【校本教材】初中數(shù)學明理校本教材《生活與數(shù)學》

初中數(shù)學明理校本教材《生活與數(shù)學》明理數(shù)學校本教材《生活與數(shù)學》目錄序言…………………….021.第一章興趣數(shù)學…………………...052.第二章最完美的數(shù)…………………153.第三章有理數(shù)的巧算………………164.第四章

歸納與發(fā)現(xiàn)265.第五章

生活中的數(shù)學（儲蓄、保險與納稅）366.第六章中外著名數(shù)學家……………44序言一、把握數(shù)學的生活性——“使教學有生活味”《數(shù)學課程標準》中指出：“數(shù)學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當?shù)倪x擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值”。這說明數(shù)學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數(shù)學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它?，F(xiàn)代數(shù)學論認為：數(shù)學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數(shù)學，數(shù)學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數(shù)學問題的聯(lián)系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發(fā)學生學習數(shù)學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數(shù)學基礎知識，并運用學到的數(shù)學知識去解決實際生活中的數(shù)學問題。二、把握數(shù)學的美育性——“使教學有韻味”數(shù)學家克萊因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數(shù)學能給予以上的一切?！泵雷鳛楝F(xiàn)實的事物和現(xiàn)象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數(shù)學就具有上述美的特點。簡練、精確是數(shù)學的美。數(shù)學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數(shù)學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數(shù)學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數(shù)學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。數(shù)學很講究它的邏輯美。數(shù)學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數(shù)學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數(shù)學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學不正展示它的魅力嗎？數(shù)學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協(xié)調，平穩(wěn)的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。中學數(shù)學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。三、把握校本教材的可讀性“使教學有拓展性”陶行知先生早就說過：“在現(xiàn)狀下，把學習的基本自由還給學生?！?，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要“把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現(xiàn)“自主、合作、探究”的學習方式的變革，本課程共分為六個章節(jié)，分別是：《古老的數(shù)學》，《好玩的數(shù)學》，《有用的數(shù)學》，《智慧的數(shù)學》，《先進的數(shù)學》和《美麗的數(shù)學》。在《古老的數(shù)學》一章中，并不是把數(shù)學史作為一門研究數(shù)學的起源、發(fā)展過程和規(guī)律的學科，而是根據(jù)現(xiàn)代心理學發(fā)現(xiàn)的一個體現(xiàn)數(shù)學史的認知功能的“遺傳法則”。從數(shù)學一次又一次的飛躍中尋找數(shù)學發(fā)現(xiàn)的故事，用故事的形式讓學生了解這些數(shù)學知識產生的背景、體會數(shù)學家們?yōu)閷ふ疫@些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現(xiàn)理想而不懈追求的數(shù)學精神”。在《好玩的數(shù)學》一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規(guī)律，以一系列數(shù)學游戲為載體，讓學生感受到數(shù)學并不是“枯燥”的代名詞，真正的數(shù)學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發(fā)學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數(shù)學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數(shù)學緊密相連，從而為學生學好數(shù)學培養(yǎng)內在驅動力；另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。在《有用的數(shù)學》一章中，根據(jù)《數(shù)學課程標準》：義務教育階段的數(shù)學課程要求“人人學有價值的數(shù)學”，設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現(xiàn)有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數(shù)學，數(shù)學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數(shù)學問題需要我們去探究，學生通過對這些數(shù)學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數(shù)學，知道學習和學好數(shù)學是很有用的，從而進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣、增強學生學好數(shù)學的內在驅動力。在《智慧的數(shù)學》一章中，通過穿插一些有趣的數(shù)學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數(shù)學問題、經典的數(shù)學問題、奇怪的數(shù)學問題。通過對“有趣的數(shù)學問題”的研究，使學生對數(shù)學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發(fā)學生天生的求知欲；通過對“經典的數(shù)學問題”的研究使學生掌握一些基本的數(shù)學方法，學會用數(shù)學的方法解決問題；通過對“奇怪的數(shù)學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。在《先進的數(shù)學》一章中，主要學習和研究數(shù)學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發(fā)學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數(shù)學枯燥論”和“數(shù)學無用論”的觀點；可以開發(fā)學生的學習潛能，培養(yǎng)學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現(xiàn)提高學生數(shù)學素養(yǎng)的目的；另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養(yǎng)，為學生終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展做出數(shù)學教育上的貢獻。在《美麗的數(shù)學》一章中，展示給大家的是數(shù)學的美麗無所不在，數(shù)學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法……都是很美麗的。這些“數(shù)學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋找、去發(fā)現(xiàn)、去挖掘、去欣賞，使美麗的數(shù)學成為學生快樂學習的源泉。數(shù)學的美麗使我們深刻感受到數(shù)學的教育不應該僅僅是作為對數(shù)學學科的教學，更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。開發(fā)校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業(yè)心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業(yè)來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。開發(fā)校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業(yè)無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數(shù)學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有用……），要確定一個核心思想（即開發(fā)的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規(guī)劃要根據(jù)學生的課程需要來制訂；要選擇貼近時代特點、社會發(fā)展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發(fā)揮師生的獨立性、自主性和創(chuàng)造性，引導學生在身心愉悅的環(huán)境中實踐和研究。校本課程的開發(fā)和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展考慮，裝著為我們數(shù)學教學向數(shù)學教育轉變服務的理想和追求。第一章興趣數(shù)學第一節(jié)七橋問題（一筆畫問題）18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。七橋問題引起了著名數(shù)學家歐拉（1707—1783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發(fā)，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準重復），并且最后返回起點？歐拉經過研究得出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？如果我們從某點出發(fā)，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數(shù)條線相連。如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數(shù)條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數(shù)條線相連的點。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數(shù)條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數(shù)條線相連。圖2中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數(shù)條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。歐拉定理

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如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。一筆畫：■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖?！觫卜彩侵挥袃蓚€奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路）圖例1圖例2圖例3圖例4第二節(jié)四色問題人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過不同的顏色區(qū)分開來，就未必是一個簡單的問題了。這個地圖著色問題，是一個著名的數(shù)學難題。大家不妨用一張中國政區(qū)圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開來。所以，很早的時候就有數(shù)學家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了。”這就是“四色問題”這個名稱的由來。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一。四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！庇脭?shù)學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字?！保ㄉ嫌覉D）。這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區(qū)域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。數(shù)學史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當時倫敦的大學的一名學生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學家、倫敦大學數(shù)學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數(shù)學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數(shù)學界的一個“懸案”。一直到二十年前的1976年9月，《美國數(shù)學會通告》正式宣布了一件震撼全球數(shù)學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題，轟動了世界。這是一百多年來吸引許多數(shù)學家與數(shù)學愛好者的大事，當兩位數(shù)學家將他們的研究成果發(fā)表的時候，當?shù)氐泥]局在當天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。第三節(jié)麥比烏斯帶數(shù)學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？對于這樣一個看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數(shù)學家麥比烏斯對此發(fā)生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面?！丙湵葹跛谷瓦@樣被發(fā)現(xiàn)了。做幾個簡單的實驗，就會發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結果。弄好一個圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.實驗一如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒。實驗二如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發(fā)點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。奇妙之處有三：一、麥比烏斯環(huán)只存在一個面。二、如果沿著麥比烏斯環(huán)的中間剪開，將會形成一個比原來的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個面的環(huán)（在本文中將之編號為：環(huán)0），而不是形成兩個麥比烏斯環(huán)或兩個其它形式的環(huán)。三、如果再沿著環(huán)0的中間剪開，將會形成兩個與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個面的環(huán)，且這兩個環(huán)是相互套在一起的（在本文中將之編號為：環(huán)1和環(huán)2），從此以后再沿著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間剪開所生成的所有環(huán)的中間剪開，都將會形成兩個與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個面的環(huán)，永無止境……且所生成的所有的環(huán)都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨立存在。數(shù)學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時的一些特征和規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業(yè)生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。二、針式打印機靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。三、在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強版”的云霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。四、麥比烏斯圈循環(huán)往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標志設計。微處理器廠商PowerArchitecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標志也是由麥比烏斯圈變化而來。垃圾回收標志PowerArchitecture標志第四節(jié)分割圖形分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來看一個簡單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分？第五節(jié)數(shù)學故事（1）奇特的墓志銘在大數(shù)學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米德生前最為欣賞的一個定理。在數(shù)學家魯?shù)婪虻哪贡?，則鐫刻著圓周率π的35位數(shù)值。這個數(shù)值被叫做?！濒?shù)婪驍?shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难慕Y晶。大數(shù)學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形的尺規(guī)作圖后，才決定獻身于數(shù)學研究的……不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學家丟番圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數(shù)學題：“過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6是幸福的童年，生命的1／12是青少年時期。又過了生命的1／7他才結婚?；楹?年有了一個孩子，孩子活到他父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟番圖的年紀嗎？”丟番圖的年紀究竟有多大呢？設他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人們，不要忘記了丟番圖獻身的事業(yè)。在丟番圖之前，古希臘數(shù)學家習慣用幾何的觀點看待遇到的所有數(shù)學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一個大代數(shù)學家，喜歡用代數(shù)的方法來解決問題?，F(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學家譽為這門數(shù)學分支的開山鼻祖。丟番圖也是古希臘最后一個大數(shù)學家。遺憾的是，關于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知道他曾享有84歲的高齡。（2）希臘十字架問題圖上那只巨大的復活節(jié)彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問題，下面是其中的三個。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形;有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼出一個正方形。(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其長是寬的兩倍。第二章最完美的數(shù)完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到:數(shù)6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和:6=1+2+3,下一個具有同樣性質的數(shù)是28,28=1+2+4+7+14接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:若2n-1是素數(shù),則數(shù)2n-1[2n-1](1)是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為的素數(shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個梅森素數(shù),這就是說已發(fā)現(xiàn)了38個完全數(shù).1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質,例如每個完全數(shù)都是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2496=1+2+3+4+...+31=31*32/22n-1(2n-1)=1+2+3+...+(2n-1)=(2n-1)2n/22：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外),22(23-1)=28=13+3324(25-1)=496=13+33+53+7326(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1532n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)33：除了因子1之外,每個完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如:1/2+1/3+1/6=11/2+1/4+1/7+1/14+1/28=14：完全數(shù)都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù).第三章有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數(shù)的有關概念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．1．括號的使用在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．例1計算：分析中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質符號．因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．注意在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算．例2計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1000000．說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．例3在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1．現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．這啟發(fā)我們將1，2，3，…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非負數(shù)是1．說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．2．用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．例4計算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例5計算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．例6計算：分析與解直接計算繁．仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347．可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例7計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例8計算：分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本題就是一個例子．通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．例9計算：我們用一個字母表示它以簡化計算．1.觀察算式找規(guī)律例10某班20名學生的數(shù)學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為90+(-1)÷20=89.95．例11計算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+…+3+1．②將①，②兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(1000個2000)=2000×1000．從而有S=1000000．說明一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．例13計算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．解：設S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得：4S=5101-1，說明如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．例14計算：分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．解由于說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．練習1．計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(6)1+4+7+…+244；2．某小組20名同學的數(shù)學測驗成績如下，試計算他們的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第四章

歸納與發(fā)現(xiàn)歸納的方法是認識事物內在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數(shù)學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．例1如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，…這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？分析與解我們來觀察點陣中各層點數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點陣共有的點數(shù)．第一層有點數(shù)：1；第二層有點數(shù)：1×6；第三層有點數(shù)：2×6；第四層有點數(shù)：3×6；……第n層有點數(shù)：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數(shù)為例2在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？(2)這n個圓共有多少個交點？分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出表18．1．由表18．1易知S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，……由此，不難推測Sn-Sn-1＝n．把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，因為S1=2，所以下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出表18．2．由表18．2容易發(fā)現(xiàn)a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，……an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．n個式子相加注意請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．例3設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個？分析與解我們先來研究一些特殊情況：(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，…，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：例4設1×2×3×…×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.分析與解先觀察特殊情況：(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n=2！×3+3！×3+…＋n！×n=3！+3！×3+…+n！×n＝…=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5設x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。治雠c解本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設x=0，顯然有x3＜x2+x+2．①設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以x3＞x2+x+2．②設x=100，則有x3＞x2+x+2．觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發(fā)現(xiàn)：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣(1)當x=2時，x3=x2+x+2；(2)當0＜x＜2時，因為x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即x3-(x2＋x+2)＜0，所以x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即x3-(x2＋x＋2)＞0，所以x3＞x2＋x＋2．綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．練習七1．試證明例7中：2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：(1)這n條直線共有多少個交點？(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？然后做出證明.3．求適合x5=656356768的整數(shù)x．(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)第五章

生活中的數(shù)學（儲蓄、保險與納稅）儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數(shù)學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財?shù)淖晕冶Ｗo意識和處理簡單財務問題的數(shù)學能力．1．儲蓄銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有i=prn，s=p(1+rn)．例1設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？解i=2000×0.0171×3=102.6(元)．s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．答某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數(shù)實行的是單利法．不過規(guī)定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,…，sn，則s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，……，sn=p(1+r)n．例2小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？解按表22．1的利率計算．(1)連續(xù)存五個1年期，則5年期滿的本利和為20000(1+0.0522)5≈25794(元)．(2)先存一個2年期，再連續(xù)存三個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．(3)先連續(xù)存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．(5)先存一個3年期，然后再連續(xù)存二個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．(6)存一個5年期，則到期后本利和為20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規(guī)定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．2．保險保險是現(xiàn)代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業(yè)．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．例3假設一個小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生火災情況如表22．2所示．試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？解(1)因為1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．11÷4096≈0.0026．(2)300000×0.0026=780(元)．答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．例4財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續(xù)保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)解哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費80000÷1000×3=80×3=240(元)．弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為2000×0.0522=104.4(元)．兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約240-104.4=135.60(元)．因此，弟弟投的保險更合算些．3．納稅納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規(guī)定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現(xiàn)行勞務報酬納稅辦法有三種：(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．由(1)，(2)，(3)的規(guī)定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數(shù)：例5小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？解根據(jù)勞務報酬所得稅計算方法(見函數(shù)①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：由①得y=10000-x，將之代入②得x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得0.16x-0.2x+1840=1560，所以0.04x=280，x=7000(元)．則y=10000-7000=3000(元)．所以答小王收入7000元，小張收入3000元．例6如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？解設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據(jù)相應的納稅規(guī)定，有方程x(1-20％)·20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得0.112x=x-6216，所以0.888x=6216，所以x=7000(元)．答這筆稿費是7000元．練習八1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續(xù)存10年；(2)先連續(xù)存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；(3)連續(xù)存二個5年期．2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？第六章中外著名數(shù)學家1、韋達（1540-1603），法國數(shù)學家。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分數(shù)的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數(shù)學定律》2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數(shù)學家、物理學家和哲學家．16歲的時候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發(fā)明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數(shù)學的最大貢獻是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數(shù)規(guī)律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉(xiāng)人書》對法國散文的發(fā)展產生了重要的影響。3、在數(shù)學史上，很難再找到如此年輕而如此有創(chuàng)見的數(shù)學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數(shù)解法》這個世界數(shù)學難題的論文，最先提出了近代數(shù)學的一個基本概念——“群”?？墒沁@篇論文被法國科學院一位目空一切的數(shù)學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數(shù)學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數(shù)學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候?！痹跊Q斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的?！彼念A言成為現(xiàn)實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基人。4、劉徽劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數(shù)學遺產．《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術"，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作．《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人．劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．5、賈憲賈憲，中國古代北宋時期杰出的數(shù)學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數(shù)導）均已失傳。他的主要貢獻是創(chuàng)造了"賈憲三角"和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數(shù)學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優(yōu)越性，這個方法的提出要比歐洲數(shù)學家霍納的結論早七百多年。6、秦九韶秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學”，1247年寫成著名的《數(shù)書九章》?！稊?shù)書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數(shù)學成就“大衍總數(shù)術”（一次同余組解法）與“正負開方術"(高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數(shù)學史上占有突出的地位。7、李冶李冶(11921279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉(xiāng)。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法?！疤煸g”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數(shù)的嘗試。李冶還有另一步數(shù)學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。8、朱世杰朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數(shù)學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）?！端阈g啟蒙》是一部通俗數(shù)學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學高峰的又一個標志，其中最杰出的數(shù)學創(chuàng)造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術”（高次內插法）．9、祖沖之祖沖之（公元429～500年）祖籍是現(xiàn)今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數(shù)學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。祖沖之在數(shù)學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數(shù)都是π的漸近分數(shù)。10、祖暅祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式?，F(xiàn)行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。11、楊輝楊輝，中國南宋時期杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。他著名的數(shù)學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷（1275年）。楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發(fā)展，有的還編成了歌決，如九歸口決。他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"后，關于高階等差級數(shù)的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。他非常重視數(shù)學教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的"習算綱目"是中國數(shù)學教育史上的重要文獻。12、趙爽趙爽，三國時期東吳的數(shù)學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據(jù)幾何圖形面積的換算關系。趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了"重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。13、華羅庚華羅庚，中國現(xiàn)代數(shù)學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業(yè)之后，在上海中華職業(yè)學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數(shù)學，1930年在《科學》上發(fā)表了關于代數(shù)方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數(shù)論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯(lián)合大學教授。1946年應蘇聯(lián)普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執(zhí)教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。1924年金壇中學初中畢業(yè)，后刻苦自學。1930年后在清華大學任教。1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國后任西南聯(lián)合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數(shù)學研究所研究員、普林斯頓大學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科學院數(shù)學研究所、應用數(shù)學研究所所長、名譽所長，中國數(shù)學學會理事長、名譽理事長，全國數(shù)學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯(lián)邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數(shù)學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數(shù)學系主任、副校長，中國科協(xié)副主席，國務院學位委員會委員等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協(xié)副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學、典型群、自守函數(shù)論、多復變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積分等領域的研究與教授工作并取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數(shù)論中有著廣泛的應用）；對Ｇ.Ｈ.哈代與Ｊ.Ｅ.李特爾伍德關于華林問題及Ｅ.賴特關于塔里問題的結果作了重大的改進，至今仍是最佳紀錄。代數(shù)方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規(guī)子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉當-布饒爾-華定理。其專著《堆壘素數(shù)論》系統(tǒng)地總結、發(fā)展與改進了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來其主要結果仍居世界領先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數(shù)論著作之一。其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國自然科學獎一等獎。倡導應用數(shù)學與計算機的研制，曾出版《統(tǒng)籌方法平話》、《優(yōu)選學》等多部著作并在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數(shù)論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為“華-王方法”。在發(fā)展數(shù)學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發(fā)表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數(shù)十種。14、陳景潤數(shù)學家，中國科學院院士。1933年5月22日生于福建福州。1953年畢業(yè)于廈門大學數(shù)學系。1957年