高等數學(高職高專)PPT完整全套教學課件

高等數學第一章函數第二章極限與連續(xù)第三章導數與微分第四章微分中值定理及導數的應用第五章不定積分第六章定積分及應用第七章常微分方程第八章向量代數與空間解析幾何第九章無窮級數第十章線性代數基礎全套PPT課件第一章函數第一節(jié)函數及其性質第二節(jié)反函數與復合函數第三節(jié)初等函數第一節(jié)函數及其性質集合、區(qū)間及點的鄰域一、1.集合集合概念是數學中的一個最基本的概念，一般可以把集合（簡稱集）理解為具有某種特定性質的事物的總體。例如，某學校全體師生組成的一個集合；某學校某個班級的全體同學組成的一個集合；全體實數組成的一個集合；全體正整數組成的一個集合等。集合中的每個事物稱為集合的元素（簡稱元）。

第一節(jié)

函數及其性質如果一個集合只含有有限個元素，那么稱這個集合為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。例如，全體英文字母組成的一個集合是有限集，全體整數組成的集合是無限集。

第一節(jié)

函數及其性質習慣上，全體實數組成的集合記作R，即R={x|x為實數}；全體有理數組成的集合記作Q，即Q={x|x為有理數}；全體整數組成的集合記作Z，即Z={x|x為整數}；全體自然數組成的集合記作N，即N={x|x為自然數}。第一節(jié)

函數及其性質設A，B是兩個集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A?B（讀作A包含于B）或B?A（讀作B包含A）如果集合B與集合A互為子集，即A?B且B?A，則稱集合B與集合A相等，記作A=B

特別地，不包含任何元素的集合稱為空集記作?．并規(guī)定空集是任何集合的子集。第一節(jié)

函數及其性質

注意以后用到的集合主要指數集，即元素都是數的合。如果沒有特別聲明，以后提到的數都是指實數。第一節(jié)

函數及其性質設A，B是兩個集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集（簡稱并），記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集（簡稱交），記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集（簡稱差），記作A\B，即A\B={x|x∈A且x?B}特別地，若集合B包含于集合A(即BA)，則稱A\B為B關于A的余集，或稱為補集，記作。第一節(jié)

函數及其性質集合的并、交、差運算滿足下面的基本法則．設A，B，C為三個任意集合，則下列法則成立：（1）交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（2）結合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）（4）冪等律A∪A=A，A∩A=A（5）吸收律A∪?=A，A∩?=?A∪B=B，A∩B=A，其中A?BA∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A（6）對偶律（A∪B）C=AC∩BC（A∩B）C=AC∪BC第一節(jié)

函數及其性質在許多問題中還經常用到乘積集合的概念．設A，B是任意兩個非空集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，把有序對（x，y）作為新的元素，它們的全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記作A×B，即A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}例如，設A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d}，則A×B={（x，y）|a<x<b，c<y<d}它表示xOy平面上以（a，c），（b，c），（b，d），（a，d）為頂點的矩形內部的所有點構成的集合，而R×R={（x，y）|x∈R，y∈R}就表示整個坐標平面，記作R2。

第一節(jié)

函數及其性質2.區(qū)間及點的鄰域區(qū)間就是實數軸上的一些實數的集合，它是用得較多的一類數集。設a、b都是實數，且a＜b，則（1）開區(qū)間：（a，b）={x|a＜x＜b}，這里a、b?（a，b），a和b分別稱為區(qū)間（a，b）的左、右端點。（2）閉區(qū)間：［a，b］={x|a≤x≤b}，這里a、b∈［a，b］。（3）半開區(qū)間：（a，b］={x|a＜x≤b};［a，b)={x|a≤x＜b}。

第一節(jié)

函數及其性質圖1-1-1區(qū)間用數軸表示如圖1-1-1所示。

第一節(jié)

函數及其性質鄰域也是一個經常遇到的概念.設a與δ是兩個實數，且δ＞0，數集{x||x-a|＜δ}稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），即U（a，δ）={x||x-a|＜δ}。

第一節(jié)

函數及其性質鄰域用數軸表示如圖1-1-2所示。

圖1-1-2第一節(jié)

函數及其性質函數的基本概念二、在對自然現象與社會現象的觀察與研究過程中，人們會碰到許多用來表示不同事物的量，通?？蓪⑺鼈兎譃閮深悾阂活愂窃谀硞€問題的研究過程中保持不變的量，稱之為常量；一類是在某個問題的研究過程中會出現變化，即可以取不同的值的量，稱之為變量。

第一節(jié)

函數及其性質

例1正方體的體積V與其邊長x之間的關系為V=x3，這里V和x都是變量，當邊長x變化時，其體積V也隨之作相應的變化。例2在自由落體運動中，設物體下落的時間為t，下落的距離為s，如果取開始下落的時刻t=0，那么s和t之間的關系由公式（g為重力加速度）表示，若物體到達地面的時刻t=T，則在時間區(qū)間［0，T］上任取一個數值時，由上面的公式都可以確定出s的對應值。第一節(jié)

函數及其性質

定義設D為一個給定的實數集，對于每個x∈D，按照某種對應法則f，總存在唯一確定的實數值y與之對應，則稱f為定義在D上的一個函數，習慣上也稱y是x的函數，并記作y=f（x），x∈D其中x稱為自變量，y稱為因變量，實數集D稱為這個函數f的定義域。第一節(jié)

函數及其性質函數定義中，對于每個x∈D，按照某種對應法則f，總存在唯一確定的實數值y與之對應，這個實數值y稱為函數f在x處的函數值，記作f（x），即y=f（x）．當x取遍實數集D的每個數值時，對應的函數值的全體組成的數集W={y|y=f（x），x∈D}稱為函數f的值域。

第一節(jié)

函數及其性質如果y是x的函數，有時也可記為y=g（x），y=F（x），y=φ（x）或y=y（x）等.當討論到幾個不同的函數時，為了區(qū)別起見，需要用不同的記號來表示它們。由于函數的定義域和對應法則被確定后，其值域就隨之而定，因此定義域和對應法則就成了函數的兩個要素．如果兩個函數的定義域和對應法則都相同，則稱這兩個函數相同，否則就不同。

第一節(jié)

函數及其性質通常情況下，求函數定義域時要注意以下幾點：（1）分式中分母不能為零；（2）偶次根式中，被開方式的值非負；（3）對數式中的真數大于零，底數大于零且不等于1。第一節(jié)

函數及其性質

例5求函數f（x）=的定義域。要使f（x）有意義，必須使9-x>0，即x<9，所以函數f（x）=的定義域為{x|x<9}。第一節(jié)

函數及其性質一般情況下，表示函數的方法主要有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法）。用表格法表示函數是將函數自變量的值與對應的函數值列成表格的形式，如三角函數表、學生的成績表等都是這種形式表示的函數。用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念，即坐標平面上的點集{（x，y）|y=f（x），x∈D}稱為函數y=f（x），x∈D的圖形。

第一節(jié)

函數及其性質例7函數y=|x|=x，x≥0-x，x<0稱為絕對值函數，它的定義域為（-∞，＋∞），值域為［0，＋∞），它的圖象如圖1-1-3所示。

圖1-1-3第一節(jié)

函數及其性質例8函數y=sgnx=1，x>00，x=0-1，x<0稱為符號函數，它的定義域為（-∞，＋∞），值域為{-1，0，1}，它的圖象如圖1-1-4所示。

圖1-1-4第一節(jié)

函數及其性質函數的幾種特性三、設I為關于原點對稱的區(qū)間，若對于任意x∈I，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數；若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數。

1.奇偶性第一節(jié)

函數及其性質2.周期性若存在不為零的數T，使得對于任意x∈I，有x+T∈I，且f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數，T稱為f(x)的周期.通常所說的周期函數的周期是指它的最小正周期。第一節(jié)

函數及其性質3.單調性若對于區(qū)間I內任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調增加，區(qū)間I稱為單調增區(qū)間；若f(x1)＞f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調減少，區(qū)間I稱為單調減區(qū)間.單調增區(qū)間或單調減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間。第一節(jié)

函數及其性質4.有界性對于函數y=f(x)，若存在正數M，使得在區(qū)間I上恒有|f(x)|≤M，則稱f(x)在I上有界。第二節(jié)反函數與復合函數反函數一、在函數定義中，規(guī)定了對于每一個x，都有唯一的y與之對應，這樣定義的函數又稱為單值函數；如果有兩個或更多的數值y與之對應，就稱y是x的多值函數．本書主要討論單值函數。

第二節(jié)反函數與復合函數

定義1設函數y=f（x），其定義域為D，值域為M，如果對于任意y∈M，由函數關系式y(tǒng)=f（x）恰好唯一確定出一個x∈D與之對應，那么認為x是y的函數，記作x=g（y），我們稱上述的y=f（x）與x=g（y）互為反函數，習慣上將x=g（y）記作x=f-1（y）習慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把y=f（x）的反函數寫作y=f-1（x）由反函數的定義知，在定義區(qū)間上單調的函數必有反函數。第二節(jié)反函數與復合函數

例2函數y=x3和函數y=x的圖象如圖1-2-1所示．一般地，要求y=f（x）的反函數，只需先從y=f（x）中解出x的表達式，當該表達式也是一個函數時，再將其中的字母x，y進行交換即可。

圖1-2-1第二節(jié)反函數與復合函數例3求函數y=4x+1的反函數．解由y=4x+1，解得然后交換x和y，得故所求反函數為。

第二節(jié)反函數與復合函數

定理設函數f（x）的定義域為D，值域為W。若f（x）在D上是單調增加或單調減少的，則在W上f（x）的反函數f-1（x）存在，且f-1（x）在W上也是單調增加或單調減少的。第二節(jié)反函數與復合函數復合函數二、在很多實際問題中，兩個變量的聯系有時不是直接的。例如，在函數y=tan3x中，這個函數值不是直接由自變量x來確定的，而是通過3x來確定的．如果用u表示3x，那么函數y=tan3x就可表示成y=tanu，u=3x．這說明了y與x的函數關系是通過變量u來確定的。

第二節(jié)反函數與復合函數

定義2如果y是u的函數y=f（u），u又是x的函數u=φ（x），就稱y是x的復合函數，記作y=f［φ（x）］其中u稱為中間變量。函數的復合中要注意的是，函數u=φ（x）的值域應該在函數y=f（u）的定義域內，這樣函數才能復合，否則復合就沒有意義。第二節(jié)反函數與復合函數例5y=ecosx是由y=eu和u=cosx復合而成，y=（1＋lgx）3是由y=u3和u=1＋lgx復合而成，但函數y=arcsinu和u=3＋x2不能構成復合函數，因為對于任意的x，u=3＋x2的值不在函數y=arcsinu的定義域［-1，1］內，從而復合出的函數y=arcsin（3＋x2）是沒有意義的。

第二節(jié)反函數與復合函數

例7設函數f（x）=x，x＞1，0＜x≤1，g（x）=ex，求復合函數f［g（x）］與g［f（x）］．解因為f（x），g（x）符合復合條件，所以f［g（x）］=ex，x>0e-x，x≤0；g［f（x）］=ex，x>1e，0<x≤1。第三節(jié)初等函數在初等數學中已經學習過下面幾類函數：（1）冪函數：y=xα（α∈R是常數）；（2）指數函數：y=ax（a>0，且a≠1）；（3）對數函數：y=logax（a>0，且a≠1）；（4）三角函數：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx等；（5）反三角函數：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx等。以上五類函數統(tǒng)稱為基本初等函數。第三節(jié)初等函數在工程技術中經常要用到一類初等函數是雙曲函數，它們是由指數函數y=ex與y=e-x生成的初等函數，它們的定義和符號如下：雙曲正弦函數，其圖象如圖1-3-1所示；雙曲余弦函數，其圖象如圖1-3-2所示；雙曲正切函數，其圖象如圖1-3-3所示；雙曲余切函數，其圖象如圖1-3-4所示。第三節(jié)初等函數圖1-3-1圖1-3-2第三節(jié)初等函數圖1-3-3圖1-3-4第三節(jié)初等函數其中shx，thx，cthx都是奇函數，chx是偶函數。shx，chx，thx的反函數稱為反雙曲函數，分別記作反雙曲正弦y=arshx反雙曲余弦y=archx反雙曲正切y=arthx同樣，反雙曲函數可以通過自然對數函數來表示，這里不作介紹。第三節(jié)初等函數

例1某工廠生產電視機，年產量為x臺，每臺售價1200元。當年產量在500臺以內，可以全部售出．經廣告宣傳后又可以再多出售300臺，每臺平均廣告費為40元，若生產再多，本年就銷售不出去了。試建立本年的銷售總收入y與年產量x的關系。解因為總收入＝產量×單價，根據題意可列出函數關系如下：y=1200x，0≤x≤5001200×500＋（1200-40）（x-500），500<x≤8001200×500＋1160×300，x>800。

第三節(jié)初等函數例2某單位要建造一個容積為V的長方體水池，它的底為正方形。如果池底的單位面積造價為側面積造價的2倍，試建立總造價與底面邊長之間的函數關系。解設底面邊長為x，總造價為y，側面積單位造價為m。由已知可知水深為，側面積為，根據題意可得函數關系如下：y=2mx2＋4m，0<x<＋∞。ThankYou!高等數學第二章極限與連續(xù)第一節(jié)極限的概念第二節(jié)極限的運算法則第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)函數的連續(xù)性第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)第一節(jié)極限的概念極限的概念一、1.數列的定義

定義1自變量為正整數的函數un=f(n)(n=1，2，…)，其函數值按自變量n由小到大排列成一列數u1，u2，u3，…，un，…稱為數列，將其簡記為{un}，其中un稱為數列{un}的通項或一般項.例如，un=，相應的數列為

由于一個數列{un}完全由其一般項un所決定，所以經常把數列{un}簡稱為數列un。第一節(jié)極限的概念

例1已知下列數列的通項un，試寫出各數列{un}.（1）un=;(2)un=2n+1

解（1）{un}：（2）{un}：3，5，7，…，2n+1，…第一節(jié)極限的概念2.數列的極限定義2對于數列{un}，如果當n無限增大時，通項un無限接近于某個確定的常數A，則稱A為數列{un}的極限，或稱數列{un}收斂于A，記為或un→A（n→∞）.第一節(jié)極限的概念應當注意，在一個變量前加上記號“l(fā)im”，表示對這個變量進行取極限運算，若變量的極限存在，所反映的不再是這個變量本身而是它的極限，即變量無限接近的那個數。例如，設A表示圓面積，Sn表示圓內接正n邊形面面積，則知當n較大以后，總有Sn≈A，但就不再是Sn，而是它的極限——圓面積A，所以它的表達式不含任何近似成分。

第一節(jié)極限的概念3.數列極限的精確定義設{xn}為一數列，如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正數N，使得當n＞N時，不等式|xn-A|＜ε成立，那么就稱數列{xn}以A為極限，或稱數列{xn}收斂于A，記作或xn→A（n→∞）。第一節(jié)極限的概念函數極限的概念二、把數列極限概念中的函數為f（n）而自變量的變化過程為n→∞等特殊性撇開，可以引入函數極限的概念．在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數值，那么這個確定的數值就稱為在這一變化過程中函數的極限。由于自變量的變化不同，函數的極限就表現為不同的形式。第一節(jié)極限的概念1.自變量趨于有限值時函數的極限定義3設函數f（x）在點x0的去心鄰域內有定義，如果在x→x0的過程中，對應的函數值f（x）無限接近于確定的數值A，那么稱A是函數f（x）當x→x0時的極限，記作

或f（x）→A（x→x0）第一節(jié)極限的概念例3求下面函數的極限。（1）（C為常數）（2）（3）

解（1）因為C為常數，當x無限接近于x0時，C不變，如圖2-1-2所示，因此圖2-1-2第一節(jié)極限的概念（2）因為當x→x0時，x→x0，如圖2-1-3所示，因此（3）因為當x無限接近于1時，x＋2就無限接近于3，如圖2-1-4所示，因此圖2-1-3圖2-1-4第一節(jié)極限的概念例4求函數f（x）=3x-1，x<1、x＋1，x>1在x=1處的極限。解因為從而所以第一節(jié)極限的概念例6函數f（x）=，x>10，x≤1，試判斷是否存在。解因為不存在，所以不存在。第一節(jié)極限的概念2.自變量趨于無窮大時函數的極限定義4設函數f（x）當|x|大于某一正數時有定義，如果在x→∞的過程中，對應的函數值f（x）無限接近于確定的數值A，那么A稱為函數f（x）當x→∞時的極限，記作或f（x）→A（x→∞）。第一節(jié)極限的概念如果把x取正值且無限增大，稱為x趨于正無窮大，記作x→＋∞，而把x取負值且|x|無限增大，稱為x趨于負無窮大，記作x→-∞．這樣，函數f（x）在這兩種極限過程下的極限，分別記作和的充分必要條件是

第一節(jié)極限的概念例7求函數f（x）=（x≠0）當x→∞時的極限。解由函數的圖象(如圖2-1-5所示)容易看出，當x往左或右無限增大時，f（x）都無限接近于0，所以有第一節(jié)極限的概念函數極限的性質三、

性質1(函數極限的唯一性)如果存在，那么它的極限是唯一的.

性質2（局部有界性）如果存在，則函數f（x）在x0的某一去心鄰域內有界．

性質3（局部保號性）如果給定函數f（x），=A且A>0（或A<0），那么在x0的某一去心鄰域內，有f（x）>0（或f（x）<0）。第一節(jié)極限的概念性質4（夾逼準則)如果函數g（x），f（x），h（x）在點x0的某個去心鄰域內，滿足下列條件:(1)g（x）≤f（x）≤h（x）;(2)則函數f（x）的極限存在，且以上極限性質是以x→x0為例，對其他極限過程和數列的極限有同樣的結論成立，這里不再敘述。第二節(jié)極限的運算法則函數極限的運算法則一、設則（1）;（2）;（3）。第二節(jié)極限的運算法則以上函數極限的四則運算可以推廣到有限多個收斂函數的情形．由積的運算可以得到下面兩個結論:（1）；（2）（m為正整數)。第二節(jié)極限的運算法則例1求。解

==3×32＋2×3＋1=34第二節(jié)極限的運算法則例2求。解這里分母的極限不為0，故===-

第二節(jié)極限的運算法則例5求。解將分子、分母同除以最高次冪x2，得=

===

例5求。解將分子、分母同除以最高次冪x2，得=

===第二節(jié)極限的運算法則復合函數的極限運算法則二、設函數y=f［g（x）］是由函數y=f（u）與函數u=g（x）復合而成，f［g（x）］在點x0的某去心鄰域內有定義，若，則

第二節(jié)極限的運算法則

例6求。解因為=0，=1

由復合函數求極限法則知=-1第二節(jié)極限的運算法則兩個重要極限三、1.=1證作單位圓如圖2-2-1所示，取∠AOB=x(rad)，于是有BC=sinx，弧AB=x，AD=tanx.比較△OAB、扇形OAB、△OAD的面積，得sinx＜x＜tanx由上式可得sinx＜x＜tanx除以sinx，有cosx＜＜1第二節(jié)極限的運算法則圖2-2-1第二節(jié)極限的運算法則例8求。解===1第二節(jié)極限的運算法則2.=e數e無論在數學理論還是實際問題應用中都有重要作用.物體的冷卻、放射元素的衰變等都要用到這個極限.關于這個極限，我們不作理論推導，但應知道：當x→∞時，（1+）x的極限是存在的，并且是一個無理數，其值為e，即=e第二節(jié)極限的運算法則例11求。解令=u,則x=3u，于是===e3

第二節(jié)極限的運算法則例12求。解

==e-2第三節(jié)無窮小與無窮大無窮小一、定義1如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時的極限為零，那么稱函數為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量，簡稱無窮小。例如，f（x）=2x-4是x→2時的無窮小，而不是x→0時的無窮??；g（x）=是x→∞時的無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大注意無窮小是一個變量（或函數），而不是一個定數，所以不能把無窮小和很小的數（如百萬分之一）混為一談，零是可以作為無窮小的唯一的常數，因為在任何極限過程中，均成立。

第三節(jié)無窮小與無窮大無窮大二、定義2如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時，對應的函數值的絕對值f（x）無限增大，就稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大。

第三節(jié)無窮小與無窮大性質1有限個無窮小的代數和仍為無窮小。性質2有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小。推論1常數與無窮小的乘積仍是無窮小。推論2有限個無窮小的乘積仍是無窮小。第三節(jié)無窮小與無窮大注意性質1和推論2都不能推廣到無窮多個無窮??；另外，兩個無窮小之商未必是無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大定理1的充分必要條件是f（x）=A＋α其中α為當x→x0時的無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大定理2如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時，對應的函數值的絕對值f（x）無限增大，就稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大。

第三節(jié)無窮小與無窮大

例2求。解因為所以。第三節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較三、定義3設α（x），β（x）都是x→x0時的無窮小，且α（x）≠0。如果，則稱β（x）是比α（x）高階無窮小，也稱α（x）是比β（x）低階無窮??；如果，則稱β（x）與α（x）同階無窮小，特別地，當k=1時，稱β（x）與α（x）等價無窮小，記作α（x）~β（x）（x→x0）第三節(jié)無窮小與無窮大定理3設當x→x0時，α（x）~α′（x），β（x）~β′（x）且存在，則第三節(jié)無窮小與無窮大

例4求。解因為當x→0時，tanx~x，ln(1＋3x）~3x，所以=第三節(jié)無窮小與無窮大例7求。解===第四節(jié)函數的連續(xù)性連續(xù)函數的概念一、

設變量u從一個初值u1變化到終值u2，終值與初值之差u2-u1稱為變量u的增量，記作Δu，即Δu=u2-u1，Δu可以為正，也可以為負.當Δu＞0時，u的變化是增大的；Δu＜0時，u的變化是減小的.設函數y=f(x)在點x的某鄰域內有定義，當自變量x由x0變到x0+Δx時，函數y相應由f(x0)變到f(x0+Δx)，因此函數相應的增量為Δy=f(x1+Δx)-f(x0).其幾何意義如圖2-4-1所示。第四節(jié)函數的連續(xù)性圖2-4-1第四節(jié)函數的連續(xù)性定義1設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果自變量的增量Δx=x-x0趨于零時，對應的函數增量也趨于零，即則稱函數f(x)在點x0處是連續(xù)的。第四節(jié)函數的連續(xù)性定義2設函y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，若=f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處連續(xù)。如果f(x)在區(qū)間（a，b）內每一點都是連續(xù)的，就稱f(x)在區(qū)間（a，b）內連續(xù).如果f(x)在（a，b）內連續(xù)，在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在［a，b］上連續(xù)。第四節(jié)函數的連續(xù)性由定義2可以看出，函數f(x)在點x0連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：（1）f(x)在點x0的一個鄰域內有定義；（2）存在；（3）上述極限值等于函數值f(x0)。如果上述條件中至少有一個不滿足，則稱點x0就是函數f(x)的間斷點。第四節(jié)函數的連續(xù)性函數的間斷點及其分類二、定義3設x0為f(x)的一個間斷點，如果當x→x0時，f(x)的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；否則，稱x0為f(x)的第二類間斷點.對于第一類間斷點還有如下定義：（1），均存在，但不相等時，稱x0為f(x)的跳躍間斷點；（2）當存在，但不等于f(x)在x0處的函數值時，稱x0為f(x)的可去間斷點。如果，則稱x0為f(x)的無窮間斷點，無窮間斷點屬于第二類間斷點。第四節(jié)函數的連續(xù)性例2設f(x)=，x≠01，x=0，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。解因為f(0)=1，且，即所以，x=0是f(x)的第一類間斷點，且為可去間斷點。第四節(jié)函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性三、

1.初等函數的連續(xù)性一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.因此，求初等函數的連續(xù)區(qū)間就是其定義區(qū)間.關于分段函數的連續(xù)性，除考慮每一段函數的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性。第四節(jié)函數的連續(xù)性

2.利用函數的連續(xù)性求極限例3求。解因為ln(sinx）在x=處連續(xù)，所以=ln1=0第四節(jié)函數的連續(xù)性3.復合函數求極限的方法定義3設有復合函數y=f［φ(x)］，若，而函數f(u)在u=a點連續(xù)，則。第四節(jié)函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質四、定理2閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最大值和最小值。第四節(jié)函數的連續(xù)性定理3（零點定理）若函數f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f(ξ)=0。這個定理又稱為根的存在定理。第四節(jié)函數的連續(xù)性定理4（介值定理）設函數f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，μ為介于f(a)與f(b)之間的任意一個數，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f(ξ)=μ。第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)多元函數的概念一、在很多實際問題中，事物的發(fā)生和發(fā)展是受多種因素制約的，在數學上表現為一個變量的變化要依賴其他多個變量的變化的問題，這就提出了多元函數的相關問題。在學習一元函數時，經常會遇到區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數推廣到二元以上的函數，我們首先介紹區(qū)域的概念。

第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)1.區(qū)域由于實數可與數軸上的點對應起來，而全體數軸上的點就構成一維空間，記為R。二元有序實數組（x，y)和平面上點的全體建立起一一對應關系.平面上所有點構成了二維空間，記為R2。一般地，n元有序實數組（x1，x2，…，xn)點的全體稱為n維空間，記為Rn。通常，平面區(qū)域指平面上由一條曲線或幾條曲線圍成的部分。區(qū)域可以是有限的，如圓形區(qū)域，矩形區(qū)域等，這種區(qū)域稱為有界區(qū)域。有些區(qū)域能夠延伸到無窮遠處，這種區(qū)域稱為無界區(qū)域。圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。若所考慮的區(qū)域包含區(qū)域的全部邊界，稱此區(qū)域為閉區(qū)域；若不包含區(qū)域的邊界，稱為開區(qū)域。

第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)2.二元函數的定義例1圓柱體的體積V與底面圓的半徑r和柱體的高度h具有關系式V=πr2h當r，h在區(qū)域{(r，h)|r>0，h>0}內取定一對值時，V就可以取得對應的值。例2在物理學定理中，電流所做的功率P與電路電壓U和電流I之間有關系式P=UI當U，I在區(qū)域{（U，I）|U>0，I>0}內取定一對值時，功率P也隨之確定了。第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)定義1設D是R2的一個非空點集，若對每一點(x，y)∈D，按照某一法則f有唯一確定的實數值z與之對應，則稱z是關于變量x，y的二元函數，記為z=f（x，y），（x，y）∈D第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)

例4已知函數f(x，y)=，求：(1)f(1，2);(2)f(xy，x+y).解(1)f(1，2)==(2)分別以xy和x+y取代原來的x，y，得f(xy，x+y)==第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)二元函數的極限二、定義2設二元函數z=f(x，y)，如果當點（x，y）以任意方式趨向點（x0，y0）時，f(x，y)總是趨向于一個確定的常數A，那么就稱A是二元函數f(x，y)當(x，y)→（x0，y0）時的極限，記為第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)

例5求極限。解===2第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)二元函數的連續(xù)性三、定義3設函數z=f(x，y)在點P0(x0，y0)的某一鄰域內有定義，如果則稱函數f(x，y)在點P0(x0，y0)處連續(xù)。第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)注意與一元函數類似，二元函數經四則運算和復合運算得到的函數仍為連續(xù)函數，一切初等二元函數在其定義域內都是連續(xù)的。第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)

例8求。解

====2第五節(jié)多元函數及其極限與連續(xù)需要注意的是，與一元函數一樣，對有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數有下面的結論：（1）若函數f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x，y)在D上必有最大值和最小值；（2）若函數f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且C是介于最大值和最小值之間的實數，則在D內至少存在一點（x0，y0)，使得f(x0，y0)=C.ThankYou!高等數學第三章導數與微分第一節(jié)導數的概念第二節(jié)函數的求導法則第三節(jié)函數的高階導數第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數第五節(jié)偏導數第六節(jié)函數的微分及應用第一節(jié)導數的概念引例一、1.變速直線運動的瞬時速度設做變速直線運動的質點在t時刻所經過的路程為s，即路程s是時間t的函數s=f（t）則當時間由t0改變到t時，動點在Δt=t-t0這段時間內經過的路程為Δs=f（t）-f（t0）。動點在Δt=t-t0這段時間內的平均速度為。第一節(jié)導數的概念2.平面曲線的切線斜率設有平面曲線C(如圖3-1-1所示)，點M（x0，y0）為曲線y=f（x）上的一定點，點N（x，y）為曲線y=f（x）上的一動點，設割線MN的傾斜角（即與x軸的夾角）為φ，則割線MN的斜率為第一節(jié)導數的概念圖3-1-1第一節(jié)導數的概念

例2求拋物線y=x2在點（2，4）處的切線方程和法線方程。解設拋物線y=x2在點（2，4）處的斜率為k，則所以所求切線方程為y-4=4（x-2）或y=4x-4法線方程為y-4=-（x-2）或y=-x+第一節(jié)導數的概念導數的定義二、1.導數的定義

定義設函數y=f(x)在點x0的一個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx（Δx≠0，x0+Δx仍在該鄰域內）時，相應地函數有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果Δy與Δx之比當Δx→0時，極限存在，那么這個極限值稱為函數y=f(x)在點x0處的導數.并且說，函數y=f(x)在點x0處可導，記作f′(x0），也可記為即第一節(jié)導數的概念2.左、右導數我們知道，導數是比值在Δx→0時的極限，那么下面兩個極限第一節(jié)導數的概念

定理1f(x)在點x0處可導的充要條件是函數y=f(x)在點x0處的左右導數都存在且相等。第一節(jié)導數的概念3.導函數如果函數y=f(x)在區(qū)間（a，b)內的每一點都可導，則稱y=f(x)在區(qū)間（a，b)內可導。

第一節(jié)導數的概念

例4求函數f(x)=C(C是常數）的導數。解=0即（C）′=0。這就是說，常數的導數等于零。第一節(jié)導數的概念導數的幾何意義三、由前面的討論可知，函數y=f（x）在點x0處的導數f′（x0）在幾何上表示曲線y=f（x）在點M（x0，f（x0））處的切線的斜率，即f′（x0）=tanα，其中α是切線的傾斜角（如圖3-1-2所示）。第一節(jié)導數的概念圖3-1-2第一節(jié)導數的概念可導與連續(xù)的關系四、

定理2如果函數y=f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處連續(xù)，其逆不真。第一節(jié)導數的概念例6求函數y=f(x)=|x|在x=0處的導數。解很明顯，該函數在x=0處是連續(xù)的。又當Δx<0時，=-1當Δx>0時，=1這說明，當Δx→0時，極限不存在，即函數f(x)在x=0處不可導。第一節(jié)導數的概念求導數舉例五、例7求函數f(x)=sinx的導數.。解f′(x)==

=

==cosx?1=cosx

第二節(jié)函數的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則一、

定理1設函數u(x)，v(x)在點x處可導，則它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x具有導數，且有以下法則：（1）［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x);（2）［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);（3）

第二節(jié)函數的求導法則推論1［Cu(x)］′=Cu′(x)(C為常數）。推論2

推論3

［u(x)?v(x)?w(x)］′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x)

第二節(jié)函數的求導法則

例1求y=tanx的導數。解y=(tanx)′=====sec2x

第二節(jié)函數的求導法則復合函數的求導法則二、

定理2如果函數u=φ(x)在點x處可導，而函數y=f(u)在對應的點u處可導，那么復合函數y=f［φ(x)］也在點x處可導，且有或{f［φ(x)］}′=f′(u)φ′(x)

第二節(jié)函數的求導法則例4求函數y=lnsinx的導數。解y′=(lnsinx)′=(sinx)′==cotx

第二節(jié)函數的求導法則反函數的求導法則三、

定理3如果單調連續(xù)函數x=φ(y)在點y處可導，而且φ′(y)≠0，那么它的反函數y=f(x)在對應的點x處可導，且有或

就是說，反函數的導數等于直接函數導數的倒數。(證明略）

第二節(jié)函數的求導法則例7求y=ax（a>0，a≠1)的導數。解因為y=ax是x=logay的反函數，且x=logay在（0，+∞)內單調、可導，又所以y′==ylna=axlna即(ax)′=axlna.特別地，有（ex)′=ex

第二節(jié)函數的求導法則基本初等函數的求導公式四、(1)（C）′=0;(2)(xμ)′=μxμ-1;(3)(sinx)′=cosx;(4)(cosx)′=-sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)′=-csc2x;(7)(secx)′=secxtanx;(8)(cscx)′=-cscxcotx;(9)(ax)′=axlna;(10)(ex)′=ex;(11)(logax)′=;(12)(lnx)′=(13)(arcsinx)′=；(14)(arccosx)′=(15)(arctanx)′=；(16)(arccotx)′=第三節(jié)函數的高階導數一般來說，函數y=f（x）的導數y′=f′（x）仍是x的函數，如果導函數f′（x）還可以對x求導數，那么稱f′（x）的導數為函數y=f（x）的二階導數，記作

y″，f″（x）或這時，也稱函數f（x）二階可導，按照導數的定義，有f″（x）=第三節(jié)函數的高階導數

例1求函數f（x）=2x5＋x2＋6的各階導數．解f′（x）=10x4＋2xf″（x）=40x3＋2f（3）（x）=120x2f（4）（x）=240xf（5）（x）=240f（6）（x）=0當n>6時，f（n）（x）=0.

第三節(jié)函數的高階導數

例2求指數函數y=ex的n階導數。解（ex）′=ex（ex）″=（ex）′=ex一般地，有（ex）（n）=ex。

第三節(jié)函數的高階導數

例4求函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的n階導數。解f′（x）=axlnaf″（x）=axln2af（3）（x）=axln3a一般地，有f（n）（x）=axlnna.。

第三節(jié)函數的高階導數

注意求n階導數時，通常的方法是先求出一階、二階、三階等導數，從中歸納出n階導數的表達式。因此，求n階導數的關鍵在于從各階導數中尋找規(guī)律。第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數隱函數的求導法一、一般地，如果變量x和y滿足一個方程F（x，y)=0，在一定條件下，當x取某區(qū)間內的任一值時，相應地總有滿足這個方程的唯一的y值存在，那么就說方程F（x，y）=0在該區(qū)間內確定了一個隱函數。把一個隱函數化成顯函數，稱為隱函數的顯化.隱函數的顯化有時是困難的，有時甚至是不可能的.但在實際問題中，往往需要計算隱函數的導數，因此我們希望有一種方法，不管隱函數能否顯化，都能直接由方程計算出它所確定的隱函數的導數，下面通過具體例子來說明這種求導方法。第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數例1求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數的導數。解把方程兩邊分別對x求導，注意將y看成是x的函數，得ey·+y+x·=0從上式解得=(x+ey≠0)第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的求導法二、在研究物體運動的軌跡時，常常遇到參數方程。例如，研究拋射體的運動規(guī)律時，如果空氣阻力忽略不計，則拋射體的運動軌跡可表示為x=v1t，y=v2t-gt2.(3-4-1）其中，v1，v2分別表示初速度v0在水平和垂直方向上分量，t是飛行時間，g是重力加速度，x，y分別是拋射體在垂直平面內沿x軸和y軸方向的位移。第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數例3求雙曲線x=secty=tant在t=處的切線方程。解由公式(3-4-3)，得k1==

當t=

時，x=2，y=1，故所求切線方程為y-1=(x-)，即y=x-1。第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數對數求導法三、根據隱函數求導法，我們還可以得到一個簡化求導運算的方法.它適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方所構成的比較復雜的函數（包括冪指數函數）的求導.這個方法是先取對數，化乘、除為加、減，化乘方、開方為乘積，然后利用隱函數求導法求導，因此稱為對數求導法.下面舉例說明這種方法。第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數例6求y=xsinx(x>0)的導數。解對上式兩邊取自然對數，得lny=sinxlnx兩邊求導，得y′=+cosxlnx所以，有y′=y（+cosxlnx）=xsinx（+cosxlnx）

第五節(jié)偏導數偏導數一、在研究二元函數時，有時需要求當其中一個自變量不變，函數關于另一個自變量的變化率，這種形式的變化率就是二元函數的偏導數。

第五節(jié)偏導數1.偏導數的定義

定義設函數z=f(x，y)在點（x0，y0）的某一鄰域內有定義，當y固定在y0，而x在x0處有改變量Δx時，相應的函數有改變量f(x0+Δx，y0)-f(x0，y0)，如果極限存在，則稱此極限為函數z=f(x，y)在點（x0，y0）處對x的偏導數，記為，或fx(x0，y0)第五節(jié)偏導數2.偏導數的求法

例2求f(x，y)=x2+xy2在（1，2）的偏導數。解因為fx(x，y)=(x2+xy2)′x=2x+y2;fy(x，y)=(x2+xy2)′y=2xy，所以，fx(1，2)=2×1+22=6;fy(1，2)=2×1×2=4。第五節(jié)偏導數高階偏導數二、從偏導數的概念中可以看出，二元函數z=f(x，y)在區(qū)域D內的偏導數仍是關于自變量x，y的二元函數，如果這兩個二元函數各自關于自變量x，y的偏導數也存在，則稱它們是z=f(x，y)的二階偏導數，這樣的偏導數共有4個，分別表示為=fxx(x，y)=fxy(x，y)=fyx(x，y)=fxx(x，y)第五節(jié)偏導數

例4求函數z=x3+2x2y-y3的二階偏導數。解函數的一階偏導數為=3x2+4xy，=2x2-3y2再分別關于x，y求偏導=6x+4y=4x=4x=-6y第五節(jié)偏導數

注意

在此例中，，這并不是偶然現象.事實上，有下面結論：如果和在區(qū)域D內連續(xù)，則第六節(jié)函數的微分及應用微分的概念一、

定義

設函數y=f（x）在某區(qū)間內有定義，當x的增量為Δx，相應地，函數的增量為Δy=f（x＋Δx）-f（x）可表示為Δy=AΔx＋o（Δx）其中，A是不依賴于Δx的常量，而o（Δx）是比Δx高階的無窮小，那么稱函數y=f（x）在點x處可微，AΔx稱為函數y=f（x）在點x處的微分，記作dy或d（x），即dy=AΔx由于AΔx是Δx的線性函數，當Δx→0時，Δy≈Δx，稱AΔx為Δy的線性主部，也就是說，dy是Δy的主要部分。第六節(jié)函數的微分及應用

例1求函數y=1＋3x2在x=1，Δx=0.01時的增量及微分。解Δy=3（x＋Δx）2—3x2=3×1.012-3=0.0603dy=y′|x=1Δx=6×0.01=0.06例2求函數y=ax的微分。解dy=（ax）′dx=axlnadx第六節(jié)函數的微分及應用微分的幾何意義二、如圖3-6-2所示，函數y=f（x）是一條曲線，過曲線上一點M（x0，y0）作切線MT，設MT的傾斜角為α，則tanα=f′（x）。第六節(jié)函數的微分及應用圖3-6-2第六節(jié)函數的微分及應用微分基本公式與運算法則三、按照微分的定義，求函數的微分，只要求出它的導數f′（x），再乘以自變量的微分dx即可．所以，由導數的基本公式與運算法則，可得到如下的微分基本公式與運算法則。

第六節(jié)函數的微分及應用1.微分基本公式（1）d（C）=0（C為常數）;（2）d（xα）=αxα-1dx（α為任意實數）;（3）d（ax）=axlnadx;（4）d（ex）=exdx;（5）d（logax）=;（6）d（lnx）=;（7）d（sinx）=cosxdx;（8）d（cosx）=-sinxdx;（9）d（tanx）=sec2xdx;（10）d（secx）=secxtanxdx;（11）d（cotx）=-csc2xdx;（12）d（cscx）=-cscxcotxdx;第六節(jié)函數的微分及應用（13）d（arcsinx）=（14）d（arccosx）=（15）d（arctanx）=（16）d（arccotx）=

第六節(jié)函數的微分及應用2.微分運算法則（1）d［u（x）±v（x）］=du（x）±dv（x）；（2）d［u（x）v（x）］=v（x）du（x）＋u（x）dv（x）；（3）d［Cu（x）］=Cdu（x）（C為常數）；（4）d［］=（v（x）≠0）；（5）d［f（g（x））］=f′（g（x））g′（x）dx。

第六節(jié)函數的微分及應用

例3設y=cos(2x＋3），求dy。解dy=dcos(2x＋3）=-sin(2x＋3）d（2x＋3）=-2sin(2x＋3）dx第六節(jié)函數的微分及應用微分在近似計算中的應用四、

例5計算arctan1.05的近似值。解令f(x)=arctanx，由式（3-6-2）有arctan(x0+Δx)≈arctanx0+取x0=1，Δx=0.05，有arctan1.05=arctan(1+0.05)≈arctan1+=+

第六節(jié)函數的微分及應用例6計算的近似值。解因為==

=4由近似公式（1），得=4≈4（1+×）=4+≈4.021ThankYou!高等數學第四章微分中值定理及導數的應用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達法則第三節(jié)函數的單調性、極值與最值第四節(jié)多元函數的極值和最值第五節(jié)曲線的凹凸性與拐點第六節(jié)簡單函數圖形的描繪第一節(jié)微分中值定理羅爾中值定理一、

定理1如果函數f(x)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b)內可導；（3）在區(qū)間兩端點的函數值相等，即f(a)=f(b)。則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0。第一節(jié)微分中值定理羅爾中值定理的幾何意義是：若連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上處處具有不垂直于x軸的切線且兩端點的縱坐標相等，則在這弧上至少能找到一點，使曲線在該點處的切線平行于x軸（如圖4-1-1所示)。

第一節(jié)微分中值定理圖4-1-1第一節(jié)微分中值定理

例1設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，不求導數判斷f′(x)=0實根的個數，并指出所在范圍。解因為f(1)=f(2)=f(3)=0，所以f(x)在［1，2］，［2，3］上滿足羅爾中值定理條件，因此有f′