2023屆江蘇省南通市如東縣馬塘中學數(shù)學高一上期末檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列關系中，正確的是（）A. B.C D.2．已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在四面體中，已知棱的長為，其余各棱長都為1，則二面角的平面角的余弦值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當時，，則A. B.C. D.6．如圖，PO是三棱錐P-ABC底面ABC的垂線，垂足為O①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則點O是△ABC的外心；③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，則點O是△ABC的內心；④過點P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則點O是△ABC的重心以上推斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．若，，，則（）A. B.C. D.8．設命題，則為A. B.C. D.9．下列說法中，正確的是（）A.若，則B.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)C.設點是角終邊上的一點，則D.冪函數(shù)的圖象過點，則10．全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}，則M等于（）A.{1，3} B.{5，6}C.{1，5} D.{4，5}11．已知函數(shù)，則使成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.12．下列各角中與角終邊相同的角是()A.－300° B.－60°C.600° D.1380°二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知，，則函數(shù)的值域為______14．已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為2，高為，則球的表面積為________15．化簡：=____________16．若不等式對一切恒成立，則a的取值范圍是______________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．我們知道，指數(shù)函數(shù)（，且）與對數(shù)函數(shù)（，且）互為反函數(shù).已知函數(shù)，其反函數(shù)為.（1）求函數(shù)，的最小值；（2）對于函數(shù)，若定義域內存在實數(shù)，滿足，則稱為“L函數(shù)”.已知函數(shù)為其定義域上的“L函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.18．已知點A、B、C的坐標分別為、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.19．已知且.（1）求的解析式；（2）解關于x不等式：.20．已知全集為實數(shù)集，集合，.（1）求及；（2）設集合，若，求實數(shù)的取值范圍.21．已知的一條內角平分線的方程為，其中，（1）求頂點的坐標；（2）求的面積22．（1）已知，且，求的值（2）已知，是關于x的方程的兩個實根，且，求的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷D；【詳解】解：對于A：因為，，，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調遞減，因為，所以，又，，因為在上單調遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為在上單調遞減，因為，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因為在上單調遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B2、C【解析】先將不等式轉化為對應函數(shù)最值問題：,再根據(jù)函數(shù)單調性求最值，最后解不等式得結果.【詳解】因為對任意，總存在，使得，所以,因為當且僅當時取等號,所以，因為,所以.故選：C.【點睛】對于不等式任意或存在性問題，一般轉化為對應函數(shù)最值大小關系，即；，3、C【解析】由已知可得AD⊥DC又由其余各棱長都為1得正三角形BCD，取CD得中點E，連BE，則BE⊥CD在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點F，則∠BEF為二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位線），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F(xiàn)是斜邊中點）∴cos∠BEF=故選C．4、C【解析】根據(jù)零點存在定理得出，代入可得選項.【詳解】由題可知：函數(shù)單調遞增，若一個零點在區(qū)間內，則需：，即，解得，故選：C.【點睛】本題考查零點存在定理，屬于基礎題.5、A【解析】依題意有.6、C【解析】①由題意得出AO⊥BC，BO⊥BC，點O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則AO=BO=CO，點O是△ABC的外心；③由題意得出AO是∠BAC的平分線，BO是∠ABC的平分線，O是△ABC的內心；④若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點O是△ABC的內心【詳解】對于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，∴點O是△ABC的垂心，①正確；對于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴AO=BO=CO，點O是△ABC的外心，②正確；對于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，則AO是∠BAC的平分線，同理∠PBA=∠PBC時BO是∠ABC平分線，∴點O是△ABC的內心，③正確；對于④，過點P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點O是△ABC的內心，④錯誤綜上，正確的命題個數(shù)是3故選C【點睛】本題主要考查了空間中的直線與平面的垂直關系應用問題，是中檔題7、A【解析】先變形，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質比較大小即可【詳解】，因為在上為減函數(shù)，且，所以，所以，故選：A8、C【解析】特稱命題否定為全稱命題，所以命題的否命題應該為，即本題的正確選項為C.9、D【解析】A選項，舉出反例；B選項，兩函數(shù)定義域不同；C選項，利用三角函數(shù)定義求解；D選項，待定系數(shù)法求出解析式，從而得到答案.【詳解】A選項，當時，滿足，而，故A錯誤；B選項，定義域為R，定義域為，兩者不是同一個函數(shù)，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，設，將代入得：，解得：，所以，D正確.故選：D10、B【解析】M即集合U中滿足大于4的元素組成的集合.【詳解】由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}則M={5，6}.故選：B【點睛】本題考查求集合的補集，屬于基礎題.11、C【解析】考慮是偶函數(shù)，其單調性是關于y軸對稱的，只要判斷出時的單調性，利用對稱關系即可.【詳解】，是偶函數(shù)；當時，由于增函數(shù)，是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，是關于y軸對稱的，當時，是減函數(shù)，作圖如下：欲使得，只需，兩邊取平方，得，解得；故選：C.12、A【解析】與角終邊相同的角為：.當時，即為－300°.故選A二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】，又，∴，∴故答案為14、【解析】首先判斷正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心連線的中點，然后構造直角三角形求半徑，代入公式求解.【詳解】如圖：設和分別是上下底面等邊三角形的中心，由題意可知連線的中點就是三棱柱外接球的球心，連接，是等邊三角形，且，，，球的表面積.故答案為：【點睛】本題考查求幾何體外接球的表面積的問題，意在考查空間想象能力和轉化與化歸和計算能力，屬于基礎題型.15、【解析】利用三角函數(shù)的平方關系式，化簡求解即可【詳解】===又，所以，所以=，故填：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系式的應用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力16、【解析】先討論時不恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向、判別式進行求解.【詳解】當時，則化為（不恒成立，舍），當時，要使對一切恒成立，需，即，即a的取值范圍是.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）答案見解析（2）【解析】（1）利用換元法令，可得所求為關于p的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，分析討論，即可得答案.（2）根據(jù)題意，分別討論在、和上存在實數(shù)，滿足題意，根據(jù)所給方程，代入計算，結合函數(shù)單調性，分析即可得答案.【小問1詳解】由題意得所以，，令，設則為開口向上，對稱軸為的拋物線，當時，在上為單調遞增函數(shù)，所以的最小值為；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為；當時，在上為單調遞減函數(shù)，所以的最小值為；綜上，當時，的最小值為，當時，的最小值為，當時，的最小值為【小問2詳解】①設在上存在，滿足，則，令，則，當且僅當時取等號，又，所以，即，所以，所以所以②設存在，滿足，則，即有解，因為在上單調遞減，所以，同理當在存在，滿足時，解得，所以實數(shù)的取值范圍【點睛】解題的關鍵是理解新定義，并根據(jù)所給定義，代入計算，結合函數(shù)單調性及函數(shù)存在性思想，進行求解，屬難題18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)兩向量的模相等，利用兩點間的距離公式建立等式求得的值，根據(jù)的范圍求得；（2）根據(jù)向量的基本運算根據(jù)，求得和的關系式，然后用同角和與差的關系可得到，再由化簡可得，進而可確定答案【詳解】（1）∵，∴化簡得，∵，∴（2）∵，∴，∴，∴，∴【點睛】本題主要考查兩角和與差的基本關系和三角與向量的綜合題19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組求出，進而求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)已知條件求出，進而得出不等式，利用換元法及一元二次不等式得出的范圍，再根據(jù)指數(shù)與對數(shù)互化解指數(shù)不等式即可.【小問1詳解】由，得，解得.所以的解析式為.【小問2詳解】由（2）知，，所以，由，得，即，令，則，解得或所以，即，解得.所以不等式的解集為.20、（1），（2）【解析】（1）先求出集合A、B，再求，；（2）對是否為分類討論，分別求出a的范圍.【小問1詳解】由可得又，則所以，【小問2詳解】當時，，此時；當時，，則；綜上可得21、（1）點的坐標為．（2）24【解析】（1）先根據(jù)中點坐標公式以及直線垂直斜率的積等于列方程組求出點關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)兩點式或點斜式可得直線的方程，與角平分線的方程聯(lián)立可得頂點的坐標；（2）根據(jù)兩點間