專題1-3等式與不等式性質(zhì)4大考點

專題1-3等式與不等式4大考點知識點一等式的基本性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向知識點二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正一、不等式中有關(guān)倒數(shù)與分數(shù)的性質(zhì)1、有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④或.2、有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)（若）=1\*GB3①真分數(shù)的性質(zhì)：；；=2\*GB3②假分數(shù)的性質(zhì)：；.二、比較兩數(shù)（式）大小的方法1、作差法：（1）原理：設(shè)，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。2、作商法：（1）原理：設(shè)，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形。三、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知，，求的取值范圍第一步：設(shè)；第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍。考點一不等式性質(zhì)的應(yīng)用【離1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由題意，∴，故A錯誤，，故B正確，，當(dāng)時，，故C錯誤，，∴，故D正確，故選：BD.【變式1-1】（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃ǘ噙x）已知實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因為，所以有，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】對A選項，因為，所以，不等式兩邊同時乘以，可得，故A正確；對B選項，因為，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但，故等號取不到，，B正確；對C選項，不妨設(shè)，則，C不一定成立對D選項，，因為，，故，故，D正確；故選：ABD【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則下列不等式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由，得，當(dāng)時，得0，即;當(dāng)時，得，即，綜上或，上述兩種情況均可得，故選項錯誤;當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，故B選項正確;令，則，，從而得，故C選項錯誤;由上述論證可知恒成立，故D正確.故選：BD.考點二比較兩個數(shù)（式）的大小【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知p∈R，，，則M，N的大小關(guān)系為（）A．M<NB．M>NC．M≤ND．M≥N【答案】B【解析】，所以.故選：B.【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小關(guān)系不確定【答案】B【解析】，∴M<N.故選：B.【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，比較與的大小【答案】【解析】，，，.【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，求證：．【答案】證明見解析【解析】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．【變式2-4】（2023·全國·高三對口高考）（1）比較與的大小；（2）已知，比較與大小【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，所以①當(dāng)時，，所以，②當(dāng)時，，即，所以，③當(dāng)時，，即，所以，綜上所述：當(dāng)，.（2），因為，所以，所以，由，所以，所以，即，故.考點三待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍【例3】（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，而，則，即，，所以的取值范圍是.故選：A【變式3-1】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知，，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.【變式3-2】（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若實數(shù)x、y滿足，，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】設(shè)，則解得所以，由得所以,即.故的取值范圍是.故答案為：.【變式3-3】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知實數(shù)，，滿足則的取值范圍是________．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】,則解得，則，又，∴，即，故答案為：．【變式3-4】（2022秋·上海徐匯·高三上海中學(xué)校考期中）設(shè)，，，，求的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則，解得.∵，，∴．即，所以的取值范圍是故答案為：.考點四不等式的綜合問題【例4】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則p，q，r的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得：，因為，即，所以，即，又因為，所以.故選：D.【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，若，且均不相等，現(xiàn)有如下說法：①；②；③.則正確說法的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】依題意，有.因為，所以，即，故.又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立，但，所以，故，所以.故，①正確.因為，所以，即，所以，②正確.因為，所以，所以，③錯誤.故選:C.【變式4-2】（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）使成立的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．，且【答案】B【解析】，故A錯誤；當(dāng)時，，得，即，顯然，則，即，故是的充分條件；當(dāng)時，，故是的不必要條件，故B正確；當(dāng)時，成立，但，故C錯誤；當(dāng)時，由，得，即，故D錯誤.故選：B.【變式4-3】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知，，，下面結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】A選項，變形得到，因為，所以，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，即，又，所以，即，因為，所以，同理可得，由可得，故，，所以，故，解得，又，即，所以，即，解得，解得，綜上，，同理可得，所以，故B正確；C選項，因為，