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第一章函數(shù)

函數(shù)的基本概念第一節(jié)函數(shù)的性質(zhì)

第二節(jié)反函數(shù)

第三節(jié)

初等函數(shù)第四節(jié)第一節(jié)函數(shù)的基本概念一、函數(shù)的定義定義

設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，那么將對(duì)應(yīng)法則f稱(chēng)為在D上x(chóng)到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x稱(chēng)為自變量,y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為函數(shù)的定義域.

當(dāng)x取x0∈D時(shí)，與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作f(x0).當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值集合M={y|y=f(x)，x∈D}稱(chēng)為函數(shù)的值域.

在函數(shù)的定義中，如果對(duì)于每一個(gè)x∈D，都有唯一的y與它對(duì)應(yīng)，那么這種函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù)，否則稱(chēng)為多值函數(shù).二、函數(shù)的表示法1.表格法

將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如三角函數(shù)表、常用對(duì)數(shù)表以及經(jīng)濟(jì)分析中的各種統(tǒng)計(jì)報(bào)表等.2.圖像法

用圖像表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如圖1-1所示.3.解析法

用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.下面我們介紹幾種常用的解析法表示的函數(shù).(1)分段函數(shù)三、函數(shù)的定義域

在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定．當(dāng)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而僅就抽象的解析式來(lái)研究函數(shù)時(shí)，這時(shí)定義域就取使解析式有意義的自變量的全體.要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)：

(1)分式的分母不能為零；(2)偶次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)；(3)對(duì)數(shù)式中的真數(shù)必須大于零；(4)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)考慮各自的定義域；(5)若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集；(6)分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)一、奇偶性定義

設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).如果對(duì)于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù).否則f(x)為非奇非偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如圖1-4所示;偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖1-5所示.二、單調(diào)性定義

若對(duì)于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)增區(qū)間；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)減區(qū)間.

單調(diào)增函數(shù)圖像沿x軸正向上升，如圖1-6所示；單調(diào)減函數(shù)圖像沿x軸正向下降，如圖1-7所示.三、有界性定義

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.如果存在數(shù)K1，使得f(x)≤K1對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界，而K1稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界，如果存在數(shù)K2，使得f(x)≥K2對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界，如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界；這就是說(shuō)，如果對(duì)于任何正數(shù)M,總存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.第三節(jié)反函數(shù)定義

在函數(shù)的定義中，按關(guān)系式y(tǒng)=f(x)，x∈A，y∈B(1-1)x是自變量，y是因變量(函數(shù)).在關(guān)系式y(tǒng)=f(x)中，反過(guò)來(lái)，將y看成自變量，x看成因變量(函數(shù))，即對(duì)每一個(gè)y∈B，按y=f(x)都有確定的x值與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)x是y的反函數(shù)，即(1-1)的反函數(shù)，在求反函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，可將(1-1)中的關(guān)系式y(tǒng)=f(x)看成一個(gè)方程式，從中將x解出，寫(xiě)作x=φ(y)，y∈B(1-2)這就是反函數(shù)的表達(dá)式.習(xí)慣上自變量的記號(hào)取作x，故將(12)中x，y記號(hào)對(duì)換(對(duì)應(yīng)關(guān)系不變)，得y=φ(x)，x∈B(1-3)它仍是(1-1)的反函數(shù).若將φ記為f-1，則(1-3)可寫(xiě)為y=f-1(x)，x∈B(1-4)因此，(1-2)(1-3)與(1-4)都是(1-1)的反函數(shù)，只是用作表示的記號(hào)不同而已.第四節(jié)初等函數(shù)第二章極限與連續(xù)

數(shù)列的極限第一節(jié)函數(shù)的極限

第二節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大

第三節(jié)

函數(shù)極限的運(yùn)算法則第四節(jié)

兩個(gè)重要極限第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第六節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第七節(jié)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義

以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來(lái)考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列{an}的變化趨勢(shì).我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1米高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的12處(見(jiàn)圖2-1).于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列第二節(jié)函數(shù)的極限

在上一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限及其運(yùn)算法則.由于數(shù)列{an}可以看作是n(n∈N*)的函數(shù)an=f(n)，因此，數(shù)列的極限也可以看作是函數(shù)極限的特殊情形.下面我們來(lái)討論一般函數(shù)y=f(x)的極限.一、當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義

如果當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作limn→∞f(x)=A或當(dāng)x→∞時(shí),f(x)→A.這里“x→∞”表示x既取正值而無(wú)限增大(記作x→+∞)，同時(shí)也取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大(記作x→-∞).但有的時(shí)候x的變化趨勢(shì)只能取這兩種變化中的一種情況.下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義.定義

如果當(dāng)x→+∞(或x→-∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱(chēng)為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞(或x→-∞)時(shí)的極限，記作limx→+∞f(x)=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→A.(limx→-∞f(x)=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→A)二、當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域（鄰域就是在數(shù)軸上滿(mǎn)足{x||x-x0|＜δ}，其δ＞0的點(diǎn)的集合.即區(qū)間(x0-δ，x0+δ)內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱(chēng)鄰域的中心，δ為半徑.如果這個(gè)區(qū)間不含x0點(diǎn)，則稱(chēng)x0的空心δ鄰域).內(nèi)有定義，如果當(dāng)x無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作：limx→x0f(x)=A，或當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)→A.第三節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大

在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)的絕對(duì)值趨于無(wú)窮：一是函數(shù)的絕對(duì)值“無(wú)限變小”，二是函數(shù)的絕對(duì)值“無(wú)限變大”.下面我們來(lái)研究這兩種情形.一、無(wú)窮小定義

如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮小.例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無(wú)窮小；當(dāng)x→∞時(shí)，1/x是無(wú)窮小.(1)無(wú)窮小和絕對(duì)值很小的數(shù)是截然不同的，例如10^-10，10^-100都是很小的數(shù)，但不是無(wú)窮小.只有零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)，因?yàn)閘imx→x0(x→∞)0=0.(2)無(wú)窮小和自變量的變化趨勢(shì)是密切相關(guān)的.例如函數(shù)f(x)=1/x，當(dāng)x→∞時(shí)，1x為無(wú)窮小；當(dāng)x→1時(shí)，1/x就不是無(wú)窮小.二、無(wú)窮大定義

如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮大.如果按函數(shù)極限的定義來(lái)看，f(x)的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱(chēng)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.

如果在無(wú)窮大的定義中，對(duì)于x0鄰域內(nèi)的x(或?qū)τ诮^對(duì)值相當(dāng)大的x)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是正的或都是負(fù)的，則這兩種情形分別記作limx→x0(x→∞)f(x)=+∞，limx→x0(x→∞)f(x)=-∞.例如limx→+∞epx=+∞，limx→0+lnx=-∞.(1)無(wú)窮大和絕對(duì)值很大的數(shù)是完全不同的，例如10^10，-10^100等都是絕對(duì)值很大的數(shù)，但不是無(wú)窮大.(2)無(wú)窮大和自變量的變化趨勢(shì)密切相關(guān).例如，函數(shù)f(x)=1x，當(dāng)x→0時(shí)，1x為無(wú)窮大；當(dāng)x→∞時(shí)，1/x為無(wú)窮小.三、無(wú)窮小與無(wú)窮大定理

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，那么1/f(x)為無(wú)窮??；反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)≠0，那么1/f(x)為無(wú)窮大.

例如，因?yàn)閘imx→∞x^3=∞，所以limx→∞1/x^3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01/sinx=∞.四、函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理

在自變量的同一變化過(guò)程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A的充分必要條件是：f(x)=A+α，其中A為常數(shù)，α為無(wú)窮小.

在“l(fā)im”符號(hào)下面不標(biāo)x→x0或x→∞，表示所述結(jié)果對(duì)兩者都適用，以后不再說(shuō)明.五、無(wú)窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮小.性質(zhì)2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.六、無(wú)窮小的比較

兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、乘積還是無(wú)窮小，那么兩個(gè)無(wú)窮小的商是否仍為無(wú)窮小呢？其實(shí)不然，例如，當(dāng)x→0時(shí)，2x，3x，x^2都是無(wú)窮小，而limx→03x/2x=3/2，limx→0x^2/3x=0，limx→03x/x^2=∞.

判斷兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限，主要依據(jù)分子、分母趨于零的“快慢”程度，我們用“無(wú)窮小的階”來(lái)描述定義

設(shè)α與β是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，即limα=0，limβ=0：(1)如果limα/β=0，那么稱(chēng)α是比β高階的無(wú)窮小；(2)如果limα/β=∞，那么稱(chēng)α是比β低階的無(wú)窮??；(3)如果limα/β=c≠0，那么稱(chēng)α與β是同階無(wú)窮小.特別是當(dāng)c=1，即當(dāng)limα/β=1時(shí)，則稱(chēng)α與β是等價(jià)無(wú)窮小，記作α～β.由定義可知，當(dāng)x→0時(shí)，x^2是比3x高階的無(wú)窮小，而3x是比x^2低階的無(wú)窮小，3x與2x是同階無(wú)窮小.第四節(jié)函數(shù)極限的運(yùn)算法則

與數(shù)列極限類(lèi)似，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)極限，我們也需要用到極限的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算.下面給出函數(shù)極限的運(yùn)算法則：第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

在許多實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)量的變化往往是連續(xù)的.例如，氣溫隨時(shí)間的變化而變化著，當(dāng)時(shí)間的變化極為微小時(shí)，氣溫的變化也極為微小，這就是說(shuō)，氣溫是連續(xù)變化的.下面我們來(lái)研究函數(shù)的連續(xù)性.一、函數(shù)的增量定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫做自變量的增量(或改變量)，記作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.這時(shí)可以說(shuō)，自變量由初值x0變化到x0+Δx.相應(yīng)地，函數(shù)值由f(x0)變化到f(x0+Δx)，我們把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函數(shù)的增量(或改變量)，記作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).第七節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、初等函數(shù)的連續(xù)性

根據(jù)初等函數(shù)的定義，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可得到下面的重要結(jié)論：

性質(zhì)3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

這個(gè)結(jié)論對(duì)于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的，如果已知函數(shù)f(x)是初等函數(shù)，且x0屬于f(x)的定義區(qū)間，那么求limx→x0f(x)時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f(x0)即可.第三章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)求導(dǎo)法則

第二節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

第三節(jié)

相關(guān)變化率第四節(jié)

函數(shù)的微分第五節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念的兩個(gè)引例

為了說(shuō)明微分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)，我們先討論以下兩個(gè)問(wèn)題：速度問(wèn)題和切線(xiàn)問(wèn)題.1.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

我們知道在物理學(xué)中，物體作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度可由公式v=s/t來(lái)計(jì)算，其中s為物體經(jīng)過(guò)的路程，t為時(shí)間.如果物體作非勻速運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么在某一段時(shí)間［t0，t1］內(nèi)，物體的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)與所經(jīng)歷的時(shí)間(即時(shí)間增量)t1-t0的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.我們把位移增量s(t1)-s(t0)記作Δs，時(shí)間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得2.切線(xiàn)問(wèn)題

設(shè)M是曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)，N是曲線(xiàn)上在點(diǎn)M附近的一點(diǎn)，作割線(xiàn)MN.當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線(xiàn)C向點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，割線(xiàn)MN就繞著M轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N無(wú)限趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線(xiàn)MN的極限位置為MT，直線(xiàn)MT叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)，如圖3-1所示.

已知曲線(xiàn)方程y=f(x)，可以求過(guò)曲線(xiàn)上點(diǎn)M(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率.在M點(diǎn)的附近取點(diǎn)N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可負(fù)，作割線(xiàn)MN，其斜率為(φ為傾斜角)tanφ=Δy/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx

以上兩個(gè)問(wèn)題，雖然它們所代表的具體內(nèi)容不同，但從數(shù)量上看，它們有共同的本質(zhì)：都是計(jì)算當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限.在自然科學(xué)、工程技術(shù)問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)管理中，還有許多非均勻變化的問(wèn)題，也都可歸結(jié)為這種形式的極限.因此，抽去這些問(wèn)題的不同的實(shí)際意義，只考慮它們的共同性質(zhì)，就可得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其近旁有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).第二節(jié)求導(dǎo)法則

上一節(jié)我們由定義出發(fā)，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)于一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng)然也可以按定義來(lái)求,但比較繁瑣.本節(jié)引入一些求導(dǎo)法則,采用這些求導(dǎo)法則,可以迅速準(zhǔn)確地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

前面討論函數(shù)求導(dǎo)方法所涉及的函數(shù)y已寫(xiě)成自變量x的明顯表達(dá)式y(tǒng)=f(x)的形式，這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù).但有時(shí)候還會(huì)遇到另一類(lèi)函數(shù)，是由一個(gè)含有x和y的方程F(x，y)=0來(lái)確定的函數(shù)y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù).

下面來(lái)討論隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.如果一個(gè)隱函數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以用以前學(xué)過(guò)的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導(dǎo)方法是：(1)將方程F(x，y)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復(fù)合函數(shù)；(2)求導(dǎo)后，解出y′即可(式子中允許有y出現(xiàn)).第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)相關(guān)變化率

在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)遇到參與變化的幾個(gè)變量都是時(shí)間t的函數(shù).這幾個(gè)變量之間存在某種關(guān)系,從而它們的變化率之間也存在一定的關(guān)系.這幾個(gè)互相依存的變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率.所謂相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這幾個(gè)變化率之間的關(guān)系,以便從其中已知的變化率求出未知的變化率,下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明.第五節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中,有時(shí)需要考慮這樣的問(wèn)題:當(dāng)自變量有一微小的增量時(shí),函數(shù)的增量是多少.例如，一個(gè)邊長(zhǎng)為x0的正方形金屬薄片,當(dāng)受冷熱影響時(shí),其邊長(zhǎng)由x0變到(x0+Δx),問(wèn)此時(shí)薄片的面積的改變量是多少?

設(shè)正方形薄片的邊長(zhǎng)為x0,面積為y,則上面問(wèn)題就是求函數(shù)y=x^2當(dāng)自變量由x0變到(x0+Δx)時(shí)函數(shù)y的改變量Δy,也就是面積的改變量.Δy=(x0+Δx)^2-x0^2=2x0·Δx+(Δx)^2.第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中值定理第一節(jié)洛必達(dá)法則

第二節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判別法

第三節(jié)

函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)

函數(shù)的最大值和最小值第五節(jié)曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)

第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪

第七節(jié)第一節(jié)中值定理

微分學(xué)中有三個(gè)中值定理應(yīng)用非常廣泛，它們分別是羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、羅爾定理

羅爾定理

即如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：f′(ξ)=0.

在證明這個(gè)定理之前,先考察一下定理的幾何意義.在圖4-1中,設(shè)曲線(xiàn)弧AB的方程為y=f(x)(a≤x≤b).羅爾定理的條件在幾何上表示:AB是一條連續(xù)的曲線(xiàn)弧,除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線(xiàn),且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.定理的結(jié)論表達(dá)了這樣一個(gè)幾何事實(shí):

在曲線(xiàn)弧AB至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的.從圖中看到,在曲線(xiàn)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處,切線(xiàn)是水平的,這就啟發(fā)了我們證明這個(gè)定理的思路.證明

由于f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理,f(x)在閉區(qū)間［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.這樣只有兩種可能情形:(1)M=m.這時(shí)f(x)在區(qū)間［a,b］上必然取相同的數(shù)值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)作為ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因?yàn)閒(a)=f(b),所以M和m這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不等于f(x)在區(qū)間［a,b］的端點(diǎn)處的函數(shù)值.為確定起見(jiàn),不妨設(shè)M≠f(a)(如果設(shè)m≠f(a),證法完全類(lèi)似),那么必定在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有一點(diǎn)ξ使f(ξ)=M.下面證明f(x)在點(diǎn)ξ處的導(dǎo)數(shù)等于零,即f′(ξ)=0.

因?yàn)棣问情_(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)假設(shè)可知f′(ξ)存在,即極限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx存在.而極限存在必定左、右極限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不論Δx是正的還是負(fù)的，只要ξ+Δx在［a，b］上，總有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

羅爾定理中f(a)=f(b)這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.如果把f(a)=f(b)這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)地改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(4-1)成立.

在證明之前，先看一下定理的幾何意義.如果把(4-1)式改寫(xiě)成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由圖4-2可看出，f(b)-f(a)b-a為弦AB的斜率，而f′(ξ)為曲線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線(xiàn)，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線(xiàn)在C點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于弦AB.

從羅爾定理的幾何意義中(見(jiàn)圖4-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x軸的，因此點(diǎn)C處的切線(xiàn)實(shí)際上也平行于弦AB.由此可見(jiàn)，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

從上述拉格朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系，自然想到利用羅爾定理來(lái)證明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)不一定具備f(a)=f(b)這個(gè)條件，為此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)φ(x)(稱(chēng)為輔助函數(shù))，使φ(x)滿(mǎn)足條件φ(a)=φ(b).然后對(duì)φ(x)應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)φ(x)所得的結(jié)論轉(zhuǎn)化到f(x)上，

證得所要的結(jié)果.我們從拉格朗日中值定理的幾何解釋中來(lái)尋找輔助函數(shù)，從圖4-2中看到，有向線(xiàn)段NM的值是x的函數(shù)，把它表示為φ(x)，它與f(x)有密切的聯(lián)系，且當(dāng)x=a及x=b時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，即有φ(a)=φ(b)=0.為求得函數(shù)φ(x)的表達(dá)式，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=L(x)，則L(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)，由于點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)依次為f(x)及L(x)，故表示有向線(xiàn)段NM的值的函數(shù)φ(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

顯然，φ(x)滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，故在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使φ′(ξ)=0.

即f′(ξ)-f(b)-f(a)/(b-a)=0即f′(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)證畢.由拉格朗日中值定理可以得到下面的推論：推論1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f′(x)=0，那么在區(qū)間I內(nèi)函數(shù)f(x)=C，其中C為常數(shù).推論2設(shè)f(x)、g(x)是在I內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)=g′(x)，則f(x)-g(x)=C，其中C為常數(shù).證明

在區(qū)間I內(nèi)任取兩個(gè)點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，應(yīng)用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f′(x)=0，則f′(ξ)=0，故等式右端為零，即f(x1)=f(x2)，這表明在區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)處的函數(shù)值都相等，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是一個(gè)常數(shù).

它在微分學(xué)中占有重要地位，有時(shí)也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.第二節(jié)洛必達(dá)法則

如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)都趨向于零，或都趨向于無(wú)窮大，那么此時(shí)極限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把這種形式的極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)稱(chēng)為0/0型或∞/∞型.

對(duì)于未定式，不能直接用極限運(yùn)算法則求得.下面介紹洛必達(dá)法則，它是求這類(lèi)極限的簡(jiǎn)便而有效的方法一、0/0型未定式第三節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判別法

如圖4-4所示，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線(xiàn)，這時(shí)，曲線(xiàn)上各點(diǎn)切線(xiàn)的傾斜角都是銳角，它們的切線(xiàn)斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同樣地，如圖4-5所示，如果函數(shù)y=f(x)在［a，b］上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線(xiàn)，這時(shí)曲線(xiàn)上各點(diǎn)切線(xiàn)的傾斜角都是鈍角，它們的斜率f′(x)都是負(fù)的，即f′(x)＜0.

由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系.下面，我們給出利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的定理.第四節(jié)函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義

在圖4-10中我們可以看出，函數(shù)y=f(x)在c1,c4的函數(shù)值f(c1),f(c4)比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大,而在點(diǎn)c2,c5的函數(shù)值f(c2),f(c5)比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對(duì)于這種性質(zhì)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義.定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，x0∈(a,b).如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱(chēng)為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱(chēng)為f(x)的極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的判定和求法

如圖4-10所示，在函數(shù)取得極值處，曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的，即在極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.但曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)的地方，函數(shù)卻不一定取得極值.例如，在點(diǎn)c3處，曲線(xiàn)具有水平切線(xiàn)，這時(shí)f′(c3)=0，但f(c3)并不是極值.下面我們討論函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件.定理1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′(x0)=0.使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f′(x)=0的實(shí)根)叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)(又叫穩(wěn)定點(diǎn)).

定理1說(shuō)明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點(diǎn)，但x=0不是它的極值點(diǎn).

既然函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn),那么,當(dāng)我們求出函數(shù)的駐點(diǎn)后,怎樣判別它們是否為極值點(diǎn)呢?如果是極值點(diǎn),又怎樣進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)呢?為了解決這些問(wèn)題,我們先借助圖形來(lái)分析一下函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值時(shí),點(diǎn)x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)變化的情況.

如圖4-11所示,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極大值,在點(diǎn)x0的左側(cè)單調(diào)增加,有f′(x)＞0;在點(diǎn)x0的右側(cè)單調(diào)減少,有f′(x)＜0.對(duì)于函數(shù)在點(diǎn)x0取得極小值的情形,讀者可結(jié)合圖4-12類(lèi)似地進(jìn)行討論.定理2(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其近旁可導(dǎo),且f′(x0)=0.(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí),恒有f′(x)＞0;當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí),恒有f′(x)＜0,那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值f(x0).(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí),恒有f′(x)＜0;當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí),恒有f′(x)＞0,那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值f(x0).(3)如果在x0的兩側(cè),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同,那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處沒(méi)有極值.當(dāng)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí),也可以利用下列定理來(lái)判定f(x)在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值.定理3(第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)f″(x0)＜0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)f″(x0)＞0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.根據(jù)上面三個(gè)定理,如果函數(shù)f(x)在所討論的區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處都具有導(dǎo)數(shù),我們就以下列步驟來(lái)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值:(1)求出函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)求出f(x)的全部駐點(diǎn)(即求出方程f′(x)=0在所討論的區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)根)；(4)用駐點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)部分區(qū)間,考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號(hào),以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).如果是極值點(diǎn),還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值；(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,就得到了函數(shù)f(x)的全部極值.第五節(jié)函數(shù)的最大值和最小值一、函數(shù)的最大值和最小值的求法

我們知道,閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值存在.顯然,這個(gè)最大值和最小值只能在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因此,求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值時(shí),只要把可能取得極值的點(diǎn)(駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn))與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小,最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值,最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值.

如果函數(shù)f(x)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且有唯一的極值點(diǎn)x0,那么當(dāng)f(x0)是極大值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值(見(jiàn)圖415(a));當(dāng)f(x0)是極小值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值(見(jiàn)圖4-15(b)).有時(shí),函數(shù)f(x)也可能在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得最大值或最小值.第六節(jié)曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)

我們研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對(duì)描繪函數(shù)的圖形有很大的作用，但僅僅知道這些，還不能較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形.例如,函數(shù)y=x^2和y=x,它們?cè)赱0,1]上,雖然都是單調(diào)增的,但是,它們的圖形卻有完全不同的彎曲狀態(tài):OBA是向上凹的曲線(xiàn)弧,OCA是向上凸的曲線(xiàn)弧(見(jiàn)圖4-19),它們的凹凸性不同.下面我們就來(lái)研究曲線(xiàn)的凹凸性及拐點(diǎn).一、曲線(xiàn)的凹凸性及其判別法定義

若在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi),曲線(xiàn)y=f(x)的各點(diǎn)處切線(xiàn)都位于曲線(xiàn)的下方,則稱(chēng)此曲線(xiàn)在(a,b)內(nèi)是凹的;若曲線(xiàn)y=f(x)的各點(diǎn)處切線(xiàn)都位于曲線(xiàn)的上方,則稱(chēng)此曲線(xiàn)在(a,b)內(nèi)是凸的.

如圖4-20所示，曲線(xiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,c)內(nèi)是凸的,在區(qū)間(c,b)內(nèi)是凹的.再觀(guān)察曲線(xiàn)段上各點(diǎn)處的斜率的變化我們會(huì)發(fā)現(xiàn),曲線(xiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,c)內(nèi)從左至右切線(xiàn)的斜率是遞減的;在區(qū)間(c,b)內(nèi)從左至右切線(xiàn)的斜率是遞增的.聯(lián)系函數(shù)增減性的判別方法,我們便有如下的曲線(xiàn)凹凸性的判別定理.

定理

設(shè)函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),則1°如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f″(x)＞0,則曲線(xiàn)y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的;2°如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f″(x)＜0,則曲線(xiàn)y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的;二、曲線(xiàn)的拐點(diǎn)定義

若連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)上的一點(diǎn)是凹的曲線(xiàn)弧與凸的曲線(xiàn)弧的分界點(diǎn),則稱(chēng)該點(diǎn)是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn).例如,在例2中的點(diǎn)(0,0)就是曲線(xiàn)y=x3的拐點(diǎn).

因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線(xiàn)凹向的分界點(diǎn),所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)近旁f″(x)的符號(hào)必然異號(hào).因此曲線(xiàn)y=f(x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0只可能是使f″(x)=0或f″(x)不存在的點(diǎn).下面我們介紹判定曲線(xiàn)的拐點(diǎn)的步驟.1°確定函數(shù)y=f(x)的定義域;2°求出二階導(dǎo)數(shù)f″(x),令f″(x)=0,求出定義域內(nèi)的所有實(shí)根,指出f″(x)不存在的點(diǎn),用這些點(diǎn)來(lái)劃分定義域;3°列表討論f(x)在各個(gè)區(qū)間f″(x)的符號(hào)和f(x)的凹凸性;4°確定y=f(x)的拐點(diǎn).第七節(jié)函數(shù)圖形的描繪

由函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、曲線(xiàn)的凹凸性可以描繪出函數(shù)的圖形的基本性態(tài).為了進(jìn)一步了解函數(shù)圖形的性態(tài)，更準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形，下面我們介紹曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).一、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)定義1如果曲線(xiàn)y=f(x)的定義域是無(wú)限區(qū)間，且有l(wèi)imx→-∞f(x)=b或limx→+∞f(x)=b，則直線(xiàn)y=b為曲線(xiàn)y=f(x)的水平漸近線(xiàn);如果曲線(xiàn)y=f(x)有l(wèi)imx→x0+f(x)=∞，或limx→x0-f(x)=∞，則直線(xiàn)x=x0是曲線(xiàn)y=f(x)的垂直漸近線(xiàn).例如函數(shù)y=1/x，因?yàn)閘imx→∞1/x=0，所以直線(xiàn)y=0為曲線(xiàn)y=1/x的水平漸近線(xiàn);又因?yàn)閘imx→01/x=∞，所以直線(xiàn)x=0為曲線(xiàn)y=1/x的垂直漸近線(xiàn).二、描繪函數(shù)圖形的一般步驟

根據(jù)前面所討論的函數(shù)的各種性態(tài)，我們可以總結(jié)出描繪函數(shù)圖形的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性、周期性、奇偶性等;(2)求f′(x)，f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(3)列表討論f′(x)，f″(x)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn);(4)計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn);(5)討論曲線(xiàn)的漸近線(xiàn);(6)描出函數(shù)圖像.第五章不定積分

不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)換元積分法

第二節(jié)分部積分法

第三節(jié)

有理函數(shù)的不定積分第四節(jié)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分

微分學(xué)研究如何從已知函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù),其逆問(wèn)題是求一個(gè)未知函數(shù),使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一個(gè)已知函數(shù).例如,我們已知t時(shí)刻的速度v(t)是位移s(t)的導(dǎo)數(shù),v(t)=dsdt;加速度a(t)是速度v(t)的導(dǎo)數(shù),a(t)=dvdt.現(xiàn)在反過(guò)來(lái),已知速度v(t),如何求位移s(t)?已知加速度a(t),如何求速度v(t)?又例如,我們已知曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的切線(xiàn)斜率k是f(x)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x處的導(dǎo)數(shù),k=f′(x).反過(guò)來(lái),如果已知某曲線(xiàn)在任意點(diǎn)M(x,y)處的切線(xiàn)斜率k(x),如何求出該曲線(xiàn)方程?

我們稱(chēng)這類(lèi)由給定f′(x)求f(x)的運(yùn)算為積分法.

正如加法的逆運(yùn)算是減法,乘法的逆運(yùn)算是除法一樣,積分法可以看作是微分法的逆運(yùn)算.定義1設(shè)函數(shù)F(x)和f(x)在區(qū)間I上有定義,若對(duì)于I上每一點(diǎn)x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱(chēng)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù).

例如,由(x3)′=3x^2可知,x^3是3x^2在區(qū)間(-∞,+∞)上的原函數(shù);由(sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函數(shù);lnx是1/x在(0,+∞)上的原函數(shù);運(yùn)動(dòng)方程s=1/2at^2(a＞0,a為常數(shù))是速度v=at在某區(qū)間上的原函數(shù),等等.

研究原函數(shù),首先需要解決在什么條件下,函數(shù)的原函數(shù)存在?如果存在,原函數(shù)是否唯一?事實(shí)上,并不是每個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù),我們將在下一章中證明下述定理.定理

若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么f(x)在I上的原函數(shù)F(x)存在.

由于初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù),因此,每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).

設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù),即F′(x)=f(x),那么,對(duì)任意常數(shù)C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函數(shù).

如果F(x),G(x)都是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù),即有F′(x)=G′(x)=f(x),根據(jù)微分學(xué)拉格朗日中值定理的推論,存在某常數(shù)C,使G(x)=F(x)+C.

上述表明,如果某函數(shù)存在原函數(shù),那么原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),并且,它們彼此之間只相差一個(gè)常數(shù).因此,若把兩個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)作為“等價(jià)”看待，則可認(rèn)為原函數(shù)“基本上”只有一個(gè).要把某函數(shù)的原函數(shù)求出來(lái)，只需求出其中任意一個(gè)，由它加上各個(gè)不同的常數(shù)便可得到全部原函數(shù).根據(jù)全體原函數(shù)的這種結(jié)構(gòu)，引入不定積分的概念.定義2函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱(chēng)為f(x)在I上的不定積分，記作∫f(x)dx，其中，記號(hào)∫稱(chēng)為積分號(hào)，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量.

由定義2可知不定積分與原函數(shù)是整體和個(gè)體的關(guān)系，f(x)的不定積分∫f(x)dx是f(x)的原函數(shù)的全體，是一族函數(shù).若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)在I上的不定積分為∫f(x)dx=F(x)+C，其中，C為任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)為積分常數(shù).第二節(jié)換元積分法

利用基本積分表中的公式和不定積分的性質(zhì)只能求出一些比較簡(jiǎn)單的不定積分.本節(jié)講述一種基本的積分方法——換元積分法.換元積分法的關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將原來(lái)的不定積分化為對(duì)新變量的不定積分，使后者的積分容易求出.

換元積分法由運(yùn)用時(shí)的方法不同而分為第一類(lèi)換元法和第二類(lèi)換元法.一、第一類(lèi)換元法第三節(jié)分部積分法

通過(guò)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，利用基本積分法和換元積分法可以解決大量的不定積分計(jì)算問(wèn)題，但是仍然有一些不定積分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定積分無(wú)法用上述方法求出，那么它們又是如何計(jì)算的呢？本節(jié)將要介紹另一種基本積分方法——分部積分法.定理

設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由兩個(gè)函數(shù)乘法的微分法則可得：d(uv)=udv+vdu或udv=d(uv)-vdu兩邊同時(shí)積分得∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu這個(gè)公式被稱(chēng)為分部積分公式.u，v的選擇原則如下：1°由φ(x)dx=dv，求v比較容易；2°∫vdu比∫udv更容易計(jì)算.

分部積分法在選取u,v過(guò)程中，要始終選取同一類(lèi)函數(shù)作為u，v.第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分

若Pn(x)和Qm(x)分別是n,m次多項(xiàng)式,則稱(chēng)R(x)=Pn(x)Qm(x)是有理分式.當(dāng)n＜m時(shí),R(x)是真分式;當(dāng)n≥m時(shí),R(x)是假分式.利用多項(xiàng)式的除法,總可以把假分式化成多項(xiàng)式與真分式的和.例如(x^5+1)/(x^3+x+1)=x^2-1-(x^2-x-2)/(x^3+x+1).多項(xiàng)式不難積分,因此,有理函數(shù)的不定積分只需討論真分式的不定積分.據(jù)代數(shù)學(xué)基本定理,任一多項(xiàng)式都能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解為一次因式或二次質(zhì)因式的乘積,任一真分式都能分解成以一次因式或二次質(zhì)因式為分母的部分分式之和.第六章定積分

定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)微積分學(xué)基本定理

第二節(jié)定積分的換元法

第三節(jié)

廣義積分第四節(jié)第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、引入定積分概念的兩個(gè)實(shí)例1.曲邊梯形的面積

在生產(chǎn)實(shí)際中,常常需要計(jì)算平面圖形的面積.

任意曲線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積計(jì)算,依賴(lài)于曲邊梯形的面積計(jì)算.所以,我們先討論曲邊梯形的面積.在直角坐標(biāo)系中,由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),直線(xiàn)x=a,x=b及x軸所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形.如圖6-1所示,M1MNN1就是一個(gè)曲邊梯形.在x軸上的線(xiàn)段M1N1稱(chēng)為曲邊梯形的底邊,曲線(xiàn)弧MN稱(chēng)為曲邊梯形的曲邊.

設(shè)y=f(x)在［a,b］上連續(xù),且f(x)≥0,求以曲線(xiàn)y=f(x)為曲邊,底邊為［a,b］的曲邊梯形的面積A(見(jiàn)圖6-2).

為了計(jì)算曲邊梯形的面積A,我們用一組垂直于x軸的直線(xiàn)段把整個(gè)曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形.因?yàn)槊恳粋€(gè)小曲邊梯形的底邊是很窄的,而f(x)又是連續(xù)變化的,所以,可用這個(gè)小曲邊梯形的底邊作為寬,以它底邊上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)作為長(zhǎng)的小矩形面積來(lái)近似代替這個(gè)小曲邊梯形的面積.再把所有這些小矩形面積加起來(lái),就可以得到曲邊梯形的面積A的近似值.由圖6-2可知,分割越細(xì)密,所有小矩形面積之和就越接近曲邊梯形的面積A,當(dāng)分割無(wú)限細(xì)密時(shí),所有小曲邊梯形的面積之和的極限就是曲邊梯形面積A的精確值.第二節(jié)微積分學(xué)基本定理第三節(jié)定積分的換元法第四節(jié)廣義積分第七章定積分的應(yīng)用

定積分的微元法第一節(jié)定積分的幾何應(yīng)用

第二節(jié)定積分的物理應(yīng)用

第三節(jié)

定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第四節(jié)第一節(jié)定積分的微元法

前面我們從分析解決曲邊梯形的面積和變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程兩個(gè)例子中引入了定積分的概念.如果用定積分來(lái)表示的量U滿(mǎn)足以下條件：(1)U依賴(lài)于區(qū)間[a,b],當(dāng)將[a,b]分成若干子區(qū)間后，量U成為對(duì)應(yīng)于各子區(qū)間上部分量ΔU的和;(2)U依賴(lài)于區(qū)間[a,b]上的某函數(shù);(3)在[a,b]的微小子區(qū)間[x,x+dx]上對(duì)應(yīng)的部分量ΔU≈f(x)dx.若記量U的微元為dU，

即有ΔU≈dU，ΔU與dU的差是比dx高階的無(wú)窮小.

那么以dU=f(x)dx為積分表達(dá)式，從x=a到x=b的定積分∫baf(x)dx就是所求量U.

綜上可知，用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟如下：(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選取一個(gè)變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a,b];(2)把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)間并記[x,x+dx]，求出該小區(qū)間上ΔU的近似值dU,若dU=f(x)dx，就把f(x)dx稱(chēng)為量U的元素;(3)以元素f(x)dx為積分表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]上作定積分，得U=∫baf(x)dx.這種方法稱(chēng)為定積分的微元法.第二節(jié)定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積

下面我們以求曲邊梯形的面積(見(jiàn)圖71)為例，介紹如何用定積分來(lái)求平面圖形的面積.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，求由x軸，曲線(xiàn)y=f(x)，直線(xiàn)x=a，x=b(a＜b)所圍成的圖形的面積A.用微元法分析：

第一步：選積分變量x∈[a,b]和典型區(qū)間[x,x+dx][a,b];

第二步：在[x,x+dx]上用矩形面積代替小曲邊梯形面積ΔA,f(x)為小矩形的高,則得到面積微元為dA=f(x)dx(7-1)所求圖形的面積為A=∫baf(x)dx(7-2)第三節(jié)定積分的物理應(yīng)用第四節(jié)定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第八章常微分方程

微分方程的基本概念第一節(jié)一階微分方程

第二節(jié)可降階的高階微分方程第三節(jié)

二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程第四節(jié)第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)一階微分方程第三節(jié)可降階的高階微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程第九章向量代數(shù)與空間解析幾何

空間直角坐標(biāo)系第一節(jié)向量的概念及基本運(yùn)算

第二節(jié)空間平面及其方程

第三節(jié)

空間直線(xiàn)及其方程第四節(jié)

曲面及其方程第五節(jié)空間曲線(xiàn)及其方程

第六節(jié)第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系

通常過(guò)空間一點(diǎn)O作三條互相垂直的數(shù)軸,它們以O(shè)為原點(diǎn),并取相同的長(zhǎng)度單位.這三條數(shù)軸分別稱(chēng)為x軸(橫軸)、y軸（縱軸）和z軸（豎軸），統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)軸.它們的正方向符合右手規(guī)則：以右手握住z軸，讓右手的四指從x軸的正方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2角度到y(tǒng)軸正方向時(shí)，則大拇指所指的方向即為z軸的正方向.一般將x軸和y軸放在水平面上，z軸垂直于水平面，如圖9-1所示.

這樣的三條坐標(biāo)軸就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，記Oxyz坐標(biāo)系.點(diǎn)O稱(chēng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.每?jī)蓷l坐標(biāo)軸確定一個(gè)平面，稱(chēng)為坐標(biāo)面.由x軸和y軸所確定的平面稱(chēng)為xOy坐標(biāo)面

類(lèi)似有yOz坐標(biāo)面和zOx坐標(biāo)面.三個(gè)坐標(biāo)面將空間分成八個(gè)部分，每一部分稱(chēng)為一個(gè)卦限，其中第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限位于xOy面上方，含有x軸、y軸、z軸正方向的部分為第Ⅰ卦限，從第Ⅰ卦限開(kāi)始逆時(shí)針依次為第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；第Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限位于xOy面下方，分別與第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限對(duì)應(yīng)，如圖9-2所示.

在空間任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于坐標(biāo)軸的三個(gè)平面，分別交x軸、y軸、z軸于點(diǎn)P，Q，R，設(shè)點(diǎn)P，Q，R在坐標(biāo)軸的坐標(biāo)分別為x,y,z.于是點(diǎn)M就唯一確定了一組有序三元數(shù)組（x,y,z）.反之，給定一有序三元數(shù)組（x,y,z）,在x軸、y軸和z軸上分別確定以x,y,z為坐標(biāo)的三個(gè)點(diǎn)P，Q，R.過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分點(diǎn)作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)M，便是由有序的三元數(shù)組（x,y,z）在空間確定的唯一的點(diǎn)，

如圖9-3所示.這樣就建立了有序三元數(shù)組（x,y,z）與空間點(diǎn)M的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們稱(chēng)有序三元數(shù)組（x,y,z）為點(diǎn)M的坐標(biāo)，記作M（x,y,z）.并稱(chēng)x,y,z分別為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).

特別地，坐標(biāo)原點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0，0），x軸、y軸、z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐標(biāo)面、yOz坐標(biāo)面、zOx坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x,y,0）,(0,y,z),(x,0,z).設(shè)點(diǎn)M(x,y,z),則點(diǎn)M關(guān)于xOy面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,-z）,關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y,-z）,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,-y,-z）.

類(lèi)似地，可得到點(diǎn)M關(guān)于其他坐標(biāo)面及坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).第二節(jié)向量的概念及基本運(yùn)算一、向量的概念

我們常常遇到一些既有大小又有方向的量，例如力、速度、加速度等.我們稱(chēng)既有大小又有方向的量為向量.

向量有兩個(gè)要素:大小和方向.它可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線(xiàn)段的指向表示向量的方向.例如，起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的有向線(xiàn)段所表示的向量可記為AB(見(jiàn)圖9-5).為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，向量常用黑體英文字母或字母上加箭頭表示，如向量AB可記為a或a.

在數(shù)學(xué)上我們通常研究的向量只考慮其大小和方向兩個(gè)要素，而不考慮其起點(diǎn)的位置，并稱(chēng)這種向量為自由向量，如果兩個(gè)向量a與b的大小相等且方向相同，則稱(chēng)這兩個(gè)向量相等，記作a=b.向量的大小稱(chēng)為向量的模，記作|a|或|AB|或|a|.模為1的向量稱(chēng)為單位向量.模為零的向量稱(chēng)為零向量，記作0，零向量的方向不確定，可以說(shuō)零向量的方向是任意的.

兩個(gè)向量a和b經(jīng)平行移動(dòng)到同一個(gè)起點(diǎn)，它們之間的夾角θ(0≤θ≤π)稱(chēng)為向量a和b的夾角，特別當(dāng)θ=0或π時(shí)，稱(chēng)向量a與b平行（或共線(xiàn)），記作a∥b;當(dāng)θ=π/2時(shí)，稱(chēng)a與b垂直，記作a⊥b.二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算

由力學(xué)上合力的平行四邊形法則，我們來(lái)定義向量的加法運(yùn)算.定義1以定點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量a和b，以它們?yōu)猷忂呑髌叫兴倪呅危瑒t以O(shè)為起點(diǎn)作平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)向量c稱(chēng)為a與b的和，記作a+b(見(jiàn)圖9-6).

向量相加也可以用三角形法則：以b的起點(diǎn)連接a的終點(diǎn)，則由a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c就是a與b的和（見(jiàn)圖9-7）.如果空間有多個(gè)向量相加，只要將它們依次由前一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)作下一個(gè)向量，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為所求的和向量（見(jiàn)圖9-8）.下面定義數(shù)量與向量的乘法運(yùn)算.定義2實(shí)數(shù)m與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作ma，其模為|m||a|，其方向?yàn)椋寒?dāng)m＞0時(shí)，ma與a同向；當(dāng)m＜0時(shí)，ma與a反向；當(dāng)m=0時(shí)，ma=0，方向任意.這種運(yùn)算也簡(jiǎn)稱(chēng)為向量的數(shù)乘.

若a為非零向量，與a同向的單位向量記作a0，則有a0=1/|a|a或a=|a|a0.

特別地，當(dāng)m=-1時(shí)，（-1）a是與a模相等且方向相反的向量，稱(chēng)為a的負(fù)向量，記作-a,即有-a=(-1)a.

引入了負(fù)向量，我們可以定義兩向量的減法運(yùn)算，即a與b的差為a-b=a+(-b).由向量相加的三角形法則，可以求差向量：以定點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量a和b，則以b的終點(diǎn)到a的終點(diǎn)的向量即為a與b的差向量（見(jiàn)圖9-9）

向量的加減法和數(shù)乘統(tǒng)稱(chēng)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，容易驗(yàn)證滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)則：1°交換律a+b=b+a;2°結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c);3°a+0=a,a+(-a)=0;4°結(jié)合律m(na)=(mn)a=n(ma);5°分配律（m+n）a=ma+na,m(a+b)=ma+mb.三、向量的坐標(biāo)表示式

為了使向量運(yùn)算代數(shù)化，我們?cè)诳臻g直角坐標(biāo)系下，引入向量的坐標(biāo)，使得向量的線(xiàn)性運(yùn)算通過(guò)向量坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn).

設(shè)在空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)向量a，將a平行移動(dòng)使其起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為M（a1,a2,a3）(見(jiàn)圖910),過(guò)M點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，交三坐標(biāo)軸于點(diǎn)P，Q，R，根據(jù)向量的加法法則，有a=OM=OP+OQ+OR,設(shè)i,j,k分別為x軸、y軸、z軸正向的單位向量，則有OP=a1i,OQ=a2j,OR=a3k,從而向量a可表示為a=a1i+a2j+a3k或記為a={a1,a2,a3}.

上式稱(chēng)為向量a的坐標(biāo)表示式（或坐標(biāo)分解式），其中a1,a2,a3稱(chēng)為向量a的坐標(biāo).事實(shí)上，向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有著密切的聯(lián)系.OM是點(diǎn)M的向徑，顯然，OM的坐標(biāo)與點(diǎn)M的坐標(biāo)是相同的，即空間一點(diǎn)的坐標(biāo)與該點(diǎn)向徑的坐標(biāo)相同.或者說(shuō)，當(dāng)一個(gè)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).

類(lèi)似地，可以得到，起點(diǎn)為M1（x1,y1,z1），終點(diǎn)為M2（x2,y2,z2）的向量M1M2的坐標(biāo)表達(dá)式為M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}.

由兩點(diǎn)間的距離公式，向量a的模為|a|=|OM|=a21+a22+a23.

又設(shè)向量a與x軸、y軸、z軸正向的夾角為α,β,γ(0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π)(見(jiàn)圖9-11),稱(chēng)為a的方向角，并稱(chēng)cosα,cosβ,cosγ為a的方向余弦，由此可由方向余弦（或方向角）來(lái)表示a的方向，且有第三節(jié)空間平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程

在幾何學(xué)中，通過(guò)一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，且與一非零向量n={A,B,C}垂直的平面是唯一確定的(見(jiàn)圖9-15).若設(shè)平面上一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)，我們來(lái)建立動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的軌跡方程，此即平面方程.

作向量M0M={x-x0，y-y0，z-z0}，因?yàn)閚⊥M0M，由兩向量垂直的條件，有n·M0M=0，即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.由點(diǎn)M的任意性可知，平面上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足上述方程，而不在此平面上的點(diǎn)其坐標(biāo)不滿(mǎn)足該方程，因此，上述方程就是所求的平面方程，稱(chēng)它為平面的點(diǎn)法式方程，其中的非零向量n稱(chēng)為平面的法向量.一個(gè)平面的法向量并不是唯一的，任何一個(gè)與該平面垂直的非零向量都可以作為該平面的法向量.第四節(jié)空間直線(xiàn)及其方程第五節(jié)曲面及其方程

前面我們介紹了最簡(jiǎn)單的曲面——平面,以及最簡(jiǎn)單的空間曲線(xiàn)——直線(xiàn),并建立了它們的方程.本節(jié)我們將討論一般的曲面和空間曲線(xiàn)的方程,并介紹幾種類(lèi)型的曲面.一、曲面方程的概念

建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)M與有序數(shù)組（x,y,z）構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么對(duì)于空間曲面、空間曲線(xiàn)等空間幾何圖形，就可以看成滿(mǎn)足某種規(guī)則的點(diǎn)的軌跡，因而其幾何圖形就可以用點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y,z）所滿(mǎn)足的方程式來(lái)表示，例如，空間的平面可以用一個(gè)三元一次方程Ax+By+Cz+D=0來(lái)表示，此即為平面方程.

一般地，若空間曲面Σ上任意點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y,z）都滿(mǎn)足方程F（x,y,z）=0而不在曲面Σ上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足該方程，則稱(chēng)該方程為曲面Σ的方程，并稱(chēng)曲面Σ為該方程的圖形（見(jiàn)圖9-24）.

一般空間曲面也是滿(mǎn)足某約束條件的點(diǎn)的軌跡Σ.在建立了坐標(biāo)系后，以M（x,y,z）表示動(dòng)點(diǎn)，以F（x,y,z）=0表示構(gòu)成Σ的約束條件，則稱(chēng)x,y,z的三元方程F(x、y、z)=0為曲面Σ的方程.在坐標(biāo)系中描出滿(mǎn)足三元方程的點(diǎn)，得到的就是曲面Σ的圖像.例如，描出滿(mǎn)足(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2的點(diǎn)，得到的是圖9-25中所示的球面.空間解析幾何對(duì)曲面的研究主要有以下兩個(gè)方面：①據(jù)已給定的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即建立曲面的方程；②已知曲面的方程，研究曲面的形狀和幾何性質(zhì).二、球面的一般方程

球面是空間中到定點(diǎn)M0（球心）的距離為常數(shù)R（半徑）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Σ.若已經(jīng)建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,M0坐標(biāo)為（x0,y0,z0）,動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y,z），則據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，有M(x,y,x)∈Σ(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2

或Σ={(x,y,z)|(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2}

上式稱(chēng)為球面∑在給定坐標(biāo)系中的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)球面方程.特別地，當(dāng)定點(diǎn)M0是原點(diǎn)時(shí)，球面方程是x^2+y^2+z^2=R^2第六節(jié)空間曲線(xiàn)及其方程第十章多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的基本概念第一節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

第二節(jié)全微分及其應(yīng)用

第三節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第四節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)多元函數(shù)的極值

第六節(jié)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域

討論一元函數(shù)時(shí)，經(jīng)常用到鄰域和區(qū)間的概念.由于討論多元函數(shù)的需要，我們把鄰域和