2022-2023學(xué)年甘肅省靖遠(yuǎn)第四中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，則與在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A. B.C. D.2．現(xiàn)在人們的環(huán)保意識越來越強(qiáng)，對綠色建筑材料的需求也越來越高．某甲醛檢測機(jī)構(gòu)對某種綠色建筑材料進(jìn)行檢測，一定量的該種材料在密閉的檢測房間內(nèi)釋放的甲醛濃度（單位：）隨室溫（單位：℃）變化的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．若室溫為20℃時該房間的甲醛濃度為，則室溫為30℃時該房間的甲醛濃度約為（?。ǎ〢. B.C. D.3．在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)如圖所示，它是由個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是，小正方形的面積是，則A. B.C. D.4．某校早上6：30開始跑操，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上6：00~6：30之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A.{x|x>2} B.C.{或x>2} D.{或x>2}6．關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．集合{0，1，2}的所有真子集的個數(shù)是A.5 B.6C.7 D.88．已知集合，，則中元素的個數(shù)是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.10．已知點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O（0,0），A(6，0)的距離之比為，則點(diǎn)M的軌跡所包圍的圖形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值是___________.12．正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，AC，BC，PB的中點(diǎn)，四邊形EFGH的面積為S，則S的取值范圍是__13．聲強(qiáng)級L（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.聲強(qiáng)級為60dB的聲強(qiáng)是聲強(qiáng)級為30dB的聲強(qiáng)的______倍.14．命題“”的否定為___________.15．已知函數(shù)，其所有的零點(diǎn)依次記為，則_________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．對于函數(shù)（1）判斷的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由17．某廠商計劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種商品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如圖所示，甲、乙商品的投資x與利潤y（單位：萬元）分別滿足函數(shù)關(guān)系與（1）求，與，的值；（2）該廠商現(xiàn)籌集到資金20萬元，如何分配生產(chǎn)甲、乙商品的投資，可使總利潤最大？并求出總利潤的最大值18．已知二次函數(shù)的圖象與軸、軸共有三個交點(diǎn).（1）求經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線與圓相切時，求實數(shù)的值；（3）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求此時實數(shù)的值.19．已知函數(shù)，，.若不等式的解集為（1）求的值及；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論（3）已知且，若.試證：.20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍.21．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，（1）若從甲校和乙校報名的教師中各選1名，求選出的兩名教師性別相同的概率（2）若從報名的6名教師中任選2名，求選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象判斷【詳解】因為，，是減函數(shù)，是增函數(shù)，只有D滿足故選：D2、D【解析】由題可知，，求出，在由題中的函數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】由題意可知，，解得，所以函數(shù)的解析式為，所以室溫為30℃時該房間的甲醛濃度約為.故選：D.3、C【解析】根據(jù)題意即可算出每個直角三角形面積，再根據(jù)勾股定理和面積關(guān)系即可算出三角形的兩條直角邊．從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設(shè)三角形的邊長分別為，則有，所以，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計算，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】設(shè)小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，由題意可畫出圖形，利用幾何概型中面積比即可求解.【詳解】設(shè)小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，可以看成平面中的點(diǎn)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為是一個正方形區(qū)域，對應(yīng)的面積，則小張與小王至少相差5分鐘到校事件(如陰影部分)則符合題意的區(qū)域，由幾何概型可知小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率模型，解題的關(guān)鍵是畫出滿足條件的區(qū)域，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式等價為，進(jìn)而可求得結(jié)果.詳解】依題意，不等式，又在上是增函數(shù)，所以，即或，解得或.故選：C.6、D【解析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，恰有一個零點(diǎn)屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點(diǎn)或者，另一個零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D7、C【解析】集合{0，1，2}中有三個元素，因此其真子集個數(shù)為.故選：C.8、B【解析】根據(jù)并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，，顯然中元素的個數(shù)是5.故選：B9、B【解析】是增函數(shù)，只要求在定義域內(nèi)的減區(qū)間即可【詳解】解：令，可得，故函數(shù)的定義域為，則本題即求在上的減區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，在上的減區(qū)間為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)10、B【解析】設(shè)M（x，y），由點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為，得：，整理得：（x+2）2+y2=16∴點(diǎn)M的軌跡方程是圓（x+2）2+y2=16．圓的半徑為：4，所求軌跡的面積為：16π故答案為B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、對鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以是方程的兩個不相等的實根，因此有，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，，設(shè)，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故答案為：12、（，+∞）【解析】由正三棱錐可得四邊形EFGH為矩形，并可得其邊長與三棱錐棱長關(guān)系，從而可得面積S的范圍.【詳解】∵棱錐P﹣ABC為底面邊長為1的正三棱錐∴AB⊥PC又∵E，F(xiàn)，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點(diǎn)，∴EH//FG//AB且EH＝FGAB，EF//HG//PC且EF＝HGPC則四邊形EFGH為一個矩形又∵PC，∴EF，∴S=EFEH，∴四邊形EFGH的面積S的取值范圍是（，+∞），故答案為:（，+∞）三、13、1000【解析】根據(jù)已知公式，應(yīng)用指對數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算性質(zhì)求60dB、30dB對應(yīng)的聲強(qiáng)，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，可得，，可得，∴聲強(qiáng)級為60dB的聲強(qiáng)是聲強(qiáng)級為30dB的聲強(qiáng)的倍.故答案為：1000.14、【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題求解.【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，所以“”的否定為“”，故答案：.15、16【解析】由零點(diǎn)定義,可得關(guān)于的方程.去絕對值分類討論化簡.將對數(shù)式化為指數(shù)式,再去絕對值可得四個方程.結(jié)合韋達(dá)定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即所以去絕對值可得或即或去絕對值可得或,或當(dāng),兩邊同時乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得當(dāng),兩邊同時乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得當(dāng),兩邊同時乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得當(dāng),兩邊同時乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得綜上可得所有零點(diǎn)的乘積為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)定義,含絕對值方程的解法,分類討論思想的應(yīng)用,由韋達(dá)定理研究方程根的關(guān)系,屬于難題.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）在R上單調(diào)遞增；（2）存在使得為奇函數(shù).【解析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；(2)利用函數(shù)奇偶性的定義求參數(shù)【小問1詳解】證明：任取且，則又且，即在R上單調(diào)遞增【小問2詳解】若為R上為奇函數(shù)，則對任意的都有17、（1），，，（2）分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬元，甲商品的投資為萬元，此時總利潤的最大值為31.5萬元.【解析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，與，的值；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，表達(dá)出總利潤的關(guān)系式，利用配方求出最大值.【小問1詳解】將代入中，，解得：，將代入中，，解得：，所以，，，.【小問2詳解】設(shè)分配生產(chǎn)乙商品的投資為m（0≤m≤20）萬元、甲商品的投資為萬元，此時的總利潤為w，則，因為0≤m≤20，所以當(dāng)，即時，w取得最大值，即分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬元，甲商品的投資為萬元，此時總利潤的最大值為31.5萬元.18、（1）；（2）或；（3）【解析】（1）先求出二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得實數(shù)的值；（3）結(jié)合弦長公式可得所求實數(shù)的值【詳解】（1）在中，令，可得；令，可得或所以三個交點(diǎn)分別為，，，設(shè)圓的方程為，將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得，解得，所以圓的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）由（1）知圓心，因為直線與圓相切，所以，解得或，所以實數(shù)的值為或（3）由題意得圓心到直線的距離，又，所以，則，解得所以實數(shù)的值為或【點(diǎn)睛】（1）求圓的方程時常用的方法有兩種：一是幾何法，即求出圓的圓心和半徑即可得到圓的方程；二是用待定系數(shù)法，即通過代數(shù)法求出圓的方程（2）解決圓的有關(guān)問題時，要注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，合理利用圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，可以簡化運(yùn)算、提高解題的效率19、（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析（3）見解析【解析】（1）根據(jù)二次不等式的解集可以得到二次函數(shù)的零點(diǎn)，回代即可求出參數(shù)的值（2）定義法證明單調(diào)性，假設(shè)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減（3）單調(diào)性的逆應(yīng)用，可以通過證明函數(shù)值的大小，反推變量的大小，難度較大【小問1詳解】，即，因不等式解集為，所以，解得：，所以【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：假設(shè)，則，因為，所以，所以，即當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增【小問3詳解】由（2）可得：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，因為，且，，所以，，證明，即證明，即證明，因為，所以即證明，代入解析式得：，即，令，因為在區(qū)間上的單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)可知，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，即，所以在區(qū)間上恒成立，即，得證：【點(diǎn)睛】小問1求解析式，較易；小問2考察定義法證明單調(diào)性，按照常規(guī)方法求解即可；小問3難度較大，解題過程中應(yīng)用到以下知識點(diǎn)：（1）可以通過證明函數(shù)值的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，反推出變量的大小，即若，且單減，則；解題過程（2）單調(diào)性的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)同增異減以