集合的概念與運(yùn)算解析版公開課教案教學(xué)設(shè)計課件資料

專題01集合的概念與運(yùn)算

【考綱要求】

1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系.

2.能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.

3.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

4.在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.

6.理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.

7.能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.

一、集合的概念和表示

【思維導(dǎo)圖】

研究的對象

小寫粒丁字母a、b、c...

________元素在不在集合中必須明確各奧的標(biāo)沮要明的

元素

確定性反7＞］新這組元素是否能構(gòu)成集合一

元素沒有順序之分

無序性/我示只要一個集合的元素確定,則這個集合

—_卜（也隨之一定，與元素之間的排列順序無關(guān).

________?一中的每個元素不相同,不支復(fù)

互異性尤;?斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù)一

一些元素姐成的總體

概念Q

m八大寫的拉丁字母A、B、C...

表示Q------------------------------

集

合自然語言.用文字表達(dá)出來

/e---------------------

表

集/列舉法一元素一一列舉出來，并用H括起來，元素之間用逗號隔開

示lx------------e-------------------------------------------------

合

方-MA,諛/是一個集合.把集合/中所有具有共同構(gòu)征網(wǎng)通的元素”

法

的

概描述法八所短成的集合裊示為依川這和，示集合的方法特為描述法.

念---------0"-----------------------------------------------

____^布-集O臬合的元素個數(shù)有限

集合的分臭《無限集二臬合中的元素個數(shù)有無限個

----------------0--------------------------------------

美系機(jī)金記汰弟法

舄于。是集合4中的元素，就說。屬于集合/aGA&屬于A

不舄于。不是集合4中的元京，說■不屬于集合/4A。不舄于/

集合與元素的關(guān)系0

名爵自然數(shù)集正井?dāng)?shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)效集

記法N4最N.Z0R

常用數(shù)集9

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、集合的含義

1、元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a,b,C,…表示.

(2)集合：一些元素組成的總體，簡稱集，常用大寫拉丁字母4,B,C,…表示.

(3)集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的.

(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性.

2、元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

屬于如果a是集合A的元素，就說。屬于集合Aa^Aa屬于集合A

如果。不是集合A中的元素，就說“不屬于集

不屬于aiAa不屬于集合A

合4

3、常用數(shù)集及表示符號

非負(fù)整數(shù)集

數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號NN*或N+ZQR

二、集合的表示

⑴列舉法：

①定義：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}''括起來表示集合的方法叫做列舉法；

②形式：A={4],。2,。3，…，＜??}?

(2)描述法：

①定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法；

②寫法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線

后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

二、集合間的基本關(guān)系

【思維導(dǎo)圖】

用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖

Venn圖

定義：如果集合A中的任意一個元素都是集合

B中的元素，就稱集合A是集合B的子集

[AcB：A包含于B

符號耒示

[BDA:B包含A

書恩圖

子一個集合有n個元素，財

集

子集的個數(shù)：T

子空集真子集的個數(shù)；2°-1

集

集

子

集含有部分元素非空子集的個數(shù)：2--1

個

合

數(shù)

間集合相等(集合本身)非空妻■子集的個數(shù)：2,-2

的

關(guān)定義：如果集合/￡8,但存在元素在仇且米兒就稱集合/是集合8的4子集

系

AgB:A真包含于B

其符號裊示

子BgA:B具包含A

集

書恩圖

定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的

任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等

符號表示

書恩圖

定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為。

空集是任何集合的子集

規(guī)定”-------------------------

—a空巢是任何非空集合的真子臬

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、子集的相關(guān)概念

(l)Venn圖

①定義：在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖，這種表示集合的方

法叫做圖示法.

②適用范圍：元素個數(shù)較少的集合.

③使用方法：把元素寫在封閉曲線的內(nèi)部.

(2)子集、真子集、集合相等的概念

①子集的概念

文字語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就

或

說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的(^?)(@)

83A)

子集

②集合相等

如果集合A是集合B的子集(AUB),且集合8是集合A的子集(BUA),此時，集合A與集合B中的元素

是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=8.

③真子集的概念

定義符號表示圖形表示

如果集合418,但存在元素xGB,且

真子集A8B(或B^A)(￡?)

xiA,稱集合A是集合2的真子集

④空集

定義：不含任何元素的集合叫做空集.

用符號表示為：0.

規(guī)定：空集是任何集合的子集.

二、集合間關(guān)系的性質(zhì)

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AUA.

(2)對于集合A,B,C,

①若AUB,且BUC,則AUC；

②若A呈B且B呈C,則A呈C.

③若A且A彳B,則A屋8.

三、集合的基本運(yùn)算

【思維導(dǎo)圖】

所有舄于集合A或舄于集合B的元素蛆成的臬合.

集

合

的

基

本

運(yùn)

算

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、并集、交集

1、并集

(1)文字語言：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.

(2)符號語言：4UB={x|xCA或xCB}.

(3)圖形語言：如圖所示.

2、交集

(1)文字語言：由屬于集合A且屬于集合5的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

(2)符號語言：An8={x|xCA且xGB}.

(3)圖形語言：如圖所示.

二、補(bǔ)集及綜合應(yīng)用

補(bǔ)集的概念

⑴全集：

①定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集.

②記法：全集通常記作以

(2)補(bǔ)集

對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素

文字語言

組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作。幺

符號語言CuA=lx\xGUHx^A}

圖形語言

【常用結(jié)論】

1.三種集合運(yùn)用的性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=A=BUA.

(2)交集的性質(zhì)：AD0=0；ACiA=A；AnB=BCA；

(3)補(bǔ)集的性質(zhì):AU(CyA)=I7；AD(C必)=0;Cu(C〃)=A；Cf/(AnB)=(CM)U(C(/B)；Cu(AUB)=

(CuA)n(CuB).

2.集合基本關(guān)系的四個結(jié)論

(1)空集是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集.

（2）任何一個集合是它本身的子集，即AUA.空集只有一個子集，即它本身.

（3）集合的子集和真子集具有傳遞性：若AUB,BGC,貝！］AUC；若A隆8且B基C,則A呈C.

（4）含有〃個元素的集合有2"個子集，有2"—1個非空子集，有2"—1個真子集，有2"—2個非空真子集.

【題型匯編】

題型一：集合的含義與表示

題型二：集合間的基本關(guān)系

題型三：集合的基本運(yùn)算

題型四：集合的新定義

【題型講解】

題型一：集合的含義與表示

1.（2022?全國?高考真題（理））設(shè)全集{123,4,5},集合M滿足必用={1,3},則（）

A.2eMB.3wMC.4任〃D.5^M

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫出集合〃，然后逐項驗證即可

【詳解】

由題知M={2,4,5},對比選項知，A正確,BCD錯誤

故選:A

2.（2022?北京病考真題）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合7={QGS|PQ45},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3兀

A.—B.萬C.2冗D.3萬

4

【答案】B

【解析】

【分析】

求出以P為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

【詳解】

p

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上.的投影為0,連接3。，則。為三角形ABC的中心，

且BO=2x6x且=26，故尸。=：36-12=2

32

因為PQ=5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為"個羽〉［,

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為7

故選：B

3.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））已知集合屈={小=5〃-2,〃€武},S={x|x<30},則McS中元素的個數(shù)

為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合交集的概念及集合的描述求5〃-2<30且〃eN'中n的個數(shù)即可.

【詳解】

3?

由5〃一2<30且〃eN*可得：{n\n<—9ne^},即〃={1,2,3,4,5,6},

所以MCS中的元素有6個.

故選：B

4.（2022.全國.模擬預(yù)測（文））已知集合4={代叫了<4},8={巾22},則AAB=（）

A.{x|x<4}B.{x|x<21C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

首先用列舉法表示集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得；

【詳解】

解：因為A={XWN|X<4}={0,1,2,3},又8={小42},

所以AnB={0」,2}；

故選：D

5.（2022?全國?一模（理））已知集合人={2,3,4,5,6},8={（x,y）|xwAy-xeA},則8中所含元素的

個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)集合B的形式，逐個驗證x，y的值，從而可求出集合B中的元素.

【詳解】

y=6時，x=2,3,4,

y=5時，x—2,3,

y=4時，x=2t

y=2,3時，無滿足條件的工值；故共6個，

故選：D.

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）若集合4=卜€(wěn)4/43@,B={x\y=2x,yeA\,則4口8=（）

A.{0,1,2}B.{0,2}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】

先解不等式求出集合A,再求出集合8,然后求兩集合的交集即可

【詳解】

解不等式得04xM3,又xeZ,所以A={0,1,2,3},

所以8={x|y=2x,yeA}=[o,；,l,|},所以4%={0,1}.

故選：C

7.(2022.天津.耀華中學(xué)一模)已知集合人=卜卜2<》<2},fi={xeN|-l<x<3},則AA8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.[-1,2)D.(-2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】

?.-5={xe7V|-l<x<3}={0,l,2},所以4口8={0,1}

故選：A

8.(2022?山東濰坊?三模)已知集合A,B,若力={-1,1},AUB={-1,0,1),則一定有()

A.AcBB.BcAC.A[}B=0D.OeB

【答案】D

【解析】

【分析】

分別分析每個選項，舉出反例以否定錯誤選項.

【詳解】

對于選項A,當(dāng)集合B={0}時，故此選項錯誤；

對于選項B,當(dāng)集合5={0}時，B<ZA,故此選項錯誤；

對于選項C,當(dāng)集合B={()1}時，AnB={l}w0，故此選項錯誤；

對于選項D,因為AU8={-1,O,1},Oe{-1,0,1},且0/A,所以0e8,故此選項正確.

故選：D.

9.（2022?河北秦皇島?三模）已知集合4={1,2,3},8={（乂〉）上￡43^4區(qū)一引€4}中所含元素的個數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意利用列舉法寫出集合8,即可得出答案.

【詳解】

解：因為A={123},

所以8={（2,1）,（3,1）,（3,2）,（1,2）,（1,3）,（2,3）},B中含6個元素.

故選：C.

10.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知集合4={1,2},B={2,4},C={z|z=x\xeA,ye,則C中元素的個數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意寫出集合C的元素，可得答案.

【詳解】

由題意，當(dāng)x=l時，z=xy=1,當(dāng)x=2,y=2時，2=落=4，

當(dāng)x=2,y=4時，z=xy=16>

即C中有三個元素，

故選：C

11.（2022?湖南?岳陽一中一模）定義集合AB的一種運(yùn)算：408={犬|》=/-"4€4〃€8},若4={-1,0},

B={1,2},則4位8中的元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的新定義確定集合中的元素.

【詳解】

因為==,A=1-1,01,B={1,2},

所以4位8={0,—1,-2},

故集合A區(qū)5中的元素個數(shù)為3,

故選：C.

12.(2022?安徽省舒城中學(xué)三模(理))已知集合M={〃7M=i",〃eN},其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬

于集合〃的是()

A.(l-i)(l+i)B.g

C.土D.(1-i)2

【答案】B

【解析】

【分析】

計算出集合M,在利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化筒各選項中的復(fù)數(shù)，即可得出合適的選項.

【詳解】

4+44+224+33

當(dāng)AeN時，i?=i，i*'=i，i=i=-l，i*=i=-i，則M={iT-i,l},

(l-i)(l+i)=l+l=2gM,—=^l=-i€M，

、八'1+i(l+i)(l-i)2

ii(l+i)11...(、2

——=7~、=——+-i^M,(1-iV=-2igM.

1-i(l-iI)(l+'i)22V>

故選：B.

13.(2022.山東聊城.二模)己知集合A={0,1,2},B={al^aeA,beA},則集合8中元素個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

山列舉法列出集合B的所有元素，即可判斷；

【詳解】

解：因為A={0,l,2},aeA,beA,所以a/>=0或而=1或ab=2或"=4,

故B=M|aeA,6eA}={0,l,2,4},即集合B中含有4個元素；

故選：C

14.(2022?湖南?雅禮中學(xué)二模)已知集合4={{0},0},下列選項中均為4的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{0},0}

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

【詳解】

集合A有兩個元素：{0}和0,

故選：B

15.(2022?四川達(dá)州?二模(文))已知集合力={xeZ|-14x43},8={x|xN0},則4n3=()

A.[1,2]B.{1,2,3}C.[0,3]D.{0,1,2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】

:集合A={xeZ|-14x43}={-1,0,1,2,3},B={x|xN0},

所以An3={0，L2,3}.

故選：D.

16.(2022?寧夏?銀川一中三模(理))下面五個式子中：①aa{a}；②01{a}；③{4}￡{?,b}；；

⑤ae{b,c,a}；正確的有()

A.②④⑤B.②③④⑤C.②④D.①⑤

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個分析即可得出答案.

【詳解】

①中，。是集合{〃}中的一個元素，ae{a},所以①錯誤；

空集是任一集合的子集，所以②正確；

{"}是{。,可的子集，所以③錯誤；

任何集合是其本身的子集，所以④正確；

“是{b,G。}的元素，所以⑤正確.

故選：A.

17.(2022?廣西柳州?三模(理))設(shè)集合U={x|0<x<5,xeN},M=(x|x2-5x+6=0),則()

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,4}D.{2,3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合描述列舉出集合元素，再應(yīng)用集合的補(bǔ)運(yùn)算求a，M.

【詳解】

由題設(shè)，”={2,3},。={1,2,3,4},

所以={1,4}.

故選：C

18.(2022糊南常德?一模)已知集合4={?€2*41},8=1,2_仙：+2=0},若4門8={1},則4口8=()

A.{—1,0,1}B.{x|—1<1}

C.{-1,0,1,2)D.{x|-l<x<2}

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出集合A,B,再利用并集的定義計算作答.

【詳解】

解不等式得：-14x41,于是得A={xeZ|-14x41}={-1,0,1},

因Ac8={l},即IwB,解得加=3,則5={1,2},

所以4U8={-l,0,l,2}.

故選：C

19.（2022?江西贛州?一模（理））設(shè)集合A={-l,0,〃},8={x|x=a2,aeA。wA}.若AA8=A,則實(shí)數(shù)"

的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)集合元素互異性排除選項AB；代入驗證法去判斷選項CD,即可求得實(shí)數(shù)〃的值.

【詳解】

依據(jù)集合元素互異性可知，排除選項AB；

當(dāng)"=1時，A={-1,0,1},8={x|x=a-/7,awA,beA}={-l,l,0},

滿足An8=A.選項C判斷正確；

當(dāng)"=2時，A={-1,0,2）,B=^x\x=ah,aeA,Z?e={-2,0,14},

AcB={0}RA.選項D判斷錯誤.

故選：C

20.（2022.山西.一模（文））已知集合知={#=2〃—l,〃eZ},N={1,2,3,4,5},則“QN=（）

A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}

C.|x|x=2n-l,neZ|D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合M的描述，判斷集合N中元素與集合M的關(guān)系，再由集合的交運(yùn)算求McN

【詳解】

由題設(shè)，L3,5eM,2,4gM,

所以〃nN={l,3,5}.

故選：A

二、多選題

1.（2021?江西?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.{1,3,5}={5,3,1}B.集合{（0,0）,（1,1）}的真子集個數(shù)是4

C.不等式f一6x+5<0的解集是{x[l<x<5}D.三的解集是{x|x4—3或

【答案】AC

【解析】

【分析】

A.利用集合相等判斷；B.根據(jù)集合的真子集定義判斷；C.利用一元二次不等式的解法判斷；D.利用分式不

等式的解法判斷.

【詳解】

A.{1,3,5}={5,3,1},故正確；

B.集合{（0,0）,?！梗﹠的真子集個數(shù)是3,故錯誤：

C.不等式封一6》+5<0的解集是{x|l<x<5},故正確；

D.第40的解集是{x|x<-3或

故選：AC

2.（202卜全國?模擬預(yù)測）設(shè)集合4=卜卜="+6〃,〃?,"€7*）,若占eA,X2GA,%十則運(yùn)算十可

能是（）

A.加法B.減法C.乘法D.除法

【答案】AC

【解析】

【分析】

先由題意設(shè)出玉=町+?,x2=m2+43n2,然后分別計算％+々，x,-x2,，五，即可得解.

【詳解】

由題意可設(shè)%=町+G〃I，X2=m2+\f3n2,其中叫，"%，為，n2eN*,

則為+x2=（，%+%）+百（4+%），X[+x?eA,所以加法滿足條件，A正確；不一馬=（町一g）+J5（"1-%），

當(dāng)4=%時，玉-占任A,所以減法不滿足條件，8錯誤；

七*2=町孫=3的2+6（"孫+〃?/），XiX2SA,所以乘法滿足條件，C正確：%=町+f“I,當(dāng)

x2嗎+73nl

—=-=^（^>o）nt,五《A,所以出發(fā)不滿足條件，。錯誤.

m2%X,

故選：AC.

3.（2020?江蘇省宜興中學(xué)模擬預(yù)測）給定數(shù)集M,若對于任意a,b&M,有a+b?M,且a-beM,則

稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（）

A.集合知={7,—2,0,2,4}為閉集合

B.正整數(shù)集是閉集合

C.集合加={〃|〃=3匕AeZ}為閉集合

D.若集合A，4為閉集合，則A。4為閉集合

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)集合M為閉集合的定義，對選項進(jìn)行逐一判斷，可得出答案.

【詳解】

選項A：當(dāng)集合M={-4,-2,0,2,4}時，2,4eM,而2+4=6任M,所以集合M不為閉集合，A選項錯誤;

選項B：設(shè)。力是任意的兩個正整數(shù)，則a+h?M,當(dāng)a<b時，是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整

數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤：

選項C：當(dāng)A/={T〃=3A,&eZ}時，T^a=3kt,b=3k2,kt,k2eZ,

則a+〃=3化+&）eM,a-6=3（K-《）eM,所以集合M是閉集合，C選項正確;

選項D：設(shè)A={3及=3么ZeZ},A,=\n\n=2k,%GZ},由C可知，集合A，4為閉集合，2,3?40&）,

而（2+3）任（474）,故不為閉集合，D選項錯誤.

故選：ABD.

4.（2022?河北?石家莊市第十五中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)4={6,%,色}，8={小=4},則（）

A.A=BB.A&BC.D.AcB

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)題意先用列舉法表示出集合B,然后直接判斷即可.

【詳解】

依題意集合H的元素為集合4的子集，

所以8={0,{4},{4}，3}，{41，色},{4,43}，3，%},{囚,“2，a3}}

所以AeB,0eB,

所以AD錯誤，BC正確.

故選：BC

5.（2022?全國?高一開學(xué)考試）已知集合4=國?。?},8=卜,0},若8=A,則實(shí)數(shù)。的值可能是（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

4a＜4

由題意可得近a＜屋從而可求出。的范圍，進(jìn)而可求得答案

【詳解】

|4a缶<4"解得

因為所以4wA,y/2eA，則，

故選：ABC

6.（2022?新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知集合4=30＜》＜2},集合3={小4。},則

下列關(guān)系正確的是（）

A.leAB.AcBC.D.AUB={X\X<?]

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由已知可求得Q,8={x|x>0},依次判斷各選項即可得出結(jié)果.

【詳解】

1A={x[0<x<2},B={x|x4O},9,B={x|x>0}.

..leA,A正確，AnB=0，B錯誤，A=（Q,B）,C正確，AuB={x|x<2）,D正確.

故選：ACD

7.（2021?湖北省孝感市第一高級中學(xué)高一開學(xué)考試）下列說法中正確的為（）

A.集合A=k|ar2+2x+a=o,a€R},若集合A有且僅有2個子集，則。的值為±1

B.若一元二次不等式辰2-6H+A+8NO的解集為R,則左的取值范圍為0<441

C.設(shè)集合M={1,2},N={/},貝=是“N=M”的充分不必要條件

21

D.若正實(shí)數(shù)x,y,滿足x+2y=l,則—+—N8

xy

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)各選項中的命題的條件逐一分析、推理并判斷作答.

【詳解】

對于A,因集合A={4l+2x+a=0,awR}有且僅有2個子集，則集合A中只有一個元素，于是有。=0或

△=4-4/=0，A不正確；

供>0

對于B,因一元二次不等式丘2-6丘+&+8二0的解集為R,貝叫…舊,。、/八，解得0<Z41,B

[A=36k-4k（k+8）<0

正確；

對于C,當(dāng)。=1時，"={1}="，當(dāng)％="時，/=1或6=2,則。=±1或4=±五，所以“4=1”是“'a〃”

的充分不必要條件，C正確;

對于D,因正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=1,ljlij-+—=（%+2>>）（-+—）=4+—+—>4+2=8,

.xyxyyx\yx

當(dāng)且僅當(dāng)二=匕，即x=2y=:時取"=”，D正確.

yx2

故選：BCD

題型二：集合間的基本關(guān)系

1.（2021?全國.高考真題（理））已知集合5=［卜=2〃+1,〃￡2},T={小=4“+l,〃eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】

【分析】

分析可得7qS，由此可得出結(jié)論.

【詳解】

任取feT,則f=4〃+l=2?（2〃）+l,其中weZ,所以，teS,故T=S,

因此，snr=7.

故選：C.

2.（2020.山東?高考真題）已知aeR,若集合”={1,?，7V={-1,0,1},則“a=0”是“MaN”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.

【詳解】

當(dāng)4=0時，集合M={l,0},TV={-1,0,1},可得MaN,滿足充分性，

若MgN,則“=0或a=-1,不滿足必要性，

所以是“MuN”的充分不必要條件，

故選:A.

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知集合4={》€(wěn)2]_4<%<1},8=卜2,-1,011,則4門8的非空子集個數(shù)為（）

A.15B.14C.7D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出的元素，再求非空子集即可.

【詳解】

因為A={xeZ[T<x<l}={_3,_2,_l,0},又8={_2,7,0,；卜

所以ACB={-2,-1,0},所以AH8的元素個數(shù)為3,其非空子集有2，-1=7個.

故選：C.

4.（2022?全國?哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知M={X|X2-2XV0},N={x|一V。},則集合M、N之

間的關(guān)系為（）

A.McN=0B.M=N

C.NuMD.MuN

【答案】c

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合M即可判斷M、N之間的關(guān)系.

【詳解】

由M={x|x（x-2）<0}={x|0<x<2},

x-2“[x（x-2）<0

由等價于《八，可得N={x|0<xM2},

x[xwO

所以

故選：C

5.（2022.全國?模擬預(yù)測（文））設(shè)"=區(qū)，已知兩個非空集合M,N滿足Mc（^N）=0,則（）

A.McN=RB.MyN

C.N^MD.MuN=R

【答案】B

【解析】

【分析】

利用韋恩圖，結(jié)合集合的交集和并集運(yùn)算即可求解.

【詳解】

滿足Mc@,N)=0,即MqN.

故選：B.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知p：-如<0”,牛"lgx<0"，若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)

，〃的取值范圍是()

A.[0,+oo)B.(0,+功C.[l,+oo)D.(1,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

由p、q分別定義集合A={x|V一的<0}和3=卜|巾<0},用集合法求解.

【詳解】

由選項可判斷出W>0.

由夕："lgx<0"可得：B={x|lgx<0}={x|0<x<l).

由p：“V-?nx<0"可得：A={x|d-儂<0}.

因為。是4的必要不充分條件，所以buA

若《?=0時，A=0,8<=A不滿足，舍去；

若，〃>0時，A=|x2-/?ir<0|={x10<x<zn).

要使只需〃?>1.

綜上所述：實(shí)數(shù)”的取值范圍是

故選：D

7.（2022.全國.模擬預(yù)測）已知集合A=k，-2x-8<0,x€Z},則A的非空子集的個數(shù)為（）

A.32B.31C.16D.15

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合A,利用集合的非空子集個數(shù)公式可求得結(jié)果.

【詳解】

A=卜卜，-2x-8<0,xez|={x\-2<x<4,xez|={-1,0,1,2,3）,

即集合A含有5個元素，則A的非空子集有25-1=31（個）.

故選：B.

8.（2022?全國?模擬預(yù)測）設(shè)集合A={x|log2（x-1）<2},￡?={x|x<5},則（）

A.A=8B.BcAC.AcBD.AQB=0

【答案】C

【解析】

【分析】

先由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合，再由集合知識判斷即可.

【詳解】

VA=1A-|log2（x-l）<2|=1x|log2（%-l）<log24|=1x|l<%<5j

，A錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤.

故選：C

9.（2022.全國.模擬預(yù)測）已知集合4=伸11（1—x）W0},8={Rx—d4。},則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.B^AB.AyBC.Ac8=[l,+oo）D.A|J8=R

【答案】B

【解析】

【分析】

山對數(shù)函數(shù)定義域、一元二次不等式的解法分別求得集合AB,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

-.-A={X|0<1-X<1}={X|0<X<1}=[0,1),B={X|0<X<1}=[0,1],

.?.a8=[0』)=4AU8=[0/]=8,二乍B.

故選：B.

10.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知集合A={123,4,5,6},8=卜|白eN,xeA},則集合8的子集的個數(shù)是

()

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合B,再根據(jù)子集的定義即可求解.

【詳解】

依題意B={2,3,4},所以集合B的子集的個數(shù)為2?=8,

故選：C.

11.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知集合加={中了+1<3},N={x|x<a},若NqM,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A.[l,+oo)B.[2,+00)

C.(-<?,1]D.(-<?/)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出參數(shù)〃的不等關(guān)系式，即可求得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

,集合M={x|2x+l<3}={x|x<l},且N=M,：.a<\.

故選：C.

12.（2022?全國?模擬預(yù)測）己知A={-2,T,0,1,3,4},B={X|22>1},則4口（今8）的子集的個數(shù)為（）

A.3B.4C.15D.16

【答案】D

【解析】

【分析】

解指數(shù)不等式求集合8,根據(jù)集合的交補(bǔ)運(yùn)算求4口（。句，由所得集合中元素個數(shù)判