所以M可能為{2,3}，A對，又0?M，4?M，∴

M不可能為{2,4}，{0,2}，{3,4}，B，C，D錯，故選：A.【例題1-2】（2022·山東聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，則集合BA．2 B．3 C．4 D．5【詳解】解：因為A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合故選：C【例題1-3】（2022·海南?？凇つM預(yù)測）已知集合M=?2,0,1，N=xx2+ax?2=0，若N?MA．2 B．1 C．0 D．-1【詳解】對于集合N，因為Δ=所以N中有兩個元素，且乘積為-2，又因為N?M，所以N=?2,1所以?a=?2+1=?1．即a＝1．故選：B.【例題1-4】（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知集合A={?,?}，下列選項中均為A的元素的是（（1）?（2）?（3）?（4）?A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【詳解】集合A有兩個元素：?和?，故選：B集合的運算【例題2-1】（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?UA∪B=A．{4，5} B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3，4}【詳解】A∪B=1,2,3，則?故選：A．【例題2-2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知全集為R，集合A=x15x<1，B=A．xx≤0 B．x0<x≤1 C．xx>1【詳解】集合A=x15∵B=x1x∴B=x|0<x≤1，?由集合交集運算得到：A∩?RB=【例題2-3】（2022·河北唐山·二模）設(shè)全集U=R，集合A=0,1,2，B=xx≥2，則A∩A．0,1,2 B．0,1 C．2 D．x【詳解】解：因為B=xx≥2，所以?U所以A∩?【例題2-4】（2022·廣東·二模）已知集合M=x|xx?2<0,N=x|x?1<0A．?∞,2 B．?∞,1 C．【詳解】集合M=x|xx?2<0則M∩N=x|0<x<1=故選：C【例題2-5】（2022·廣東潮州·二模）已知集合A=xx≤?1或x>2，則?RA．x?1≤x<2 B．C．x?1<x<2 D．A=x【詳解】因為A=xx≤?1或x>2，所以?R故選：B量詞命題的否定、充分條件和必要條件【例題3-1】（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）命題“?x0∈0,+∞A．?x0∈0,+∞，lnC．?x∈0,+∞，lnx<x?1 D．【詳解】由特稱命題的否定知原命題的否定為：?x∈0,+∞，故選：C.【例題3-2】（2022·山東濟寧·二模）“x>y”的一個充分不必要條件是（

）A．lnx>lny B．x2>y【詳解】因為lnx>lny，所以x>y>0，由于x>y>0?x>y令x=?2,y=0，則滿足x2>y由x3>y令x=?2,y=1，則滿足1x<1故選：A【例題3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知p:?1<x<2，q:2x+1?x<2，則p是qA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】對于不等式2x+1<x+2，作出曲線y=2由圖象可知，不等式2x+1<x+2的解集為因為x?1<x<2x?1<x<0，因此，p是故選：B.【例題3-4】（2022·陜西·安康市高新中學(xué)三模（理））直線l:y=kx+1?k與函數(shù)y=1?x2A．k>0 B．0<k<2 C．0<k≤12 【詳解】由題意知直線l:y=kx+1?k定點(1,1)，函數(shù)y=1?x2如圖所示．易求l1，l2的斜率分別為0，由圖知，當(dāng)l介于l1與l2之間（含l2）時，l與函數(shù)y=故選:C．【例題3-5】（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測（理））“?x>0，使得a≤xx2A．a(chǎn)≤13 B．a(chǎn)≥13 C．【詳解】?x>0，a≤xx2又xx2+x+1即xx2+x+1故選：A．綜合應(yīng)用【例題4-1】（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知條件p:A={x∣x2?4ax+4a2(1)若a=1，求?U(2)若q是p的必要不充分條件，求a的取值范圍．【解析】(1)由x2?4ax+4a所以A={x∣2a?1≤x≤2a+1}，由x2?x?2≤0，得?1≤x≤2當(dāng)a=1時，A={x∣1≤x≤3}.所以A∩B={x∣1≤x≤2}所以?U(2)由（1）知，A={x∣2a?1≤x≤2a+1}，B={x∣?1≤x≤2}，∵q是p的必要不充分條件，∴A?所以{2a+1≤22a?1≥?1所以實數(shù)a的取值范圍為[0,1【例題4-2】（2022·北京密云·高三期中）設(shè)n≥2且n∈N，集合U={1,2,3,4,?,2n}，若對U的任意k元子集Vk，都存在a,b,c∈Vk，滿足：a<b<c，a+b>c，且a+b+c為偶數(shù)，則稱Vk(1)當(dāng)n=2時，是否存在理想集？若存在，求出相應(yīng)的K；若不存在，請說明理由；(2)當(dāng)n=3時，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應(yīng)的Vk以及滿足條件的a,b,c(3)證明：當(dāng)n=4時，K=6.【解析】(1)依題意，Vk要為理想集，k≥3當(dāng)n=2時，U={1,2,3,4}，顯然{2,3,4}?U，有2<3<4,2+3>4，而2+3+4不是偶數(shù)，即存在3元子集不符合理想集定義，而{1,2,3,4}?U，在{1,2,3,4}中任取3個數(shù)，有4種結(jié)果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4，它們都不符合理想集定義，所以，當(dāng)n=2時，不存在理想集.(2)當(dāng)n=3時，U={1,2,3,4,5,6}，由（1）知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集定義，5元子集{1,2,3,4,6}，在此集合中任取3個數(shù)，滿足較小的兩數(shù)和大于另一個數(shù)的只有2,3,4與3,4,6兩種，但這3數(shù)和不為偶數(shù)，即存在5元子集{1,2,3,4,6}不符合理想集定義，而U的6元子集是{1,2,3,4,5,6}，3<4<5,3+4>5,3+4+5是偶數(shù)，3<5<6,3+5>6,3+5+6是偶數(shù)，即U的6元子集{1,2,3,4,5,6}符合理想集定義，{1,2,3,4,5,6}是理想集，所以，當(dāng)n=3時，存在理想子集V6={1,2,3,4,5,6}，滿足條件的a,b,c可分別為3,4,5或(3)當(dāng)n=4時，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，由（1），（2）知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，Vk要為理想集，k≥6，顯然{1,2,3,4,5,6}符合理想集的定義，滿足條件的a,b,c分別為3,4,5或3,5,6U的6元子集中含有3,5,6的共有C5U的6元子集中含有3,5不含6的有5個，其中含有4的有4個，這4個集合都符合理想集的定義，不含4的為{1,2,3,5,7,8}，顯然有5<7<8,5+7>8,5+7+8為偶數(shù)，即U的6元子集中含有3,5不含6的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有3,6不含5的有5個，它們是{1,2,3,4,6,7},{1,2,3,4,6,8},{1,2,3,6,7,8}，{1,3,4,6,7,8},{2,3,4,6,7,8}，它們對應(yīng)的a,b,c可依次為：3,6,7；4,6,8；3,6,7；3,6,7；3,6,7，即U的6元子集中含有3,6不含5的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有5,6不含3的有5個，它們是{1,2,4,5,6,7},{1,2,4,5,6,8},{1,2,5,6,7,8}，{1,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8}，它們對應(yīng)的a,b,c可依次為：5,6,7；4,6,8；5,6,7；5,6,7；5,6,7，即U的6元子集中含有5,6不含3的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有3,5,6之一的有3個，它們是{1,2,3,4,7,8},{1,2,4,5,7,8},{1,2,4,6,7,8}，對應(yīng)的a,b,c可依次為：3,7,8；5,7,8；4,6,8，即U的6元子集中含有3,5,6之一的3個都符合理想集的定義，因此，U的所有C86=28U的7元子集有C87=8個，其中含有3,5,6它們是{1,2,3,4,5,7,8},{1,2,3,4,6,7,8},{1,2,4,5,6,7,8}，對應(yīng)的a,b,c可依次為：3,7,8；3,7,8；4,6,8，即U的所有8個7元子集都符合理想集的定義，V7U的8元子集是{1,2,3,4,5,6,7,8}，對應(yīng)的a,b,c可以為：3,7,8，因此，V8因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6，所以當(dāng)n=4時，K=6.【例題4-3】（2022·天津·漢沽一中高三階段練習(xí)）不等式5?2xx+2>1的解集是A，關(guān)于x的不等式x2(1)若m=1，求A∩B；(2)若A∪B=B，求實數(shù)m的取值范圍.(3)設(shè)p:實數(shù)x滿足x2?4ax+3a2<0，其中a>0，命題q:實數(shù)x滿足x2【解析】(1)由5?2xx+2>1的解集是A，解得：當(dāng)m=1時，x2?4mx?5m2≤0所以A∩B=x|?1≤x<1(2)因為A∪B=B，所以A?B.由（1）得：A=x|?2<x<1當(dāng)m>0時，由x2?4mx?5m2≤0可解得B=x|?m≤x≤5m.要使當(dāng)m=0時，由x2?4mx?5m2≤0當(dāng)m<0時，由x2?4mx?5m2≤0可解得B=x|5m≤x≤?m.要使所以，m≤?1或m≥2.所以實數(shù)m的取值范圍為：?∞(3)設(shè)關(guān)于x的不等式x2?4ax+3a2<0（其中a不等式組x2?x?6≤0x2+2x?8>0要使p是q的必要不充分條件，只需NM，即a≤23a>3，解得：1<a≤2即實數(shù)a的取值范圍1,2.【例題4-4】（2022·北京豐臺·二模）設(shè)I1=a1,b1，I2=a2,b2，…，(1)已知I1=1,3，I(2)已知I1=a1,b1（ⅰ）設(shè)x0，y0是該聚合區(qū)間的兩個不同的聚合點．求證：存在k，j∈1,2,…,n+1（ⅱ）若對任意p，q（p≠q且p，q∈1,2,…,n+1），都有Ip，Iq互不包含．求證：存在不同的i，j∈【解析】(1)由0<t<π可得0<sint≤1，又I1，I2為聚合區(qū)間，由定義可得I(2)（ⅰ）由x0，y0是該聚合區(qū)間的兩個不同的聚合點，不妨設(shè)x0<y0，因為x0∈Iii=1,2,…,n+1，故a1,a2...an+1（ⅱ）若存在as=ats≠t不妨設(shè)a1<否則，若bk≥b取l=mina當(dāng)am+1?aa又b1>an+1，所以即am+1?a此時取i=m,j=m+1，則bi當(dāng)bm+1?bm=l綜上，存在不同的i，j∈1，【例題4-5】（2022·北京朝陽·一模）對非空數(shù)集X，Y，定義X與Y的和集X+Y=x+yx∈X,y∈Y.對任意有限集A，記A為集合(1)若集合X=0,5,10，Y=?2,?1,0,1,2，寫出集合X+X與(2)若集合X=x1,x2,?,xn滿足x1<x2<?<(3)設(shè)集合X=x1,x2,?,xn滿足x1<x2<?<xn，n≥3【解析】(1)∵集合X=0,5,10，Y=∴X+X=0,5,10,15,20，X+Y=(2)∵x1∴集合X+X中至少包含2n?1個元素，所以X+X≥2n?1，又X由題可知X+X<2n，又X+X∴X+X≤2n?1∴X+X=2n?1∴X+X中的所有元素為x1又x1+x1,x2∴x1+x∴xn∴數(shù)列x1，x2，?，(3)∵集合B=k∈∴B=2m+1設(shè)xn?x設(shè)ai是首項為x1+m，公差為2m+1令集合A=a則A=1+q=1+∴A+B=x即A+B=t∈∵xn∴A+B?t∈所以X?A+B，故存在集合A滿足A≤1+xn2講不等式的性質(zhì)及其解法學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)證明不等式還常用綜合法、反證法和分析法.2.不等式的性質(zhì)(1)不等式的性質(zhì)①可加性：a>b?a＋c>b＋c；②可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；③傳遞性：a>b，b>c?a>c；④對稱性：a>b?b<a.(2)不等式的推論①移項法則：a＋b>c?a>c－b；②同向不等式相加：a>b，c>d?a＋c>b＋d；③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0?ac>bd；④可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)；⑤可開方性：a>b>0?eq\r(a)>eq\r(b).3.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.4.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??5.一般地，如果x1＜x2，則不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).6.分式不等式及其解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考點和典型例題不等式的性質(zhì)【典例1-1】（2022·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)（文））已知，且，則以下不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，故A，B正確；，即，故C正確；對兩邊同除得，故D錯誤.故選：D.【典例1-2】（2022·安徽黃山·二模（文））設(shè)實數(shù)、滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A：當(dāng)，時不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng)，，所以，，即，故C錯誤；對于C：當(dāng)時不成立，故C錯誤；對于D：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故D正確.故選：D.【典例1-3】（2022·重慶八中模擬預(yù)測）（多選）已知，，且，則下列不等關(guān)系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】對于A，由，

，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，

，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B，由，得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時成立；故B正確；對于C，若滿足，，故C錯誤；對于D，∵，∴，由B的結(jié)論得

，，，故D正確；故選：ABD.【典例1-4】（2022·廣東汕頭·二模）（多選）已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)c（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．【答案】BCD【詳解】解：因為a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，所以，所以ac（a-c）<0，c（b-a）<0，，，故選：BCD【典例1-5】（2022·福建三明·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】因為，，所以，的符號不能確定，當(dāng)時，，故A錯誤，因為，，所以，故B正確，因為，所以，故C正確，因為，所以，所以，所以，故D錯誤，故選：BC不等式的解法【典例2-1】（2021·重慶市涪陵高級中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知(1)求集合A和B；(2)求A∪B，A∩B，【答案】(1)；(2)；【解析】(1)解：解不等式得，所以，解不等式得，所以；(2)解：，.【典例2-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式.【詳解】∵，，即，令，解得，，①當(dāng)時，解集為或；②當(dāng)時，，解集為且；③當(dāng)時，，解集為或.綜上所述：當(dāng)a>0時，不等式的解集為或；當(dāng)a=0時，不等式的解集為且；當(dāng)a<0時，不等式的解集為或.【典例2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，求證：(1)；(2).【解析】(1)由題意，因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，所以，所以．(2)由，所以，，所以，所以，所以，所以．【典例2-4】（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)已知，，且，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，綜上函數(shù)的值域為(2)因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，，解得，綜上，所以x的取值范圍為.【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.【解析】(1)因為，當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立，所以當(dāng)時，的最小值為.(2)因為，同理，，所以三式相加得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立不等式的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2021·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)對任意有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，函數(shù)對任意有（1）當(dāng)時，成立；（2）當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，若滿足對任意有，則綜上：故選：A【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為不等式的解集中恰有個正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為所以這三個正整數(shù)為，所以，即故選：D【典例3-3】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_______.【答案】【解析】【詳解】當(dāng)m=0時不等式為,顯然對于任意實數(shù)x恒成立；當(dāng)m≠0時，不等式對任意實數(shù)x恒成立等價于m<0?=4m解得,所以m的取值范圍是,故答案為：.【典例3-4】（2021·福建省南平市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】若原命題為假命題，則其否定“，”為真命題，這等價于，解得,故答案為：.【典例3-5】（2021·黑龍江·嫩江市高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，（1）若恒成立，求的范圍．（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，∴，．（2）當(dāng)即時，；當(dāng)即時，，綜上，．第3講均值不等式及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值.2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.3.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.考點和典型例題1、利用均值不等式求最值【典例1-1】（2022·遼寧鞍山·二模）已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．9【答案】B【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B.【典例1-2】（（2022·山東濰坊·二模）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，所以，即，所以，即，因為為正實數(shù)，所以，因此，故的最大值為，此時，故選：B.【典例1-3】（（2022·天津紅橋·一模）設(shè)，，若，則的最小值為（

）A．6 B．9 C． D．18【答案】B【詳解】解：，，且，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時取等號，故的最小值為9；故選：B【典例1-4】（（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為__．【答案】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)析，時，等號成立.故答案為：【典例1-5】（（2022·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．【答案】##【詳解】由題意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：2、均值不等式的綜合應(yīng)用【典例2-1】（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【詳解】令且，則，而，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即最小值為23.故選：B【典例2-2】（2022·陜西渭南·二模（理））若對x，都有成立，則實數(shù)a的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為；由題意知，恒成立，所以，故a的最小值為.故選：B.【典例2-3】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足條件，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為2故選：D.【典例2-4】（2022·安徽黃山·二模（理））設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，其中，若，則面積的取值范圍為______________.【答案】【詳解】，化簡得：，由正弦定理可得：,，，即，,或，即或，又，，即,，又，，當(dāng)僅當(dāng)時等號成立，，即，.故答案為：【典例2-5】（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．【答案】##【詳解】由正實數(shù)a，b，，可得，所以而，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故答案為：3、均值不等式的實際應(yīng)用【典例3-1】兩直立矮墻成二面角，現(xiàn)利用這兩面矮墻和籬笆圍成一個面積為的直角梯形菜園墻足夠長，則所用籬笆總長度的最小值為（

）A．16m B．18mC． D．【答案】B【詳解】設(shè)，設(shè)籬笆長度為y，則，，梯形的面積為，整理得，當(dāng)，即時等號成立，所以籬笆總長度最小為18m．故選：B【典例3-2】如圖，鎮(zhèn)江金山的江天禪寺是歷史悠久的佛教圣地，其周圍的金山湖公園也成為市民休閑旅游的最佳選擇.為了擴大對家鄉(xiāng)旅游的宣傳，現(xiàn)對江天禪寺進行無人機拍照.已知慈壽塔DE的右側(cè)是金山湖，我們選擇了三個點，分別是寶塔左側(cè)一點A與湖對岸B，F(xiàn)點，設(shè)寶塔底部E點和這三個點在同一直線上，無人機從A點沿AD直線飛行200米到達寶塔頂部D點后，然后再飛到F點的正上方，對山腳的江天禪寺EB區(qū)域進行拍照.現(xiàn)測得從A處看寶塔頂部D的仰角為60°，，米.若無人機在C點處獲得最佳拍照角度時（即最大），該無人機離地面的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．200米【答案】C【詳解】在中，由正弦定理得，∴，再由余弦定理：，∴，又，所以，，設(shè)該無人機離地面的高度為米，則，當(dāng)且僅當(dāng)：，即取等號，此時無人機獲得最佳拍照角度，該無人機離地面的高度為米.故選：C【典例3-3】某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32的矩形空地，并計劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5，各試驗區(qū)之間也空0.5.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為___________.【答案】6【詳解】設(shè)矩形空地的長為m，則寬為m，依題意可得，試驗區(qū)的總面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以每塊試驗區(qū)的面積的最大值為.故答案為：6【典例3-4】蘄春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時間內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時，路段A的紅燈設(shè)置時間為___________秒.【答案】87.75##【詳解】不妨設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.千米/小時米/秒此時紅燈設(shè)置時間為秒.故答案為：【典例3-5】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，建筑物的外墻需要建造隔熱層，現(xiàn)某建筑物要建造可使用20年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系，若不建隔熱層，則該建筑物每年的能源消耗費為8萬元．設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)請寫出的表達式；(2)隔熱層建多厚時，達到最小，并求出最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)隔熱層修建為厚時，總費用達到最小值為70萬元．【解析】(1)解：由題意，，得，所以，所以；(2)解：由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)隔熱層修建為厚時，總費用達到最小值為70萬元．第4講函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理基本概念1.函數(shù)的概念概念一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域自變量取值的范圍值域所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}2.同一個函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，且I?D如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是增函數(shù)如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是減函數(shù)圖像描述自左向右看圖像是上升的自左向右看圖像是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I具有單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點；如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點.奇偶性、周期性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖像特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.考點和典型例題1、函數(shù)的概念【典例1-1】（2022·河南·長葛市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則（

）A．27 B．－27 C．54 D．－54【答案】A【詳解】由已知可得，，因此，．故選:A．【典例1-2】（2022·河南·長葛市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））若函數(shù)則（

）A．10 B．9 C．12 D．11．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，所以．故選：A.【典例1-3】（2022·北京·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是_______．【答案】【詳解】由題意可得，，解之得則函數(shù)的定義域是故答案為：【典例1-4】（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，則___________.【答案】11【詳解】由于，從而.故答案為：11.【典例1-5】（2022·浙江溫州·三模）已知函數(shù)若，則實數(shù)a的值等于___________.【答案】【詳解】①當(dāng)即時，，則（舍）②當(dāng)即時，Ⅰ：當(dāng),即時,有Ⅱ:當(dāng)時，即時，有無解綜上，.故答案為：2、單調(diào)性及其應(yīng)用【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由為奇函數(shù)且在上遞增，A、B：、非奇非偶函數(shù)，排除；C：為奇函數(shù)，但在上不單調(diào)，排除；D：，顯然且定義域關(guān)于原點對稱，在上遞增，滿足.故選：D【典例2-2】（2022·貴州遵義·三模（文））若奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由是奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，又或，解得：或滿足的x的取值范圍是或故選：D【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：定義域為R，又，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，易知在上遞增，所以在定義域R上遞增，又，所以，解得，故選：C【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】C【詳解】因為，，所以，所以A不正確；因為，，所以，故B不正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故C正確；在的圖象上取一點，則其關(guān)于點的點為，因為，所以點不在函數(shù)的圖象上，故的圖象不關(guān)于點對稱，故D不正確.故選：C【典例2-5】（2022·貴州遵義·三模（文））已知函數(shù)滿足：①；②；③在上單調(diào)遞減，寫出一個同時滿足條件①②③的函數(shù)_________．【答案】（答案不唯一）【詳解】由題意可知，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，且，可取滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.【典例2-6】（2022·全國·三模（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【詳解】當(dāng)時，，則其在上遞減，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以在上遞減，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：3、奇偶性及其應(yīng)用【典例3-1】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））函數(shù)滿足，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．-8 B．0 C．-4 D．-2【答案】B【詳解】∵關(guān)于對稱，∴關(guān)于對稱，即是奇函數(shù)，令得，，即，解得．∴，即，∴，即函數(shù)的周期是4．∴．故選：B.【典例3-2】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對于A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不符合題意；對于C中，函數(shù)此時函數(shù)為奇函數(shù)，又由，當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而圖象中先增后減，所以C不符合題意.故選：D.【典例3-3】（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若前2022項和小于零，則的值(

)A．恒為正數(shù) B．恒為負數(shù) C．恒為0 D．可正可負【答案】B【詳解】函數(shù)是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，，且當(dāng)，；當(dāng)，．設(shè)等差數(shù)列前n項和為，由題可知，則，即，則(1≤n≤2011，)．所以，結(jié)合函數(shù)在R上的單調(diào)增和奇函數(shù)性質(zhì)，可得，所以∴<0；綜上，的值恒為負數(shù)．故選：B．【典例3-4】（2022·河南開封·三模（理））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故CD不正確；當(dāng)時，，故B不正確.故選：A【典例3-5】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，，，，故為非奇非偶函數(shù)，對于B，，定義域為，，為偶函數(shù)，對于C，，為偶函數(shù)，對于D，易知定義域為R,，，為奇函數(shù)．故選：D4、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函數(shù)，以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點C．的最小值為 D．的最大值為【答案】C【詳解】對于A，定義域為，，為偶函數(shù)，A正確；對于B，令，即，，解得：，有無數(shù)個零點，B正確；對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；，，不是的極小值點，C錯誤；對于D，，；則當(dāng)，，即時，取得最大值，D正確.故選：C.【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函數(shù)，若對任意，，恒成立，則m的最大值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．e【答案】C【詳解】由題知對任意，恒成立，等價于，即，即對任意，恒成立，不妨設(shè)，令，則，則原式等價于，即在恒成立，設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，即m的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值，故選：C.【典例4-3】（2022·江蘇南京·三模）已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．【答案】B【詳解】時，，符合題意；時，，即顯然在R上遞增，則對恒成立對恒成立則：；綜上，，故選：B．【典例4-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，則 B．若，則函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則函數(shù)存在最小值 D．若函數(shù)存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且，則，則，則，故恒成立，故，故A正確；對于B，若，則，，，不成立，故B不正確；對于C，當(dāng)時，，可得，令，即，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以C正確；對于D，，因為存在極值，則有解，令，即，所以，則，即，解得，所以D正確.故選：ACD.【典例4-5】（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知的定義域為R，若函數(shù)滿足，則稱為的一個不動點，有下列結(jié)論：①的不動點是3；②存在不動點；③若函數(shù)為奇函數(shù)，則其存在奇數(shù)個不動點；若為偶函數(shù)，則其存在偶數(shù)個不動點；④若為周期函數(shù)，則其存在無數(shù)個不動點；⑤若存在不動點，則也存在不動點，以上結(jié)論正確的序號是____________.【答案】①⑤【詳解】①則，①正確；②構(gòu)建則令則∴在上遞減，在上遞增，則∴即不存在不動點，②不正確；③為偶函數(shù)，顯然只有一個不動點；③不正確；(為奇函數(shù),顯然有無數(shù)個不動點)④為周期函數(shù)，顯然只有一個不動點；④不正確；⑤若存在不動點，設(shè)為，即∴，則也存在不動點，⑤正確．故答案為：①⑤．【典例4-6】（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是________【答案】10【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，①，②，的圖象關(guān)于對稱，由①②得，，即，∴函數(shù)f(x)的一個周期為4，畫出函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間，上的圖象，方程在區(qū)間，上的解的個數(shù)就是這兩個圖象的交點個數(shù)，由圖象可知方程解的個數(shù)為10，故答案為：10．第5講指對冪函數(shù)及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理指數(shù)和指數(shù)函數(shù)1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a；當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|.2.分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為R值域值域為(0，＋∞)，即對任何實數(shù)，都有ax>0過定點過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對稱對數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念在表達式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對數(shù)的底數(shù)，N稱為對數(shù)的真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運算性質(zhì)①loga(MN)＝logaM＋logaN，②logaMα＝αlogaM，③logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為(0，＋∞)，圖像在y軸的右邊值域值域為R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時，y<0，當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y>0，當(dāng)x>1時，y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對稱性y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關(guān)于x軸對稱4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱.冪函數(shù)和二次函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過點(1，1).②如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)；當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方且無限地逼近y軸；當(dāng)x無限增大時，圖像在x軸上方且無限地逼近x軸.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)考點和典型例題1、指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【典例1-1】（2020·黑龍江·東寧市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)減區(qū)間是【答案】AB【詳解】令，則，又為增函數(shù)，所以，所以函數(shù)的值域為，故A正確，C錯誤；因為在上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，故選：AB【典例1-2】（2021·湖北省直轄縣級單位·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示，則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由圖可得，即，單調(diào)遞減過點，故A正確；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；為偶函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知C錯誤；，根據(jù)““上不動、下翻上”可知D正確；故選：ABD.【典例1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個函數(shù)的圖像，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【詳解】如上圖所示，分別是繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，，，所得到的的曲線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，這四個曲線都符合函數(shù)圖像的定義.故選：ABCD．【典例1-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因為，所以，，．對，，這三個數(shù)先取自然對數(shù)再除以，則，，,設(shè)，則，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，故，即，則，故，故選：AD．【典例1-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運用概率統(tǒng)計的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】CD【詳解】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)可能取值為，故的分布列為：111設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，則要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需即，即，即又，，故選：CD2、對數(shù)和對數(shù)函數(shù)【典例2-1】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，，所以，故，又為R上的增函數(shù)，，所以，即，所以，故選：A【典例2-2】（2022·江蘇南京·三模）我們知道，任何一個正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當(dāng)n≥0時，N是一個n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（

）位數(shù)．A．71 B．70 C．69 D．68【答案】B【詳解】，則其為70位數(shù)，故選：B【典例2-3】（2022·河南開封·三模（理））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故CD不正確；當(dāng)時，，故B不正確.故選：A【典例2-4】（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，；，；，；，，.故選：C.【典例2-5】（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)一模）有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，……，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在n很大時才成立，故當(dāng)n較小時計算出的結(jié)果與實際值之間是存在一定誤差的，已知，．用上式估算出的與實際的的誤差絕對值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657【答案】B【詳解】解：依題意所以，又所以估算出的與實際的的誤差絕對值近似為；故選：B3、冪函數(shù)和二次函數(shù)【典例3-1】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對選項，則有：對選項，則有：對選項，定義域為：對選項，則有：【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測（理））若冪函數(shù)滿足，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．是單調(diào)函數(shù)C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于原點對稱【答案】C【詳解】由題意得，即，故，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以，因此方程有唯一解，解為，因此，所以不是周期函數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，關(guān)于點對稱，故選：C.【典例3-4】（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，，此時函數(shù)為一條射線，且函數(shù)在上為增函數(shù)，B選項符合；當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，此時函數(shù)在上只有一個零點，A選項符合；當(dāng)時，時，函數(shù)的增長速度遠小于函數(shù)的增長速度，所以時，函數(shù)一定為減函數(shù)，選項D符合，C不符合.故選：C【典例3-5】（2021·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，即為奇函數(shù)，同時也為增函數(shù)，∵，即，∴，即恒成立，，若不等式恒成立，只需，令，∴，∴．故選：C【典例3-6】（2021·四川省綿陽實驗高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調(diào)