原子的拉莫爾旋進

原子的拉莫爾旋進的若干問題吳云（安慶師范學院物理與電氣工程學院安徽安慶246011）

指導教師：張青林摘要：原子受外磁場的作用做拉莫爾旋進是一個非常重要而且又是很有趣的物理現(xiàn)象。孤立原子的日在-Pj方向的分量弓是一個定向的恒量，對外發(fā)生效果。這個分量我們定義為原子的總磁矩。日繞B旋進與貝繞Pj旋進存在著區(qū)別。原子的拉莫爾旋進和Lande因子也有一定的關系。本文的處理方法是先從原子磁矩頊分解出有效磁矩',其次再用有效磁矩與外磁場B的作用關系來描述原子的拉莫爾旋進。最后，澄清和糾正了關于原子拉莫爾旋進的一些含糊的說法和不確切的理解。關鍵詞：拉莫爾旋進，有效磁力矩，朗德因子引言原子受外磁場作用做拉莫爾旋進是一個非常重要而且又是很有趣的物理現(xiàn)象。拉莫爾旋進的角頻率①=yB還涉及到原子物理學和光譜學的許多領域。本文首先對原子拉莫爾旋進產(chǎn)生的機理做簡易描述，再以L-S耦合為例，指出關于拉莫爾旋進的一些不確切的理解。單原子的總磁矩（以氫原子為例）由于電子的軌道磁矩日乙和固有磁矩（自旋磁矩）七分別與軌道角動量PL和自旋角動量PS成正比：即 目=—AP，目=-—PTOC\o"1-5"\h\zL 2mLs—mS — —但日同P的比值是不同于日-同P的比值。從矢量模型可以看出，日和目合成的總磁矩日:LL SS LS目MP’七當不再與總角動量烏=P+Ps反平行了。如圖1所示。 一圖1：單原子的總磁矩的示意圖孤立原子的總角動量P是守恒量，即大小和方向都保持不變，而合成的總磁矩口并不守恒，它繞JPj旋進，不斷改變方向［1］。 一在實際物理問題中，比如斯特恩-蓋拉赫實驗(Stern-GerlachExperiment)中，我們通常把日這個沒有定向的量分解成兩個分量。有意義的是，日在-Pj方向的分量這是個有定向的恒量，即是守恒的。而另一個垂直于P方向的分量則不斷繞f旋轉(zhuǎn)，對外的平均效果完全抵消了，即為0。因此對j j外發(fā)生效果的是',我們就把匕+氣在-P」方向的分量'定義為原子的總磁矩或有效磁矩［2,3］。3.拉莫爾旋進的產(chǎn)生 一一一原子既有總磁矩'，處在磁場中就要受到場的作用，其效果是磁矩繞磁場的方向作旋進。這種旋進就叫做拉莫爾旋進?，F(xiàn)對這個旋進的轉(zhuǎn)向和速度作一個簡單的說明。如圖2是旋進的示意圖［3］。圖2：原子的拉莫爾旋進的示意圖把上述定性描述和外磁場的作用以矢量的關系表示出來由圖3。

圖3：原子的拉莫爾旋進的示意簡圖原子在外磁場中，所受的磁力矩為M二口xB根據(jù)圖3,將其寫成標量式：M=pBsin[180o-(a+P)]=rBsin(a+P)=RB(sinacosP+cosasinP)=M1+M2M=rBsinacosP=rBsina

*/Bsin(180a)即 M1二RjxB而 M=rBcosasinP2①②③④由④式可知，M1①②③④dP動量改變的方向就是力矩的方向。如果單位合適，角動量改變的時間率數(shù)值上等于力矩，所以M|二二。1dt從圖2上可以看出，M1和dP的方向在這個頃刻都是垂直并進入紙面的。由于力矩M1的存在，角動量的改變dP連續(xù)發(fā)生。但dP一直是垂直于P的，所以P只改變方向，而不改變數(shù)值。這就是造成PJ J J在圖2所示的方向連續(xù)的旋進［1的原因。由圖2又可以看出：dP=PjsinPW

dP W丁因此式中又~d~=Psinp――-Psin因此式中又w dP■/M=^dP■/M=^Bsina，吃=--Psinp^p=^Bsinas1ip=san①=^B=yBLPJ這就是我們熟悉的拉莫爾旋進的角速度公式［3］。又 H=幺白P（其中g為Lande因子）J 2mJ.Y=竿式中Y為旋磁比2m① YB那么拉莫爾旋進的頻率就等于：V=寸土l2兀 2兀下面再對M進行討論。2由前面②式可知M=pBcosasinp2=pBcosai=p【Bsin(90o—a)M=pxB從⑥式直觀地看，M2表示對Z'軸的旋進起作用的磁力矩。但是,第一：由圖3可看出，P上既要繞Pj作快進動，同時又要繞/軸（實際上/軸將繞z軸以①乙轉(zhuǎn)動）作慢進動是不可能實現(xiàn)的［4,5］；第二：由于原子的磁矩來自于原子中電子的軌道運動和自旋，磁矩和角動量必然要成對出現(xiàn)，而P±沒有對應的和它方向相反的角動量P±。盡管M2=0，卻根本不可能有相應的角動量的改變，因而對原子體系能量的增減沒有影響；第三：因p±繞PJ作快速轉(zhuǎn)動，p±與B的夾角在90。-a到90o+a之間變化，p,B在觀測時間內(nèi)的平均效果為0，因此不起作用。綜上所述：M2對拉莫爾旋進沒有貢獻，不妨稱其為無效磁力矩。4.討論⑴曰繞B旋進與口繞Pj旋進的區(qū)別一由上述可知，所謂拉莫爾旋進是指日（或,PQ繞外磁場B旋進。這時，一般有兩種情況：①在e e e不考慮耦合時，拉莫爾角頻率①乙=2-旦（或?廣—B）；②在考慮耦合時，拉莫爾角頻率①乙=g2-B。應該明確指出的是日（或日乙，七）繞P,的旋進，并非是我們這里所討論的原子的拉莫爾旋進，其角頻e_ e_ e_ _率絕不會有氣=g石B（或①^2-B或①S=-B）的形式。具體來講，在L-S耦合時，日繞B旋進①e_…和日繞P｝旋進是同時存在的。曰繞B作慢旋進，其旋進頻率即拉莫爾頻率可用vl=荒=g4-z-垣估算。在量子力學中vL相當于是態(tài)能量或光譜項由于磁場B與磁矩日相互作用所產(chǎn)生的改變。而日繞PJ作快旋進，是原子在外磁場中同時存在的另一種旋進，其旋進頻率可用『二^|口人|估算。這里的己業(yè)相當于定態(tài)能量或光譜項由于電子自旋運動與其軌道運動相互作用所產(chǎn)生的改變。故我們在閱讀教材和文獻[1-3]時，不應把這兩種截然不同的旋進混同起來。⑵拉莫爾旋進與Lande因子眾所周知，拉莫爾旋進角頻率可寫為：3=yB=，jB=g：BlP 2mj在L-S耦合情況下,Lande因子可寫為：1J（J+1）-L（L+1）+S（S+1）g=1+ 2J（J+1）式⑦和⑧是原子物理學中兩個重要關系式?，F(xiàn)以4D1態(tài)為例，來分析一下拉莫爾旋進和朗德因子的關系。從式⑦和⑧可知， g=0，因而有2①二g：B=0的結果，似乎原子在外磁場中的拉莫爾旋進停止了，此時^±P，日=0。但是值得L2m JJ注意的是日主0，Pj豐0。因為產(chǎn)生拉莫爾旋進的真正動力在于有效磁力矩。故由于日主0，B壬0，即M=rxB。0，則①豐0，拉莫爾旋進似乎又沒有停止?？磥沓霈F(xiàn)了一個矛盾：即①。g-^B，式l l 2m⑦或⑧不是普遍成立。然而式⑦和⑧的正確性和普適性已被理論推導和實驗結果所證明。故這里的定性的解釋是：當^±PJ時，目仍繞Pj快速旋進，但它與外磁場相互作用對外產(chǎn)生效果的成分被平均而抵消，不能形成有效磁力矩，促不成拉莫爾旋進，即日j=0，且心廣七xB=0，于是有3=0或3=%B=0，g=0（即能級在外磁場中不分裂），⑦和⑧式是普遍成立的。L LPJ現(xiàn)根據(jù)圖和上面所提到的表達式對此做更為直觀，定量的分柝4,5]

i.由②一⑤式知，因為。=90°,cos。=0,sin&=1,即M=^Bsinacosp=0亦即 M=pxB=0所以有效磁力矩為零不可能產(chǎn)生拉莫爾旋進。而 M2=pBcosasinP=pBsin（90°—a）從表達形式上看，它表示引起P繞B即 M2=p從表達形式上看，它表示引起P繞B（即z軸）轉(zhuǎn)動的磁力矩。但是如前面所講，吃是無效磁力矩。ii.由前面可知:°=七lii.由前面可知:°=七lPsinapBsinacosP pcosPPsina當p=90°時，cosp=0pcosp①= B=0jiii.其實，對于這一點，結合圖4,就會立即看出，當P^Pj時，由于iii.M=pxB=pxB=M，說明原子在外磁場中所受的總磁力矩為無效力矩，故氣=0，g=0，對外不產(chǎn)生效果。圖4：當p±Pj時，①乙=0⑶.M=pjxB與M=pxB文獻［"中的普遍說法為“p繞Pj旋進，p不是一個有確定方向的量，p沿Pj的分量pj才是有一定方向的恒量，它對外產(chǎn)生效果，叫做總磁矩或有效磁矩，而垂直P的分量繞P轉(zhuǎn)動，對外平均效果抵消J Je_了”。同時，把原子的總磁矩七和總角動量pj的關系式七=-g^mpj當作討論問題的依據(jù)，而且有沒有指出是否例外。正因為上述兩個原因，對M二七XB為力矩是肯定的，而對于M=^xB是不是則往往產(chǎn)生猶豫。這里有三點值得分析：第一：文獻［1-3,6］中“對外產(chǎn)生效果”一詞具體指什么沒有闡述。在這里，“對外產(chǎn)生效果”這個“效果”是指七始終能與外磁場相互作用形成力矩而保持繞外磁場的旋進。例如，由于口繞Pj旋進，只有七才能對外產(chǎn)生效果即存在力矩M=七xB（即有效磁力矩M2）。第二：只從電磁學性質(zhì)來講，M=%xB與M=^xB無實質(zhì)區(qū)別。但是，在這里就要考慮對外是否產(chǎn)生平均效果。一般情況下，七只是口的分量，力矩M=^xB中自然包含著力矩M=%xB。但是，在個別情況下，M=pxB就對外不產(chǎn)生效果。例如：^j=0，M=M1+M2時，力矩M=pxB就形成不了。e第三：七=-g—PJ在L-S耦合的多數(shù)情況下是對外產(chǎn)生效果的有效磁矩。而在另外一些少數(shù)情況下就由其他因素來代替。巾。如，有時真正對外產(chǎn)生效果的有效磁矩恰恰是口而非七［4】。按照文獻［1-3］的處理方法是先從原子磁矩口里分解出有效磁矩七；其次再用有效磁矩七與外磁場B的作用關系來描述原子的拉莫爾旋進，而不去討論原子磁矩的另一分量日。但是，當面對諸如4。1態(tài)時，± 2由于^j=0而四。0，M二rxB。0，用這種處理方法在解釋不產(chǎn)生拉莫爾旋進（即①乙=0，g=0，在外磁場中不發(fā)生能級分裂）的情形往往比較麻煩。而按照本文的處理方法則是先根據(jù)矢量關系圖直接用電磁學性質(zhì)給出總磁力矩M的數(shù)學表達式，而此式能夠巧妙的分解成兩部分M=M1+M2。其次，在確定出有效磁力矩M1，利用原子的固有屬性排除不可能實現(xiàn)的旋進（即排除無效磁力矩M2對拉莫爾旋進起作用的可能性），這樣做的好處在于既對原子磁矩R的兩個分量七和日上都做了討論，又能對諸如4。1態(tài)的也=0，g=0和口E=0等問題做出順理成章的說明?？傊捎谟辛溯^完整的數(shù)學表達式及有效磁力矩和無效磁力矩的概念，在解釋“對外產(chǎn)生效果”一詞的含義時，比文獻［1-3］的定性描述更方便了一些。尤其可以簡單的用一個表達式（即式②）和一句解釋（即指明有效磁力矩和無效磁力矩）把原子拉莫爾旋進的產(chǎn)生機理描述清楚。（4）?在文獻［1-3］中，七豐0，%豐0和“對外產(chǎn)生效果”似乎指的是同一個內(nèi)容，即有效磁*j豐0就會“對外產(chǎn)生效果”，于是必然發(fā)生拉莫爾旋進，反之亦然。但是，值得指出的是，這種理解對于具有朗德因子g的原子態(tài)來講無疑是正確的。本文所定義的“有效磁力矩”和“無效磁力矩”也同樣屬于這種情況，而都不是適用于具有不確定的朗德因子g的原子態(tài)。例如：有一種情況是：一一一_一 一0 八當L=S=0，J=0時，g=1+0（不定式）即3=g2mB為不定式。但是由于PL=PS=P^=0，匕二七=^J=目=0，所受的力矩均為0，故％=0，而氣B=0B（不定式），即具有不確定je一_的拉莫爾角頻率。這樣看來，①L豐g^mb。似乎⑦和⑧又出了問題。有人認為，這時候，由于原子所有矢量全部收縮為一個幾何點，在外磁場的作用下不可能再有旋進，這時候的原子是一個“死原子”。其實不然：首先，僅從M1=^JxB得出M1=0，3l=0的結論是不夠全面的，它只是推導拉莫爾角頻率的一部分。其次，這種情況表示支殼層全部填滿的原子態(tài)。這時的原子并不是“死原子”，它仍存在某種形式的旋進。有文獻回已對上述情況做了詳細的論述。另一種情況是當L=S主0，J=0時，g=1+0（不定式），由于Pj=。，即Pl+Ps=0，顯然eee e_pl=-ps，則卜氏+四s=-荔pl-mps=2mpl=-mps，- ——e一"盧g流j頊一一一一一日 0C一、，、，F(xiàn)?一故3=JB=cB（不定式），如圖5所示，lP 0圖5即這時的拉莫爾角頻率3也為不定式。這就說明，即使我們一貫所說的原子的“有效磁矩”|^=0。這時，拉莫爾旋進是存在的。這時對外產(chǎn)生的效果的不是R而是R，其數(shù)值為：J四=頊L（L+D氣=dS（S+D%。但是，這時候不能發(fā)生能級分裂（J=0，MJ=。，口E=0）［4］。因此我們可以得到如下結論：i-文獻［1-3呻的“無效磁矩”以及本文的“有效磁力矩”和“無效磁力矩”等只適用于具有確定朗德因子g的原子態(tài)；拉莫爾旋進的存在與否與朗德因子互為條件。如果把是否“對外產(chǎn)生效果”解釋為是否“發(fā)生能級分離”，問題似乎就會少一些；如果把是否產(chǎn)生拉莫爾旋進作為是否“對外產(chǎn)生效果”的標志，就會麻煩一些，因為，當四更0，g豐0（確定值），J3l豐0（確定值）時能發(fā)生能級分裂；當=0，g=0或g=1+0豐0（不定式），3l=0或3l豐0（不定式）時不能發(fā)生能級分裂。參考文獻：［1］ 褚圣麟，原子物理學［M］,北京：高等教育出版社，1979。［2］ 顧建中，原子物理學［M］,北京：高等教育出版社，1986。［3］ 楊福家，原子物理學［M］，上海：上?？茖W技術出版社，1985。［4］ 巴音賀希格，原子Larmor旋進中的若干問題J］，大學物理，1998，17(5)：22?24。［5］ 巴音賀希格，原子Larmor旋進產(chǎn)生機理的簡易描述［J］，大學物理,2000,19(7):15?17。［6］ 高順福，屠船士，吳祖嵋，原子物理學［M］，上海：上?？茖W技術出版社，1984。［7］ 方勵之，近代物理學講稿，北京大學物理系，北京物理學會印，1985。［8］ K.Krane,ModernPhysics,JohnWiley&Sons,1983。［9］ A.Beiser,ConceptsofModernPhysics,McGraw-Hill1987。［10］ R.GautreauandW.Savin,TheoryandProblemsofModernPhysics,McGraw-Hill,1987。SeveralProblemsaboutLarmorPrecessionofAtomWuYun(SchoolofPhysicsandElectricalEngineeringofAnqingNormalCollege,Anqing246011)Abstract:Larmorprecessionofatomisnotonlyaveryimportantbutalsoaveryinterestingphysicalphenomenon.AndM^isa