高等數(shù)學(xué)（經(jīng)管類(lèi)）PPT高職完整全套教學(xué)課件

目錄第一章微積分

?第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

?第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

?第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

?第四節(jié)不定積分

?第五節(jié)定積分

?第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算其中β為割線MN的傾斜角.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N沿曲線無(wú)限靠近定點(diǎn)M時(shí)，即Δx→0時(shí)，上式的極限存在并設(shè)為k，即

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

曲線??=??(??)在點(diǎn)M的切線斜率反映了該曲線在點(diǎn)M升降的快慢程度.

因此，切線斜率k又稱為曲線??=??(??)在x=x0處的變化率.

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1．設(shè)函數(shù)??=??(??)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx（Δx≠0）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量

，如果極限存在,則稱此極限值為函數(shù)??=??(??)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)函數(shù)值.并稱函數(shù)??=??(??)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).記作.

此時(shí)若該極限不存在,則稱函數(shù)??=??(??)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).若設(shè)x=x0+Δx，也有

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

2．若設(shè)函數(shù)??=??(??)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)??=??(??)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)x值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，因此構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作

通常在不發(fā)生混淆的情況下，我們將導(dǎo)函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)統(tǒng)稱為導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義表示的是曲線??=??(??)在點(diǎn)M(x0,y0)處切線的斜率.即切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)，法線方程為.

如果??=??(??)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，這時(shí)曲線??=??(??)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線方程為x=x0，該切線垂直于x軸.

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求增量：

；（2）算比值：；（3）取極限：.

一、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算例2求曲線y=x2+3在點(diǎn)（1，4）處的切線斜率，并寫(xiě)出切線及法線方程.

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1．基本公式第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2．運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則有如下運(yùn)算法則推廣到有限個(gè)函數(shù)有第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例3設(shè)

，求y′.例4設(shè).解解第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè)函數(shù)y=f(u),u=φ(x)且y=f(u)的定義域由u=φ(x)的值域確定，則稱y=f［φ(x)］是由y=f(u),u=φ(x)復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù).u=φ(x)稱為中間變量.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u=φ(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

上式也可寫(xiě)成y′x=y′u·u′x或(f［φ(x)］)′=f′［φ(x)］·φ′(x).推廣到有限個(gè)中間變量有：設(shè)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)均可導(dǎo)，則第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例5設(shè)y=（2x+5）3，求y′x.3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)熟練掌握復(fù)合函數(shù)的分解后，運(yùn)算時(shí)不必寫(xiě)出中間變量，直接由外向里逐層求導(dǎo)即可,但注意每層變量是不相同的.解將y=(2x+5)3分解為y=u3,u=2x+5而y′u=3u2,u′x=2，所以y′x=y′u·u′x=6u2=6(2x+5)2.例6求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).解第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4．隱函數(shù)求導(dǎo)形如y=f(x)所表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)，而x2+y2=R2,ey=xy同樣表示了函數(shù)關(guān)系，這種由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).顯然所有的顯函數(shù)都可以表示為隱函數(shù)，而有些隱函數(shù)是不能表示為顯函數(shù)的，因此求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)尤為重要.

隱函數(shù)求導(dǎo)法則：

（1）將等式兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)，其中y是x的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到一個(gè)含有y′的方程；

（2）從方程中解出y′.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4．隱函數(shù)求導(dǎo)解將方程的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，這里y是x的函數(shù)，y2是x的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有解得顯然此函數(shù)也可以通過(guò)表示為顯函數(shù)去求導(dǎo).例7求由方程x2+y2=4所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4．隱函數(shù)求導(dǎo)解兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)有l(wèi)ny=xlnsinx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得例8

求冪指函數(shù)y=(sinx)x的導(dǎo)數(shù)y′.對(duì)于形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5．高階導(dǎo)數(shù)例9設(shè)y=7x4，求y(5).如函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，則稱f′(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù).記由定義知，類(lèi)似地，函數(shù)y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，…….函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作我們把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

三、極值設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若在（a,b）內(nèi)f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增；若在（a,b）內(nèi)f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞減.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)該區(qū)域的任意點(diǎn)x（點(diǎn)x0除外），如果有f(x)<f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果有f(x)>f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極值是一個(gè)局部概念.因此有時(shí)在研究的區(qū)域內(nèi)會(huì)有多個(gè)極值，有時(shí)極小值會(huì)大于極大值.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

三、極值在圖1－2中可以看出函數(shù)在取得極值的地方，曲線的切線或是水平的（如點(diǎn)x1、x5）或是垂直的（如點(diǎn)x4），而曲線有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值（如點(diǎn)x3）.總之如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有極值f(x0)，則f′(x0)=0或f′(x0)不存在.使f′(x)=0的點(diǎn)x稱為函數(shù)的駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，反之不一定.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

三、極值判定方法一：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右鄰域連續(xù)，且在該某個(gè)鄰域（點(diǎn)x0除外）可導(dǎo)，（1）若x<x0時(shí),f′(x)>0；當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在x0處有極大值；（2）若x<x0時(shí),f′(x)<0；當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在x0處有極小值；（3）若x取x0左右兩側(cè)附近的值f′(x)不變號(hào)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

三、極值判定方法二：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)=0，則（1）當(dāng)f″(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；（2）當(dāng)f″(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；（3）當(dāng)f″(x0)=0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處是否取得極值不確定，回到判定方法一.求函數(shù)f(x)極值的步驟為：（1）確定函數(shù)f(x)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)和f″(x)；（2）求出函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）用判定方法一或判定方法二確定以上各點(diǎn)是否為極值點(diǎn)并求極值.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

三、極值例10

求函數(shù)的極值.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

四、函數(shù)的最值函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，點(diǎn)x0是[a,b]內(nèi)的點(diǎn)，若對(duì)于該區(qū)間內(nèi)任意的點(diǎn)x恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值（或最小值），x0為最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）.最值是整體概念，因此在討論的區(qū)域內(nèi)最值一定存在且唯一，最值點(diǎn)可以是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)也可以是區(qū)間的端點(diǎn).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

四、函數(shù)的最值解（1）令f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)=0，解得駐點(diǎn)x=-1,x=0,x=1.（2）f(0)=3,f(±1)=2,f(-2)=11,f(2)=11.（3）比較得在[-2,2]

上的最大值為f(±2)=11，最小值為f(±1)=2.例11

求函數(shù)f(x)=x4-2x2+3在[-2,2]上的最大值與最小值.特別地在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，若函數(shù)f(x)有且僅有唯一的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）x0，那么它同時(shí)也是該區(qū)間內(nèi)的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）；函數(shù)f(x)在單調(diào)閉區(qū)間上的最值一定存在且在區(qū)間的端點(diǎn)取得.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)1．總成本函數(shù)總成本函數(shù)是指生產(chǎn)者用于生產(chǎn)產(chǎn)品的所有費(fèi)用.一般可分為固定成本（用C0來(lái)表示）和可變成本（用C1表示）.設(shè)總成本為C，產(chǎn)品的產(chǎn)量為q，則總成本函數(shù)為

總成本函數(shù)隨產(chǎn)量的增加而增加，因此是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù).生產(chǎn)單位產(chǎn)品所付出的成本稱為平均成本，用表示，即.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)2．總收入函數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)3．總利潤(rùn)函數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)3．總利潤(rùn)函數(shù)解

因?yàn)镃(q)=14000+6.00q,R(q)=18.5q由C(q)=R(q)解得保本點(diǎn)q=1120（件）.因每天產(chǎn)品的保本產(chǎn)量低于每天的生產(chǎn)能力，可以投入生產(chǎn)，當(dāng)生產(chǎn)量為1120≤q≤4000時(shí)，即可從中獲利.例12某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，若以18.5元的價(jià)格出售產(chǎn)品是暢銷(xiāo)的，該廠每天生產(chǎn)能力為4000件，每天固定成本14000元，單位可變成本6.00元，求保本點(diǎn).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)4．邊際函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)稱為邊際函數(shù)，f′(x0)稱為y=f(x)在x=x0處的邊際函數(shù)值.

Δy≈f′(x0)說(shuō)明邊際函數(shù)值近似地等于函數(shù)的改變量，表示自變量x在原有水平x=x0基礎(chǔ)之上，若產(chǎn)生一個(gè)單位的改變，y相應(yīng)近似地變化f′(x0)個(gè)單位.總成本函數(shù)C(q)的導(dǎo)數(shù)C′(q)稱為邊際成本.其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品帶來(lái)總成本增加的近似值（通常省略“近似”二字）.顯然當(dāng)邊際成本小于平均成本時(shí)，增加產(chǎn)品的生產(chǎn)量將會(huì)帶來(lái)利潤(rùn)的增加.總收入函數(shù)R(q)的導(dǎo)數(shù)R′(q)稱為邊際收入.其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷(xiāo)量為q時(shí)，再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品帶來(lái)總收入的改變.總利潤(rùn)函數(shù)L(q)的導(dǎo)數(shù)L′(q)稱為邊際利潤(rùn).其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量（或銷(xiāo)量）為q時(shí)，再多生產(chǎn)（或銷(xiāo)售）一個(gè)單位產(chǎn)品帶來(lái)總利潤(rùn)的改變.同樣類(lèi)似地還有邊際需求，邊際供給等.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)4．邊際函數(shù)利用邊際分析理論有如下重要結(jié)論：（1）平均成本最小化原理即當(dāng)平均成本等于邊際成本時(shí)，平均成本取得最小值.（2）利潤(rùn)最大化原理即當(dāng)邊際收入等于邊際成本時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)4．邊際函數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)4．邊際函數(shù)解（2）由已知

由利潤(rùn)最大化原理有160-10p=10p-340，解得p=25（萬(wàn)元/噸），將p=25代入Q(p)=160-5p有q=35噸/月.當(dāng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為25萬(wàn)元/噸時(shí)，獲得的利潤(rùn)最高，最優(yōu)月銷(xiāo)售數(shù)量為35噸.

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)5．彈性理論

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)5．彈性理論

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)5．彈性理論

經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)p=3時(shí)，價(jià)格上漲1%時(shí)，需求量減少0.6％，需求量變化的幅度小于價(jià)格變化的幅度，此時(shí)價(jià)格對(duì)需求的影響不大；當(dāng)p=5時(shí)，價(jià)格上漲1％，需求量減少1％，需求量變化的幅度與價(jià)格變化的幅度相同；當(dāng)p=6時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求量減少1.2%，需求量變化的幅度大于價(jià)格變化的幅度，此時(shí)價(jià)格對(duì)需求的影響較大.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五、幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)5．彈性理論

第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

一、微分的概念設(shè)正方形的面積為y=x2,而y′=2x，當(dāng)邊長(zhǎng)為x0時(shí)，對(duì)應(yīng)于邊長(zhǎng)改變量Δx>0，則面積y相應(yīng)的改變量為如圖1-4所示，當(dāng)Δx很小時(shí)，(Δx)2相對(duì)于2x0Δx來(lái)說(shuō)變小的速度更快，所以面積y的改變量Δy可以近似地用2x0Δx來(lái)替代，即Δy≈2x0Δx，兩者相差(Δx)2.因此我們把y=x2改變量的近似值2x0Δx稱為函數(shù)在點(diǎn)x0處的微分值，記作第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

一、微分的概念

1．若函數(shù)y=f(x)在x0處具有導(dǎo)數(shù)f′(x0)，那么f′(x0)·Δx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分值.記作這時(shí)稱函數(shù)y=f(x)在x0處可微分，或簡(jiǎn)稱函數(shù)可微.

2．函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x).即當(dāng)y=x時(shí)，由于dy=dx=(x)′Δx=Δx，即自變量的微分等于自變量的增量.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作顯然，即函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此導(dǎo)數(shù)又稱為微商.第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

一、微分的概念例1求y=sin(6x+2)的微分dy.解dy=［sin(6x+2)］′dx=6cos(6x+2)dx.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線y=f(x)有定點(diǎn)M(x0,y0)，當(dāng)自變量x有微小改變?chǔ)時(shí)，得曲線上點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy)，由圖1-5可知：

MQ=Δx,QN=Δy，過(guò)點(diǎn)M作曲線的切線MT，其傾角為α，則QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx,即dy=QP，因此函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的微分的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處切線的縱坐標(biāo)的改變量.第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

二、微分的運(yùn)算1．基本公式第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

二、微分的運(yùn)算2．運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則有：第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

二、微分的運(yùn)算3．微分形式不變性設(shè)函數(shù)y=f(u),u=φ(x)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］的微分為因?yàn)棣铡?x)dx=du，所以dy=f′(u)du，這個(gè)性質(zhì)稱為微分形式不變性，也稱為復(fù)合函數(shù)的微分法則.例2設(shè)y=ln(1+ex),求dy.解第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算

三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

設(shè)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，當(dāng)自變量的改變量為Δx時(shí)，函數(shù)的改變量.當(dāng)很小時(shí)，有或特別地令x0=0，當(dāng)

很小時(shí)，有

.第二節(jié)微分的概念及運(yùn)算例3證明：證設(shè)代入得

三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

一、二元函數(shù)的概念

設(shè)有三個(gè)變量x,y和z，當(dāng)x和y在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則變量z稱為變量x,y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y).二元函數(shù)同樣有定義域、值域、極限和連續(xù)的概念，且顯然類(lèi)似地我們將y=f(x1,x2,…,xn)稱為n元函數(shù).第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)一樣，多元函數(shù)也需討論變化率的問(wèn)題，即偏導(dǎo)數(shù)的概念.

1．設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，稱之為函數(shù)關(guān)于自變量x的偏增量，記為Δxz.如果存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)值.記作類(lèi)似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)值為記作第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、偏導(dǎo)數(shù)

2．若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在且仍是x,y的函數(shù)，則稱它為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù).記為.即類(lèi)似地z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)記為.即在不發(fā)生混淆的情形下偏導(dǎo)函數(shù)值和偏導(dǎo)函數(shù)統(tǒng)稱為偏導(dǎo)數(shù).由定義可知，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法：確定其中一個(gè)自變量為變量的同時(shí)將另一個(gè)自變量暫時(shí)看作常量，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來(lái)求導(dǎo).第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、偏導(dǎo)數(shù)例１求函數(shù)在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、偏導(dǎo)數(shù)

3．設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)存在且都是x,y的函數(shù).則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).因?qū)ψ兞壳髮?dǎo)數(shù)的次序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：其中fxy(x,y)和fyx(x,y)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地可有三階及三階以上的偏導(dǎo)數(shù)，我們將二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、偏導(dǎo)數(shù)例２求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

如果二元函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有

.第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

三、全微分如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分記為與一元函數(shù)一樣，由于Δx=dx,Δy=dy，函數(shù)z=f(x,y)的全微分也可寫(xiě)為例３求函數(shù)的全微分.第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，當(dāng)自變量的改變量分別為Δx,Δy時(shí)，函數(shù)的改變量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0).當(dāng)都很小時(shí)，有或例４計(jì)算(1.03)2.02的近似值.第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)左右附近內(nèi)的所有點(diǎn)，若總有f(x,y)<f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值；若總有f(x,y)>f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，(x0,y0)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，那么．或中至少有一個(gè)不存在.使函數(shù)z=f(x,y)一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn).可導(dǎo)二元函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值判定方法：如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)為駐點(diǎn)，若記，則（1）當(dāng)B2-AC<0且A>0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極小值f(x0,y0)，當(dāng)B2-AC<0且A<0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極大值f(x0,y0)；（2）當(dāng)B2-AC>0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處無(wú)極值；（3）當(dāng)B2-AC=0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處極值不確定，需另做討論.第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值解因?yàn)榻夥匠探M，得駐點(diǎn)(3,2),(3,-2).在駐點(diǎn)(3,2)處因A=-2,B=0,C=12且B2-AC=24>0，所以點(diǎn)(3,2)不是極值點(diǎn)；在駐點(diǎn)(3,-2)處因A=-2,B=0,C=-12且B2-AC=-24<0且A<0，所以點(diǎn)(3,-2)是極大值點(diǎn)，極大值為f(3,-2)=30.例５求函數(shù)f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5的極值.第四節(jié)不定積分

一、原函數(shù)已知函數(shù)F(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，且F′(x)=f(x)，則稱函數(shù)F(x)為f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).例如在-∞,+∞內(nèi)，因?yàn)?x2)′=2x，所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù).又因?yàn)?x2+C)′=2x(C為任意常數(shù))，所以函數(shù)2x在-∞,+∞內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，且這些原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）是f(x)的全體原函數(shù)，顯然(F(x)+C)′=f(x).第四節(jié)不定積分

二、不定積分的概念函數(shù)f(x)在區(qū)間上的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).由此可知，求已知函數(shù)的不定積分，就歸結(jié)為求它的一個(gè)原函數(shù)問(wèn)題.例１

求.第四節(jié)不定積分不定積分的幾何意義：設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線y=F(x)稱為被積函數(shù)f(x)的一條積分曲線，于是不定積分y=∫f(x)dx=F(x)+C表示一族積分曲線，稱為積分曲線族，它是由其中任何一條曲線沿y軸上下移動(dòng)而得到的.如圖1-6所示.

二、不定積分的概念第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算1．計(jì)算不定積分的基本公式第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算2．不定積分的性質(zhì)與法則第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算3．運(yùn)算方法（1）直接積分法利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)代數(shù)或三角恒等變形，可求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分稱為直接積分法.例２求不定積分.例３求不定積分.例４求不定積分

.解解解第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算3．運(yùn)算方法（2）第一類(lèi)換元法（湊微分法）設(shè)Fu是fu的一個(gè)原函數(shù)，則F′u=fu,∫fudu=Fu+C.如果u是x的函數(shù)u=φx，且φx可微，那么，由復(fù)合函數(shù)微分法有即有這個(gè)計(jì)算方法稱為第一類(lèi)換元法（湊微分法）.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算例５求不定積分∫（3x-1）20dx.解令φ(x)=3x-1,φ′(x)=3，u=3x-1，于是原式=1/3∫(3x-1)20·3dx

=1/3∫(3x-1)20d(3x-1)(湊微分)

=1/3∫u20du(換元)

=1/3×1/21·u21+C(用公式)

=1/63(3x-1)21+C.(還原)熟悉了湊微分的方法后，可在運(yùn)算過(guò)程中省略換元和還原步驟，直接求得結(jié)果.即此時(shí)積分變量是中間變量u=φ(x).第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算（3）第二類(lèi)換元法（變量代換法）令x=φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］dφ(t)=∫f［φ(t)］φ′(t)dt，直接求積分即可.為計(jì)算方便，常令t=φ-1(x).根式代換：被積函數(shù)中含有

的不定積分，令

，即作變換

.例7求不定積分.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算（3）第二類(lèi)換元法（變量代換法）

三角代換：被積函數(shù)中含有二次根式

的不定積分，即分別設(shè)例8求不定積分.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運(yùn)算

（4）分部積分法

設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積求導(dǎo)公式(uv)′=u′v+uv′，則有分部積分公式

或

，分部積分的計(jì)算的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇函數(shù)u=u(x),v=vx.例9求不定積分.（冪三選冪）例10求不定積分.（冪指選冪）第五節(jié)定積分

一、定積分的概念1．定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)x1,x2,…,xn-1，且并記，任取，作和

，

記，如果極限存在，且此極限值與對(duì)[a,b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是可積的，并稱此極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]區(qū)間上的定積分，記作.即這時(shí)稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，其中[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限，其他與不定積分相同.注意1．定積分是和式的極限，它是一個(gè)數(shù)，與不定積分不同.2．定積分的值只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，即第五節(jié)定積分

一、定積分的概念2．曲邊梯形所謂曲邊梯形是指由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b(a<b)與x軸所圍成的圖形.如圖1-7，其中（乙）、（丙）是直線x=a，x=b中一條或兩條退縮為一點(diǎn)的特殊情形，同樣視為曲邊梯形.用曲邊梯形的面積來(lái)解釋定積分的幾何意義.第五節(jié)定積分

一、定積分的概念2．曲邊梯形求曲邊梯形的面積可按下列步驟進(jìn)行：

（1）分割：如圖1-８所示，曲邊梯形的面積為

（2）取近似：如圖1-9所示，曲邊梯形的面積即

（3）求和：曲邊梯形面積S的近似值

（4）取極限：曲邊梯形AabB的面積即

定積分

的幾何意義：

——表示由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的平面圖形面積的代數(shù)和.第五節(jié)定積分

二、定積分的性質(zhì)第五節(jié)定積分

二、定積分的性質(zhì)第五節(jié)定積分

三、微積分基本定理1．積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x是[a,b]上的任意一點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a，x]上也連續(xù)，從而

一定存在，這時(shí)對(duì)任意x∈[a，b]，都有唯一確定的

與之對(duì)應(yīng)，因此

是定義于區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，記作Φ(x)，即

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ(x)在a，b可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為2．牛頓—萊布尼茨公式設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則第五節(jié)定積分

三、微積分基本定理例2

計(jì)算.例4

計(jì)算.第五節(jié)定積分

四、廣義積分當(dāng)積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間或被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的積分運(yùn)算稱為廣義積分.1．無(wú)窮限的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞]內(nèi)連續(xù)，取實(shí)數(shù)b>a，如果

存在，則此極限值叫做函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的廣義積分，記作.即若此極限值存在，則稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.類(lèi)似地此時(shí)與都收斂（c為任意常數(shù)）.第五節(jié)定積分

四、廣義積分例５

計(jì)算.例６

計(jì)算.第五節(jié)定積分

四、廣義積分2．無(wú)界函數(shù)的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，且

，取ε＞0，如果存在，則此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的廣義積分（或瑕積分），記作.即若此極限值存在則稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.例7

計(jì)算.第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

1．由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形，由定積分的幾何意義知其面積可表示為

，如圖1-10、1-11、1-12所示.

第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

2．由曲線x=φ(y)，直線y=c，y=d及y軸所圍成的平面圖形,由定積分的幾何意義知其面積可表示為.如圖1-13所示.

3．由曲線y=f(x)，y=g(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形面積為如圖1-14、1-15所示.第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

4．由曲線x=φ(y)，x=ψ(y)，直線y=c，y=d及y軸所圍成的平面圖形的面積為.如圖1-16所示.例8求由曲線y=ex，直線x=0，x=1及y=0軸所圍成的平面圖形的面積.解（1）作圖1-17.（2）求交點(diǎn)確定x,y的變化范圍，由得交點(diǎn)(0，1)，(1，e).

（3）取x為積分變量，第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體就是平面上的一條封閉曲線繞此平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體.其中定直線叫旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)體的截面是圓，可求其面積.

1．已知y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線，曲邊梯形AabB(如圖1-19所示)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，其體積記為Vx.任取[a,b]上的一點(diǎn)x，過(guò)此點(diǎn)作垂直于x軸的平面，所得截面的面積為

，則第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體就是平面上的一條封閉曲線繞此平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體.其中定直線叫旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)體的截面是圓，可求其面積.

2．已知x=g(y)是區(qū)間[c,d]上的連續(xù)曲線，曲邊梯形AcdB(如圖1-20所示)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，其體積記為Vy.任取[c,d]上的一點(diǎn)y，過(guò)此點(diǎn)作垂直于y軸的平面，所得截面的面積為

，則第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積解如圖1-21所示，積分變量x的變化區(qū)間為[0,1]，此處f(x)=x2，則體積例10

求由y=x2及x=1，y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖1-22所示，積分變量y的變化區(qū)間為0,8，此處

.則體積例11

求由y=x3及y=8及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

一、導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)求導(dǎo)命令：diff（f）；2．求n階導(dǎo)數(shù)命令：diff（f,n）；3．求偏導(dǎo)數(shù)：diff（f,x），diff（f,y）；4．求n階偏導(dǎo)數(shù)：diff（f,x,n）.5．隱函數(shù)求導(dǎo)例1求y=x3+sinx的導(dǎo)數(shù).輸入：symsx

diff(x^3+sin(x))執(zhí)行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)或者可以輸入：symsx

y=x^3+sin(x)

diff(y);執(zhí)行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)再輸入：diff（y,10）執(zhí)行以后得到：ans=-sin(x)輸入：symsxy

z=(1+x*y)^y;

diff(z,x)

diff(z,y)輸出：ans=(1+x*y)^y*y^2/(1+x*y)ans=(1+x*y)^y*(log(1+x*y)+y*x/(1+x*y))例２

.輸入：symsxy

Z=2*x^2-2*x*y+x+2*y+1;

Daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y)輸出：Daoshu=(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2)例3求由方程2x2-2xy+y2+x+2y+1=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

二、不定積分與積分1．函數(shù)積分命令：int（f）%求函數(shù)f關(guān)于syms定義的符號(hào)變量的不定積分；2．函數(shù)積分命令：int（f,v）%求函數(shù)f關(guān)于變量v的不定積分；3．函數(shù)積分命令：int（f,a,b）%求函數(shù)f關(guān)于syms定義的符號(hào)變量從a到b的定積分；4．函數(shù)積分命令：int（f,v,a,b）%求函數(shù)f關(guān)于變量v從a到b的定積分；5．定積分近似值：guad(＇f＇,a,b)%求定積分的近似值.輸入：symsx

int(＇atan(x)*x^2＇,x)輸出：ans=1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)輸入：symsx

f=abs(x-2);

y=int(f,0,4)輸出：y=4例4

求.例5求

.第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

三、函數(shù)最值輸入：symsx

f=’x/(1+x.^2)’;

[xmin,ymin]=fminbnd(f,-10,10)輸出：

xmin=-1.0000

ymin=-0.5000表明x=-1是最小值點(diǎn)，最小值是-0.5000.接下來(lái)將求最大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求最小值，再輸入：

f1=’-x/(1+x.^2)’;

[xmax,ymax]=fminbnd(f1,-10,10)輸出為：

xmax=1.0000

ymax=-0.5000注意f=-f1,所以x=1是最大值點(diǎn)，最大值是-（-0.5000）=0.5000.函數(shù)的最小值：[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)%求函數(shù)f在（x1,x2）上的最小值.若要求函數(shù)f(x)的最大值，只需求-f(x)的最小值即可.例6求函數(shù)的最值.目錄第二章微積方程

?第一節(jié)微分方程的基本概念

?第二節(jié)一階微分方程

?第三節(jié)幾種二階微分方程

?第四節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

第一節(jié)微分方程的基本概念像方程y′=2x或dydx=2x，含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，就稱為微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.

注意：微分方程中，未知函數(shù)和自變量可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）必須出現(xiàn).微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.例如：方程y′=2x是一階微分方程；y″+4y=2x是二階微分方程；y(4)+2y5-3y′′′=sinx是四階微分方程.一般地，n階微分方程的形式是其中x為自變量，y為未知函數(shù)，且y(n)一定要出現(xiàn).例1某曲線通過(guò)點(diǎn)1,3，且在該曲線上任意點(diǎn)M（x,y）處的切線斜率為2x，求該曲線方程.

解設(shè)所求曲線方程為y=f(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有y′=2x或

.

第一節(jié)微分方程的基本概念建立微分方程，重要的是要找出變量之間的函數(shù)關(guān)系，所以需要求解微分方程.在方程y′=2x或

中，對(duì)方程兩端同時(shí)求積分，可得y=x2+C，其中C為任意常數(shù).當(dāng)C為某一個(gè)確定的值時(shí)，就得到一個(gè)確定的函數(shù)，將這個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，稱此函數(shù)為該微分方程的解.方程y=x2+C是由積分所得到的曲線族，是此微分方程的全部解，如果微分方程的解中所含相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則此解稱為該微分方程的通解.通解中應(yīng)包含的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù).為確定通解中任意常數(shù)所給的附加條件，叫做初始條件.確定了通解中任意常數(shù)后的解，稱為微分方程的特解.例如x=1，y=3是初始條件，y=x2+c是y′=2x的通解，而y=x2+2是y′=2x的特解.第二節(jié)一階微分方程

一、可分離變量的一階微分方程

一階微分方程的一般形式為F(x,y,y′)=0，其中，x為自變量，y為未知函數(shù)，y′為y對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù).下面討論幾種特殊情況.形如的一階微分方程，稱為可分離變量的微分方程.將上式兩端同時(shí)積分，得通解第二節(jié)一階微分方程

解

(1)建立微分方程：依題意，當(dāng)S=I時(shí)，有

;

(2)求微分方程的通解：分離變量，,兩邊同時(shí)積分，

，解得通解，;

(3)求微分方程的特解：將初始條件t=0時(shí)，y=5代入通解，得C=5，于是國(guó)民收入函數(shù)為

，而儲(chǔ)蓄函數(shù)和投資函數(shù)為.第二節(jié)一階微分方程在實(shí)際問(wèn)題中，有些不是可分離變量的微分方程，但可經(jīng)過(guò)變換將其化為可分離變量的方程.形如

的一階微分方程，稱為齊次微分方程.例如，

二、齊次微分方程第二節(jié)一階微分方程齊次微分方程的解法是通過(guò)引進(jìn)變量，使之化為可分離變量的微分方程，然后求解.具體求解步驟：

1．令，則y=xu，兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得，

2．

3．分離變量為，

4．兩邊同時(shí)積分得，即，則齊次微分方程的通解為最后將回代整理.

二、齊次微分方程第二節(jié)一階微分方程例4求微分方程

的通解.注意：如果函數(shù)中每一項(xiàng)關(guān)于x和y的指數(shù)和均相等，則必為齊次微分方程.第二節(jié)一階微分方程

三、一階線性微分方程形如的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中Px、Q(x)都是連續(xù)函數(shù).當(dāng)Q(x)≡0時(shí)有，稱為所對(duì)應(yīng)的一階線性齊次微分方程.當(dāng)Q(x)≠0時(shí)，稱為一階線性非齊次微分方程.第二節(jié)一階微分方程1．一階線性齊次微分方程的通解

三、一階線性微分方程一階線性齊次微分方程y′+P(x)y=0是可分離變量方程，分離變量得兩邊積分后得通解公式為（C為任意常數(shù)）.解這是一階線性齊次微分方程，而

，代入通解公式得

（C為任意常數(shù)）.例5求微分方程

的通解.第二節(jié)一階微分方程1．一階線性非齊次微分方程的通解

三、一階線性微分方程一階線性非齊次微分方程的通解與對(duì)應(yīng)的一階線性齊次微分方程的通解密切相關(guān)，若y′+P(x)y=0的通解，則y′+P(x)y=Q(x)的通解公式為此公式是通過(guò)常數(shù)變易法推得的.不難看出上述通解公式可整理為，即一階線性非齊次微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解還可表示為對(duì)應(yīng)一階線性齊次微分方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和.第二節(jié)一階微分方程解例6求微分方程

的通解.第二節(jié)一階微分方程例7求微分方程

滿足

的特解.解第三節(jié)幾種二階微分方程

一、最簡(jiǎn)單的二階微分方程

二階微分方程的一般形式為

，這里僅介紹幾種最簡(jiǎn)單的、經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換可將二階降為一階的微分方程.形如y″=f(x)的微分方程，是最簡(jiǎn)單的一種二階微分方程.只要將y″=f(x)通過(guò)二次積分即可得到通解.

第一次積分得,

第二次積分得(C1，C2為任意常數(shù)).例1求微分方程

的通解.

解積分一次得再積分一次得通解（

C1，C2為任意常數(shù)）.

二、不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程形如的微分方程稱為不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程.令y′=p,則y″=p′，代入y″=f(x,y′)變形為p′=f(x,p)，設(shè)其通解為，而，因此得到一個(gè)一階微分方程，對(duì)其積分得的通解為第三節(jié)幾種二階微分方程例2求微分方程

的通解.

二、不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程第三節(jié)幾種二階微分方程

三、不顯含自變量x的二階微分方程形如的微分方程稱為不顯含自變量x的二階微分方程.令y′=p，而為對(duì)y的導(dǎo)數(shù)，這樣原方程就降為以p為未知函數(shù)y為自變量的一階微分方程：，設(shè)方程的通解為：，分離變量后積分，便得原方程的通解為第三節(jié)幾種二階微分方程例3求微分方程

的通解.

三、不顯含自變量x的二階微分方程第三節(jié)幾種二階微分方程第四節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)例1求微分方程

的通解.求微分方程命令：dsolve(’eq1,eq2,…’,’cond1，cond2,…’,’v’)

%’eq1,eq2,…’表示常微分方程（組），’cond1，cond2,…’表示初始條件.在常微分方程中大寫(xiě)字母D表示對(duì)自變量的微分，即D=d/dt，D2=d^2/dt^2，….輸入：dsolve(’x*Dy+y-exp(-x)=0’,’y(1)=2’,’x’)輸出：ans=(-exp(-x)+exp(-1)+2exp(1))/x

輸入：dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)輸出：ans=(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)例2求微分方程

在初始

條件

下的特解.目錄第三章矩陣與線性方程組

?第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

?第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

?第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

?第四節(jié)線性方程組

?第五節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣矩陣就是一張矩形數(shù)表，它可以多方位地反映研究對(duì)象的狀態(tài)及相互關(guān)聯(lián)的數(shù)量信息。

一、矩陣的概念某商場(chǎng)在一天內(nèi)售出的家用電器如下表3-1：第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念取其表中之?dāng)?shù)，按原順序排成數(shù)表該數(shù)表反映了商場(chǎng)一天內(nèi)的銷(xiāo)售情況。又如，在線性方程組第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念其中，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可以排成一個(gè)m行n列數(shù)表由于該表由方程組唯一地確定，故該表可代表此方程組。類(lèi)似的問(wèn)題還有火車(chē)時(shí)刻表、生產(chǎn)活動(dòng)中的各種報(bào)表等。由于表中的數(shù)據(jù)是人們所關(guān)心的，也是最為重要的，所以當(dāng)只考慮表中數(shù)據(jù)，保持其位置不變時(shí)就可以簡(jiǎn)化成下面的形式，數(shù)學(xué)上把這種具有一定排列規(guī)則的矩形陣表稱為矩陣。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念

定義1

將個(gè)數(shù)

排成m行n列的矩形數(shù)表，稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱

矩陣，記作

其中稱為矩陣中位于第i行第j列的元素，下標(biāo)i

是行標(biāo)，下標(biāo)j是列標(biāo)。一般常用大寫(xiě)英文字母表示矩陣?；蛴洖榈鹊?。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

對(duì)于行標(biāo)、列標(biāo)及元素的不同取值分別有如下常用矩陣：

只有一行（即m=1）的矩稱為行矩陣，如

只有一列（即n=1）的矩陣稱為列矩陣，如

如果矩陣的行的數(shù)目與列的數(shù)目相等，則稱此矩陣為方陣，有n行n列的矩陣稱為n

階方陣。一階方陣就是單獨(dú)一個(gè)數(shù)，例如

等等。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

設(shè)A為n階方陣，從A的左上角元素

沿到達(dá)的n個(gè)元素組成A的主對(duì)角線；若除主對(duì)角線上的元素不全為零外，其余的元素全都為零的方陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角矩陣的一般形式是

主對(duì)角線下（上）方元素全為零的方陣稱為上（下）三角矩陣；第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

方陣中當(dāng)主對(duì)角線上的元素皆為1，其余元素皆為零時(shí)稱為單位矩陣，記作。單位矩陣中主對(duì)角線上的元素均為常數(shù)k（k≠1）時(shí)得到的矩陣稱為數(shù)量矩陣；

要注意有各種階數(shù)不同的單位矩陣，不同階的單位矩陣是不同的矩陣。必要時(shí)，將n階單位方陣記作

當(dāng)矩陣中的所有元素均為零時(shí)稱矩陣為零矩陣，記作O。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

將矩陣A的行與列互換，得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作如果兩個(gè)同階矩陣的對(duì)應(yīng)元素均為互反數(shù)，則稱其中一個(gè)是另一個(gè)的負(fù)矩陣。A的負(fù)矩陣記作-A，則第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

對(duì)于方陣若滿足，則稱A為反對(duì)稱矩陣，如；反對(duì)稱矩陣為例如為行陣；為列陣；為三階單位陣；為數(shù)量矩陣；為對(duì)角矩陣；為上三角矩陣；第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣為。的負(fù)矩陣為第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

一、矩陣的運(yùn)算1、矩陣相等：若矩陣A、B的行數(shù)、列數(shù)相同，且對(duì)應(yīng)位置上的元素皆相等，則A矩陣等于B矩陣，記作A=B。對(duì)于方陣A若滿足，則A為對(duì)稱矩陣，如。2、矩陣與矩陣的加（減）法運(yùn)算：將兩個(gè)m行n列矩陣和對(duì)應(yīng)位置的元素相加（減）得到的m行n列矩陣為矩陣A與矩陣B的和（差），記作

。即簡(jiǎn)記為。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

一、矩陣的運(yùn)算

3、數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算：用數(shù)k乘A矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣為數(shù)乘矩陣，記作kA。即

簡(jiǎn)記為。

4、矩陣與矩陣的乘法：對(duì)于矩陣，和，當(dāng)是矩陣A的第行元素與B矩陣的第列元素對(duì)應(yīng)位置乘積之和，即時(shí)，矩陣C

為矩陣A

與矩陣B的乘積，記作。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

一、矩陣的運(yùn)算（2）兩個(gè)矩陣可以相乘時(shí)，將第一個(gè)矩陣A

的第行與第二個(gè)矩陣B的第列的元素對(duì)應(yīng)相乘所得的積相加之和，作為乘積的第元素。（3）兩個(gè)矩陣可以相乘時(shí)，乘積是個(gè)矩陣：乘積矩陣的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)。特別，兩個(gè)同階方陣之積仍為同階方陣。（4）兩個(gè)矩陣可以相乘時(shí)，乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA。所以做矩陣乘法運(yùn)算時(shí)，要分清A左乘B或A右乘B；（5）兩個(gè)非零矩陣相乘可以是零矩陣，即A≠0,B≠0,可得AB≠0；（6）矩陣乘法一般不滿足消去律，即不能由AC=BC消去C,推出A=B；（7）對(duì)于，有。特別地當(dāng)A為方陣時(shí)，我們將稱為方陣A的冪。對(duì)于乘法運(yùn)算定義，我們應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

（1）兩個(gè)矩陣可以相乘，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)與第二個(gè)矩陣B的行數(shù)相等。AB=C才有意義；特別，兩個(gè)同階的方陣可以相乘。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

1、矩陣加減法：（1）交換律（2）結(jié)合律（3）（4）2、矩陣數(shù)乘：（1）結(jié)合律（2）分配律，.3、矩陣與矩陣乘法：（1）結(jié)合律，（2）分配律、4、矩陣轉(zhuǎn)置：（1）（2）（3）（4）5、冪矩陣：（1）；（2）。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例1

已知矩陣，矩陣，求、。解第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例2

解因?yàn)榫仃嘊的列數(shù)為3，矩陣A的行數(shù)為2，所以BA無(wú)意義。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例3

解

此時(shí)AC=BC，但A≠B。

例4

解

即兩個(gè)非零矩陣相乘可以是零矩陣。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例5已知。解

例6設(shè),求解

所以第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

一、矩陣的初等變換

定義2

矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等變換。

(1)矩陣的兩行（列）互換位置，記作（）；(2)用一個(gè)非零的常數(shù)乘矩陣的某一行（列），記作（）；(3)將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)后加到另一行（列），記作（）。僅對(duì)矩陣的行施行初等變換，稱為矩陣的初等行變換；僅對(duì)矩陣的列施行初等變換，稱為矩陣的初等列變換，它們統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。利用初等變換可以改變矩陣的形狀，經(jīng)過(guò)初等變換后所得到的矩陣與原矩陣用“→”或“～”連接。例如

第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

二、用行初等變換化矩陣為階梯形