集合及集合的表示-知識點總結(jié)

集合及集合的表示（B層）

【要點梳理】

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數(shù)學

分支，都建立在集合理論的基礎上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領域中得到

應用.

要點一：集合的有關概念

1.集合理論創(chuàng)始人是康托爾.

（1）集合的概念：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象

的全體構(gòu)成的集合（或集）（set）.

（2）元素的概念：構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）（element）.

（3）對集合、元素概念的理解：

①通常用英語大寫字母A,B,C,…來表示集合，用英語小寫字母a,6,c,…來表示集合的元素.

②對于集合一定要從整體的角度來看待它.例如由“我們班的同學”組成的一個集合A,則它是一個整

體，也就是一個班集體.

③要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象都可以組成一個集合，如人、動

物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，

如上面所提到的集合A,可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合8的元素.

④構(gòu)成集合的元素必須是“確定的”，這個“確定”有兩個含義：一方面，構(gòu)成集合的元素具有非常明確的

特征；另一方面，給定個集合，那么任何一個元素是否屬于這個集合是確定的.

⑤“不同”是指構(gòu)成集合的各個對象互不相同.

那么什么才是確定的對象？

不能確定的對象（X）可以確定的對象3）

視力好的同學不戴眼鏡的同學

高個子的男生1.8米以上的男生

漂亮的女神生成績在130分以上的女生

課本中的難題高中數(shù)學人教B版必修1課本中的填空題

接近于1的數(shù)大于10的自然數(shù)

2.關于集合的元素的特征

特性含義示例理解

作為一個集合的元素，必須是確定的，集合A={1,2,3},則確定性是集合的最基本

不能確定的對象就不能構(gòu)成集合，也就1￡A,4住A特性，沒有確定性就不能

是說，給定一個集合，任何一個對象是構(gòu)成集合.例如：“課本

不是這個集合的元素也就確定了.設A中的難題聰明的孩

確定性

是一個給定的集合，X是某一個具體對子”，其中“難題”“聰明”

象，則x或者是A的元素，或者不是A因界定的標準模糊，故都

的元素，兩種情況必有一種且只有一種不能構(gòu)成集合.

成立.

對于一個給定的集合，集合中的元素一集合｛用/一燈中的工應互異性是三大特性中最

定是不同的（或者說是互異的），相同的容易被忽視的性質(zhì).例

互異性滿足義工尤2_工，即工工0

對象歸入同一集合時只能算作集合的一如：由good中的字母構(gòu)

且xw2

個元素，即只能出現(xiàn)一次成的集合含有4個元素，

分別為g>o,o,d.這

句話是不對的，因為雖然

在這個單詞中，字母“?！?/p>

出現(xiàn)了兩次，但如果歸入

同一集合中只能算作一

個元素，根據(jù)互異性，上

述集合的元素僅有3個，

分別為g,o,d.

構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分，即集合｛1,。｝和｛0,1｝是同一無序性主要應用在判斷

無序性任意改變集合中元素的排列次序所得到集合兩個集合是否相等方面.

的集合和原來的集合是同一集合

要點詮釋:

集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性.反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象

也就不能構(gòu)成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構(gòu)成集合的依據(jù).

解決與集合有關的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是，一方面，我們要利

用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問題被解決之時，應注意檢驗元素是否滿足它

的“三性”.

3.元素與集合的關系:

關系概念記法讀法

屬于如果。是集合A的元素，就說a屬于(belongto))AaeAa屬于A

如果。不是集合A的元素，就說。不屬于(notbelongto)Aa^Aa不屬于A

不屬于

【提示】

(1)aeA還是。史4取決于〃是不是集合A中的元素，根據(jù)集合中元來的確定性，可知對任何a與4,

要么aeA,要么“走A.

(2)符號號僅可用來表示元素與集合之間的關系，不能用來表示集合與集合之的關系，這一點

要牢記(集合與集合之的關系將在后面學到).

(3)與“e”與“走”的開口方何指向集合.

(4)集合本身也可以作為集合的元來，如A=｛｛a｝,｛加｝中有兩個元素,分別為合｛0,g｝,則有｛a｝wA.

4.集合的分類

有限集、無限集與空集

有限集含有有限個元素的集合.如“方程3x+l=0的解組成的集合”

含有無限個元素的集合.如“到平面上兩個定點的距離相等的所有點組成的集

無限集

合的解集”

空集(emptyset)我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0.如“方程x2+l=0(xeR)的解集”

【提示】

(1)在以后的學習中，空集是最容易被忽略的一種情況，要時刻提高警惕.

(2)警惕0=｛0｝,｛0｝=0,｛0｝=。的錯誤.

①0是合｛0｝的元素，可記為0W｛0｝；

②0表示空集，｛0｝表示合有一個元來。的集合；

(3){0}表示含有一個元素。的集合，故0e{0}.

5.常用的數(shù)集及其記法

常用的數(shù)集及其符號

常用數(shù)集意義記作

自然數(shù)集非負整數(shù)全體構(gòu)成的集合N

正整數(shù)集在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合*或N*

整數(shù)全體構(gòu)成的集合

整數(shù)集Z

有理數(shù)集有理數(shù)全體構(gòu)成的集合Q

實數(shù)全體構(gòu)成的集合

實數(shù)集R

無理數(shù)集無理數(shù)全體構(gòu)成的集合

復數(shù)集復數(shù)全體構(gòu)成的集合C

【提示】

(1)以上常用數(shù)集的意義是約定俗成的，解題時可作為已知使用，不必重述它們的意義.

(2)對以上常用數(shù)集要做到范圍明確，即明確各數(shù)集所包含的元素.

(3)N與N*(M)不同之處就是N包括0,而N*(%)不包括0.

(4)0是最小的自然數(shù).

要點二：集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法

來表示集合.

方法意義示例理解

用文字敘述的形式描述大于等于2且小于等于8的偶數(shù)

自然語言法

集合的方法構(gòu)成的集合

把集合的所有元素一一(1)數(shù)集：由方程f=4的實(1)列舉法適用于元素個數(shù)較

列舉出來，并寫在花括根組成的集合可以表示為少的有限集；

號”{}”內(nèi)的表示集合的{-2,2},小于6的非負偶數(shù)組(2)元素間用“，”隔開；(3)

方法.用列舉法表示集元素不能重復；

成的集合可以表示為{0,2,4}

合時，求出參數(shù)值后，(4)元素具有無序性；(5)當

列舉法(2)點集：點0,2),(2,4)}

必須進行“互異性檢驗”元素個數(shù)較多(或集合為無限

集)時，若元素呈現(xiàn)一定的規(guī)

律，在不發(fā)生誤解的情況下，

也可列出部分元素作為代表，

其他元素用省略號表示.

用集合所含元素的共同(1)數(shù)集：不等式2%-3>0的(1)描述法適用于元素個數(shù)較

特征性質(zhì)描

特征來表示集合的方解集可表示為多且排列又無明顯規(guī)律的集

述法(簡稱描

法.3合；

述法){xeR\x>-}(或?qū)懗?/p>

基本形式為(2)集合的代表元素與元素所

｛xe/|p（x）｝,x是集具有的共同性質(zhì)之間用“I”隔

{x|x>3|}，或?qū)懗?/p>

合的代表元素，集合/開；

是光的取值范圍，p（x）{x|2x-3>0}（3）對于描述法，不能只把注

是集合中元素所具有的[x=—\意力放在豎線"I”右邊元素所

(2)點集：(x,y)<>

共同性質(zhì)（特征性質(zhì)）具有的共同性質(zhì)上，還要給予

豎線左邊的代表元素足夠

的重視.弄清元素所具有的形

式（即代表元素是什么），是數(shù)，

還是有序?qū)崝?shù)對（點）還是其

他形式？

（4）用描述法表示集合時，若

需要多層次描述屬性時，可選

用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等連

接；若描述部分出現(xiàn)元素記號

以外的字母時，要對新字母說

明其含義或指出其取值范圍.

Venn圖法：用平面內(nèi)一如方程|x|=2的解集可表示為

條封閉曲線的內(nèi)部表示

一個集合

圖示法

數(shù)軸法：用數(shù)軸或數(shù)軸集合｛x|%,-1或x>2｝用數(shù)軸

上的部分來表示集合的法表示如圖所示，

方法叫做數(shù)軸法r

-4-3-2-101234

用集合表示解集有時不對于不等式的解集｛xlx,-2）“無窮大”是一種變化趨勢，

太方便，為了方便，采（或類似的集合）可以用區(qū)間表符號“8”不是一個數(shù)，因此，

區(qū)間法用區(qū)間的形式來表示集示為（-oo,-2]以“-OO”或“+8”為區(qū)間的

合一端點時，這一端必須是小括

號

【典型例題】

類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)

例1.下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學生B.2020年高考數(shù)學難題

C.所有有理數(shù)D.小于萬的正整數(shù)

【解析】對于A,“上課遲到的學生“屬于確定的概念，故能構(gòu)成集合；

對于B,“2020年高考數(shù)學難題”界定不明確，不能構(gòu)成集合；

對于C,任意給一個數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，故能構(gòu)成集合；

對于。，小于萬的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選：B.

【點評】本題給出幾組對象，要我們找出不能構(gòu)成集合的對象，著重考查了集合的定義和集合元素的

性質(zhì)等知識，屬于基礎題.

例2.集合A由形如，"+百〃(meZ,〃eZ)的數(shù)構(gòu)成的，判斷一二是不是集合A中的元素？

2-V3

【答案】是

【解析】由分母有理化得，一^=2+逐.由題中集合A可知利=2,〃=1,均有〃zwZ,"GZ,

2-V3

2+y/3eA,即——eA.

2-V3

【總結(jié)升華】(1)解答本題首先要理解G與右的含義，然后要弄清所給集合是由一些怎樣的數(shù)構(gòu)成的,

能否化成此形式，進而去判斷一產(chǎn)是不是集合4中的元素.(2)判斷一個元素是不是某個集合

2-V32-V3

的元素，就是判斷這個元素是否具有這個集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對象的表達式

轉(zhuǎn)化為集合中元素所具有的形式.

舉一反三：

【變式1】判斷下列對象能否構(gòu)成一個集合，如果能，請采用適當?shù)姆椒ū硎驹摷?，如果不能，請說明

理由.

(1)小于5的整數(shù)；

(2)我校高一年級體重超過75依的同學；

(3)方程x+y=3的非負整數(shù)解；

(4)與1非常接近的有理數(shù)；

(5)某班所有個子高的同學；

(6)不等式2x+l>7的整數(shù)解.

【解析】(1)利用描述法表示，｛xeZ|x<5｝;

(2)利用描述法表示，｛x|x是我校高一年級體重超過75版的同學｝;

(3)方程x+y=3的非負整數(shù)解有(0,3),(1,2),(2,1),(3,0):

故可利用列舉法表示，｛(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)｝;

(4)與乃非常接近的有理數(shù)不能構(gòu)成集合，無法滿足集合中元素的確定性；

(5)個子高的標準不確定，所以集合元素無法確定，所以不能構(gòu)成集合；

(6)由2x+l>7得無>3,因為x為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，所以用描述法表示

為{x|x>3,且xeZ}.

【點評】本題考查了集合的判斷與集合的表示法應用，屬于基礎題.

【變式2】設5=3*=111+011,111,1162}

⑴若aeZ,則是否有aeS?

(2)對S中任意兩個元素Xi，X2,則X1+X2,XI-X2.是否屬于集合S?

解：(1)若aez,則有aes,即n=0時，xeZ,AaeS；

(2)Vxi，X2」S,則Xi=m]+&n],X2=102+0112㈣曲叫,叫GZ)

x,+x7=(肛+〃)++?,)GS(肛+m,GZ,n]+%GZ)

X1-x2=(m1+V2n1)■(m2+V2n2)=01)m,+2n1n2+72(01,n2+m,n1)

'/mi>n”ni2?meZ,.".mini2+2nin2GZ.mitu+mznicZ

.\x1x2eS.

類型二：元素與集合的關系

例3.(2015北京西城區(qū)學探診)給出下列六個關系：

(l)OeN*(2)0任{-1,1}(3)0e{0}

(4)0U{O}(5){0}e{0,1}(6){0}c{0}

其中正確的關系是.

【答案】(2)(4)(6)

【思路點撥】首先要熟悉集合的常用符號，空集，記作0,N表示自然數(shù)集，N+或N*表示正整數(shù)

集，Z表示正整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集；然后要明確元素與集合，集合與集合的關系及符

號表示，以及子集的性質(zhì).給定一個對象“，它與一個給定的集合A之間的關系為aeA,或者aeA,

二者必居其一.解答這類問題的關鍵是：弄清”的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.

【解析】(1)0不是正整數(shù)，故錯誤；

(2)0不是集合{-1,1}中的元素，故正確；

(3)空集是一個集合，使用的符號錯誤，故錯誤；

(4)空集是任何一個集合的真子集，故正確；

(5)是集合與集合的關系，應該使用符號口或3，故錯誤；

(6)一個集合是它本身的子集，故正確.

【總結(jié)升華】本題主要是區(qū)別0,{0},0和非空數(shù)集以及常用的集合之間的關系.此類問題在解答時,

既要熟悉集合的常用符號，又要明確元素與集合，集合與集合的關系及符號表示，以及子集的性質(zhì)，特別

是{0}與0,最容易混淆，必須在學習中引起足夠的重視.

舉一反三：

【變式1】用符號“G”或“金”填空

(1)若八=2,則—工A；-2A.

2

(2)若8={幻2》2—》一1=0},則一;B；-2B.

【答案】

(1)生，G(2)G,金

【變式2】下列四個集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3}B.{(x,y)\y2=-x2,x,yeR}

C.{xlx'O}D.{x\x2-x+l=O,xeR}

【解析】根據(jù)題意，由于空集中沒有任何元素，對于選項A,x=O:

對于選項8,(0,0)是集合中的元素；對于選項C,由于x=0成立；

對于選項O,方程無解.故選：D.

【變式3】用符號€或￡填空.

(1)設集合A是正整數(shù)構(gòu)成的集合，則0—A,0—A,1―

(2)設集合3是小于JFT的所有實數(shù)構(gòu)成的集合，則2G____3,1+&____B；

(3)設集合C是滿足方程x=〃2+i(其中〃為正整數(shù))的實數(shù)x構(gòu)成的集合，則3—C,5—C;

(4)設集合。是滿足方程y=f的有序?qū)崝?shù)對(工力)構(gòu)成的集合，則T_(-1,1)—D.

【解析】(1)依次應填任，任，6.

(2)2G=因為(l+&)2=3+2&<11,所以1+J5<JFT,所以依次應填住，e.

(3)由于"是正整數(shù)，所以"+1*3.而當”=2時，n2+l=5,所以依次應填任，G.

(4)由于集合。中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),而一1是數(shù)，所以一1史￡).

又(-1)2=1,所以依次應填至，e.

故答案為：(1)任，任，e;(2)￡,e;(3)任，e:(4)任，e;

【點評】本題考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.

【變式4】用符號€或必填空：

0N;V2Z；g。；6。；V12____R；

3{X|X=H2+1,neN]；2{x\x2-2x=0}；0{y\y=-x2+1,xe/?}；

(0,1)—{y\y=x2+\,xeR}；(1,1)—{(x,y)ll%l=2且|y|=l}.

【解析】因為0是自然數(shù)，所以OeN;因為&不是整數(shù)，所以及必Z;因為[是有理數(shù)，所以

33

因為6不是有理數(shù)，所以6任Q;因為位是實數(shù)，所以屈eR;

???當時，l=+1取不至1I3,:.3e{x\x=n2+\,neN};

?.?集合{xH-2x=0}化簡得{0,2},:.2e[x\x2-2x=O};

?集合{y|y=-f+1,%G/?)={y|y?1},且O<1,,,.OG{y|y=-x2+1,xeR};

?.?集合{yIy=x?+1,xeR}中的元素都是實數(shù)，不是點的坐標，(0,l)g{y|y=x2+1,xe/?)；

?.?集合{(x,y)||x|=2且|y|=l}={(2,l),(-2,1),(-2,-1),(-2,1)},/.(I,1)史{(x,y)||x|=2且|y|=l}.

故答案為：e,e,任，e,任，e,e,任，史.

【點評】本題結(jié)合集合與元素，要我們判斷其關系，著重考查了元素與集合的關系、實數(shù)的分類與運算等

知識，屬于基礎題.

【變式5】用符號或"任”填空

(1)0___N,>/5N,716N；

(2),2-耶+42+百____{JC|x=tz+,aeQ,beQ}.

[](1)是自然數(shù)，.1OeN;;右不是自然數(shù)，，右eN;;=4是自然數(shù)，.1eN;

(2)?.?“2-6+72+G)2=2-g+2+G+2=6,

二.也-6+，2+百=娓=0+\又底,故也-G+也+^w{x|%=〃+"/?,beQ].

故答案為：(1)G,￡,e,(2)e

【點評】本題考查了元素與集合關系的判斷，難度中下等，本題(2)的難點在于亞二3+收1百的化

簡.

類型三：集合中元素性質(zhì)的應用

例4.(1)求(x-2)2=0的解集.

(2)已知三角形的三邊長分別為a,b,c,三邊長組成集合如下，試判斷三角形的形狀.

?{a,b,c}；?{a,b}；③{a}.

(3)已知集合4={0,2加-1,”},

①若leA,求實數(shù)機的取值范圍；

②若4/〃-4GA,求實數(shù)，〃的取值范圍.

【解析】⑴{2}；

(2)①三邊互不相等的三角形；②等腰三角形；③等邊三角形；

(3)①(i)當2m-1=1,即m=1時，則2m-1=>=1不滿足集合的互異性，故加當M=l,

2

即加=±1時，帆=—1時，2機一1=一3,w=1,A={0,-3,l}:

7

②(i)當4m-4=0，即m=1時，不滿足集合的互異性；(ii)當4m-4=2m—\,即〃?=—時，此

2

a3

時集合A={0,2,j}；(iii)當4〃?-4=/，即6=2時，此時集合A={0,3,4},綜上所述，機='或桃=2.

例4.互異性一一含參方程的解集

(1)求方程(x-2)(x-3)=0的解集.

(2)求方程(x—m)(x—3)=0的解集.

(3)若方程(》-，")(了-3)=0的解集中，元素之和恰好為3,求實數(shù)機的值.

(4)若方程(x-m)(x-l)(x-2)=0的解集中，元素之和恰好為3,求實數(shù)〃?的值.

【解析】(1){2,3}；

(2)①當相片3時(方程沒有重根)，解集為{八3}；②當加=3時(方程有重根)，解集為{3}；綜上

所述，方程(x-%)(x-3)=0的解集為{〃?,3}或{3}.

(3)①當〃件3時，解集為{m,3},則，”+3=3,解得帆=0；②當機=3時，解集為{3},滿足題意，

綜上所述，=0或/"=3.

(4)①當加=1時，解集為{1,2},滿足題意；②當m=2時，解集為{1,2},滿足題意；③當帆且加M2

時，解集為{利,1,2},則〃7+1+2=3,解得〃?=0,滿足題意，，當綜上所述，加=0或，〃=1或，7?=2.

例5.設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a,beS,對于

有序元素對(a,b),在S中唯一確定的元素a*人與之對應)，若對任意的a,0eS,有a*S*a)=。，則對

任意的下列等式中不恒成立的是()

A.(a*b)*a=a

B.[a*(b*a)]*(a*b)=a

C.b*(b*b)=b

D.(a*b)*[b*(a*b)]=b

【答案】A

【解析】抓住本題的本質(zhì)(a*b)*a=。恒成立.ag只要為S中元素即可有a*bwS.B中由已知即為

0*(a*0)=a符合已知條件形式.C中。=匕即可D中。*匕相當于已知中的。也正確.只有A不一定正確.

【總結(jié)升華】本題應緊緊抓住關系式(a*b)*a=人，即關系式中有三個數(shù)，其中有兩個數(shù)相同且分別

在兩邊，此時關系式等于中間的數(shù)，只要分析出這個特點即可解決.

例6.M={aGZ,|---GN}，則M=()

5-a

A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}

【答案】D

【解析】集合中的元素滿足是整數(shù)，且能夠使——是自然數(shù)，所以0<——<6

5—a5-a

由aeZ,所以-Ya*

當a=-l時，一^=leN符合題意；

5-（-1）

當a=0時，——不符合題意；

5-05

當a=l時，9=3eN不符合題意；

5-12

當a=2時，一^-=2eN符合題意；

5-2

當a=3時，---=3sN符合題意；

5~3

公

當a=4時，——=6eN符合題意.

5-4

故a=-l,a=2,a=3,a=4為M中元素，即乂={-1,2,3,4},選項D正確.

舉一反三：

【變式】（2015北京西城區(qū)期末）設知={1,2},N={1,2,3},P={dc=a+Z?,a&M,bGN、,

則集合P中元素的個數(shù)為.

【答案】4個

【解析】集合P中的元素滿足且aeM力eN,所以

由4￡用，bsN

當〃=1,6=1時，c=l+l=2；

當a-\,h-2時，<?=1+2=3；

當a=\,b=3時，c=1+3=4；

當〃=2,6=1時，c=2+l=3；

當。=2,〃=2時，c=2+2=4；

當〃=2,6=3時、c=2+3=5；

故根據(jù)元素的互異性，尸中元素，即尸={2,3,4,5）,答案為4個.

例7.（1）設集合A={x￡R|or2+2x+l=0},當集合A有兩個元素時，求實數(shù)。的取值范圍.

（2）設集合A={xeR|ac2+2x+l=O},當集合A為單元素集時，求實數(shù)。的值.

（3）設集合A={xeR|62+2x+l=0},當集合A為沒有元素時（即為空集），求實數(shù)。的取值范

圍.

【答案】0,1

【解析】（1）由集合A中有兩個元素可得，方程ax2+2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)解，

當時0時，則為一個二次方程，所以有兩根的含義是該方程有兩個不相等的根，即為判別式大于0時

的a的取值范圍，可得，.故a的取值范圍且"0.

A=4-4a>0

（2）由集合A中只含有一個元素可得，方程ax2+2x+l=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次

方程，故也可以是一次方程，應分類討論：

當a=0時，可得是一次方程，故滿足題意.

當存0時，則為一個二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的根，即為判別式為0時的a

的值，可求得為a=l.故a的取值為0,1.

(3)由集合A中沒有元素可得，方程ax2+2x+l=0無解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故

也可以是一次方程，應分類討論：

當a=0時，可得是一次方程，有一個解，故不滿足題意.

當a/0時，則為一個二次方程，所以該方程無解，即為判別式小于0時的a的取值范圍，可得

a片0

.故a的取值范圍。>1.

A=4-4a<0

【總結(jié)升華】方程依2+法+c=0根的情況：

(1)方程以2+法+。=0有兩個不相等的實數(shù)根，則有;

.△=H-4ac>0

(2)方程加+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則有或f'U；

A=/>2-4ac=0[b^O

(3)方程or?+法+。=0沒有實數(shù)根，則有或a=0,確保方程無解即可.

\A=b2-4ac<0

例8.己知集合A={"+2,(a+l)2,/+3a+3},若leA,求實數(shù)。的值及集合A.

【答案】a=0,A={1,2,3}

【解析】(I)若a+2=l,則a=—l.

所以A={1,0,1},與集合中元素的互異性矛盾，則a=-4應舍去.

(2)若(。+1尸=1,則a=0或a=—2,

當a=0時，A={2,1,3}滿足題意；

當a=-2時，A={0,l,l},與集合中元素的互異性矛盾，則。=一2應舍去.

(3)若a?+3a+3=l,則a=—1或a=—2,由上分析知a=—1與a=—2均應舍去.

綜上，a=0,集合A={1,2,3}.

【總結(jié)升華】本題中由于1和集合A中元素的對應關系不明確，故要分類討論.此類問題在解答時，既

要應用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗解的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須

在學習中引起足夠的重視.

舉一反三：

【變式1】已知集合4={。+2,/+2},3eA,求實數(shù)。的值

【答案】a=-l

【解析】當。+2=3,即。=1時，A={3,3}<不滿足題意;

當片+2=3,即。=±1,。=1時，A={3,3},與集合的概念矛盾，不滿足題意舍去，

。=一1時，由上面知，滿足題意

故<2=-1

【變式2］已知集合A是由a-2,2a2+5〃，12三個元素組成的，且-3wA,求“=.

【解析】由一3eA,可得-3=a-2,或-3=2/+54,

由—3=a—2,解得a=-l,經(jīng)過驗證a=-l不滿足條件，舍去.

■2aa

由一3=2/+5a,解得。=_1或-3,經(jīng)過驗證：。=一1不滿足條件，舍去.=故答案為：-巳.

222

【點評】本題考查了集合的性質(zhì)、元素與集合之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

例9.設A是實數(shù)集，且滿足條件：若aeAaWl,則」一eA.

l-a

(1)若2eA,則A中必還有另外兩個元素；

(2)集合A不可能是單元素集；

(3)集合A中至少有三個不同的元素.

【答案】(1)-1,-(2)略(3)略

2

【解析】(1)若2eA,則」一=—leA,于是一!—=-&A,故集合A中還含有—1,^兩個元素.

1—21-(-1)22

(2)若A為單元素集，則。=」一,即4—。+1=0,此方程無實數(shù)解，,。與」一

\-a\-a\-a

都為集合A的元素，則A不可能是單元素集.

(3)由已知a