壓縮感知與奈奎斯特采樣頻率比較報(bào)告

奈奎斯特采樣頻率與壓縮感知比較報(bào)告學(xué) 生張**年 級(jí) 2010級(jí)班 級(jí) 0210**班學(xué) 號(hào) 021012**專(zhuān) 業(yè)電子信息工程學(xué) 院電子工程學(xué)院西安電子科技大學(xué)2013年5月壓縮感知與奈奎斯特采樣頻率比較報(bào)告張**摘要：經(jīng)典的采樣定理認(rèn)為，不失真的恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣頻率應(yīng)該不小于奈奎斯特采樣頻率（模擬信號(hào)最高頻率的兩倍）。但是這種方法在使采集到的數(shù)據(jù)有很大的冗雜性。Dohono等人提出的壓縮感知理論運(yùn)用了大部分信號(hào)可以在預(yù)知的一組基上面稀疏表示的原理，利用隨機(jī)投影實(shí)現(xiàn)了在低于奈奎斯特采樣頻率下實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的采集。本文介紹了壓縮感知的一些基本理論以及，并將其與香農(nóng)采樣定理進(jìn)行了比較。最后討論了壓縮感知的一些信息獲取算法以及壓縮感知理論的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：香農(nóng)采樣定理奈奎斯特采樣頻率壓縮感知引言當(dāng)前大部分?jǐn)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)都是基于傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理來(lái)設(shè)計(jì)，按照這種方式采集的數(shù)據(jù)能夠充分表示原始信號(hào)，但是它們存在較大的冗余。因此，這些方法往往導(dǎo)致采集數(shù)據(jù)的泛濫和傳感器的浪費(fèi)。研究如何根據(jù)信號(hào)的一些特征來(lái)實(shí)現(xiàn)低于奈奎斯特采樣頻率的采集，以減少所需采集的數(shù)據(jù)量具有重要的意義。起源于對(duì)具有有限新息率信號(hào)（即單位時(shí)間內(nèi)具有有限自由度的信號(hào)）進(jìn)行采集的研究，利用固定的結(jié)構(gòu)性基函數(shù)以?xún)杀队谛孪⒙识皇莾杀队谀慰固夭蓸宇l率對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采集，Donoho等人提出的壓縮感知方法則提供一種可以廣泛應(yīng)用于可壓縮信號(hào)的采集方法。該方法所需要的傳感器數(shù)目大大減少，采集到的數(shù)據(jù)也具有更小的冗余度。因此，該理論提出后立即吸引了眾多科學(xué)家的關(guān)注，目前我國(guó)關(guān)于壓縮感知方法的研究也已經(jīng)開(kāi)始起步，相信不久將有更多的人加入到關(guān)于壓縮感知的研究行列。壓縮感知采集方法并不是對(duì)數(shù)據(jù)直接進(jìn)行采集，而是通過(guò)一組特定波形去感知信號(hào)，即將信號(hào)投影到給定波形上面（衡量與給定波形的相關(guān)度），感知到一組壓縮數(shù)據(jù)。最后利用最優(yōu)化的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)壓縮數(shù)據(jù)解密，估計(jì)出原始信號(hào)的重要信息。壓縮感知關(guān)鍵的問(wèn)題是如何給定用來(lái)感知信號(hào)的波形才能有效地恢復(fù)出原始信號(hào)的重要信息。涉及的關(guān)鍵因素在于給定的波形要與可以用來(lái)壓縮原始信號(hào)的波形組均不相干，并且不相干程度越高，感知數(shù)據(jù)包含的信息量越大，為準(zhǔn)確獲取重建原始信號(hào)所需的感知數(shù)據(jù)量就越少。第一章奈奎斯特采樣原理奈奎斯特頻率是離散信號(hào)系統(tǒng)采樣頻率的一半，因奈奎斯特一香農(nóng)采樣定理得名。采樣定理指出，只要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于被采樣信號(hào)的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊現(xiàn)象。從理論上說(shuō)，即使奈奎斯特頻率恰好大于信號(hào)帶寬，也足以通過(guò)信號(hào)的采樣重建原信號(hào)。但是，重建信號(hào)的過(guò)程需要以一個(gè)低通濾波器或者帶通濾波器將在奈奎斯特頻率之上的高頻分量全部濾除，同時(shí)還要保證原信號(hào)中頻率在奈奎斯特頻率以下的分量不發(fā)生畸變，而這是不可能實(shí)現(xiàn)的。在實(shí)際應(yīng)用中，為了保證抗混疊濾波器的性能，接近奈奎斯特頻率的分量在采樣和信號(hào)重建的過(guò)程中可能會(huì)發(fā)生畸變。因此信號(hào)帶寬通常會(huì)略小于奈奎斯特頻率，具體的情況要看所使用的濾波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特頻率必須嚴(yán)格大于信號(hào)包含的最高頻率。如果信號(hào)中包含的最高頻率恰好為奈奎斯特頻率，那么在這個(gè)頻率分量上的采樣會(huì)因?yàn)橄辔荒：袩o(wú)窮多種該頻率的正弦波對(duì)應(yīng)于離散采樣，因此不足以重建為原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。第二章壓縮感知理論本節(jié)對(duì)壓縮感知做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。待采集信號(hào)f只在k個(gè)時(shí)刻非零（k即為稀疏程度）。為采集f中的信息，將其投影到了給定的一組感知波形4上（也可以說(shuō)，用一組給定的波形f進(jìn)行感知），得到了一組遠(yuǎn)小于信號(hào)原始長(zhǎng)度的測(cè)度數(shù)y壓縮感知方法的目的是通過(guò)遠(yuǎn)小于采集信號(hào)數(shù)據(jù)量的測(cè)度y恢復(fù)出原始信號(hào)f的全部信息。從式中求解f是一個(gè)欠定的問(wèn)題，但從另一方面看，信號(hào)只有k個(gè)未知位置上的未知變量，即信號(hào)只有k+1個(gè)自由度，因此，在一定條件下當(dāng)測(cè)度數(shù)只要超過(guò)信號(hào)自由度的時(shí)候就是可以通過(guò)一些非線(xiàn)性的方法進(jìn)行恢復(fù)。顯然，當(dāng)任意選取感知矩陣4的k+1列均線(xiàn)性無(wú)關(guān)的時(shí)候（即感知矩陣能夠區(qū)分任意兩個(gè)不同的均為k稀疏的信號(hào)），在滿(mǎn)足y=4f的所有情況中找到的具有最稀疏特性的信號(hào)即為所求，即求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題:（P。）寥f(wàn)f其中IIflI代表f的零范數(shù)，即其中非零元素的個(gè)數(shù)。此外給定一些其它約束條件以后，信號(hào)也可以通過(guò)求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)：|minllfll1s.ty=4f其中。vp<1,||f||=（\f\p）然而對(duì)（P0）問(wèn)題的求解只能通過(guò)對(duì)所有可能的稀疏p情況進(jìn)行求解后才能找到最稀疏的形式，這是一個(gè)NP難問(wèn)題.而對(duì)0vpv1時(shí)式所示最優(yōu)化問(wèn)題的求解也存在一定困難。幸運(yùn)的是，用P=1時(shí)上式的解來(lái)估計(jì)可壓縮信號(hào)，即接近最優(yōu)，并且對(duì)它的求解能夠等價(jià)為一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，從而便于利用現(xiàn)有方法進(jìn)行求解。當(dāng)f具有可壓縮性時(shí)，上述的方法同樣可以估計(jì)出f中的具有較大幅值的項(xiàng)。在實(shí)際應(yīng)用中，待采集的信號(hào)f（如一副圖像）本身通常不是稀疏的，但是在某個(gè)基叩上的變換系數(shù)是稀疏的，或者是可壓縮的，即由f部確定的變換系數(shù)。是稀疏的，或者極少的系數(shù)包含了幾乎全部的能量。結(jié)合上式可以得到感知數(shù)據(jù)與變換系數(shù)之間的關(guān)系為y=f4=郵若令1=4w（測(cè)度矩陣），則y=前由于上面兩式有相同的形式和假設(shè)，因而同樣可以按照上述的最優(yōu)化方法估計(jì)出式中的變換系數(shù)，進(jìn)而經(jīng)過(guò)變換估計(jì)出待采集信號(hào)。實(shí)際上f本身稀疏可以看成是，在單位陣上

稀疏，此時(shí)的測(cè)度矩陣即為感知矩陣。當(dāng)感知矩陣與變換矩陣不相干時(shí)，矩陣A就能夠很好地滿(mǎn)足能夠通過(guò)極小化變換系數(shù)的，范數(shù)來(lái)估計(jì)原始信號(hào)的約束條件。并且隨機(jī)矩陣即與任何一個(gè)固定的變換矩陣不相干的概率非常大。也即通過(guò)收集信號(hào)隨機(jī)投影系數(shù)來(lái)采集未知信號(hào)是最優(yōu)的，這樣的一個(gè)數(shù)據(jù)采集方式在實(shí)際應(yīng)用中顯然是比較容易實(shí)現(xiàn)的。另外，信號(hào)的稀疏程度越高，利用上式恢復(fù)出原始信號(hào)所需的感知數(shù)據(jù)量也將越少。第三章奈奎斯特采樣頻率與壓縮感知對(duì)比下面將通過(guò)一個(gè)信號(hào)采集的實(shí)例來(lái)說(shuō)明壓縮感知方法的優(yōu)越性。下圖給出了一個(gè)周期為T(mén)=0.01s的待采集信號(hào)f(t)。在實(shí)際工作中，需要將連續(xù)信號(hào)f(t)進(jìn)行抽樣以便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)處理，該抽樣過(guò)程可以看作是原始信號(hào)和脈沖串函數(shù)的乘積：f(nT)=f(t)p(t)其中，f(T)=Zq(T-nT)，c(t)為脈沖函數(shù)。根據(jù)香農(nóng)一奈奎斯特采樣定理，如果該信號(hào)為連續(xù)信號(hào)且抽樣頻率兩倍于信號(hào)的最高截止頻率(奈奎斯特采樣頻率)，那么，可由采集信號(hào)f(nT)恢復(fù)出原始信號(hào)。根據(jù)信號(hào)的連續(xù)性和最高截止頻率有界，可以得到信號(hào)的重建方法為:f(t)f(t)=Zf(nT)sin(兀(t-nT)/T)

冗(t-nT)/T待果集的原期佰宅陌) 待果集的原期佰宅陌) (b)荊麟i”褚敝臨(&的方荏對(duì)函以沛成果H 血｝割用氐端藤加方港重建出的蜻果到的信號(hào)iSii袖」溪棒啟的髏即利用sin°函數(shù)插值出未采集時(shí)刻的信息。當(dāng)該信號(hào)為非帶限信號(hào)或者采樣頻率低于奈奎斯特采樣頻率時(shí)重建出的信號(hào)較原始信號(hào)將存在一定的誤差。如上圖所示當(dāng)我們對(duì)以采樣速率為5KHz從上圖(a)中獲取的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行兩倍的上采樣時(shí)，按照重建方法獲取到的估計(jì)信號(hào)與原始信號(hào)存在一定的誤差。結(jié)果如上圖(b)所示與傳統(tǒng)重建方法所依據(jù)的連續(xù)性和有限帶寬相比，壓縮感知重建方法利用的是信號(hào)在某個(gè)域上具有稀疏性和可壓縮性，通過(guò)給定信號(hào)更好的表征域換言之，利用一些其它的先驗(yàn)知識(shí))，通過(guò)同樣的數(shù)據(jù)可以得到更加好的重建效果。上圖。)結(jié)合該信號(hào)的變化是稀疏的(即只在部分時(shí)刻存在變化)這一先驗(yàn)知識(shí)，利用最優(yōu)化方法重構(gòu)的結(jié)果，該方法完全重構(gòu)出了原始信號(hào)。另一方面在壓縮感知中對(duì)數(shù)據(jù)的獲取方面也采用了更加靈活的方式以利于感知信號(hào)中包含的重要信息，傳統(tǒng)的利用脈沖串函數(shù)進(jìn)行采集的方法可以看作是壓縮感知中感知波形為脈沖函數(shù)時(shí)的一種特殊情況。由于采用壓縮感知重建方法所需的數(shù)據(jù)量依賴(lài)于感知波形和表征波形之間的不相干性和信號(hào)的稀疏程度，而采用隨機(jī)信號(hào)感知的方法能夠確保與任給的一個(gè)表征域具有良好的不相干性，因此在對(duì)包含一些高頻分量的信號(hào)采集時(shí)，若已知信號(hào)在某個(gè)表征域稀疏或可壓縮，采用壓縮感知的方法將具有更大的優(yōu)越性。實(shí)際上大部分信號(hào)均具有可壓縮性，因此，壓縮感知方法具有更廣泛的優(yōu)越性和普適性，具有廣闊的應(yīng)用前景。第四章壓縮感知信息獲取方法這一章主要介紹幾個(gè)從感知到的數(shù)據(jù)中估計(jì)原始信號(hào)的幾種常見(jiàn)實(shí)用方法：基追蹤算法、貪婪算法1基追蹤算法首先需要指出的是基追蹤算法并不是一個(gè)最優(yōu)化原則。其原理是上述討論的給定一些限制條件后，通過(guò)極小化〈范數(shù)可以獲得最稀疏的解。等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題為Fmin.v.a\s.tUa=b,a>0其中，a是重新定義的一個(gè)新變量，mo2n；Uo(A,-A)；boy上述線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題可以通過(guò)單純形法、內(nèi)點(diǎn)法或?qū)?shù)障礙法來(lái)進(jìn)行求解。2貪婪算法貪婪算法的基本步驟為1。 給定初始的估計(jì)。0=0；2。 在每次迭代中根據(jù)A(6-60)=AO-A00確定出9-90的估計(jì)值△3。 僅保留△中較大值的項(xiàng)，將其它項(xiàng)置為零。更新O0=90+A。。關(guān)于貪婪算法的具體實(shí)現(xiàn)方法有很多種，主要有正交貪婪算法、規(guī)整化正交貪婪算法、分段正交貪婪算法和梯度貪婪算法等。3其他方法極小化l范數(shù)的方法能夠有效解決壓縮感知中的恢復(fù)問(wèn)題，但是當(dāng)結(jié)合其它的一些先驗(yàn)1知識(shí)后，該問(wèn)題可以被更加有效地解決。在此，我們僅簡(jiǎn)單介紹貝葉斯壓縮感知方法(，和基于模型的壓縮感知方法。Ji等人提出的BCS借助傳統(tǒng)的貝葉斯方法和機(jī)器學(xué)習(xí)中的主動(dòng)學(xué)習(xí)方法，通過(guò)將關(guān)于稀疏性的先驗(yàn)信息用垂直先驗(yàn)分布來(lái)建模，提出了自適應(yīng)的感知方法以及相應(yīng)的恢復(fù)方法。而B(niǎo)araniuk等人提出的針對(duì)基于模型可壓縮信號(hào)的壓縮感知方法中利用小波樹(shù)模型和塊稀疏模型，僅需要與稀疏程度相當(dāng)?shù)臏y(cè)度數(shù)即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的魯棒性恢復(fù)。、第五章壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用從壓縮感知的采樣機(jī)制可以看出：同一個(gè)投影方法硬件結(jié)構(gòu))可以完成大部分可壓縮信號(hào)的采集；每個(gè)采集到的數(shù)據(jù)(測(cè)度數(shù))包含的信息量是相同的，即CS方法對(duì)測(cè)度數(shù)的丟失魯棒性比較強(qiáng)；感知數(shù)據(jù)的獲取方法僅需通過(guò)簡(jiǎn)單的投影來(lái)完成，需要大量運(yùn)算的估計(jì)方法放在擁有更加強(qiáng)大計(jì)算能力的解碼端進(jìn)行；此外，由于信號(hào)是通過(guò)隨機(jī)投影的方式獲取的，感知到的數(shù)據(jù)具有一定的保密性。由于壓縮感知方法具有上述優(yōu)點(diǎn)，可被廣泛應(yīng)用于以下領(lǐng)域：(1)數(shù)據(jù)采集萊斯大學(xué)的研究組利用壓縮感知原理成功設(shè)計(jì)出了單像素相機(jī)。該相機(jī)利用透鏡和數(shù)字可控鏡片陣列隨機(jī)地將從物體發(fā)射來(lái)的部分光線(xiàn)匯聚到一點(diǎn)，從而利用一個(gè)像素即可實(shí)現(xiàn)感知數(shù)據(jù)的采集。盡管該相機(jī)還存在一些問(wèn)題，但是它為未來(lái)相機(jī)的發(fā)展提供了一種新的思路和發(fā)展方向。此外壓縮感知方法被應(yīng)用到了多跳網(wǎng)絡(luò)和無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)中具有稀疏性或可壓縮性網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的重構(gòu)上面。CS采樣的普遍性和分散式編碼的特征有可能使其成為一種新的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)分析范例。更重要的是，借助偽隨機(jī)寬帶調(diào)制器，低通濾波器和采樣器，壓縮感知方法可以以較低采樣率實(shí)現(xiàn)對(duì)模擬信號(hào)到離散信號(hào)的直接采集。(2)醫(yī)學(xué)成像核磁共振成像方法是通過(guò)對(duì)靜止磁場(chǎng)施加梯度磁場(chǎng)并檢測(cè)所發(fā)射出的電磁波來(lái)收集信息。正如壓縮感知方法中采集的感知數(shù)據(jù)，MRI收集到的信息是混疊信息，而不是直接的像素信息。此外，由于大部分的醫(yī)學(xué)圖像都具有可壓縮性，核磁共振成像問(wèn)題具有壓縮感知理論應(yīng)用的可行性。壓縮感知方法有助于減少核磁共振成像的掃描時(shí)間，有利于減少對(duì)患者的危害和降低醫(yī)療費(fèi)用。在三維造影、腦部成像、冠狀動(dòng)脈成像、動(dòng)態(tài)成像等方面也有較大的應(yīng)用前景。而關(guān)于聯(lián)合子空間中信號(hào)的壓縮感知理論可以用于解決腦電圖和光學(xué)相干斷層掃描中的一些問(wèn)題。(3)其它領(lǐng)域除上述的應(yīng)用，CS方法還被用到信道編碼中誤差控制的研究中。在圖像處理分析方面，壓縮感知方法也被廣泛應(yīng)用。在Wright等人提出的基于壓縮感知方法的人臉識(shí)別算法中，人臉識(shí)別問(wèn)題看成是找待測(cè)圖像的特征在訓(xùn)練集合中稀疏表示，然后運(yùn)用了CS理論中的恢復(fù)方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解?；趬嚎s感知方法的超分辨率算法也由Yang等人提出。高分辨率圖像認(rèn)為可由一組訓(xùn)練得到的冗余基稀疏表示，然后利用壓縮感知理論中的恢復(fù)方法從低分辨率圖像中估計(jì)出這些表示系數(shù)，進(jìn)而可以得到一個(gè)超分辨率后的圖像。Cai等人針對(duì)運(yùn)動(dòng)去模糊中的卷積核在curvelet小波變換下的稀疏性，并結(jié)合圖像在框架小波基上的稀疏性獲得了不錯(cuò)的恢復(fù)效果。除此之外，壓縮感知方法還被廣泛引入到通信、地理信息數(shù)據(jù)分析、超光譜成像、雷達(dá)和生命科學(xué)等領(lǐng)域第六章結(jié)束語(yǔ)本文簡(jiǎn)要介紹了一種剛剛興起的可以在亞奈奎斯特頻率進(jìn)行采樣的數(shù)據(jù)采集方法一一壓縮感知方法。該方法主要依賴(lài)于如下事實(shí)：與原始數(shù)據(jù)的有限次隨機(jī)投影中包含了原始信號(hào)的足夠信息；給定一定的約束條件