知識(shí)講解-空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱要求】了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及TOC\o"1-5"\h\z其坐標(biāo)表示 .掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 .掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系 .能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理 .能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用 .【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間向量空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩趴臻g的一個(gè)平移就是一個(gè)向量。⑵向量一般用有向線段表示，同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小。⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。共線向量（1）定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 ．a(chǎn)平行于b記作a//b．當(dāng)我們說(shuō)向量 a、b共線（或a//b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量，使a＝λb。向量的數(shù)量積(1)定義：已知向量 a,b，則|a||b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記作 ab，即ab|a||b|cosa,b。(2)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：ae|a|cosa,e；abab0；|a|2aa．(3)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：(a)b(ab)a(b)；abba(交換律) ；a(bc)abac(分配律) ?？臻g向量基本定理如果三個(gè)向量 a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x,y,z，使pxaybzc。若三向量 a,b,c不共面，我們把 {a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底， a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底?？臻g直角坐標(biāo)系：若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直， 且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底， 用{i,j,k}表示；(2)在空間選定一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交基底 {i,j,k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以 i,j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn) O叫原點(diǎn)，向量 i,j,k都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為 xOy平面， yOz平面， zOx平面；空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)，使OAxiyjzk，有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)叫作向量 A在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，x叫橫坐標(biāo)， y叫縱坐標(biāo)， z叫豎坐標(biāo)．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：(1)若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則 AB(x2x1,y2y1,z2z1)．一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐

標(biāo)。2)若 a(a1,a2,a3)標(biāo)。2)若 a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，a(a1,a2,a3)( R)，aba1b1a2b2a3b3，a//b a1 b1,a2b2,a3 b3( R)，ab a1b1 a2b2 a3b3 0；夾角公式： cosabab a1b1a2b2a3b3|a||b| a12a22a32b12b22b32(3)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則|AB|AB2 (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2或dA,B (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。要點(diǎn)二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明．對(duì)于垂直問(wèn)題，一般是利用 abab0進(jìn)行證明；對(duì)于平行問(wèn)題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明．利用向量求夾角 (線線夾角、線面夾角、面面夾角 )有時(shí)也很方便．其一般方法是將所求cos要點(diǎn)詮釋?zhuān)浩矫娴姆ㄏ蛄康那蠓ǎ涸O(shè) n=(x,y,z)，利用 n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向 a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元的一個(gè)法向量(如圖) 。線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為 a、b，則直線AB與CD所成的角為 arccos|ab|。|a||b|[00,900]）線面角的求法：設(shè)n是平面 的法向量， AB是直線l的方向向量，則直線 l與平面 所成的角為arcsin|n|（如圖）。|AB||n|二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角 l的兩個(gè)面 ，的法向量，則 n1,n2 arccosn1n2|n1||n2|就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小（如圖）3.用向量法求距離的公式設(shè)n是平面 的法向量， AB是平面 的一條斜線， 則點(diǎn)B到平面 的距離為 |ABn|（如|n|要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

⑴點(diǎn)A到平面 的距離：ABnd ，其中B，n是平面 的法向量。|n|⑵直線a與平面 之間的距離：ABnd ，其中Aa,B，n是平面 的法向量。|n|⑶兩平行平面 ,之間的距離：ABnd ，其中A,B，n是平面 的法向量。|n|類(lèi)型一、空間向量的運(yùn)算【例 1】已知 AB=（ 2， 2， 1） ， AC=（ 4， 5， 3） ，求平面 ABC的單位法向量。TOC\o"1-5"\h\zn 1 22【答案】單位法向量 n0 n=±（ 1 ，－ 2，2） .0 |n| 3 3 3【解析】設(shè) 面ABC的法向量n（x,y,z），則n⊥AB且n⊥AC，即nAB0nACnAB0nAC02x2yz04x5y3z02xz,，yz,令x1，則n(1,2,2)22，)3322，)33TOC\o"1-5"\h\zn0 =±( ，－0 |n| 3【總結(jié)升華】 一般情況下求法向量用待定系數(shù)法。 由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度， 僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把 n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為 1，再求另兩個(gè)坐標(biāo)。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解 。舉一反三：a＝（1,5,－1），b＝（－2,3,5）1）若 kab//a3b，求實(shí)數(shù) k的值；2）若 kaba3b，求實(shí)數(shù) k的值；3）若 kab取得最小值，求實(shí)數(shù) k的值。【答案】kab//a3b設(shè)kaba3b，即(k2,5k3,k5)(7,4,16)k271由5k3 4 ，解得k；3k5 16kaba3b，kaba3b0(k2,5k3,k5)(7,4,16)0，即3k1060，解得 k106；3kab(k2)2(5k3)2(k5)2 27k216k388當(dāng)k時(shí)，kab取得最小值。27類(lèi)型二：向量法證明平行或垂直【例2】如圖，在四棱錐 OABCD中，底面 ABCD四邊長(zhǎng)為 1的菱形， ABC4,OA底面ABCD,OA2,M為OA的中點(diǎn)， N為BC的中點(diǎn)OBNCMN‖平面OCD；AB與MD所成角的大??；B到平面 OCD的距離。APCD于點(diǎn)P,如圖,分別以 AB,AP,AO所在直線為 x,y,z軸建立坐標(biāo)系

TOC\o"1-5"\h\z2 22 22A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2,0),D(2,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1 2,2,0),2 22 4422 2 22MN(1 42 , 42, 1),OP(0, 22, 2),OD( 22 , 22 ,2)設(shè)平面 OCD的法向量為 n(x,y,z),則nOP0,nOD02y2z02x2y2z02取z2,解得n(0,4,2)22MNn(1 , ,1)(0,4,2)044MN‖平面OCD設(shè)AB與MD所成的角為 ,22AB(1,0,0),MD( 22,22,1),AB,AB與MD所成角的大小為33ABMD(3)設(shè)點(diǎn) (3)設(shè)點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 d,則d為OB在向量n(0,4,2)上的投影的絕對(duì)值 ,OBnOB(1,0,2),得d2所以點(diǎn) B到平面 OCD的距離為 23

1.用向量證明線面平行的方法有：證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示．用向量法證垂直問(wèn)題：證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為 0；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為 0，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．舉一反三：如圖，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中， △ABC為等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為 B1A、C1C、BC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥平面 ABC；（2）B1F⊥平面 AEF.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A－xyz，令 AB＝AA1＝4，則A（0，0，0），E（0，4，2），F(xiàn)（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）．（1）取AB中點(diǎn)為N，則N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），→→∴ DE＝ （－2， 4， 0）， NC＝ （－ 2， 4， 0），DE＝NC.∴DE∥NC，又NC在平面 ABC內(nèi)， DE不在平面 ABC內(nèi)，故 DE∥平面 ABC.（2）B1F＝（－2，2，－ 4），EF＝（2，－ 2，－ 2），AF＝（2，2，0），→→B1F·EF＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，→→則B1F⊥EF，∴ B1F⊥EF，B1F·AF＝（－2）×2＋2×2＋ （－4）×0＝0.

∴B1F⊥AF，即 B1F⊥AF，又∵ AF∩FE∴B1F⊥AF，即 B1F⊥AF，又∵ AF∩FE＝F，∴ B1F⊥平面 AEF.類(lèi)型三：異面直線所成的角【例 3】正方體 ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為 a，點(diǎn) P在AC上， Q在BG上，且 AP=BQ=a,求直線PQ與AD所成的角【答案】 90°【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 A(a,0,0)，D(a,a,0)Q(0,2a,2a),P(a2a,2a,0)22 2222QP(aa,0,a),22AD(0,a,0)，QPAD0QP與AD所成的角為 90°。PQAD及|PQ，||AD|，解。舉一反三：ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為 1的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為 21) B1D1與 A1D能否垂直？請(qǐng)證明你的判斷；2)當(dāng) A1B1C1在[,]上變化時(shí)，求異面直線AC1與 A1B1所成角的取值范圍?！敬鸢浮俊吡庑?A1B1C1D1中， A1C1 B1D1于O1，設(shè) ACBDO，分別以 O1B1,O1C1,O1O所在直線為 x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B1(a,0,0),C1(0,b,0)(a2b21)，則 D1(a,0,0),A1(0,b,0),D(a,0,2)1)∵ DB1(2a,0,0),A1D(a,b,2)，D1BA1D 2a20，∴ B1D1與A1D不能垂直。3b2)∵ A1B1C1[,]，∴ 1，∵ A(0,b,2)TOC\o"1-5"\h\z32 3aAC1(0,2b,2),A1B1 (a,b,0),AC1A1B12b2，|AC1|2b21,|A|AC1|2b21,|A1B1| a2b21，1 11 1b222ab1，∴設(shè)acos,bsin，又又3b1，∴

3atan1,6cosAC1,A1B1b22cosAC1,A1B1b22sin1b2 1sin2142

csccscsin4sin222csc4，∴cosAC1,A1B1[5,6]106AC1AC1與 A1B1所成角的取值范圍是4】如圖，在棱長(zhǎng)為 1的正方體[105,66]。類(lèi)型四：直線與平面所成的角ABCDA1B1C1D1中， P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CPm。試確定 m，使直線 AP與平面BDD1B1所成角的正切值為 32；則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B 1(1,1,1),D1(0,0,1).所以BD(1,1,0),BB1 (0,0,1),AP(1,1,m),AC(1,1,0).TOC\o"1-5"\h\z又由ACBD0,ACBB10知AC為平面 BB1D1D的一個(gè)法向量 .設(shè)AP與面BDD1B1所成的角為 ，則sincos() |APAC| 求直線 AB求直線 AB和直線 PC所成角的余弦值；求PC和面 ABC所成角的正弦值；【答案】2 |AP||AC| 2 2m2依題意有 2 32，解得m1.2 2m2 1(32)2 (1)(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以 AB、AP所在直線為 y軸、z軸,以過(guò) A點(diǎn)且平行于 BC直線為故當(dāng)m1時(shí)，直線 AP與平面 BDD1B1所成的角的正切值為３ 2。3舉一反三：P-ABC中，∠ ABC=90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面 ABC．

軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系在直角△ ABC中,∵AB=3，AC=2，∴ BC=1A(0,0,0)，B(0, 3,0)，C(1, 3,0)，P(0,0,1).AB(0, 3,0)，PC(1, 3, 1),cos<AB,PCcos<AB,PC>=ABPC|AB||PC|03015030 131 5類(lèi)型五：二面角【例 5類(lèi)型五：二面角【例 5】 如圖，在三棱柱面AA1B1B，且 C1H＝ 5.15TOC\o"1-5"\h\zAB與直線 PC所成的角余弦為 155取平面 ABC的一個(gè)法向量 AP=(0，0，1)，設(shè)PC和面 ABC所成的角為 ，則sin=|cos<PC，AP>|=|PCAP|= |001|sin=|cos<PC，|PC||AP| 131 001 5PC和面 ABC所成的角的正弦值為ABC－A1B1C1中， H是正方形 AA1B1B的中心， AA1＝22，C1H⊥平

（1）求異面直線 AC與A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A－A1C1－B1的正弦值；BM的長(zhǎng)．B（0，0，（3）設(shè)N為棱 B1C1的中點(diǎn)， 點(diǎn)M在平面 AA1B1B內(nèi)， 且MN⊥平面 A1BBM的長(zhǎng)．B（0，0，【解析】如圖所示， 建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)， 依題意得 A（22，0，0）TOC\o"1-5"\h\z0），C（2，－ 2， 5）， A1（2 2， 2 2， 0）， B1（0， 22，0）， C1（ 2， 2， 5）．易得 AC＝ （－ 2，－ 2， 5）， A1B1＝ （－22， 0， 0），→ → AC·A1B1 4 2cos〈AC，A1B1〉＝ ＝ ＝ ，→→ 3×223|AC||A1B1|所以異面直線 AC與A1B1所成角的余弦值為 2.3易知 AA1＝（0，22，0），A1C1＝（－ 2，－ 2， 5）．→m·A1C1＝0，設(shè)平面 AA1C1的一個(gè)法向量 m＝（x，y，z），則→m·AA1＝0.－ 2x－ 2y＋ 5z＝0，即 不妨令 x＝ 5，可得 m＝（5，0， 2）．22y＝0.→n·A1C1＝0，設(shè)平面 A1B1C1的一個(gè)法向量 n＝（x，y，z），則n·A1B1＝ 0.

－2x－ 2y＋ 5z＝0，不妨令 y＝ 5，可得 n＝（0， 5， 2）．－22x＝0.則cos〈m，n〉＝m·n|m||n| 7· 7則cos〈m，n〉＝m·n|m||n| 7· 72 357，從而 sin〈 m， n〉＝ 7，所以二面角A－A1C1－B1的正弦值為 7.(3)由N為棱 B1C1的中點(diǎn)，得322，M（a，b，0），則MN＝（22－a，322－b，MN⊥平面 A1B1C1，(2)知平面 A1B1C1的一個(gè)法向量為 n＝(0， 5， 2)，所以 MN∥n，所以 22－a＝0，322－b 2＝ 2，解得＝ 2，a＝2.故b＝ 4242， 0)．因此 BM＝ ( 22， 42， 0)， 所以線段 BM的長(zhǎng) |BM|＝ 410.意二者范圍的區(qū)別． 同樣地，利用向量法求二面角的大小， 就是求兩個(gè)半平面的法向量的夾角 (或在空間直角坐夾角的補(bǔ)角 )，在具體求解中應(yīng)適當(dāng)選取或求解直線的方向向量及平面的法向量．在空間直角坐標(biāo)系中，常采用待定系數(shù)法求平面的法向量．ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BE∥CF，∠ BCF=∠CEF=90°，AD3，EF=2。AE∥平面 AE∥平面 DCF；AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角 A—EF—C的大小為 60°？直角坐標(biāo)系 C設(shè)ABa，BEb，CFc，AE（0，b，a），CB（3，0，0）直角坐標(biāo)系 C設(shè)ABa，BEb，CFc，AE（0，b，a），CB（3，0，0），BE（0，b，0），所以CBCE0，CBBE0，從而 CBAE，CBBE，所以CB平面ABE．CB平面DCF，所以平面 ABE∥平面DCF．故AE∥平面DCF．EF（3，cb，0），CE（3，b，0），所以EFCE0，|EF|2，從而3b（cb）0，cb）22，解得b3，c4．所以E（3，3，0），F(xiàn)（0，4，0）．設(shè)n（1，y，z）與平面AEF垂直，33則nAE0，nEF0，解得n（1，3，33）．又因?yàn)锽A平面BEFC，BA（0，0，a），C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB，CF和CD分別作為 x軸，y軸和z軸，建立空間xyz．c，0）．n所以|cosn，BA|33a|BA||n|a4a11，得到2272則 C（0，0，0）， A（ 3， 0， a），B（ 3，0，0）c，0）．n所以|cosn，BA|33a|BA||n|a4a11，得到2272所以當(dāng)AB為9時(shí)，二面角 AEFC的大小為 60．2類(lèi)型六：空間距離【例 5】如圖，△ BCD與△ MCD都是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝23.求點(diǎn) A到平面 MBC的距離．【解析】取CD中點(diǎn) O，連接 OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.TOC\o"1-5"\h\z又平面 MCD⊥平面 BCD，所以 MO⊥平面 BCD.取O為原點(diǎn)，直線 OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． OB＝OM＝ 3，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 C（1， 0， 0）， M（0， 0， 3），B（0，－ 3， 0）， A（0，－ 3，23）．（1）設(shè)n（x，y，z）是平面 MBC的法向量，則BC＝（1， 3，0），BM＝（0， 3， 3）．→→由n⊥BC得n·BC＝0即x＋ 3y＝0；→→由n⊥BM得n·BM＝0即3y＋ 3z＝0.→取n＝（3，－ 1，1），BA＝（0，0，23），|BAn|23215TOC\o"1-5"\h\z則d＝ ＝ ＝ .||n| 5 5215故點(diǎn) A到平面 MBC的距離為 .5法二：（1）取CD中點(diǎn) O，連 OB，OM，則OB＝OM＝ 3，OB⊥CD，MO⊥CD，又平面MCD⊥平面 BCD，則MO⊥平面 BCD，所以 MO∥AB，所以 MO∥平面 ABC，故M，O到平面 ABC的距離相等．作OH⊥BC于H，連 MH，則 MH⊥BC.3求得 OH＝OC·sin60°＝，

MH＝ ( 3)2＋(215.設(shè)點(diǎn) A到平面 MBC的距離為 d，VA－MBC＝VM－ABC得11·S△MBC·d＝ ·S△ABC·OH.3311 15 11 3即3×2×2×2d＝3×2×2×23×2，解得 d＝2155求出該平面的一個(gè)法向量 n；找出以該點(diǎn)及平面內(nèi)的某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對(duì)應(yīng)的向量a；求出該平面的一個(gè)法向量 n；找出以該點(diǎn)及平面內(nèi)的某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對(duì)應(yīng)的向量a；(3)利用公式 d＝求距離．|n|舉一反三：【變式】如圖，四面體 ABCD中， O、E分別是 BD、BC的中點(diǎn)， CACBCDBD2，ABAD2,求點(diǎn)E到平面 ACD的距離。O為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則ABAD2,求點(diǎn)E到平面 ACD的距離。O為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(1,3,0)22BA(1,0,1),CD(1, 3,0)設(shè)平面 ACD的法向量為 n(x,y,z),則(x,y,z).(1,0,1)0,n.ADn.AC(x,y,z).(0,3,1)0,xz0,，令y1,得n（ 3,1,3）是平面 ACD的一個(gè)法向量。3yz0.13又EC(21,23,0),類(lèi)型七、利用空間向量解決立體幾何中的探索問(wèn)題點(diǎn)E到平面 ACD的距離 hEC.n 3 21n 776類(lèi)型七、利用空間向量解決立體幾何中的探索問(wèn)題點(diǎn)E到平面 ACD的距離 hEC.n 3 21n 776】在四棱錐 P-ABCD中， AB//CD，AB^AD，AB=4,AD=22,CD=2，PA^平面ABCD，PA=4.(Ⅰ)設(shè)平面PAB平面PCDm，求證：CD//m；（Ⅱ）求證：BD平面PAC；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q為線段PB上一點(diǎn)， 且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為 3，求PQ3PB（Ⅰ）因?yàn)?AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD//平面PAB.CD平面PCD，平面PAB平面PCDm，所以CD//m.AB,AD,AP所在的直：因?yàn)锳P^平面 ABCD，AB^AD，所以以 AAB,AD,AP所在的直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)，P(0,0,4)，D(0,22,0)，C(2,22,0).所以BD(4,22,0)，AC(2,22,0)，AP(0,0,4)，所以BDAC(4)22222000，BDAP(4)0220040.

所以BDAC，BDAP.因?yàn)锳PACA，AC平面 PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.PQ=(其中0＃ 1)，Qx(,yz,)，直線QC與平面PAC所成角為 .PB所以PQ=PB.所以(x,y,z-4)=(4,0,-4).xì?yíxì?yíz?0,即