數(shù)學高二-江蘇省南師大二附中、大橋中學2022-2023學年高二下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

南師大二附中、大橋中學高二聯(lián)考調研卷數(shù)學一?單選題：1.設隨機變量服從兩點分布，若，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再結合，可求出，從而可求出【詳解】由題意得，因為，所以解得，所以，故選：D2.若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（）A. B. C.或 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【詳解】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以故選：A.3.二項式的展開式中的系數(shù)為（）A.-21 B.21 C.36 D.-36【答案】A【解析】【分析】求出二項式的通項公式，然后求展開式中的系數(shù)即可.【詳解】二項式的通項公式為：.所以令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.4.在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B6.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.7.某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表，若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為，則表中的值為（）年份20162017201820192020年份代號x01234年銷量y10153035A.22 B.20 C.30 D.32.5【答案】B【解析】【分析】先求出、，再利用回歸直線過進行求解.【詳解】由題意，得，，因為y關于x的回歸直線方程為，所以，解得.故選：B.8.已知矩形為平面外一點，且平面，分別為上的點，，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出，求出答案.【詳解】因為，所以，故，故.故選：B二?多選題：9.下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結論中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.兩個不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，利用方向向量?法向量的定義與性質，結合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【詳解】解：對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故正確；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故錯誤；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯誤．故選：．10.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標準差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)【答案】AC【解析】【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可求，可求，利用二項式定理將展開即可求解.【詳解】解：因為，所以令，可得，令，可得，所以選項A正確，選項B錯誤；因為，所以展開式的通項公式為，所以，，所以選項C、D正確.故選：ACD.12.在棱長為1的正方體中，O為正方形的中心，則下列結論正確的是（）A. B.平面C.點B到平面的距離為 D.直線BO與直線的夾角為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，可判斷A;連接BD,交AC于E,連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷B;利用等體積法，求得點B到平面的距離，判斷C;采用作平行線的方法，求出直線BO與直線的夾角，可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接,則交于點O,正方體中，平面平面,故,而平面,故平面,故平面，而平面,故，即，故A正確；對于B，連接BD,交AC于E,連接,則,故四邊形是平行四邊形，故平面不在平面ACD1,故平面，故B正確；對于C，設點B到平面距離為d,因為,故，解得，故C正確；對于D,連接,則即為直線BO與直線的夾角或其補角，在中，,所以,則,故D錯誤，故選：ABC三?填空題：13.設，且，若能被13整除，則a＝___．【答案】12【解析】【分析】將化為，求出被13整除的余數(shù)，再結合已知條件即可求解．【詳解】因為，即被13整除的余數(shù)為1，而，且，若能被13整除，則，故，故答案：1214.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)古典概型計算即可【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：15.若，則___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】令即可求出，再寫出、展開式通項，即可求出；【詳解】解：因為，令，則；因為展開式的通項為，展開式的通項為，所以；故答案為：；16.長方體的底面是邊長為1的正方形，若在側棱上至少存在一點，使得，則側棱的長的最小值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)，利用勾股定理建立方程，則方程有解即可求解.【詳解】設又因為，所以即化簡得，即關于的方程有解，當時，不符合題意，當時，所以，當且僅當，即時取得等號，所以側棱的長的最小值為2，故答案為:2.四?解答題：17.已知空間中的三點，，，設，.（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點到直線的距離.【答案】(1)或（2）【解析】【分析】(1）寫出兩個向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為0，求解k即可．(2）求出直線PM的單位方向向量為，然后利用空間點到直線的距離公式求解即可.【詳解】因為，，，所以（1），，因為，所以，整理得，解得或，所以的值為或.(2)設直線的單位方向向量為，則由于，所以，所以點N到直線PM的距離【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)空間向量的坐標表示，利用向量垂直的數(shù)量積為0，向量表示的點到直線的距離公式是解決本題的關鍵,考查了運算能力，屬于中檔題.18.籃球運動員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知運動員甲投籃命中率的概率為．（1）若投籃1次得分記為，求方差的最大值；（2）當（1）中取最大值時，求運動員甲投5次籃得分為4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意服從兩點分布，寫出方差的式子轉化為二次函數(shù)求最值.（2）由（1）知，投5次藍得分為，則，再利用二項分布公式求出即可.【詳解】解：（1）依題意，的分布列為01當時，取最大值，且最大值為.（2）由（1）可知，投5次藍得分為，則那么則運動員甲投5次籃得分為4分概率為．19.佩戴頭盔是一項對家庭與社會負責的表現(xiàn)，某市對此不斷進行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年度2018201920202021年度序號x1234不戴頭盔人數(shù)y11501000900750（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號x之間的回歸直線方程；（2）并估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)．參考公式：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得、，進而得到、，求出回歸直線方程；（2）令，代入（1）所求的回歸直線方程求解．【小問1詳解】解：由表中數(shù)據(jù)知，，，，所以，所以，故所求回歸直線方程為，【小問2詳解】解：令，則人，則預計該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)為人．20.若的展開式中只有第10項的二項式系數(shù)最大，（1）求展開式中系數(shù)最大項；（2）設，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出n=18，利用二項展開式的通項公式求系數(shù)最大的項（2）用賦值法求.【詳解】（1）∵的展開式中只有第10項的二項式系數(shù)最大，∴展開式有19項，∴n=18.設第r+1項的系數(shù)最大,則，所以r為偶數(shù),且最大,即r=8或10.即展開式中系數(shù)最大的項為第9項和第11項的系數(shù)最大所以，.（2）令x=1,則，令x=-1,則∴兩式相加得:∴.21.如圖，已知圖形ABCDEF，內部連有線段.（列出過程，用數(shù)字作答）（1）由點A沿著圖中的線段到達點E的最近路線有多少條？（2）由點A沿著圖中的線段到達點C的最近路線有多少條？（3）求出圖中總計有多少個矩形？【答案】（1）20（2）111（3）102【解析】【分析】利用分類加法原理和分步乘法原理即可求解.【小問1詳解】由題意得A沿著圖中的線段到達點E的最近路線需要移動6次,向右移動3次,向上移動3次,所以A沿著圖中的線段到達點E的最近路線有條.【小問2詳解】設點G、H、P的位置如圖所示：則點A沿著圖中的線段到達點C的最近路線可分為4種情況：①沿著A→E→C，共有條最近路線；②沿著A→G→C，共有條最近路線；③沿著A→H→C，共有條最近路線；④沿著A→P→C，共有條最近路線；故由點A沿著圖中的線段到達點C的最近路線有條；【小問3詳解】由題意，要組成矩形則應從豎線中選出兩條、橫線中選出兩條，可分為兩種情況：①矩形的邊不在CD上，共有個矩形；②矩形的一條邊在CD上，共有個矩形；故圖中共有個矩形.22.如下圖，在三棱錐中，分別是的中點，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先證明出，，利用線面垂直的判定定理直接證明；（2）取的中點，連接.判斷出直線OE與EM所